人教B版必修一 1.2.2集合的運算 教案.doc

12.2集合的運算教學(xué)分析課本從學(xué)生熟悉的集合出發(fā)，結(jié)合實例，引入集合間的運算，同時，結(jié)合相關(guān)內(nèi)容介紹補集和全集等概念在安排這部分內(nèi)容時，課本繼續(xù)注重體現(xiàn)邏輯思考的方法，如歸納等值得注意的問題：在全集和補集的教學(xué)中，應(yīng)注意利用venn圖的直觀作用，幫助學(xué)生理解補集的概念，并能夠用venn圖進行求補集的運算三維目標1理解兩個集合的并集與交集、全集的含義，掌握求兩個簡單集合的交集與并集的方法，會求給定子集的補集，感受集合作為一種語言，在表示數(shù)學(xué)內(nèi)容時的簡潔和準確，進一步提高歸納的能力2通過觀察和類比，借助venn圖理解集合的基本運算體會直觀圖示對理解抽象概念的作用，培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合的思想重點難點教學(xué)重點：交集與并集，全集與補集的概念教學(xué)難點：理解交集與并集的概念，以及符號之間的區(qū)別與聯(lián)系課時安排2課時第1課時導(dǎo)入新課思路1.我們知道，實數(shù)有加法運算，兩個實數(shù)可以相加，例如538.類比實數(shù)的加法運算，集合是否也可以“相加”呢？教師直接點出課題思路2.請同學(xué)們考察下列各個集合，你能說出集合c與集合a、b之間的關(guān)系嗎？(1)a1,3,5，b2,4,6，c1,2,3,4,5,6；(2)ax|x是有理數(shù)，bx|x是無理數(shù)，cx|x是實數(shù)引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、歸納、思考和交流，得出結(jié)論教師強調(diào)集合也有運算，這就是我們本節(jié)課所要學(xué)習(xí)的內(nèi)容思路3.(1)如下圖甲和乙所示，觀察兩個圖的陰影部分，它們分別同集合a、集合b有什么關(guān)系？觀察集合a與b與集合c1,2,3,4之間的關(guān)系(2)已知集合a1,2,3，b2,3,4，寫出由集合a，b中的所有元素組成的集合c.已知集合ax|x1，bx|x0，在數(shù)軸上表示出集合a與b，并寫出由集合a與b中的所有元素組成的集合c.學(xué)生思考交流并回答，教師直接指出這就是本節(jié)課學(xué)習(xí)的課題：集合的運算推進新課通過上述問題中集合a與b與集合c之間的關(guān)系，類比實數(shù)的加法運算，你發(fā)現(xiàn)了什么？用文字語言來敘述上述問題中，集合a與b與集合c之間的關(guān)系用數(shù)學(xué)符號來敘述上述問題中，集合a與b與集合c之間的關(guān)系試用venn圖表示abc.請給出集合的并集定義求集合的并集是集合間的一種運算，那么，集合間還有其他運算嗎？請同學(xué)們考察下面的問題，集合a與b與集合c之間有什么關(guān)系？()a2,4,6,8,10，b3,5,8,12，c8；()ax|x是國興中學(xué)2007年9月入學(xué)的高一年級女同學(xué)，bx|x是國興中學(xué)2007年9月入學(xué)的高一年級男同學(xué)，cx|x是國興中學(xué)2007年9月入學(xué)的高一年級同學(xué)類比集合的并集，請給出集合的交集定義，并分別用三種不同的語言形式來表達活動：先讓學(xué)生思考或討論問題，然后再回答，經(jīng)教師提示、點撥，并對回答正確的學(xué)生及時表揚，對回答不準確的學(xué)生提示引導(dǎo)考慮問題的思路，主要引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)集合的并集和交集運算并能用數(shù)學(xué)符號來刻畫，用venn圖來顯示討論結(jié)果：集合之間也可以相加，也可以進行運算，但是為了不和實數(shù)的運算相混淆，規(guī)定這種運算不叫集合的加法，而是叫做求集合的并集集合c叫集合a與b的并集，記為abc，讀作a并b.