高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) （基礎(chǔ)知識(shí)+小題全取+考點(diǎn)通關(guān)+課時(shí)檢測(cè)）2.4函數(shù)的奇偶性與周期性課件 新人教A版.ppt

知識(shí)能否憶起 一 函數(shù)的奇偶性 f x f x f x f x y軸 原點(diǎn) 二 周期性1 周期函數(shù)對(duì)于函數(shù)y f x 如果存在一個(gè)非零常數(shù)t 使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時(shí) 都有 那么就稱函數(shù)y f x 為周期函數(shù) 稱t為這個(gè)函數(shù)的周期 2 最小正周期如果在周期函數(shù)f x 的所有周期中存在一個(gè) 那么這個(gè)就叫做f x 的最小正周期 f x t f x 最小的 正數(shù) 最小正數(shù) 小題能否全取 1 2012 廣東高考 下列函數(shù)為偶函數(shù)的是 答案 d 答案 b 2 已知f x ax2 bx是定義在 a 1 2a 上的偶函數(shù) 那么a b的值是 答案 b 3 教材習(xí)題改編 已知定義在r上的奇函數(shù)f x 滿足f x 4 f x 則f 8 的值為 a 1b 0c 1d 2解析 f x 為奇函數(shù)且f x 4 f x f 0 0 t 4 f 8 f 0 0 5 定義在r上的函數(shù)f x 既是奇函數(shù) 又是以2為周期的周期函數(shù) 則f 1 f 4 f 7 解析 據(jù)題意f 7 f 1 8 f 1 f 1 f 7 0 又f 4 f 0 0 f 1 f 4 f 7 0 答案 0 1 奇 偶函數(shù)的有關(guān)性質(zhì) 1 定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 這是函數(shù)具有奇偶性的必要不充分條件 2 奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱 反之亦然 3 若奇函數(shù)f x 在x 0處有定義 則f 0 0 4 利用奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱可知 奇函數(shù)在原點(diǎn)兩側(cè)的對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性相同 利用偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱可知 偶函數(shù)在原點(diǎn)兩側(cè)的對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性相反 2 若函數(shù)滿足f x t f x 由函數(shù)周期性的定義可知t是函數(shù)的一個(gè)周期 應(yīng)注意nt n z且n 0 也是函數(shù)的周期 a 是奇函數(shù)但不是偶函數(shù)b 是偶函數(shù)但不是奇函數(shù)c 既是奇函數(shù)也是偶函數(shù)d 既不是偶函數(shù)也不是奇函數(shù) 答案 a 利用定義判斷函數(shù)奇偶性的方法 1 首先求函數(shù)的定義域 定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)為奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要條件 2 如果函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 可進(jìn)一步判斷f x f x 或f x f x 是否對(duì)定義域內(nèi)的每一個(gè)x恒成立 恒成立要給予證明 否則要舉出反例 注意 判斷分段函數(shù)的奇偶性應(yīng)分段分別證明f x 與f x 的關(guān)系 只有對(duì)各段上的x都滿足相同的關(guān)系時(shí) 才能判斷其奇偶性 1 判斷下列函數(shù)的奇偶性 2 f x 的定義域?yàn)閞 f x 3 x 3x 3x 3 x f x 所以f x 為奇函數(shù) 4 f x 的定義域?yàn)閞 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 當(dāng)x 0時(shí) f x x 2 2 x2 2 f x 當(dāng)x 0時(shí) f x x 2 2 x2 2 f x 當(dāng)x 0時(shí) f 0 0 也滿足f x f x 故該函數(shù)為奇函數(shù) a 2 0 2 b 2 0 2 c 2 2 d 2 0 0 2 例2 1 2012 