蘇教版選修45 反證法 學案.doc

2.3.1 反證法課堂導學三點剖析一,熟悉反證法證明不等式的步驟【例1】 設(shè)f(x)、g(x)是定義在0,1上的函數(shù)，求證:存在x0、y00,1，使|x0y0-f(x0)-g(y0)|.證明:用反證法.假設(shè)對0,1內(nèi)的任意實數(shù)x,y均有|xy-f(x)-g(y)|，考慮對x,y在0,1內(nèi)取特殊值:(1)取x=0,y=0時，有|00-f(0)-g(0)|,|f(0)+g(0)|;(2)取x=1,y=0時，有|10-f(1)-g(0)|,|f(1)+g(0)|;(3)取x=0,y=1時，有|01-f(0)-g(1)|,|f(0)+g(1)|;(4)取x=1,y=1時，有|11-f(1)-g(1)|,|1-f(1)-g(1)|.1=1-f(1)-g(1)+f(0)+g(1)+f(1)+g(0)-f(0)-g(0),1|1-f(1)-g(1)|+|f(0)+g(1)|+|f(1)+g(0)|+|f(0)+g(0)|+=1.1b0，那么(nn且n1).證明:假設(shè)不大于有兩種情況:或者.由推論2和定理1，當時，有ab0矛盾，所以.變式提升1求證:如果ab0,那么b0,a2b20.b2-a2=(b+a)(b-a)0.ab0,b+a0.b-a0,即ba.這與已知ab矛盾.假設(shè)不成立，原結(jié)論成立.二、什么時候用反證法證明不等式【例2】 設(shè)0a、b、c,(1-b)c,(1-c)a.以上三式相乘得(1-a)b5(1-b)c5(1-c)a,亦即(1-a)a5(1-b)b5(1-c)c.又0a1,0(1-a)a2=.同理,0(1-b)b,00,y0,且x+y2,求證:與中至少有一個小于2.證明:假設(shè)、都不小于2，則2,2.x0,y0,1+y2x,1+x2y,2+x+y2(x+y).x+y2，這與已知x+y2矛盾.故假設(shè)不成立，原題得證.變式提升2設(shè)a,b,c均為正數(shù)且a+b+c=1,求證:a2+b2+c2.證明:ab,bc,ca,三式相加得ab+bc+caa2+b2+c2.假設(shè)a2+b2+c2,由1=a+b+c,1=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)a2+b2+c2+2(a2+b2+c2)=3(a2+b2+c2)3=1,即11,顯然不成立.三、體會反證法證明不等式的優(yōu)越性【例3】 若abc三邊a,b,c的倒數(shù)成等差數(shù)列,則ba,bc.,.兩式相加得+,這與題設(shè)+=相矛盾.因此,假設(shè)是錯誤的,b.溫馨提示 證明過程就那么簡單,推出矛盾也這般容易!用反證法證明不等式思路清清爽爽,有化難為易的功效.類題演練3若|a|1,|b|1,求證:|1.證明:假設(shè)|1,則|a+b|1+ab|.a2+b2+2ab1+2ab+a2b2.a2+b2-a2b2-10.a2-1-b2(a2-1)0.(a2-1)(1-b2)0.即a21,b21或a21,b21,與已知矛盾.|1.變式提升3已知f(x)=x2+px+q,求證:|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一個不小于.證明:用反證法.假設(shè)|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|都小于,則|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|2,而|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|f(1)+f(3)-2f(2)|=|(1+p+q