人教A版選修45 2.1 比較法 課件（25張）.ppt

第二講證明不等式的基本方法 一比較法 1 2 3 1 比較法的種類比較法一般分為兩種 作差比較法和作商比較法 1 2 3 2 作差比較法 1 作差比較法的證明依據(jù) ab a b 0 2 基本步驟 作差 變形 判斷符號(hào) 下結(jié)論 歸納總結(jié)用作差比較法證明不等式時(shí) 要判斷不等式兩邊差的符號(hào) 對(duì)不等式兩邊求差后 要通過配方 因式分解 通分等 對(duì)所得代數(shù)式進(jìn)行變形 得到一個(gè)能夠明顯看得出其符號(hào)的代數(shù)式 進(jìn)而得出證明 1 2 3 做一做1 1 當(dāng)a b 0時(shí) 下列關(guān)系式中成立的是 解析 方法一 取特殊值a 4 b 1 則知選項(xiàng)a c d不正確 選項(xiàng)b正確 故選b 方法二 ab2 而函數(shù)y lgx x 0 為增函數(shù) lgb2 lga2 b項(xiàng)正確 答案 b 1 2 3 a p q rb p r qc q p rd q r p 1 2 3 2 基本步驟 作商 變形 判斷與 1 的大小 下結(jié)論 1 2 3 1 2 1 作差比較法證明不等式的一般步驟剖析 1 作差 將不等式左右兩邊的式子看作一個(gè)整體進(jìn)行作差 2 變形 將差式進(jìn)行變形 變形為一個(gè)常數(shù) 或變形為若干個(gè)因式的積 或變形為一個(gè)或幾個(gè)平方和等 3 判斷符號(hào) 根據(jù)已知條件與上述變形結(jié)果 判斷差的正負(fù)號(hào) 4 結(jié)論 根據(jù)差的正負(fù)號(hào)下結(jié)論 知識(shí)拓展若差式的符號(hào)不能確定 一般是與某些字母的取值有關(guān)時(shí) 則需對(duì)這些字母進(jìn)行討論 1 2 名師點(diǎn)撥使用作商比較法時(shí)一定要注意不等式兩邊的式子均為正值 若均為負(fù)值時(shí) 可先同乘 1 轉(zhuǎn)化后再進(jìn)行證明 題型一 題型二 題型三 分析 因不等式的兩邊進(jìn)行分子有理化相減后 可判斷差的符號(hào) 故可用作差比較法進(jìn)行證明 題型一 題型二 題型三 題型一 題型二 題型三 分析 將商的對(duì)數(shù)化成對(duì)數(shù)的差 就是 化整為零 有利于符號(hào)的確定 題型一 題型二 題型三 分析 因?yàn)閍 b均為正數(shù) 所以不等式左邊和右邊都是正數(shù) 故可以用作商比較法進(jìn)行比較 題型一 題型二 題型三 題型一 題型二 題型三 題型一 題型二 題型三 題型一 題型二 題型三 例3 已知數(shù)列 an 的首項(xiàng)a1 5 前n項(xiàng)和為sn 且sn 1 2sn n 5 n n 1 證明 數(shù)列 an 1 是等比數(shù)列 2 令f x a1x a2x2 anxn 求函數(shù)f x 在點(diǎn)x 1處的導(dǎo)數(shù)f 1 并比較2f 1 與23n2 13n的大小 分析 在比較大小時(shí) 作差法的差式與 n 的取值有關(guān) 且大小關(guān)系隨 n 的變化而變化 題型一 題型二 題型三 題型一 題型二 題型三 2 解 由 1 可知an 3 2n 1 f x a1x a2x2 anxn f x a1 2a2x nanxn 1 從而f 1 a1 2a2 nan 3 2 1 2 3 22 1 n 3 2n 1 3 2 2 22 n 2n 1 2 3 n 題型一 題型二 題型三 則2f 1 23n2 13n 12 n 1 2n 12 2n2 n 1 12 n 1 2n 12 n 1 2n 1 12 n 1 2n 2n 1 當(dāng)n 1時(shí) 式 0 2f 1 23n2 13n 當(dāng)n 2時(shí) 式 120 令f n 2n 2n 1 則f n 2nln2 2 此時(shí)f n 0 又f 3 0 當(dāng)n 3時(shí) 2n 2n 1 n 1 2n 2n 1 0 即 式 0 從而2f 1 23n2 13n 題型一 題型二 題型三 反思此類比較大小的題是典型的結(jié)論不唯一的題 在數(shù)列中 大小問題可能會(huì)隨 n 的變化而變化 往往n 1 2 前幾個(gè)自然數(shù)對(duì)應(yīng)的值與后面n n0的值大小不一樣 這就要求在解答這樣的題時(shí) 要時(shí)刻有 大小關(guān)系不一定唯一 的念頭 即時(shí)刻提醒自己所求解的問題是否需要討論 題型一 題型二 題型三 1 解 由已知得an 1 an 1 即an 1 an 1 又a1 1 所以數(shù)列 an 是以1為首項(xiàng) 公差為1的等差數(shù)列 故