素材：高中數(shù)學(xué)備課參考數(shù)學(xué)通報(bào)數(shù)學(xué)問(wèn)題解答0207.doc

2002年第 7期數(shù)學(xué)通報(bào)46 數(shù)學(xué)問(wèn)題解答 2002年 6月號(hào)問(wèn)題解答 |P1 P3 | 2 (解答由問(wèn)題提供人給出 ) =| AP1 | 2 +| AP3 | 2 -2 | AP1 | | AP3 | 1376若實(shí)數(shù) a、b、x、y滿足 ax+by = 3 , ax 2 + cos P1 AP3 2 33 44by = 7 ,ax +by = 16 ,ax +by = 4222 21 2 a 求 ax 5 + by 5的值= 1 + a+ 1 + a-2 1 + 出自于郭要紅、戴普慶編著的中學(xué)數(shù)學(xué)研1 cos60 究 ,安徽大學(xué)出版社 ,1998年 11月 P96第 17題解因?yàn)?ax 3 + by3 = 16所以 ( ax 3 + by3)( x+y) = 16 (x + y)所以 ( ax 4 + by4) + xy (ax 16 (x + y)設(shè)正 ABC ,正 P1 P2 P3的外接圓半徑分即 42 + 7 xy = 別為 r1 ,r2 ,則 因?yàn)?ax 所以 ( ax 7 (x+y)r12 = 33 a 2 = 31 a 2 ,r22 所以 (ax = 7 (x + y)2 | | 即 16 + 3 xy = 7 (x + y) = 31 a 2 (+ 11 +-) 2 .把 聯(lián)立起來(lái)組成方程組 建立如圖所示的直角坐標(biāo)系 ,設(shè) POx = ,16 (x+y) -7 xy = 42 則 7 (x+y) -3 xy = 1622 解得 x+y =-14. xy =-38| PP1 |= r1 +r2 -2 r1 r2cos (90-), 22 又因?yàn)?ax 4 + by4 = 42| PP2 |= r1 +r2 -2 r1 r2cos (210-) 所以 ( ax 4 + by4)( x+y) = 42 (x+y)= r12 +r22 + 2 r1 r2cos(30-), 所以 ( ax 5 + by5) + xy (ax 3 + by3) |PP3 |= r12 +r22 -2 r1 r2cos (30+ ).= 42 (x + y)所以 ax 5 + by5 = 42 (x+y) -16 xy 由海倫公式知 = 42 (-14)-16 (-38)S = P(P-a)( P-b)( P-c) P= 1 (a+ b+c)2 =-588 + 608 = 20 1377設(shè) P1、P2、P3分別= 41 (a+b+c)( a+b -c)( c+a -b)( b+c -a) 是邊長(zhǎng)為 a的正 AB C三= 1 (a + b) 2 -c 2c 2 -(a-b) 2邊 AB、BC、CA所在直線上4的點(diǎn) ,且 P1、P2、P3分別分= 14(a+ b) 2 +(a-b) 2c 2 -(a 2 -b2) 2 -c 4 線段 AB、BC、CA之比為 ( -1). P為正 ABC= 12 (a 2 +b2)c 2 -(a 2 -b2) 2 -c 4 外接圓 O上任一點(diǎn) .問(wèn) :以 4 | PP1 | 2 +| PP2 | 2 = 2 (r12 +r22)-PP1、PP2、PP3為邊的三角形的面積是否是定值 ? cos(90-)-cos(30-)(湖北黃石二中楊志明 435000)2 =r12 r2(r12 +r2 + 4 r1 r2sin (60-) sin30 解依題意知 22) + )= 2 (r12 +r2 + 2 r1 r2cos(30 | AP1 | =| BP2 | =| CP3 |= a. |PP1 | 2 -| PP2 | 2 = 2 r1 r2cos(90-)+ 1 1 + a.cos (30-)= 4 r1 r2cos(60-) cos30 | BP1 | =| CP2 | =| AP3 |= 1 + = 23 r1 r2sin (30+ )由平面幾何知識(shí)知 AP1 P3 BP1 P2 2 (| PP1 | 2 +| PP2 | 2)| PP3 | 2 -(| PP1 | 2 CP2 P3所以 P1 P2 =P2 P3 =P3 P1 .所以 P1 P2 P3| PP2 | 2) 2 -| PP3 | 4 = 4r12 +r22 +r1 r2cos(30+ 是正三角形 .) r12 +r22 -2 r1 r2cos (30 + ) 在 AP1 P3中 ,由余弦定理知 12 r12 r22sin2 (30+)-r12 +r22 -2 r1 r2cos(30+ 2002年第 7期數(shù)學(xué)通報(bào))2 = 3r12 +r22 -2 r1 r2cos(30+ )2 + 12 r1 r2cos(30+)r12 +r22 -2 r1 r2cos (30+) 2 222) 2 -12 r1 r22sin2 (30+)= 3 (r1 +r2 -12 (r1 + 22 r22)r1 r2cos (30+ )+ 12 r1 r2 cos 2 (30+ )+ 2 2212 (r1 +r22)r1 r2cos (30+)-24 r1 r2 cos 2 (30+ 22 2) 2)-12 r1 r22sin2 (30+ )= 3 (r1 +r2 12 r12 r22cos 2 (30+)+ sin2 (30+)= 3 (r12 + 2) 22) 222 2 r2 -12 r1 r2 = 3 (r1 -r2 . 