所有屬于集合a或?qū)儆诩蟗的元素組成了集合c.cx|xa，或xb如下圖所示一般地，由所有屬于集合a或?qū)儆诩蟗的元素所組成的集合，稱為集合a與b的并集其含義用符號表示為abx|xa，或xb集合之間還可以求它們的公共元素組成集合的運算，這種運算叫求集合的交集，記作ab，讀作a交b.()abc，()abc.一般地，由屬于集合a且屬于集合b的所有元素組成的集合，稱為a與b的交集其含義用符號表示為：abx|xa，且xb用venn圖表示，如下圖所示思路1例1 設(shè)a4,5,6,8，b3,5,7,8，求ab，ab.活動：讓學(xué)生回顧集合的表示法和交集、并集的含義，由于本例題難度較小，讓學(xué)生自己解決，重點是總結(jié)集合運算的方法根據(jù)集合并集、交集的含義，借助于venn圖寫出觀察這兩個集合中的元素，或用venn圖來表示，如下圖所示解：ab4,5,6,83,5,7,83,4,5,6,7,8ab4,5,6,83,5,7,85,8點評：本題主要考查集合的并集和交集用列舉法表示的集合，運算時常利用venn圖或直接觀察得到結(jié)果本題易錯解為ab3,4,5,5,6,7,8,8其原因是忽視了集合元素的互異性解決集合問題要遵守集合元素的三條性質(zhì).變式訓(xùn)練1集合m1,2,3，n1,5,6,7，則mn_，mn_.答案：1,1,2,3,5,6,72集合p1,2,3，m，mm2,3，pm1,2,3，m，則m_.解析：由題意得m21或2或m，解得m1,1，0.因m1不合題意，故舍去答案：1，03求下列每對集合的交集：(1)ax|x22x30，bx|x24x30；(2)c1,3,5,7，d2,4,6,8解：(1)ab1，31，33；(2)cd4.已知qx|x是有理數(shù)，zx|x是整數(shù)，求qz.解：qzx|x是有理數(shù)x|x是整數(shù)x|x是有理數(shù)q.例2 設(shè)ax|1x2，bx|1x3，求ab，ab.活動：學(xué)生回顧集合的表示法和并集、交集的含義利用數(shù)軸，將a、b分別表示出來，則陰影部分即為所求用數(shù)軸表示描述法表示的數(shù)集解：將ax|1x2及bx|1x3在數(shù)軸上表示出來，如下圖所示的陰影部分即為所求由圖得abx|1x2x|1x3x|1x3，abx|1x2x|1x3x|1x2點評：本類題主要考查集合的并集和交集用描述法表示的數(shù)集，運算時常利用數(shù)軸來計算結(jié)果.變式訓(xùn)練1設(shè)ax|2x42，bx|2x40，求ab，ab.答案：abr，abx|2x32設(shè)ax|2x42，bx|2x40，求ab，ab.答案：ab3,2，ab3設(shè)ax|x是奇數(shù)，bx|x是偶數(shù)，求az，bz，ab.解：azx|x是奇數(shù)x|x是整數(shù)x|x是奇數(shù)a，bzx|x是偶數(shù)x|x是整數(shù)x|x是偶數(shù)b，abx|x是奇數(shù)x|x是偶數(shù)4已知a(x，y)|4xy6，b(x，y)|3x2y7，求ab.分析：集合a和b的元素是有序?qū)崝?shù)對(x，y)，a，b的交集即為方程組的解集解：ab(x，y)|4xy6(x，y)|3x2y7(x，y)|(1,2)5已知ax|x是等腰三角形，bx|x是直角三角形，求ab.解：abx|x是等腰三角形x|x是直角三角形x|x是等腰直角三角形.思路2例1 ax|x5，bx|x0，cx|x10，則ab，bc，abc分別是什么？活動：學(xué)生先思考集合中元素特征，明確集合中的元素將集合中元素利用數(shù)形結(jié)合在數(shù)軸上找到，那么運算結(jié)果的尋求就容易進行這三個集合都是用描述法表示的數(shù)集，求集合的并集和交集的關(guān)鍵是找出它們的公共元素和所有元素解：因ax|x5，bx|x0，cx|x10，在數(shù)軸上表示，如下圖所示，所以abx|0x5，bcx|x0，abc點評：本題主要考查集合的交集和并集求集合的并集和交集時，明確集合中的元素；依據(jù)并集和交集的含義，借助于直觀(數(shù)軸或venn圖)寫出結(jié)果.