人教A版必修二 4.1.1圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 學(xué)案.doc

41.1圓的標(biāo)準(zhǔn)方程圓的標(biāo)準(zhǔn)方程提出問題右圖是一個(gè)公園內(nèi)的摩天輪該摩天輪總高度為160米，轉(zhuǎn)盤直徑為153米問題1：游客在摩天輪轉(zhuǎn)動(dòng)過程中離摩天輪中心的距離一樣嗎？提示：一樣圓上的點(diǎn)到圓心距離都是相等的，都是圓的半徑問題2：若以摩天輪中心所在位置為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，游客在任一點(diǎn)(x，y)的坐標(biāo)滿足什么關(guān)系？提示： .問題3：以(1,2)為圓心，3為半徑的圓上任一點(diǎn)的坐標(biāo)(x，y)滿足什么關(guān)系？提示： 3.導(dǎo)入新知圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)圓的定義：平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合叫做圓，定點(diǎn)稱為圓心，定長(zhǎng)稱為圓的半徑(2)確定圓的要素是圓心和半徑，如圖所示(3)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：圓心為c(a，b)，半徑長(zhǎng)為r的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(xa)2(yb)2r2.當(dāng)ab0時(shí)，方程為x2y2r2，表示以原點(diǎn)為圓心、半徑為r的圓化解疑難1由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，可直接得到圓的圓心坐標(biāo)和半徑大??；反過來說，給出了圓的圓心和半徑，即可直接寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，這一點(diǎn)體現(xiàn)了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的直觀性，為其優(yōu)點(diǎn)2幾種特殊位置的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：條件圓的標(biāo)準(zhǔn)方程過原點(diǎn)(xa)2(yb)2a2b2(a2b20)圓心在x軸上(xa)2y2r2(r0)圓心在y軸上x2(yb)2r2(r0)圓心在x軸上且過原點(diǎn)(xa)2y2a2(a0)圓心在y軸上且過原點(diǎn)x2(yb)2b2(b0)與x軸相切(xa)2(yb)2b2(b0)與y軸相切(xa)2(yb)2a2(a0)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系提出問題愛好運(yùn)動(dòng)的小華、小強(qiáng)、小兵三人相邀搞一場(chǎng)擲飛鏢比賽，他們把靶子釘在土墻上，規(guī)定誰的飛鏢離靶心o越近，誰獲勝如圖a，b，c分別是他們擲一輪飛鏢的落點(diǎn)看圖回答下列問題：?jiǎn)栴}1：點(diǎn)與圓的位置關(guān)系有幾種？提示：三種點(diǎn)在圓外、圓上、圓內(nèi)問題2：如何判斷他們的勝負(fù)？提示：利用點(diǎn)與圓心的距離導(dǎo)入新知點(diǎn)與圓的位置關(guān)系圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(xa)2(yb)2r2，圓心c(a，b)，半徑為r.設(shè)所給點(diǎn)為m(x0，y0)，則位置關(guān)系判斷方法幾何法代數(shù)法點(diǎn)在圓上mcr點(diǎn)m在圓c上點(diǎn)m(x0，y0)在圓上(x0a)2(y0b)2r2點(diǎn)在圓內(nèi)mcr點(diǎn)m在圓c外點(diǎn)m(x0，y0)在圓外(x0a)2(y0b)2r2化解疑難1點(diǎn)與圓的位置關(guān)系有三種：點(diǎn)在圓內(nèi)，點(diǎn)在圓上，點(diǎn)在圓外2判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系常用幾何法和代數(shù)法求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程例1過點(diǎn)a(1，1)，b(1,1)且圓心在直線xy20上的圓的方程是()a(x3)2(y1)24b(x3)2(y1)24c(x1)2(y1)24d(x1)2(y1)24答案c類題通法確定圓的標(biāo)準(zhǔn)方程就是設(shè)法確定圓心c(a，b)及半徑r，其求解的方法：一是待定系數(shù)法，建立關(guān)于a，b，r的方程組，進(jìn)而求得圓的方程；二是借助圓的幾何性質(zhì)直接求得圓心坐標(biāo)和半徑一般地，在解決有關(guān)圓的問題時(shí)，有時(shí)利用圓的幾何性質(zhì)作轉(zhuǎn)化較為簡(jiǎn)捷活學(xué)活用求下列圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)圓心是(4，1)，且過點(diǎn)(5,2)；(2)圓心在y軸上，半徑長(zhǎng)為5，且過點(diǎn)(3，4)；(3)求過兩點(diǎn)c(1,1)和d(1,3)，圓心在x軸上的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程解：(1)圓的半徑長(zhǎng)r，故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x4)2(y1)210.(2)設(shè)圓心為c(0，b)，則(30)2(4b)252，解得b0或b8，則圓心為(0,0)或(0，8)又半徑r5，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2y225或x2(y8)225.(3)直線cd的斜率kcd1，線段cd中點(diǎn)e的坐標(biāo)為(0,2)，故線段cd的垂直平分線的方程為y2x，即yx2，令y0，得x2，即圓心為(2,0)由兩點(diǎn)間的距離公式，得r.