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圓切線(xiàn)的證明及有關(guān)計(jì)算(一)一、課標(biāo)要求了解切線(xiàn)的概念:探索切線(xiàn)與過(guò)切點(diǎn)的半徑之間的關(guān)系;能判定一條直線(xiàn)是否為圓的切線(xiàn)。會(huì)過(guò)圓上一點(diǎn)畫(huà)圓的切線(xiàn)。二、教學(xué)目標(biāo)1歸納直線(xiàn)與圓相切的性質(zhì)和判定方法以及切線(xiàn)長(zhǎng)定理,并能運(yùn)用這些知識(shí)進(jìn)行計(jì)算和證明;2在計(jì)算與證明中培養(yǎng)學(xué)生的分析問(wèn)題、解決問(wèn)題以及綜合運(yùn)用知識(shí)的能力。三、教學(xué)重點(diǎn)運(yùn)用切線(xiàn)的性質(zhì)和判定方法進(jìn)行計(jì)算與證明。四、教學(xué)難點(diǎn)靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決有關(guān)切線(xiàn)問(wèn)題。五、【基礎(chǔ)知識(shí)回顧】(一).切線(xiàn)的定義:(二).切線(xiàn)性質(zhì):圓的切線(xiàn) _于過(guò)切點(diǎn)的半徑.提醒:根據(jù)這一定理,在圓中遇到切線(xiàn)時(shí),常連接圓心和切點(diǎn),即可得垂直關(guān)系(三).切線(xiàn)判定:(1) 和圓有唯一公共點(diǎn)的直線(xiàn)是圓的切線(xiàn).(定義)(2) 經(jīng)過(guò)半徑的外端且_這條半徑的直線(xiàn)是圓的切線(xiàn).(判定定理)(3) 如果圓心到一條直線(xiàn)的距離等于_,那么這條直線(xiàn)是圓的切線(xiàn).提醒:1、在切線(xiàn)的判定中,當(dāng)直線(xiàn)和圓的公共點(diǎn)標(biāo)出時(shí),用判定定理證明(連半徑,證垂直).2、當(dāng)公共點(diǎn)未標(biāo)出時(shí),一般可證圓心到直線(xiàn)的距離d=r來(lái)判定相切(作垂直,證半徑).(四).切線(xiàn)長(zhǎng)(1)切線(xiàn)長(zhǎng)定義: 經(jīng)過(guò)圓外一點(diǎn)作圓的切線(xiàn),這點(diǎn)和切點(diǎn)之間的 ,叫做這點(diǎn)到圓的切線(xiàn)長(zhǎng).(2)切線(xiàn)長(zhǎng)定理:從圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線(xiàn),它們的 相等,這一點(diǎn)和圓心的連線(xiàn) 兩條切線(xiàn)的夾角六【典型例題解析】考點(diǎn)一:與切線(xiàn)性質(zhì)有關(guān)的計(jì)算例1、(九上P122 1(4)) 如圖,PA、PB切O于A、B兩點(diǎn),且P=70,則C=_.分析:連接OA、OB,則OAPA,OBPB, 易得四邊形APBO的內(nèi)角AOB的度數(shù),從而可得C。(變式) 如圖,PA、PB切O于A、B兩點(diǎn),點(diǎn)C在O上,且ACB=50,則P=_.例2、如圖,在等腰直角三角形ABC中,AB=AC=8,O為BC的中點(diǎn),以O(shè)為圓心作半圓,使它與AB,AC都相切,切點(diǎn)分別為D,E,則O的半徑為() A8 B6 C5 D4 分析:連接OD、OE,則ODBA,OEAC,根據(jù)切線(xiàn)長(zhǎng)定理得AD=AE,易得正方形ADOE;若設(shè)OD=x,根據(jù)勾股定理可得OD2+BD2=BO2從而得到方程,通過(guò)解方程既得O的半徑?!