變式訓(xùn)練1設(shè)ax|x2n，nn，bx|x2n，nn，求ab，ab.解：對任意ma，則有m2n22n1，nn，因nn，故n1n，有2n1n，那么mb，即對任意ma有mb，所以ab.而10b但10a，即ab，那么aba，abb.2求滿足1,2b1,2,3的集合b的個數(shù)解：滿足1,2b1,2,3的集合b一定含有元素3，b3；還可含1或2其中一個，有1,3，2,3；還可含1和2，即1,2,3，那么共有4個滿足條件的集合b.3設(shè)a4,2，a1，a2，b9，a5,1a，已知ab9，求a.解：因ab9，則9a，a19或a29，a10或a3，當a10時，a55,1a9；當a3時，a12不合題意；當a3時，a14不合題意故a10，此時a4,2,9,100，b9,5，9，滿足ab94設(shè)集合ax|2x13，bx|3x2，則ab等于 ()ax|3x1 bx|1x2cx|x3 dx|x1解析：集合ax|2x13x|x1，觀察或由數(shù)軸得abx|3x1答案：a例2 設(shè)集合ax|x24x0，bx|x22(a1)xa210，ar，若abb，求a的值活動：明確集合a、b中的元素，教師和學(xué)生共同探討滿足abb的集合a、b的關(guān)系集合a是方程x24x0的解集，可以發(fā)現(xiàn)，ba，通過分類討論集合b是否為空集來求a的值利用集合的表示法來認識集合a、b均是方程的解集，通過畫venn圖發(fā)現(xiàn)集合a、b的關(guān)系，從數(shù)軸上分析求得a的值解：由題意得a4,0abb，ba.b或b當b時，即關(guān)于x的方程x22(a1)xa210無實數(shù)解，則4(a1)24(a21)0，解得a1.當b時，若集合b僅含有一個元素，則4(a1)24(a21)0，解得a1，此時，bx|x200a，即a1符合題意若集合b含有兩個元素，則這兩個元素是4、0，即關(guān)于x的方程x22(a1)xa210的解是4、0.則有解得a1，則a1符合題意綜上所得，a1或a1.點評：本題主要考查集合的運算、分類討論的思想，以及集合間關(guān)系的應(yīng)用已知兩個集合的運算結(jié)果，求集合中參數(shù)的值時，由集合的運算結(jié)果確定它們的關(guān)系，通過深刻理解集合表示法的轉(zhuǎn)換，把相關(guān)問題化歸為其他常見的方程、不等式等數(shù)學(xué)問題這稱為數(shù)學(xué)的化歸思想，是數(shù)學(xué)中的常用方法，學(xué)會應(yīng)用化歸和分類討論的數(shù)學(xué)思想方法解決有關(guān)問題.變式訓(xùn)練1已知非空集合ax|2a1x3a5，bx|3x22，求能使a(ab)成立的所有a值的集合解：由題意知a(ab)，即ab，a非空，得解得6a9，即所有a值的集合是a|6a92已知集合ax|2x5，集合bx|m1x2m1，且aba，試求實數(shù)m的取值范圍分析：由aba得ba，則有b或b，因此對集合b分類討論解：aba，ba. 又ax|2x5，b，或b當b時，有m12m1，m2.當b時，觀察下圖：由數(shù)軸可得解得2m3.綜上所述，實數(shù)m的取值范圍是m2或2m3，即m3.1設(shè)a3,5,6,8，b4,5,7,8，(1)求ab，ab.(2)用適當?shù)姆?、)填空：(ab)_a，b_(ab)，(ab)_a，(ab)_b，(ab)_(ab)解：(1)因a、b的公共元素為5、8，則ab3,5,6,84,5,7,85,8又a、b兩集合的元素為3、4、5、6、7、8，故ab3,4,5,6,7,8(2)(ab) a，b (ab)，(ab) a，(ab) b，(ab) (ab)2設(shè)ax|x5，bx|x0，求ab.