1S = b2 +c2 b+ -1 c(2) c 2 +a 2 a+ 2 -1 c(3)將 (1) +(2) +(3)得 : 2 222b2 a +b2 + +c+ c+a 2 a+ 2 b+ 2 -1 c = 2 (a+b+c) + (a-c)2 2 2 -2 (a-c) = 2 (a+b+c) + 2 ,因?yàn)?a b c,所以 2 (a-c) =(a-b)+(b-c)+(a-c) =| a-b|+| b-c|+| c-a|所以 a 2 +b2 +b2 +c2 +c 2 +a 2 2 (a+b+c) + 2 -(| a-b|+| b-c|+| c-a| ) (4)2 將 (4)式兩邊同除以 a+b+c得 : 2 222b2 a +b2 + +c+ c+a +a+b+c (| a-b|+| b-c|+| c-a| )2 ,2 (a + b+ c) 又由 a,b,c是 AB C的邊長(zhǎng)可知 ,當(dāng) a= = c,或 ( a, b,c) (a,a,0)時(shí) (1) ,(2) ,(3)式時(shí)取等號(hào) ,所以當(dāng) a= b=c,或 ( a, b,c) (a,a,0)時(shí) ( 3 )式等號(hào)成立 .故命題得證 . 1380已知函數(shù) f ( n)是定義在 N+上的增函數(shù) ,且滿足 ff ( n)= 3 n,求 f(2001). (浙江湖州市雙林中學(xué)李建潮 313012)解由題設(shè) ,顯然有 f ( n) N+,且 f(3 n) = 3f(n) ( n N+) (1)以下分三步求 f(2001); ( a)求 f(1)與 f(2): 2002年第 7期數(shù)學(xué)通報(bào)48 顯然 f(1) 1 ,假設(shè) f(1) 3 ,則由題設(shè)可得 f(3) 3 ,且 3 1 =ff(1)f(3) 3矛盾 ,因此 ,f (1)= 2.于是在題設(shè) ff ( n) = 3 n( n N +)中 ,令 n= 1立得 f(2)= 3. ( b)證不等式 : f(n + 1) f(n) + 3 (n N+) (2)假設(shè) (2)式不真 ,即存在 n0 N+,使得 f(n0 + 1) f (n0)+ 3 ,則由題設(shè) 3 (n0 + 1) =ff(n0 + 1) ff(n0)+ 3 (江蘇省蘇州市第十中學(xué)沈建平ff(n0)+ 3 = 3 n0 + 3215006) 矛盾 ,因此 ,(2)式成立. 1383設(shè) E是ABC內(nèi)的一( c)最后 ,求 f(2001):= ACE, F由 f(1)= 2 ,f (2) = 3及 (1)、 分線的垂線的垂足 ,D是BC中= 6-18 =-72 f(2001)= 3f(667) 34 f(25) -6-72 = 34 f(33)-558 = 34 33 f(1)-558 37 = 2 -558 = 3816 (3) f(2001)= 3f(667) 3f(666)+ 3 = 3f(32 74)+ 9 = 33 f(74)+ 9 33f(72)+ 6+ 9 = 33 f(32 8)+ 171 = 35 f(8)+ 171 35f(6)+ 6+ 171 = 36 f(2)+ 6 35 + 171 = 36 3 + 1629 = 3816 (4)于是 ,由 (3) ,(4)二式 ,得知 : f(2001)= 3816 2002年 7月號(hào)問(wèn)題 (來(lái)稿請(qǐng)注明出處編者) 1381設(shè) P1 P2 P3是 3個(gè)相鄰素?cái)?shù) ,(即 p1與 p2中間無(wú)素?cái)?shù) ,p2與 p3中間無(wú)素?cái)?shù))已知15 8 p1 +p2 +p3試證p3 -p1 6 (湖南吉首大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)系彭明海416000) 1382求 | | x1 -x2 |-x3 |- -x2002 |的最大值 ,這里 x1 ,x2 , x2002是 1 ,2 , ,2002中的不同自然數(shù). 點(diǎn) ,延長(zhǎng) DF與BAC的外角平分線交于 G,證明 : EG與 BAC的外角平分線垂直. (安徽師大數(shù)學(xué)系郭要紅241000) 1384如圖 ,在ABC中 ,D分 BC之比為,E分 CA之比為,求 F分 BE之比 (江蘇大豐高級(jí)中學(xué)劉正軍224100) 1385設(shè)橢圓 C的離心率為 e, F1 ,F2為二焦點(diǎn) ,P是橢圓上任一點(diǎn) ,(P不在長(zhǎng)軸頂點(diǎn) ) ,r,R分別是 PF1 F2的內(nèi)切圓 ,外接圓的半徑.求證 Rr 2 e(1 -e) (江蘇江都市大橋高級(jí)中學(xué)黨慶壽225211) (上接 45頁(yè))軌跡是 y= 0 ,x 3 a.定理 3證畢.圖 4綜上 :當(dāng) a,