緜淇贾笇?dǎo)】解決與切線(xiàn)有關(guān)的求角度或線(xiàn)段問(wèn)題的方法:當(dāng)已知切線(xiàn)時(shí),常作輔助線(xiàn)連接切點(diǎn)與圓心或?qū)ふ抑睆剿鶎?duì)的圓周角,構(gòu)造直角三角形,然后利用勾股定理或相關(guān)的三角函數(shù)知識(shí)計(jì)算線(xiàn)段長(zhǎng)度;而在求角度時(shí),往往與圓周角、圓心角有關(guān),求解過(guò)程中有時(shí)需要作出合適的輔助線(xiàn),構(gòu)造與所求角有關(guān)的圓心角或直角三角形進(jìn)行求解??键c(diǎn)二:與切線(xiàn)判定有關(guān)的證明例3.已知:如圖, AB是O的直徑, O過(guò)BC的中點(diǎn)D, 且DEAC于點(diǎn)E.(1)求證: DE是O的切線(xiàn);(2) 若C30,CD10 cm, 求O的直徑分析:(1)若所證直線(xiàn)與圓的交點(diǎn)字母標(biāo)出,則連接這條半徑,證明這條半徑_所證直線(xiàn);(2)利用等腰三角形和直角三角形知識(shí)可求【備考指導(dǎo)】證明直線(xiàn)是圓的切線(xiàn)的方法:可以利用定義判定,與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線(xiàn)是圓的切線(xiàn);若已知直線(xiàn)與圓有公共點(diǎn),連接過(guò)這點(diǎn)的半徑,證明這條半徑與直線(xiàn)垂直即可,可簡(jiǎn)述為:有切點(diǎn),連圓心,證垂直;若未知直線(xiàn)與圓的交點(diǎn),過(guò)圓心作直線(xiàn)的垂線(xiàn)段,證明垂線(xiàn)段的長(zhǎng)等于圓的半徑.可簡(jiǎn)述為:無(wú)切點(diǎn)、作垂直、證相等.七、中考鏈接(一)基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)訓(xùn)練1(13.河池)如圖,O的半徑為3,P是CB延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn),PO=5,PA切O于A點(diǎn), 則PA= 2. (14.湘潭)如圖,為的直徑,為外一點(diǎn),過(guò)作的切線(xiàn),切點(diǎn)為,連接交于,點(diǎn)在右側(cè)的半圓上運(yùn)動(dòng)(不與、重合),則的大小是() 第1題 第2題 第3題3.(12.玉林)如圖,的內(nèi)切圓與兩直角邊,分別相切于點(diǎn),過(guò)劣弧(不包括端點(diǎn),)上任一點(diǎn)作的切線(xiàn)與、分別交于點(diǎn)、,若的半徑為,則的周長(zhǎng)為 () 4.(14.玉林)如圖,直線(xiàn)與相切于點(diǎn),且,則 5.(12.玉林改編)如圖,以的邊上一點(diǎn)為圓心的圓,經(jīng)過(guò)、兩點(diǎn),且與邊交于點(diǎn),為的下半圓弧的中點(diǎn),連接交于,若求證:是的切線(xiàn);(二)能力提升1.(14.無(wú)錫)如圖,AB是O的直徑,CD是O的切線(xiàn),切點(diǎn)為D,CD與AB的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)C,A=30,給出下面3個(gè)結(jié)論:AD=CD;BD=BC;AB=2BC,其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是() A3 B2 C1 D0 2.(14.內(nèi)江)如圖,RtABC中,ACB=90,AC=4,BC=6,以斜邊AB上的一點(diǎn)O為圓心所作的半圓分別與AC、BC相切于點(diǎn)D、E,則AD為() A2.5 B1.6 C1.5 D1 3. (14.賀州 九下P102 第11題變式)如圖,分別與相切于,且, ()求證:;()求和的長(zhǎng)4.(13.南寧)如圖,在ABC中,BAC=90,AB=AC,AB是O的直徑, O交BC于點(diǎn)D, DE AC于點(diǎn)E,BE交O于點(diǎn)F。(1)求證:DE是O的切線(xiàn)。(2)求tanABE的值;(3)若OA=2,求線(xiàn)段AP的長(zhǎng)。5.(
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