解：因x5及x0的公共部分為0x5，故abx|x5x|x0x|0x53設(shè)ax|x是銳角三角形，bx|x是鈍角三角形，求ab.解：因三角形按角分類時，銳角三角形和鈍角三角形彼此孤立，故a、b兩集合沒有公共部分所以abx|x是銳角三角形x|x是鈍角三角形4設(shè)ax|x2，bx|x3，求ab.解：在數(shù)軸上將a、b分別表示出來，得abx|x25設(shè)ax|x是平行四邊形，bx|x是矩形，求ab.解：因矩形是平行四邊形，故由a及b的元素組成的集合為ab，abx|x是平行四邊形6已知m1，n1,2，設(shè)a(x，y)|xm，yn，b(x，y)|xn，ym，求ab，ab.分析：m、n中元素是數(shù)，a、b中元素是平面內(nèi)點集，關(guān)鍵是找其元素解：m1，n1,2，則a(1,1)，(1,2)，b(1,1)，(2,1)，故ab(1,1)，ab(1,1)，(1,2)，(2,1)7若a、b、c為三個集合，abbc，則一定有()aac bca cac da解析：思路一：(bc) b，(bc) c，abbc，(ab) b，(ab) c.abc.ac.思路二：取滿足條件的a1，b1,2，c1,2,3，排除b、d，令a1,2，b1,2，c1,2，則此時也滿足條件abbc，而此時ac，排除c.答案：a觀察：(1)集合a1,2，b1,2,3,4時，ab、ab這兩個運算結(jié)果與集合a、b的關(guān)系；(2)當a時，ab、ab這兩個運算結(jié)果與集合a、b的關(guān)系；(3)當ab1,2時，ab、ab這兩個運算結(jié)果與集合a、b的關(guān)系由(1)(2)(3)你發(fā)現(xiàn)了什么結(jié)論？活動：依據(jù)集合的交集和并集的含義寫出運算結(jié)果，并觀察與集合a、b的關(guān)系用venn圖來發(fā)現(xiàn)運算結(jié)果與集合a、b的關(guān)系(1)(2)(3)中的集合a、b均滿足ab，用venn圖表示，如下圖所示，就可以發(fā)現(xiàn)ab、ab與集合a、b的關(guān)系解：abaababb.可用類似方法，可以得到集合的運算性質(zhì)，歸納如下：abba，a (ab)，b (ab)；aaa，aa，ababb；abba；(ab) a，(ab) b；aaa；a；ababa.本節(jié)主要學(xué)習(xí)了：1集合的交集和并集2通常借助于數(shù)軸或venn圖來求交集和并集1課外思考：對于集合的基本運算，你能得出哪些運算規(guī)律？2請你舉出現(xiàn)實生活中的一個實例，并說明其并集、交集和補集的現(xiàn)實含義3書面作業(yè)：課本習(xí)題12a3、4、5.由于本節(jié)課內(nèi)容比較容易接受，也是歷年高考的必考內(nèi)容之一，所以在教學(xué)設(shè)計上注重加強練習(xí)和拓展課本內(nèi)容設(shè)計中通過借助于數(shù)軸或venn圖寫出集合運算的結(jié)果，這是突破本節(jié)教學(xué)難點的有效方法(設(shè)計者：尚大志)第2課時導(dǎo)入新課問題：分別在整數(shù)范圍和實數(shù)范圍內(nèi)解方程(x3)(x)0，其結(jié)果會相同嗎？若集合ax|0x2，xz，bx|0x2，xr，則集合a、b相等嗎？學(xué)生回答后，教師指明：在不同的范圍內(nèi)集合中的元素會有所不同，這個“范圍”問題就是本節(jié)學(xué)習(xí)的內(nèi)容，引出課題推進新課用列舉法表示下列集合：axz|(x2)(x)(x)0；bxq|(x2)(x)(x)0；cxr|(x2)(x)(x)0問題中三個集合相等嗎？為什么？由此看，解方程時要注意什么？問題，集合z、q、r分別含有所解方程時所涉及的全部元素，這樣的集合稱為全集，請給出全集的定義已知全集u1,2,3，a1，寫出全集中不屬于集合a的所有元素組成的集合b.請給出補集的定義用venn圖表示ua.