“數(shù)列、不等式、推理與證明”命題趨勢及備考策略.doc

理清命題重難點 洞察高考新動向 - “數(shù)列、不等式、推理與證明”命題趨勢及備考策略 昆明市中學數(shù)學科首席教師 特級教師 佘維平一、高考命題重難點透視1.數(shù)列（1）重難點透視高考重點：數(shù)列的概念、通項公式的求法及求和。復習要點： 掌握等差（等比）數(shù)列的定義與性質(zhì)、通項公式、前n項和公式等；掌握等差（等比）數(shù)列的判斷方法，求和方法；熟練掌握求解數(shù)列通項公式的基本方法，尤其是已知遞推關(guān)系求通項這種基本的方法，另外注意累加法、累積法的應用等差數(shù)列的判斷方法（等比數(shù)列有同類方法）：(1)定義法：對于n2的任意自然數(shù)，驗證anan1為同一常數(shù)（即為常數(shù)）；(2)中項法：驗證2an1anan2(n3，nN*)都成立；(3)通項公式法：驗證anpnq；(4)前n項和公式法：驗證SnAn2Bn.數(shù)列求和的常用方法： 公式法； 倒序相加法； 錯位相減法； 裂項相消法； 分組求和法。一個數(shù)列的前n項和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱之為分組求和（或并項求和）形如an(1)nf(n)類型，可采用兩項合并求解例如，Sn10029929829722212(10099)(9897)(21)5 050.（2）典題示例.等差、等比數(shù)列的基本運算解決等差、等比數(shù)列的問題時，通常考慮兩類方法：.基本量法，即運用條件轉(zhuǎn)化成關(guān)于a1和d的方程(組)；.巧妙運用等差、等比數(shù)列的性質(zhì)【示例1】設(shè)an為等差數(shù)列，公差d2，Sn為其前n項和若S10S11，則a1()A18 B20 C22 D24解析由S10S11，得a11S11S100，a1a11(111)d0(10)(2)20.故選B.解題反思 本小題主要考查等差數(shù)列的通項、性質(zhì)、前n項和以及數(shù)列的通項和前n項和的關(guān)系，解題的突破口是由S10S11得出a110.等差、等比數(shù)列的判定等差、等比數(shù)列的判定通常作為解答題的第1問來考查【示例2】已知數(shù)列an滿足a11，a23，an23an12an(nN*)(1)證明：數(shù)列an1an是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列an的通項公式(1)證明an23an12an，an2an12(an1an)，a11，a23，2(nN*)an1an是以a2a12為首項，2為公比的等比數(shù)列(2)解由(1)得an1an2n(nN*)，an(anan1)(an1an2)(a2a1)a12n12n2212n1(nN*)解題反思 本題主要考查等比數(shù)列的判定及數(shù)列求和，同時考查推理論證能力及轉(zhuǎn)化化歸能力.數(shù)列求和數(shù)列求和主要是分析通項，然后根據(jù)通項選擇相應的求和方法【示例3】(2011新課標全國)等比數(shù)列an的各項均為正數(shù)，且2a13a21，a9a2a6.(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)設(shè)bnlog3a1log3a2log3an，求數(shù)列的前n項和解(1)設(shè)數(shù)列an的公比為q.由a9a2a6得a9a，q2.由條件q0，故q.由2a13a21，得2a13a1q1，所以a1.故數(shù)列an的通項公式為an.(2)bnlog3a1log3a2log3an(12n).故2.2.所以數(shù)列的前n項和為.