上海高考 已知y f x x2是奇函數(shù) 且f 1 1 若g x f x 2 則g 1 自主解答 1 y f x x2是奇函數(shù) 且x 1時(shí) y 2 當(dāng)x 1時(shí) y 2 即f 1 1 2 2 得f 1 3 所以g 1 f 1 2 1 答案 1 1 2 b 本例 2 的條件不變 若n 2且n n 試比較f n f 1 n f n 1 f n 1 的大小 解 f x 為偶函數(shù) 所以f n f n f 1 n f n 1 又 函數(shù)y f x 在 0 為減函數(shù) 且0 n 1 n n 1 f n 1 f n f n 1 f n 1 f n f n 1 f 1 n 函數(shù)奇偶性的應(yīng)用 1 已知函數(shù)的奇偶性求函數(shù)的解析式 抓住奇偶性討論函數(shù)在各個(gè)分區(qū)間上的解析式 或充分利用奇偶性關(guān)于f x 的方程 從而可得f x 的解析式 2 已知帶有字母參數(shù)的函數(shù)的表達(dá)式及奇偶性求參數(shù) 常常采用待定系數(shù)法 利用f x f x 0產(chǎn)生關(guān)于字母的恒等式 由系數(shù)的對(duì)等性可得知字母的值 3 奇偶性與單調(diào)性綜合時(shí)要注意奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上的單調(diào)性相同 偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上的單調(diào)性相反 答案 1 a 2 a 例3 2012 山東高考 定義在r上的函數(shù)f x 滿足f x 6 f x 當(dāng) 3 x 1時(shí) f x x 2 2 當(dāng) 1 x 3時(shí) f x x 則f 1 f 2 f 3 f 2012 a 335b 338c 1678d 2012 自主解答 由f x 6 f x 可知 函數(shù)f x 的周期為6 所以f 3 f 3 1 f 2 f 4 0 f 1 f 5 1 f 0 f 6 0 f 1 1 f 2 2 所以在一個(gè)周期內(nèi)有f 1 f 2 f 6 1 2 1 0 1 0 1 所以f 1 f 2 f 2012 f 1 f 2 335 1 1 2 335 338 答案 b 1 周期性常用的結(jié)論 若f x 定義域內(nèi)任一自變量的值x 1 f x a f x 則t 2a 2 周期性與奇偶性相結(jié)合的綜合問(wèn)題中 周期性起到轉(zhuǎn)換自變量值的作用 奇偶性起到調(diào)節(jié)符號(hào)作用 3 設(shè)f x 是定義在r上的奇函數(shù) 且對(duì)任意實(shí)數(shù)x 恒有f x 2 f x 當(dāng)x 0 2 時(shí) f x 2x x2 1 求證 f x 是周期函數(shù) 2 當(dāng)x 2 4 時(shí) 求f x 的解析式 解 1 證明 f x 2 f x f x 4 f x 2 f x f x 是周期為4的周期函數(shù) 2 x 2 4 x 4 2 4 x 0 2 f 4 x 2 4 x 4 x 2 x2 6x 8 又 f 4 x f x f x f x x2 6x 8 即f x x2 6x 8 x 2 4 抽象函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的難點(diǎn) 大多數(shù)同學(xué)感覺(jué)找不著頭緒 對(duì)抽象函數(shù)的研究往往要通過(guò)函數(shù)的性質(zhì)來(lái)體現(xiàn) 如函數(shù)的奇偶性 單調(diào)性和周期性 利用賦值法將條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決抽象函數(shù)問(wèn)題的重要策略 下面從5個(gè)不同的方面來(lái)探尋一些做題的規(guī)律 1 抽象函數(shù)的定義域抽象函數(shù)的定義域是根據(jù)已知函數(shù)的定義域 利用代換法得到不等式 組 進(jìn)行求解 答案 1 3 題后悟道 函數(shù)y f g x 的定義域的求法 常常通過(guò)換元設(shè)t g x 根據(jù)函數(shù)y f t 的定義域 得到g x 的范圍 從而解出x的范圍 在求函數(shù)的定義域時(shí)要兼顧函數(shù)的整體結(jié)構(gòu) 使得分式 對(duì)數(shù)等都要有意義 典例2 已知定義在r上的單調(diào)函數(shù)f x 滿足 存在實(shí)數(shù)x0 使得對(duì)于任意實(shí)數(shù)x1 x2 總有f x0 x1 x0 x2 f x0 f x1 f x2 恒成立 求 1 f 1 f 0 2 x0的值 解 1 