活動：組織學(xué)生充分討論、交流，使學(xué)生明確集合中的元素，提示學(xué)生注意集合中元素的范圍討論結(jié)果：a2，b2，c2，不相等，因為三個集合中的元素不相同解方程時，要注意方程的根在什么范圍內(nèi)，同一個方程，在不同的范圍其解會有所不同在研究集合與集合之間的關(guān)系時，如果所要研究的集合都是某一給定集合的子集，那么稱這個給定的集合為全集，通常用u表示b2,3對于一個集合a，全集u中不屬于集合a的所有元素組成的集合稱為集合a相對于全集u的補集. 集合a相對于全集u的補集記為ua，即uax|xu，且xa如下圖所示，陰影表示補集思路1例1設(shè)ux|x是小于9的正整數(shù)，a1,2,3，b3,4,5,6，求ua，ub.活動：讓學(xué)生明確全集u中的元素，回顧補集的定義，用列舉法表示全集u，依據(jù)補集的定義寫出ua，ub.解：根據(jù)題意，可知u1,2,3,4,5,6,7,8，所以ua4,5,6,7,8；ub1,2,7,8點評：本題主要考查補集的概念和求法用列舉法表示的集合，依據(jù)補集的含義，直接觀察寫出集合運算的結(jié)果常見結(jié)論：u(ab)(ua)(ub)；u(ab)(ua)(ub).變式訓(xùn)練1已知u1,2,3,4,5,6，a1,3,5求ua，aua，aua.解：ua2,4,6，aua，auau.2已知ux|x是實數(shù)，qx|x是有理數(shù)，求uq.解：uqx|x是無理數(shù)3已知ur，ax|x5，求ua.解：uax|x5.例2 設(shè)全集ux|x是三角形，ax|x是銳角三角形，bx|x是鈍角三角形求ab，u(ab)活動：學(xué)生思考三角形的分類和集合的交集、并集和補集的含義結(jié)合交集、并集和補集的含義寫出結(jié)果ab是由集合a、b中公共元素組成的集合，u(ab)是全集中除去集合ab中剩下的元素組成的集合解：根據(jù)三角形的分類可知ab，abx|x是銳角三角形或鈍角三角形，u(ab)x|x是直角三角形.變式訓(xùn)練1已知集合ax|3x8，求ra.解：rax|x3或x82設(shè)sx|x是至少有一組對邊平行的四邊形，ax|x是平行四邊形，bx|x是菱形，cx|x是矩形，求bc，ab，sa.解：bcx|正方形，abx|x是鄰邊不相等的平行四邊形，sax|x是梯形3已知全集ir，集合ax|x2ax12b0，bx|x2axb0，滿足(ia)b2，(ib)a4，求實數(shù)a、b的值答案：a，b.4設(shè)全集ur，ax|x2，b3,4,5,6，則(ua)b等于()a4b4,5,6c2,3,4 d1,2,3,4解析：ur，ax|x2，uax|x2而4、5、6都大于2，(ua)b4,5,6答案：b思路2例1已知全集ur，ax|2x4，bx|3x3，求：(1)ua，ub；(2)(ua)(ub)，u(ab)，由此你發(fā)現(xiàn)了什么結(jié)論？(3)(ua)(ub)，u(ab)，由此你發(fā)現(xiàn)了什么結(jié)論？活動：學(xué)生回想補集的含義，教師指導(dǎo)學(xué)生利用數(shù)軸來解決依據(jù)補集的含義，借助于數(shù)軸求得在數(shù)軸上表示集合a，b.解：如下圖所示，(1)由圖得uax|x2或x4，ubx|x3或x3(2)由圖得(ua)(ub)x|x2或x4x|x3或x3x|x2或x3abx|2x4x|3x3x|2x3，u(ab)ux|2x3x|x2或x3得出結(jié)論u(ab)(ua)(ub)(3)由圖得(ua)(ub)x|x2或x4x|x3或x3x|x3或x4abx|2x4x|3x3x|3x4，u(ab)ux|3x4x|x3或x4得出結(jié)論u(ab)(ua)(ub).