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數學建模簡明教程 國家精品課程 第三章常微分方程 一 引言 二 模型的建立 機理分析法 三 SARS傳播模型中參數的確定 四 SARS傳播模型的求解 五 參數的靈敏度分析 2003年全國數模競賽的A題 SARS Severe 制提供可靠 足夠的信息的傳染病模型 傳播 要求建立一個能夠預測以及能為預防和控 AcuteRespiratorySyndrome 非典型肺炎 的 天發(fā)病 SARS自02年11月發(fā)現以來 迅速蔓延 播的惡性傳染病 潛伏期約2 12天 通常在4 5 非典型肺炎是21世紀第一個在世界范圍內傳 一 引言 到世界28個國家 據世界衛(wèi)生組織報告 截至03 延創(chuàng)造條件的重要性 這是人們十分關注的問題 研究傳染病的傳播規(guī)律 為預測和控制傳染病蔓 中得到了許多重要的經驗和教訓 認識到定量地 的經濟發(fā)展和人民生活帶來了很大影響 我們從 患者即高達百人以上 SARS的爆發(fā)和蔓延給我國 人 其中343人死亡 高峰期 北京市每日新增 792人死亡 我國情況尤為嚴重 病例高達5327 年6月13日 全世界的SARS病例已達8454人 共 建立SARS傳播的數學模型 可以在一般情 和控制 最后給出參數的靈敏度分析以探討SARS的預防 參數 從而利用Runge Kutta方法求解該模型 針對SARS傳播模型討論如何確定模型中的關鍵 介紹利用機理分析法建立SARS傳播模型 然后 是依據機理分析的方法來建模 為此 本章首先 流行的觀測往往也不完善和充分 因此通常主要 況分析受感染人數的變化規(guī)律 然而實際SARS 問題分析 1 SI模型 推知 二 模型的建立 機理分析法 SI模型 i t曲線 di dt i曲線 關于SI模型的結論 1 最終全部感染為病人 2 模型沒有考慮病人可以治愈 3 i 0 5時 di dt最大 傳染病高潮到來 此時 2 SIS模型 推知 SIS模型的解 SIS模型的分析 i t曲線 關于SIS模型的結論 1 接觸數的臨界值為 2 SI模型可視為本模型的特例 此時 3 SIR模型 推知 相平面S I分析 SIR模型的相軌線 i s 關于SIR模型的結論 4 SARS的傳播模型 就是抓住主要矛盾 忽略一些不必要的因素和 次要矛盾 理假設的前提下 確定主要因素之間的關系 也 手 微分方程建模是從實際問題出發(fā) 在某些合 把所有的因素全部考慮在內建立模型 將無從下 遷出以及潛伏期和地理環(huán)境等因素的影響 如果 治愈率的大小等 另外 還要考慮人群的遷入 多 如患病者的數量 易感者的數量 傳染率和 事實上 SARS在傳播過程中涉及的因素很 關于SARS的假設 3 假設病人被感染后需先進入潛伏期 在潛伏期 2 結合SARS的病理特性 假設其傳播方式為接 1 所研究地區(qū)的人口總量一定 不考慮人口遷入 遷出 自然出生和自然死亡 觸性傳播 不與患病者接觸就不會被感染 內不具備傳染性 傳染他人 易感者感染的機會與接觸患病者的機會成正比 6 假設SARS康復者不會被再次感染 且無傳染性 4 假設易感者與患病者在人群中混合充分均勻 并且傳染率為常數 5 假設SARS患者被發(fā)現后就立即被隔離 被隔離 者不具備傳染性 SARS患者只在被發(fā)現前可以 人口分類 在此用絕對人數 SARS傳播倉室模型的框圖 參數說明 SARS模型 三 SARS傳播模型中參數的確定 型 可參照傳染病的一般原理 充分利用衛(wèi)生 仿真 模擬來確定參數隨時間變化的函數關系 型所面臨的一個關鍵問題 針對SARS傳播模 事實上 確定模型的參數往往是一般傳染病模 反映到模型中 亦是應當回答的一個重要問題 面 如何將我國一系列強有力的隔離預防措施 歷史數據 如對其傳染率就難以估計 另一方 是對這一突發(fā)的新型惡性傳染病缺乏認識 無 在SARS流行初期 建模所碰到困難主要 部門每天發(fā)布的精確數據 通過對數據的動態(tài) 北京地區(qū)確診病人的死亡率和治愈率 先建立簡單的SIR模型 從而 有 因此 只要得到免疫率參數 就可以擬合出傳染系數 四 SARS傳播模型的求解 1 Runge Kutta方法 迭代公式解法 p階公式 如果有 二階Runge Kutta公式