人教A版選修11：2.3.1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程 課件（58張）.ppt

2 3拋物線2 3 1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程 主題1拋物線的定義1 我們?cè)诤诎迳袭?huà)一條直線l 然后取一個(gè)三角板 將一條拉鏈上邊一半的一端n固定在三角板的一條直角邊上 并將拉鏈下邊一半的一端固定在f點(diǎn) 將三角板的另一條直角邊貼在直線l上 在拉鎖p處放置一支粉筆 上下拖動(dòng)三角板 粉筆會(huì)畫(huà)出什么圖形 提示 如圖所示 會(huì)得到一條拋物線 2 通過(guò)作圖探究你發(fā)現(xiàn)了拋物線的哪些結(jié)論 用文字語(yǔ)言描述 用符號(hào)語(yǔ)言描述 動(dòng)點(diǎn)p到定直線l的距離等于它到定 點(diǎn)f的距離 pf pn 結(jié)論 拋物線的定義 平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)f和一條定直線l l不經(jīng)過(guò)點(diǎn)f 的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線 叫做拋物線的焦點(diǎn) 叫做拋物線的準(zhǔn)線 距離 相等 點(diǎn)f 直線l 主題2拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程根據(jù)拋物線的幾何特征 對(duì)于開(kāi)口向右的拋物線如何借助坐標(biāo)法求出拋物線的方程 提示 如圖 建立直角坐標(biāo)系xoy 使x軸經(jīng)過(guò)點(diǎn)f且垂直于直線l 垂足為k 并使原點(diǎn)與線段kf的中點(diǎn)重合 依據(jù)拋物線的定義 利用直接法即可求出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程 結(jié)論 y2 2px p 0 y2 2px p 0 x2 2py p 0 x2 2py p 0 微思考 1 拋物線的開(kāi)口方向與哪個(gè)量有關(guān)系 提示 拋物線的開(kāi)口方向與一次項(xiàng)及其系數(shù)的正負(fù)有關(guān)系 2 拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程中 參數(shù)p的幾何意義是什么 提示 p的值等于拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離 3 要確定拋物線的解析式 需要確定的量是什么 提示 需要確定焦點(diǎn)的位置及2p的值 預(yù)習(xí)自測(cè) 1 若動(dòng)點(diǎn)p到定點(diǎn)f 4 0 的距離與到直線x 4的距離相等 則p點(diǎn)的軌跡是 a 拋物線b 線段c 直線d 射線 解析 選a 動(dòng)點(diǎn)p的條件滿足拋物線的定義 2 已知曲線c y2 2px上一點(diǎn)p的橫坐標(biāo)為4 p到焦點(diǎn)的距離為5 則曲線c的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為 a b 1c 2d 4 解析 選c 由拋物線的定義知 p到準(zhǔn)線的距離為5 又p的橫坐標(biāo)為4 故 1 曲線c的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2 3 設(shè)a 0 a r 則拋物線y 4ax2的焦點(diǎn)坐標(biāo)為 a a 0 b a 0 c d 解析 選d x2 y 所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為 4 過(guò) 2 4 點(diǎn) 頂點(diǎn)在原點(diǎn) 焦點(diǎn)在y軸上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 解析 由已知可設(shè)拋物線方程為x2 my 將點(diǎn) 2 4 代入得4 4m 所以m 1 故拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2 y 答案 x2 y 類型一拋物線的定義及應(yīng)用 典例1 1 2016 四川高考 拋物線y2 4x的焦點(diǎn)坐標(biāo)是 a 0 2 b 0 1 c 2 0 d 1 0 2 若點(diǎn)p到定點(diǎn)f 4 0 的距離比它到定直線x 5 0的距離小1 則點(diǎn)p的軌跡方程是 a y2 16xb y2 32xc y2 16xd