用相似比求交點(diǎn)的坐標(biāo).doc

用相似比求交點(diǎn)的坐標(biāo)【例題1】 如圖1，已知A、B是雙曲線上的兩個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)分別為1、2，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1，0)在雙曲線上是否存在點(diǎn)D，使得以A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是梯形？如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由圖1解析過(guò)ABC的三個(gè)頂點(diǎn)，分別畫(huà)對(duì)邊的平行線，平行線與雙曲線的交點(diǎn)有三個(gè)，可以知道符合條件的點(diǎn)D有三個(gè)。求點(diǎn)D的坐標(biāo)，我們?nèi)菀紫氲酱鷶?shù)法，把直線的方程與雙曲線的方程聯(lián)立成方程組，方程組的解就是交點(diǎn)的坐標(biāo)。其實(shí)用幾何法，根據(jù)相似比列方程，可以使得解題又好又快。先求得點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,2)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2，1)。設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為()。如圖2，當(dāng)CD/AB時(shí)，構(gòu)造CDEABF，那么。由此列方程，解得x1或2。所以點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1, 2)或(2,1)。如圖3，當(dāng)AD/BC時(shí)，構(gòu)造CBMADN，那么。由此列方程，解得x5或1。當(dāng)x1時(shí)就是點(diǎn)A，所以點(diǎn)D的坐標(biāo)為(5，)。不存在BD/AC的情況。圖2 圖3【例題2】如圖4，二次函數(shù)的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，1），ABC的面積為（1）求該二次函數(shù)的關(guān)系式；（2）在該二次函數(shù)的圖象上是否存在點(diǎn)D，使以A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形為直角梯形？若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由圖4解析我們先來(lái)解答第（1）題：因?yàn)镺C1，ABC的面積為，所以AB設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（a，0），那么點(diǎn)B的坐標(biāo)為（a，0）設(shè)拋物線的解析式為，代入點(diǎn)C（0，1），得解得或因?yàn)槎魏瘮?shù)的解析式中，所以拋物線的對(duì)稱(chēng)軸在y軸右側(cè)因此點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為，所以拋物線的解析式為我們?yōu)榈冢?）題作鋪墊工作：直覺(jué)很重要，ACB90。因?yàn)椋砸虼薃OCCOB于是ACOCBO。因此ACOBCOCBOBCO90所以ACB90。設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為如圖5，過(guò)點(diǎn)A作BC的平行線交拋物線于D，過(guò)點(diǎn)D作DEx軸于E因?yàn)?，所以因此解得此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)為如圖6，過(guò)點(diǎn)B作AC的平行線交拋物線于D，過(guò)點(diǎn)D作DFx軸于F因?yàn)椋砸虼私獾么藭r(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)為綜上所述，當(dāng)D的坐標(biāo)為或時(shí)，以A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形為直角梯形圖5 圖6第（2）題可以用代數(shù)的方法這樣解：例如圖5，先求得直線BC為，再根據(jù)AD/BC求得直線AD為，由直線AD和拋物線的解析式組成的方程組，得到點(diǎn)D的坐標(biāo)顯然代數(shù)法的運(yùn)算量很大。2011