人教版數學八年級下冊第17章 17.2勾股定理的逆定理.docx

17.2勾股定理的逆定理(2)教學目標一、知識與技能能運用勾股定理的逆定理解決簡單的實際問題二、過程與方法1經歷將實際問題轉化為數學模型的過程，體會用勾股定理的逆定理解決實際問題的方法，發(fā)展學生的應用章識2在解決實際問題的過程中，體驗解決問題的策略，發(fā)展學生的實踐能力和創(chuàng)新精神3在解決實際問題的過程中，學會與人合作，并能與他人交流思維過程和結果，形成反思的意識三、情感態(tài)度與價值觀1在用勾股定理的逆定理探索解決實際問題的過程中獲得成功的體驗，鍛煉克服困難的意志，建立學習數學的自信心2在解決實際問題的過程中，形成實事求是的態(tài)度以及進行質疑和獨立思考問題的習慣教學重點運用勾股定理的逆定理解決實際問題教學難點將實際問題轉化成用勾股定理的逆定理解決的數學問題教具準備多媒體課件教學過程一、創(chuàng)設問題情境，引入新課活動1問題1：小紅和小軍周日去郊外放風箏，風箏飛得又高又遠，他倆很想知道風箏離地面到底有多高，你能幫助他們嗎?問題2：如下圖所示是一尊雕塑的底座的正面，李叔叔想要檢測正面的AD邊和BC邊是否垂直于底邊AB，但他隨身只帶了卷尺 (1)你能替他想想辦法完成任務嗎? (2)李叔叔量得AD的長是30厘米，AB的長是40厘米，BD的長是50厘米，AD邊垂直于AB邊嗎? (3)小明隨身只有一個長度為20厘米的刻度尺，他能有辦法檢驗AD邊是否垂直于AB邊嗎?BC邊與AB邊呢?設計意圖：通過對兩個實際問題的探究，讓學生進一步體會到勾股定理和勾股定理的逆定理在實際生活中的廣泛應用，提高學生的應用意識，發(fā)展學生的創(chuàng)新精神和應用能力在將實際問題轉化為數學問題時，肯定要有一定的困難，教師要給學生充分的時間和空間去思考，從而發(fā)現解決問題的途徑師生行為：先由學生自主獨立思考，然后分組討論，交流各自的想法教師應深入到學生的討論中去，對于學生出現的問題，教師急時給予引導在此活動中，教師應重點關注學生，能否獨立思考，尋找解決問題的途徑能否積極主動地參加小組活動，與小組成員充分交流，且能靜心聽取別人的想法能否由此活動，激發(fā)學生學習數學的興趣生：對于問題1，我們組是這樣考慮的：小紅拉著風箏站在原地，小軍到風箏的正下方也就是說小軍的頭頂就是風箏小紅放線，使線端到達他所站的位置，然后在線端做一記號，最后收回風箏，量出放出的風箏線的總長度AB，再量出小明和小軍所站位置的兩點間的距離BC，利用勾股定理便可以求出AB的長度(如下圖所示)生：對于問題2，我們組是這樣考慮的：李叔叔隨身只帶卷尺檢測AD，BC是否與底邊垂直，也就是要檢測DAB90，CBA90，連接BD或AC，也就是要檢測DAB和CBA是否為直角三角形很顯然，這是一個需要用勾股定理的逆定理來解決的實際問題根據我們的分析，用勾股定理的逆定理來解決，要檢測DAB是否為直角三角形，即DAB90，李叔叔只需用卷尺分別量出AB，BD、DA的長度，然后計算AB2DA2和BD2，看他們是否相等，若相等，則說明ADAB，同理可檢測BC是否垂直于AB師：很好，對于問題2中的第(2)個小問題，李叔叔已量得AD，AB，BD的長度，根據他量出的長度能說明DA和AB垂直嗎?生：可以，因為AD2AB23024022500，而BD22500，所以AD2AB2BD2可得AD與AB垂直師：小明帶的刻度尺長度只有20厘米，他有辦法檢驗AD與AB邊的垂直嗎?生：可以利用分段相加的方法量出AD，AB，BD的長度生：這樣做誤差太大，可以AB，AD上各量一段較小的長度例如在AB邊上量一小段AE8cm，在AD邊上量一小段AF6cm，而AE2AF282626436100102，這時只要量一下EF是否等于10cm即可如果EF10cm，EF2100，則有AE2AF2EF2，根據勾股定理的逆定理可知AEF是直角三角形，EAF90即DAB90所以ADAB；如果EF10cm，則EF2100，所以AE2AF2EF2，AEF不是直角三角形，即AD不垂直于AB師：看來，同學們方法還真多，沒有被困難嚇倒，祝賀你們接下來，我們繼續(xù)用勾股定理的逆定理解決幾個問題二、講授新課活動2問題：例1判斷由線段a、b、c組成的三角形是不是直角三角形 (1)a15，b8，c17； (2)a13，b14，c15； (3)求證：m2n2，m2n2，2mn(mn，m，n是正整數)是直角三角形的三條邊長設計意圖：進一步讓學生體會用勾股定理的逆定理，實現數和形的統(tǒng)一，第(3)題又讓學生從一次從一般形式上去認識勾股數，如果能讓學生熟記幾組勾股數，我們在判斷三角形的形狀時，就可以避開很麻煩的運算師生行為：先由學生獨立完成，然后小組交流教師應巡視學生解決問題的過程，對成績較差的同學給予指導在此活動中，教師應重點關注學生：能否用勾股定理的逆定理判斷三角形的形狀。