y2 16x或y 0 x 0 解題指南 1 根據(jù)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程求解 2 點(diǎn)p到f的距離比它到定直線x 5 0的距離小1 那么點(diǎn)p到f的距離與它到定直線x 4 0的距離相等 故利用拋物線的定義求解 解析 1 選d 由題意 y2 4x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為 1 0 2 選c 因?yàn)辄c(diǎn)f 4 0 在直線x 5 0的右側(cè) 且點(diǎn)p到點(diǎn)f 4 0 的距離比它到直線x 5 0的距離小1 所以點(diǎn)p到f 4 0 的距離與它到直線x 4 0的距離相等 故p點(diǎn)的軌跡為拋物線 且頂點(diǎn)在原點(diǎn) 開(kāi)口向右 p 8 故點(diǎn)p的軌跡方程為y2 16x 方法總結(jié) 拋物線定義的應(yīng)用要點(diǎn) 1 根據(jù)拋物線的定義 拋物線上的任意一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于它到準(zhǔn)線的距離 因此 拋物線定義的功能是可以把點(diǎn)點(diǎn)距轉(zhuǎn)化為點(diǎn)線距 從而使有關(guān)的運(yùn)算問(wèn)題變得簡(jiǎn)單 快捷 2 拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程中的p的幾何意義是 焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離 3 對(duì)于動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離比此動(dòng)點(diǎn)到定直線的距離大多少或小多少的問(wèn)題 實(shí)際上也是拋物線問(wèn)題 鞏固訓(xùn)練 2016 浙江高考 若拋物線y2 4x上的點(diǎn)m到焦點(diǎn)的距離為10 則m到y(tǒng)軸的距離是 解題指南 根據(jù)拋物線的定義求解 解析 xm 1 10 xm 9 答案 9 補(bǔ)償訓(xùn)練 若動(dòng)圓與圓 x 2 2 y2 1外切 又與直線x 1 0相切 則動(dòng)圓圓心的軌跡方程是 a y2 8xb y2 8xc y2 4xd y2 4x 解析 選a 由題意 動(dòng)圓圓心到定圓圓心的距離比它到直線x 1 0的距離大1 故動(dòng)圓圓心的軌跡是以 2 0 為焦點(diǎn) x 2為準(zhǔn)線的拋物線 其方程為y2 8x 類型二求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程 典例2 求適合下列條件的頂點(diǎn)在原點(diǎn) 0 0 處的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程 1 過(guò)點(diǎn) 3 2 2 焦點(diǎn)在直線x 2y 4 0上 解題指南 設(shè)出拋物線方程的標(biāo)準(zhǔn)形式 依據(jù)條件求出p的值 解析 1 設(shè)拋物線方程為y2 2px或x2 2py p 0 則將點(diǎn) 3 2 代入方程得2p 或2p 故拋物線方程為y2 x 或x2 y 2 令x 0 由方程x 2y 4 0得y 2 所以拋物線的焦點(diǎn)為f 0 2 設(shè)拋物線方程為x2 2py 則由 2 得2p 8 所以所求的拋物線方程為x2 8y 令y 0 由x 2y 4 0 得x 4 所以拋物線的焦點(diǎn)為f 4 0 設(shè)拋物線方程為y2 2px 由 4 得2p 16 所以所求拋物線方程為y2 16x 方法總結(jié) 1 拋物線的 一動(dòng)三定 拋物線的定義可歸為 一動(dòng)三定 即 一個(gè)動(dòng)點(diǎn)m 一個(gè)定點(diǎn)f 一條定直線l 一個(gè)定值 其中 定點(diǎn) 為拋物線的焦點(diǎn) 定直線 為拋物線的準(zhǔn)線 定值 指點(diǎn)m到點(diǎn)f的距離與它到定直線l 準(zhǔn)線 的距離之比等于1 2 拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的特征 1 等號(hào)的一邊是某變量的完全平方 另一邊是另一變量的一次項(xiàng) 2 當(dāng)對(duì)稱軸為x軸時(shí) 方程中的一次項(xiàng)就是x的一次項(xiàng) 且符號(hào)指明了拋物線的開(kāi)口方向 x的系數(shù)為正時(shí)開(kāi)口向右 為負(fù)時(shí)開(kāi)口向左 3 當(dāng)對(duì)稱軸為y軸時(shí) 