變式訓(xùn)練1已知集合u1,2,3,4,5,6,7，a2,4,5,7，b3,4,5，則(ua)(ub)等于()a1,6 b4,5c1,2,3,4,5,7 d1,2,3,6,7答案：d2設(shè)集合ix|x|3，xz，a1,2，b2，1，2，則a(ib)等于()a1 b1,2 c2d0,1,2答案：d例2 設(shè)全集ux|x20，xn，x是質(zhì)數(shù)，a(ub)3,5，(ua)b7,19，(ua)(ub)2,17，求集合a、b.活動：學(xué)生回顧集合的運算的含義，明確全集中的元素利用列舉法表示全集u，根據(jù)題中所給的條件，把集合中的元素填入相應(yīng)的venn圖中即可求集合a、b的關(guān)鍵是確定它們的元素，由于全集是u，則集合a、b中的元素均屬于全集u，由于本題中的集合均是有限集并且元素的個數(shù)不多，可借助于venn圖來解決解：u2,3,5,7,11,13,17,19，由題意借助于venn圖，如下圖所示，a3,5,11,13，b7,11,13,19點評：本題主要考查集合的運算、venn圖以及推理能力借助于venn圖分析集合的運算問題，使問題簡捷地獲得解決，將本來抽象的集合問題直觀形象地表現(xiàn)出來，這正體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想的優(yōu)越性.變式訓(xùn)練1. 設(shè)i為全集，m、n、p都是它的子集，則下圖中陰影部分表示的集合是()am(in)p bm(np)c(im)(in)p dmn(np)解析：思路一：陰影部分在集合m內(nèi)部，排除c；陰影部分不在集合n內(nèi)，排除b、d.思路二：陰影部分在集合m內(nèi)部，即是m的子集，又陰影部分在p內(nèi)不在集合n內(nèi)即在(in)p內(nèi)，所以陰影部分表示的集合是m(in)p答案：a2設(shè)u1,2,3,4,5,6,7,8,9，(ua)b3,7，(ub)a2,8，(ua)(ub)1,5,6，則集合a_，b_.解析：借助venn圖，如下圖，把相關(guān)運算的結(jié)果表示出來，自然地就得出集合a、b了答案：2,4,8,93,4,7,91設(shè)全集ur，ax|2x10，試用文字語言表述ua的意義解：ax|2x10即不等式2x10的解集，ua中元素均不能使2x10成立，即ua中元素應(yīng)當滿足2x10.ua即不等式2x10的解集2如下圖所示，u是全集，m，p，s是u的三個子集，則陰影部分表示的集合是_解析：觀察圖可以看出，陰影部分滿足兩個條件：一是不在集合s內(nèi)；二是在集合m、p的公共部分內(nèi)因此陰影部分表示的集合是集合s的補集與集合m、p的交集的交集，即(us)(mp)答案：(us)(mp)3設(shè)集合a、b都是u1,2,3,4的子集，已知(ua)(ub)2，(ua)b1，則a等于()a1,2 b2,3 c3,4 d1,4解析：如下圖所示由于(ua)(ub)2，(ua)b1，則有ua1,2a3,4答案：c4設(shè)全集u1,2,3,4,5,6,7,8，集合s1,3,5，t3,6，則u(st)等于 ()a b2,4,7,8 c1,3,5,6 d2,4,6,8解析：直接觀察(或畫出venn圖)，得st1,3,5,6，則u(st)2,4,7,8答案：b5已知集合i1,2,3,4，a1，b2,4，則a(ib)等于()a1 b1,3 c3 d1,2,3解析：ib1,3，a(ib)11,31,3答案：b問題：某班有學(xué)生50人，解甲、乙兩道數(shù)學(xué)題，已知解對甲題者有34人，解對乙題者有28人，兩題均解對者有20人，問：(1)至少解對其中一題者有多少人？(2)兩題均未解對者有多少人？分析：先利用集合表示解對甲、乙兩道數(shù)學(xué)題各種類型，然后根據(jù)題意寫出它們的運算，問題便得到解決解：設(shè)全集為u，a只解對甲題的學(xué)生，b只解對乙題的學(xué)生，c甲、乙兩題都解對的學(xué)生，則ac解對甲題的學(xué)生，bc解對乙題的學(xué)生，abc至少解對一題的學(xué)生，u(abc)兩題均未解對的學(xué)生由已知，ac有34個人，c有20個人，從而知a有14