高中數(shù)學 221《雙曲線及其標準方程》同步課件 新人教A版選修11.ppt

2 2雙曲線 1 知識與技能記住雙曲線的定義 會推導雙曲線的標準方程 2 過程與方法會用待定系數(shù)法確定雙曲線的方程與橢圓的標準方程比較 加以區(qū)分 本節(jié)重點 雙曲線的定義及其標準方程 本節(jié)難點 雙曲線標準方程的推導 1 對于雙曲線定義的理解 要抓住雙曲線上的點所要滿足的條件 即雙曲線上點的幾何性質(zhì) 可以類比橢圓的定義來理解 2 在理解雙曲線的定義時 要注意到對 定值 的限定 即定值大于零且小于 f1f2 這樣就能避免忽略兩種特殊情況 即 當定值等于 f1f2 時 軌跡是兩條射線 當定值大于 f1f2 時 點不存在 3 類比橢圓標準方程的推導方法 建立適當坐標系 推導出雙曲線的標準方程 但要注意在橢圓標準方程推導中 是令b2 a2 c2 而在雙曲線標準方程的推導過程中 是令b2 c2 a2 1 當用雙曲線的定義來求解雙曲線的標準方程時 可直接求出a b 寫出對應的方程 而無須由距離公式寫出推導過程 2 利用待定系數(shù)法求雙曲線的標準方程時 應先判斷焦點所在位置 不能確定時應分類討論 3 已知雙曲線上一點與兩焦點構(gòu)成的三角形問題 往往利用正弦定理 余弦定理以及雙曲線的定義列出關(guān)系式 4 當利用雙曲線的定義求解軌跡方程問題時 要注意應用數(shù)形結(jié)合的思想方法 5 利用待定系數(shù)法求雙曲線標準方程的步驟 1 確定焦點位置 根據(jù)條件判定雙曲線的焦點在x軸上還是在y軸上 還是兩坐標軸都有可能 3 確立參數(shù)的關(guān)系式 根據(jù)已知條件列出關(guān)于a b c的方程組 4 解方程組 定形式 解上述方程組 得到參數(shù)a b c的值 代入所設(shè)方程即為所求 1 在平面內(nèi)到兩個定點f1 f2距離之差的絕對值等于定值2a 大于0且小于 f1f2 的點的軌跡叫做 這兩個定點叫做雙曲線的 兩焦點之間的距離叫做雙曲線的 2 在雙曲線的定義中 條件0 f1f2 則動點的軌跡是 3 雙曲線定義中應注意關(guān)鍵詞 若去掉定義中 三個字 動點軌跡只能是 雙曲線 焦點 焦距 兩條射線 不存在 絕對值 絕對值 雙曲線一支 點評 求雙曲線的標準方程一般應先判定焦點所在的坐標軸 其次再確定a b的值 若已知雙曲線經(jīng)過兩個定點 求雙曲線方程 設(shè)所求雙曲線方程為ax2 by2 1 ab 0 列出關(guān)于a b的二元一次方程組 求出a b既避免了討論又降低了未知數(shù)的次數(shù) 大大減少所需的運算 體現(xiàn)了由繁至簡的化歸思想 例2 已知圓c1 x 3 2 y2 1和圓c2 x 3 2 y2 9 動圓m同時與圓c1與圓c2相外切 求動圓圓心m的軌跡方程 解析 如圖所示 設(shè)動圓m與圓c1及圓c2分別外切于點a和b 根據(jù)兩圓外切的充要條件 得 mc1 ac1 ma mc2 bc2 mb ma mb mc1 ac1 mc2 bc2 mc2 mc1 bc2 ac1 3 1 2 這表明動點m與兩定點c2 c1的距離的差是常數(shù)2 根據(jù)雙曲線的定義 動點m的軌跡為雙曲線的左支 點m與c2的距離大 與c1的距離小 這里a 1 c 3 則b2 8 設(shè)點m的坐標為 x y 則其軌跡方程為x2 1 x 0 點評 1 本題是用定義法求動點的軌跡方程 當判斷出動點的軌跡是雙曲線的一支 且可求出a b時 直接根據(jù)定義寫出其標準方程 而無需用距離公式寫出方程 再通過復雜的運算進行化簡 2 由于動點m到兩定點c2 c1的距離的差為常數(shù) 而不是差的絕對值為常數(shù) 因此 其軌跡只能是雙曲線的一支 這一點要特別注意 已知 abc的底邊bc長為12 且底邊固定 頂點a是動點 使sinb sinc sina 求點a的軌跡 解析 由雙曲線的對稱性 可設(shè)點p在第一象限 由雙曲線的方程 知a 3 b 4 c 5 由雙曲線的定義 得 pf1 pf2 2a 6 上式兩邊平方 得 pf1 2 pf2 2 36 2 pf1 pf2 36 64 100 由余弦定理 得 點評 在焦點三角形中 正弦定理 余弦定理 雙曲線的定義等是經(jīng)常使用的知識點 另外 還經(jīng)常結(jié)合 pf1 pf2 2a 運用平方的方法 建立它與 pf1 pf2 的聯(lián)系 請同學們多加注意 解析 設(shè)雙曲線的左焦點為f1 右焦點為f2 如圖所示 由雙曲線的定義知 pf1 pf2 2a 在 f1pf2中 由余弦定理 得 例4 設(shè)聲速是am s 在相距10am的a b兩個哨所 聽到一炮彈爆炸聲的時間相差6s 且b處的聲強是a處聲強的4倍 試確定炮彈爆炸點p的位置 即確定p點到ab中點m的距離及 pmb的大小 注 聲強與距離的平方成反比 點評 本題是實際問題 必須抽象為數(shù)學問題 建立數(shù)學模型后 利用所學知識解決 本題符合雙曲線的定義 故可利用雙曲線方程求解 例5 已知雙曲線8kx2 ky2 8的一個焦點為 0 3 求k的值 一 選擇題1 已知兩定點f1 5 0 f2 5 0 動點p滿足 pf1 pf2 2a 則當a 3和5時 p點的軌跡為 a 雙曲線和一直線b 雙曲線和一條射線c 雙曲線的一支和一條射線d 雙曲線的一支和一條直線 答案 c 解析 當a 3時 pf1 pf2 2a 6 f1f2 10 由雙曲線定義知 p點軌跡是雙曲線的右支 當a 5時 pf1 pf2 2a 10 f1f2 p點軌跡是以f2為始點的一條射線 2 在方程mx2 my2 n中 若mn 0 則方程的曲線是 a 焦點在x軸上的橢圓b 焦點在x軸上的雙曲線c 焦點在y軸上的橢圓d 焦點在y軸上的雙曲線 答案 d 答案 a 解析 a2 20 b2 5 c2 25 c 5 焦距2c