因?yàn)閷?duì)于任意實(shí)數(shù)x1 x2 總有f x0 x1 x0 x2 f x0 f x1 f x2 恒成立 令x1 1 x2 0 得f x0 f x0 f 0 f 1 所以f 0 f 1 0 2 令x1 0 x2 0 得f 0 f x0 2f 0 即f x0 f 0 故f x0 f 1 又因?yàn)閒 x 是單調(diào)函數(shù) 所以x0 1 2 抽象函數(shù)的函數(shù)值 題后悟道 抽象函數(shù)求函數(shù)值往往要用賦值法 需要結(jié)合已知條件 通過(guò)觀察和多次嘗試尋找有用的取值 挖掘出函數(shù)的性質(zhì) 特別是借助函數(shù)的奇偶性和函數(shù)的周期性來(lái)轉(zhuǎn)化解答 3 抽象函數(shù)的奇偶性函數(shù)的奇偶性就是要判斷 x對(duì)應(yīng)的函數(shù)值與x對(duì)應(yīng)的函數(shù)值之間的關(guān)系 從而得到函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)或y軸對(duì)稱 結(jié)合函數(shù)的圖形作出進(jìn)一步的判斷 典例3 已知函數(shù)f x 對(duì)任意x y r 都有f x y f x y 2f x f y 且f 0 0 求證 f x 是偶函數(shù) 證明 取x 0 y 0 得2f 0 2f2 0 因?yàn)閒 0 0 所以f 0 1 再取x 0 得f y f y 2f 0 f y 2f y 所以f y f y 所以函數(shù)f x 是偶函數(shù) 題后悟道 在利用奇偶函數(shù)的定義進(jìn)行判斷時(shí) 等式中如果還有其他的量未解決 例如本題中的f 0 還需要令x y取特殊值進(jìn)行求解 4 抽象函數(shù)的單調(diào)性與抽象不等式高考對(duì)于抽象函數(shù)的單調(diào)性的考查一直是個(gè)難點(diǎn) 常出現(xiàn)一些綜合性問(wèn)題 利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行判斷求解 并對(duì)所含的參數(shù)進(jìn)行分類討論或者根據(jù)已知條件確定出參數(shù)的范圍 再根據(jù)單調(diào)性求解或證明抽象不等式問(wèn)題 結(jié)合本節(jié)例2 2 學(xué)習(xí) 5 抽象函數(shù)的周期性有許多抽象函數(shù)都具有周期性 特別是在求自變量值較大的函數(shù)值時(shí) 就要考慮尋找函數(shù)的周期 從而利用周期把函數(shù)值轉(zhuǎn)化為已知求出 題后悟道 判斷抽象函數(shù)的周期性時(shí) 給一個(gè)變量賦值是關(guān)鍵 但由于函數(shù)的周期性還是函數(shù)的整體性質(zhì) 因此另一個(gè)變量必須具有任意性 從以上幾種類型來(lái)看 解答抽象函數(shù)問(wèn)題并不是無(wú)計(jì)可施 只要我們善于觀察 分析 掌握解題規(guī)律 注重?cái)?shù)形結(jié)合把抽象問(wèn)題形象化 具體化 就可以做到化難為易 迎刃而解了 答案 b 2 已知x y r 對(duì)任意x y恒有f x y f x f y 成立 證明f x 是奇函數(shù) 證明 令x y 0 則f 0 f 0 f 0 2f 0 f 0 0 再令y x 則f x x f x f x f x f x f 0 0 f x f x 又x是任意實(shí)數(shù) f x 是奇函數(shù) 3 函數(shù)f x 對(duì)任意的a b r 都有f a b f a f b 1 且f x 為增函數(shù) f 4 5 1 求f 2 2 解不等式f 3m2 m 2 3 教師備選題 給有能力的學(xué)生加餐 1 2012 北京海淀區(qū)期末 已知函數(shù)f x x x 2x 則下列結(jié)論正確的是 a f x 是偶函數(shù) 遞增區(qū)間是 0 b f x 是偶函數(shù) 遞減區(qū)間是 1 c f x 是奇函數(shù) 遞減區(qū)間是 1 1 d f x 是奇函數(shù) 遞增區(qū)間是 0 答案 c 2 2012 寶雞模擬 已知f x 是r上最小正周期為2的周期函數(shù) 且當(dāng)0 x 2時(shí) f x x3 x 則函數(shù)y f x 的圖像在區(qū)間 0 6 上與x軸的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為 a 6b 7c 8d 9 解析 因?yàn)楫?dāng)0 x 2時(shí) f x x3 x 所以f 0 0 又因?yàn)閒 x 是r上最小正周期為2的周期函數(shù) 所以f 6 f 4 f 2 f 0 0 又因?yàn)閒 1 0 所以f 3