所以所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x2)2y210.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系例2如圖，已知兩點(diǎn)p1(4,9)和p2(6,3)(1)求以p1p2為直徑的圓的方程；(2)試判斷點(diǎn)m(6,9)，n(3,3)，q(5,3)是在圓上，在圓內(nèi)，還是在圓外解(1)設(shè)圓心c(a，b)，半徑長(zhǎng)為r，則由c為p1p2的中點(diǎn)，得a5，b6.又由兩點(diǎn)間的距離公式得r|cp1|，故所求圓的方程為(x5)2(y6)210.(2)由(1)知，圓心c(5,6)，則分別計(jì)算點(diǎn)到圓心的距離：|cm|，|cn|，|cq| 3.因此，點(diǎn)m在圓上，點(diǎn)n在圓外，點(diǎn)q在圓內(nèi)類題通法1判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的方法(1)只需計(jì)算該點(diǎn)與圓的圓心距離，與半徑作比較即可；(2)把點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，判斷式子兩邊的符號(hào)，并作出判斷2靈活運(yùn)用若已知點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，也可利用以上兩種方法列出不等式或方程，求解參數(shù)范圍活學(xué)活用若點(diǎn)(1,1)在圓(xa)2(ya)24的內(nèi)部，則a的取值范圍是()aa|1a1ba|0a1ca|a1或a1da|a1答案：a10求解圓的方程中漏解典例已知某圓圓心在x軸上，半徑長(zhǎng)為5，且截y軸所得線段長(zhǎng)為8，求該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程解法一：如圖所示，由題設(shè)|ac|r5，|ab|8，|ao|4.在rtaoc中，|oc| 3.設(shè)點(diǎn)c坐標(biāo)為(a,0)，則|oc|a|3，a3.所求圓的方程為(x3)2y225，或(x3)2y225.法二：由題意設(shè)所求圓的方程為(xa)2y225.圓截y軸線段長(zhǎng)為8，圓過點(diǎn)a(0,4)代入方程得a21625，a3.所求圓的方程為(x3)2y225，或(x3)2y225.易錯(cuò)防范1若解題分析只畫一種圖形，而忽略兩種情況，考慮問題不全面，漏掉圓心在x軸負(fù)半軸的情況而導(dǎo)致出錯(cuò)2借助圖形解決數(shù)學(xué)問題，只能是定性分析，而不能定量研究，要定量研究問題，就要考慮到幾何圖形的各種情況成功破障圓心在直線2xy70上的圓c與y軸交于兩點(diǎn)a(0，4)，b(0，2)，則圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程為_答案：(x2)2(y3)25隨堂即時(shí)演練1圓(x1)2(y2)24的圓心、半徑分別是()a(1，2)，4b(1，2)，2c(1,2)，4 d(1,2)，2答案：d2點(diǎn)p(m,5)與圓x2y224的位置關(guān)系是()a在圓外 b在圓內(nèi)c在圓上 d不確定答案：a3圓(x3)2(y1)225上的點(diǎn)到原點(diǎn)的最大距離是_答案：54經(jīng)過原點(diǎn)，圓心在x軸的負(fù)半軸上，半徑為2的圓的方程是_答案：(x2)2y245求以a(2,2)，b(5,3)，c(3，1)為頂點(diǎn)的三角形的外接圓的方程答案：(x4)2(y1)25課時(shí)達(dá)標(biāo)檢測(cè)一、選擇題1已知點(diǎn)p(3,2)和圓的方程(x2)2(y3)24，則它們的位置關(guān)系為()a在圓心b在圓上c在圓內(nèi) d在圓外答案：c2以p(2,3)為圓心，且與y軸相切的圓的方程是()a(x2)2(y3)24b(x2)2(y3)24c(x2)2(y3)29d(x2)2(y3)29答案：b3圓心在y軸上，半徑為1，且過點(diǎn)(1,2)的圓的方程為()ax2(y2)21bx2(y2)21c(x1)2(y3)21dx2(y3)21答案：a4已知圓c經(jīng)過點(diǎn)p(2,4)和點(diǎn)q(4,4)，直徑為2，則圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程為()a(x1)2(y3)210b(x1)2(y5)210c(x1)2(y3)210或(x1)2(y5)210d(x1)2(y3)210或(x1)2(y5)210答案：d5當(dāng)a為任意實(shí)數(shù)時(shí)，直線(a1)xya10恒過定點(diǎn)c，則以c為圓心，為半徑的圓的方程為()a(x1)2(y2)25b(x1)2(y2)25c(x1)2(y2)25d(x1)2(y2)25答案：c二、填空題6圓心為直線xy20與直線2xy80的交點(diǎn)，且經(jīng)過原點(diǎn)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是_答案：(x2)2(y4)2207點(diǎn)(51，)在圓(x1)2y226的內(nèi)部，則a的取值范圍是_答案：0,1)8若圓心在x軸上，半徑為的圓c位于y軸左側(cè)，且與直線x2y0相切，則圓c的方程是_答案：(x5)2y25三、解答題9求經(jīng)過點(diǎn)a(1,4)，b(3,2)兩點(diǎn)且圓心在y軸上的圓的方程解：法一：設(shè)圓心坐標(biāo)為(a，b)圓心在y軸上，a0.設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2(yb)2r2.該圓過a，b兩點(diǎn)，解得所求圓的方程為x2(y1)210.法二：線段ab的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1,3)，kab，弦ab的垂直平分線方程為y32(x1)，即y2x1.由解得點(diǎn)(0,1)為所求圓的圓心由兩點(diǎn)間的距離公式，得圓的半徑r，所求圓的方程為x2(y1)210.10求過