解題反思 本題主要考查等比數(shù)列的通項公式、數(shù)列求和及對數(shù)運算考查靈活運用基本知識解決問題的能力、運算求解能力和創(chuàng)新思維能力對于通項公式，可以利用基本量求出首項和公比；對于數(shù)列求和，可通過對數(shù)運算求出bn，然后利用裂項求和【示例4】（2011年浙江 理19題）已知公差不為0的等差數(shù)列的首項為（）設(shè)數(shù)列的前項和為，且，成等比數(shù)列（）求數(shù)列的通項公式及；（）記，當時，試比較與的大小解析：（）設(shè)等差數(shù)列的公差為（），由，成等比數(shù)列和得，解得，且，于是 ，（）因為 ，所以， 又因為 ，所以當時，因此，當時，；當時，解題反思 本題主要考查等差、等比數(shù)列的通項、性質(zhì)、求和，裂項求和與公式求和；考查分類討論和組合數(shù)的性質(zhì)，在數(shù)列背景下，考查同學們的推理論證與演繹歸納能力。2.不等式（必修部分）（1）重難點透視不等式的性質(zhì)是解(證)不等式的基礎(chǔ)，關(guān)鍵是正確理解和運用，要弄清條件和結(jié)論，近幾年高考中多以小題出現(xiàn)，題目難度不大，復習時，應抓好基本的東西，少做偏難題；不等式的定義、比較兩個實數(shù)的大小、不等式的性質(zhì)是重要的基本內(nèi)容；結(jié)合“三個二次”之間的聯(lián)系，掌握一元二次不等式的解法；掌握確定平面區(qū)域的方法，理解目標函數(shù)的幾何意義，掌握解決線性規(guī)劃問題的方法(圖解法)，注意線性規(guī)劃問題與其他知識的綜合；突出對基本不等式取等號的條件及運算能力的強化訓練高考試題中，對解不等式有較高的要求，近兩年不等式知識占相當大的比例。一個技巧：作差法變形的技巧：作差法中變形是關(guān)鍵，常進行因式分解或配方兩項防范：.二次項系數(shù)中含有參數(shù)時，參數(shù)的符號影響不等式的解集；不要忘了二次項系數(shù)為零的情況；.解含參數(shù)的一元二次不等式，可先考慮因式分解，再對根的大小進行分類討論；若不能因式分解，則可對判別式進行分類討論，分類要不重不漏三點注意：.使用基本不等式求最值時，失誤的主要原因是對其前提“一正、二定、三相等”的忽視，這三個條件缺一不可；.在運用基本不等式時，要特別注意“拆”“拼”“湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”“定”“等”的條件；.連續(xù)使用基本不等式時取等號的條件必須一致（2）典題示例【示例1】(教材變式題)給出下列命題：abac2bc2；a|b|a2b2；aba3b3；|a|ba2b2.其中正確的命題是()A B C D解析當c0時，ac2bc2，不正確；a|b|0，a2|b|2b2，正確；a3b3(ab)(a2abb2)(ab)0，正確；取a2，b3，則|a|b，但a24b29，不正確答案B。【示例2】已知a，b，c是實數(shù)，試比較a2b2c2與abbcca的大小解a2b2c2(abbcca)(ab)2(bc)2(ca)20，當且僅當abc時取等號a2b2c2abbcca.解題反思 比較大小常采用作差法與作商法，但題型為選擇題時可以用特殊值法來比較大小【示例3】已知函數(shù)f(x)解不等式f(x)3.思維啟動點 對x分x0、x0進行討論從而把f(x)3變成兩個不等式組解由題意知或解得：x1.故原不等式的解集為x|x1解題反思 解一元二次不等式的一般步驟是：(1)化為標準形式；(2)確定判別式的符號；(3)若0，則求出該不等式對應的二次方程的根，若0，則對應的二次方程無根；(4)結(jié)合二次函數(shù)的圖象得出不等式的解集特別地，若一元二次不等式的左邊的二次三項式能分解因式，則可立即寫出不等式的解集【示例4】(1)已知x0，y0，且2xy1，則的最小值為_；(2)當x0時，則f(x)的最大值為_思維啟動點 第(1)問把中的“1”代換為“2xy”，展開后利用基本不等式；第(2)問把函數(shù)式中分子分母同除“x”，再利用基本不等式解析(1)x0，y0，且2xy1，332.當且僅當時，取等號(2)x0，f(x)1，當且僅當x，即x1時取等號答案(1) 32；(2) 1解題反思 利用基本不等式求函數(shù)最值時，注意“一正、二定、三相等，和定積最大，積定和最小”常用的方法為：拆、湊、代換、平方3.推理與證明（1）重難點透視1推理與證明一般與數(shù)列、幾何、等有關(guān)內(nèi)容糅合在一起考查。2推理與證明的內(nèi)容是高考的新增內(nèi)容，主要以選擇填空的形式出現(xiàn)，難度上屬中偏低檔題。