方程中的一次項(xiàng)就是y的一次項(xiàng) 且符號(hào)指明了拋物線的開(kāi)口方向 y的系數(shù)為正時(shí)開(kāi)口向上 為負(fù)時(shí)開(kāi)口向下 鞏固訓(xùn)練 根據(jù)下列條件 求頂點(diǎn)在原點(diǎn) 0 0 處的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程 1 焦點(diǎn)為 2 0 2 準(zhǔn)線為y 1 3 焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是4 4 過(guò)點(diǎn) 1 2 解析 1 焦點(diǎn)在x軸的負(fù)半軸上 2 即p 4 所以拋物線的方程是y2 8x 2 焦點(diǎn)在y軸正半軸上 1 即p 2 所以拋物線的方程是x2 4y 3 p 4 拋物線的方程有四種形式 y2 8x y2 8x x2 8y x2 8y 4 點(diǎn) 1 2 在第一象限 要分兩種情形 當(dāng)拋物線的焦點(diǎn)在x軸上時(shí) 設(shè)拋物線的方程為y2 2px p 0 則22 2p 1 解得p 2 拋物線方程為y2 4x 當(dāng)拋物線的焦點(diǎn)在y軸上時(shí) 設(shè)拋物線的方程為x2 2py p 0 則12 2p 2 解得p 拋物線方程為x2 y 類型三拋物線的實(shí)際應(yīng)用 典例3 河上有拋物線形拱橋 當(dāng)水面距拱頂5米時(shí) 水面寬為8米 一小船寬4米 高2米 載貨后船露出水面的部分高米 問(wèn)水面上漲到與拋物線拱頂相距多少米時(shí) 小船開(kāi)始不能通航 解題指南 解析 如圖 建立坐標(biāo)系 設(shè)拱橋拋物線方程為x2 2py p 0 由題意 將b 4 5 代入方程得p 所以拋物線方程為x2 y 因?yàn)楫?dāng)船的兩側(cè)和拱橋接觸時(shí)船不能通航 設(shè)此時(shí)船面寬為aa 則a 2 ya 由22 ya 得ya 又知船露出水面的部分高米 設(shè)水面與拋物線拱頂相距為h 則h ya 2 米 即水面上漲到距拋物線拱頂2米時(shí) 小船開(kāi)始不能通航 方法總結(jié) 拋物線應(yīng)用題的解法 1 拋物線應(yīng)用題的解題關(guān)鍵 把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題 利用數(shù)學(xué)模型 通過(guò)數(shù)學(xué)語(yǔ)言 文字 符號(hào) 圖形 字母等 表達(dá) 分析 解決問(wèn)題 2 建立拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法 以拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn) 對(duì)稱軸為一條坐標(biāo)軸建立坐標(biāo)系 鞏固訓(xùn)練 某拋物線形拱橋跨度是20米 拱橋高度是4米 在建橋時(shí) 每4米需用一根支柱支撐 求其中最長(zhǎng)支柱的長(zhǎng) 解析 如圖 建立直角坐標(biāo)系 設(shè)拋物線方程為x2 2py p 0 依題意知 點(diǎn)p 10 4 在拋物線上 所以100 2p 4 2p 25 即拋物線方程為x2 25y 因?yàn)槊?米需用一根支柱支撐 所以支柱橫坐標(biāo)分別為 6 2 2 6 由圖知 ab是最長(zhǎng)的支柱之一 點(diǎn)b的坐標(biāo)為 2 yb 代入x2 25y 得yb 所以 ab 4 3 84 即最長(zhǎng)支柱的長(zhǎng)為3 84米 補(bǔ)償訓(xùn)練 如圖所示 一隧道內(nèi)設(shè)雙行線公路 其截面由長(zhǎng)方形的三條邊和拋物線的一段構(gòu)成 為保證安全 要求行駛車(chē)輛頂部 設(shè)為平頂 與隧道頂部在豎直方向上高度之差至少要有0 5米 1 以拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)o 其對(duì)稱軸所在的直線為y軸 建立平面直角坐標(biāo)系 如圖 求該拋物線的方程 2 若行車(chē)道總寬度ab為7米 請(qǐng)計(jì)算通過(guò)隧道的車(chē)輛限制高度為多少米 精確到0 1米 解析 如圖所示 1 依題意 設(shè)該拋物線的方程為x2 2py p 0 因?yàn)辄c(diǎn)c 5 5 在拋物線上 所以25 10p p 2 5 所以該拋物線的方程為x2 5y 2 設(shè)車(chē)輛高h(yuǎn) 則 db h 0 5 故d 3 5 h 6 5 代入方程x2 5y 解得h 4 05 所以通過(guò)隧道的車(chē)輛限制高度為4 0米 課