能否發(fā)現問題，反思后及時糾正能否積極主動地與同學交流意見生：根據勾股定理的逆定理，判斷一個三角形是不是直角三角形，只要看兩條較小邊長的平方和是否等于最大邊長的平方解：(1)因為1528222564289， 172289，所以15282172，這個三角形是直角三角形 (2)因為132142169196365 152225所以132142152這個三角形不是直角三角形生：要證明它們是直角三角形的三邊，首先應判斷這三條線段是否組成三角形，然后再根據勾股定理的逆定理來判斷它們是否是直角三角形的三邊長 (3)證明： mn、m、n是正整數 (m2n2)(m2n2)2m22mn，即(m2n2)(m2n2)2mn又因為(m2n2)2mnm2n(2mn)，而2mnm(mn)0，所以(m2n2)2mnm2n2這三條線段能組成三角形又因為(m2n2)2m4n42m2n2 (m2n2)2m4n42m2n2 (2mn)24m2n2，所以(m2n2)2(2mn)2m4n42m2n24m2n2m4n42m2n2(m2n2)2所以，此三角形是直角三角形，m2n2、2mn、m2n2(mn、m、n是正整數)這三邊是直角三角形的三邊師：我們把像15、8、7這樣，能夠成為三角形三條邊長的三個正整數，稱為勾股數而且我們不難發(fā)現m2n2、m2n2、2mn也是一組勾股數，而且這組勾股數由于m可取值的不同會得到不同的勾股數，例如m2，n1時，m2n222123，m2n222125，2mn2214，而3、4、5就是一組勾股數你還能找到不同的勾股數嗎?生：當m3，n2時，m2n232225，m2n213，2mn23212，所以5、12、13也是一組勾股數，當m4，n2時，m2n2422212，m2n220，2mn24216，所以12、16、20也是一組勾股數 師：由此我們發(fā)現，勾股數組有無數個，而上面介紹的就是尋找勾股數組的一種方法 17世紀，法國數學家費馬也研究了勾股數組的問題，并且在這個問題的啟發(fā)下，想到了一個更一般的問題，1637年，他提出了數學史上的一個著名猜想費馬大定理，即當n2時，找不到任何的正整數組，使等式xnynzn成立，費馬大定理公布以后，引起了各國優(yōu)秀數學家的關注，他們圍繞著這個定理頑強地探索著，試圖來證明它1995年，英籍數學家懷爾斯終于證明了費馬大定理，解開了這個困惑世間無數智者300多年的謎活動3問題：例2“遠航”號，“海天”號輪船同時離開港口，各自沿一固定方向航行，“遠航”號每小時航行16海里，“海天”號每小時航行12海里，它們離開港口一個半小時后相距30海里，如果知道“遠航”號沿東北方向航行，能知道“海天”號沿哪個方向航行嗎?設計意圖：讓學生體會勾股定理的逆定理在航海中的應用，從而樹立遠大理想，更進一步體會數學的實用價值，師生行為：教師先鼓勵學生根據題意畫出圖形，然后小組內交流討淪，教師需巡視，對有困難的學生一個啟示，幫助他們尋找解題的途徑在此活動中，教師應重點關注：學生能否根據題意畫出圖形學生能否積極主動地參與活動學生是否充滿信心解決問題生：我們根據題意畫出圖形，(如下圖)，可以看到，由于“遠航”號的航向已知，如果求出兩艘輪船的航向所成的角，就能知道“海天”號的航向了解：根據題意畫出下圖 PQ161.524， PR121.518，QA30因為242182302，即PQ2PR2QR2所以QPR90由“遠航”號沿東北方向航行可知，QPS45，所以RPS45，即“海天”號沿西北或東南方向航行三、鞏固提高活動4問題：A、B、C三地兩兩距離如下圖所示，A地在B地的正東方向，C地在B地的什么方向?設計意圖：進一步熟練掌握勾股定理的逆定理的應用師生行為：由學生獨立完成后，由一個學生板演，教師講解解：BC2AB252122169， AC2132169，所以BC2AB2AC2，即BC的方向與BA方向成直角，ABC90，C地應在B地的正北方向四、課時小結活動5問題：談談這節(jié)課的收獲有哪些?掌握勾股定理及逆定理，來解決簡單的應用題，會判斷一個三角形是直角三角形設計意圖：這種形式的小結，激發(fā)了學生的主動參與意識，調動了學生的學習興趣，為每一位學生都創(chuàng)造了在數學學習活動中獲得成功體驗的機會師生行為：教師課前可準備一組小卡片，卡片上寫上針對這節(jié)課內容不同形式的小問題，請同學們抽簽回答板書設計17.2 勾股定理的逆定理1勾股定理的逆定理一實際問題(判定直角三角形的形狀)2勾股數組3在實際生活中的應用活動與探究如下圖，在正方形ABCD中E是BC的中點，F為CD上一點，且CFCD求證：AEF是直角三角形過程：要證AEF是直角三角形，由勾股定理的逆定理，只要證AE2EF2AF2即可利用代數方法(即