新課標下把猜想、合情推理、類比推理與遞推數(shù)列等內(nèi)容結(jié)合是試題的一個亮點，合情推理的考查仍將為高考的重點和熱點之一，因此要重視對合情推理的訓練。本單元是培養(yǎng)同學們良好思維習慣，學習和運用數(shù)學思想方法，形成數(shù)學能力的重要重要內(nèi)容，但也不必要去做過難的題目。（2）典題示例【示例1】在平面上，若兩個正三角形的邊長的比為12，則它們的面積比為14，類似地，在空間中，若兩個正四面體的棱長的比為12，則它們的體積比為_解析：由類比推理得，若兩個正四面體的棱長比為12，則體積比為18.【示例2】觀察以下三個等式：(1)13239；(2)13233336；(3歸納其特點可以獲得一個猜想是132333n3_.解析：92,362,1002，猜想：132333n32. 答案：2【示例3】觀察下列不等式：1，11，1，12,1，由此猜想第n個不等式為_解析：由1，1，1，1，1，可猜想第n個不等式為1.答案：1【示例4】將全體正整數(shù)排成一個三角形數(shù)陣： 按照以上排列的規(guī)律，第行從左向右的第3個數(shù)為 。解析本小題考查歸納推理和等差數(shù)列求和公式。前行共用了 個數(shù)，因此第行從左向右的第3個數(shù)是全體正整數(shù)中的第個，即為?！臼纠?】 （2009湖南，理15題）將正分割成（，）個全等的小三角形（圖1，圖2）分別給出了，的情形），在每個三角形的頂點各放置1個數(shù)，使位于的三邊及平行于某邊的任一直線上的數(shù)（當數(shù)的個數(shù)不少于3時）依次成等差數(shù)列若頂點，處的三個數(shù)互不相同且和為1，記所有頂點上的數(shù)之和為，則有， ， 圖2圖1解析：本題要用合情推理求解依題意，頂點，處的三個數(shù)互不相同且和為1，且為等差數(shù)列，如果按等差數(shù)列的性質(zhì)及公式來計算，運算量較大，且規(guī)律性不好探索，就而言，三邊中點分別設(shè)為，（逆時針方向）組成等差數(shù)列是，這3種，若點上的數(shù)記為，點上的數(shù)記為，所以，從而得，利用極端數(shù)法，把點，均視為（圖3），同樣推理，在中，把10個頂點均視為，則（圖4），從而得，圖4圖3點撥：利用特殊值賦值法，分別對，進行特殊值賦值，發(fā)現(xiàn)頂點的平均值都是，利用合情推理做出判斷，每個頂點上的均值為，剩余事就是歸納頂點數(shù)二、 2013年高考命題動向、分析與預測 1. 數(shù)列 數(shù)列是高中數(shù)學的重要內(nèi)容之一，是銜接初等數(shù)學與高等數(shù)學的橋梁，在高考中的地位舉足輕重。在新課標高考中，數(shù)列內(nèi)容的主要考點就兩個方面：一是數(shù)列的有關(guān)概念；二是等差（等比）數(shù)列的定義、通項公式與前n項和公式 試題難度相對老高考已降低，一般為中低檔題，選擇填空題重點考查等差（比）數(shù)列的性質(zhì)；解答題重點考查通項公式、求和。預計2013年高考會這樣考：以數(shù)列的前幾項為背景，考查“歸納推理”思想;考查已知數(shù)列的通項公式或由遞推關(guān)系求數(shù)列的某項;考查由數(shù)列的遞推關(guān)系求數(shù)列的通項公式，尤其是已知Sn與an的關(guān)系求an等;考查運用基本量法求等差（等比）數(shù)列的基本量；考查等差（等比）數(shù)列的性質(zhì)、前n項和公式；考查對非等差（等比）數(shù)列求和的幾種常見方法2.不等式 不等式的考查主要以中檔題為主，題型主要是選擇題或填空題； 不等式的性質(zhì)常與簡易邏輯結(jié)合考查； 不等式的解法主要以一元二次不等式為主，兼顧其它（如簡單的分式不等式、指對數(shù)不等式、與分段函數(shù)有關(guān)的不等式等），常與集合（選填題）、導數(shù)（解答題中對參數(shù)的分類討論）結(jié)合； 線性規(guī)劃問題考查難度不大； 應用基本不等式求最值是重點，要加強訓練； 不等式的恒成立問題也應當重視。預計2013年高考會這樣考：結(jié)合命題真假判斷、充要條件、大小比較等知識考查不等式性質(zhì)的基本應用；考查一元二次不等式的