高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 2.10 導(dǎo)數(shù)的概念及運算法則課件 文 新人教A版.ppt

2 10導(dǎo)數(shù)的概念及運算法則 一 導(dǎo)數(shù)的概念 一般地 函數(shù)y f x 在x x0處的瞬時變化率是 我們稱它為函數(shù)y f x 在x x0處的導(dǎo)數(shù) 記為f x0 或y 即f x0 如果函數(shù)y f x 在開區(qū)間 a b 內(nèi) 的每一點處都有導(dǎo)數(shù) 此時對于每一個x a b 都對應(yīng)著一個確定的導(dǎo)數(shù)f x 從而構(gòu)成了一個新的函數(shù)f x 稱這個函數(shù)f x 為y f x 在開區(qū)間 a b 內(nèi)的導(dǎo)函數(shù) 簡稱導(dǎo)數(shù) 也記為y 即f x y 二 導(dǎo)數(shù)的幾何意義 函數(shù)y f x 在點x x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義 就是曲線y f x 在點p x0 f x0 處的切線的斜率 即k f x0 相應(yīng)地 得到切線方程 為y f x0 f x0 x x0 三 幾種常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式 c 0 c為常數(shù) xm mxm 1 m q sinx cosx cosx sinx ex ex ax axlna lnx logax logae 導(dǎo)數(shù)的運算法則 f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x g x 0 四 函數(shù)和 差 積 商的導(dǎo)數(shù) 1 設(shè)f x 則f 1 等于 a 2 b 1 c 0 d 1 解析 f x 則f 1 1 答案 d 2 已知函數(shù)f x 的圖像如圖所示 f x 是f x 的導(dǎo)函數(shù) 則下列數(shù)值排序正確的是 a 0 f 2 f 3 f 3 f 2 b 0 f 3 f 3 f 2 f 2 c 0 f 3 f 2 f 3 f 2 d 0 f 3 f 2 f 2 f 3 數(shù)f x 在 3 f 3 處的切線的斜率 f 3 f 2 表示點 2 f 2 與點 3 f 3 連線的斜率 由圖可知0 f 3 f 3 f 2 f 2 答案 b 解析 f 2 是函數(shù)f x 在 2 f 2 處的切線的斜率 f 3 是函 3 設(shè)p為曲線c y x2 x 1上一點 曲線c在點p處的切線的斜率的范圍是 1 3 則點p的縱坐標的取值范圍是 解析 設(shè)點p坐標為 x0 y0 則依題意可得 1 2x0 1 3 解得0 x0 2 因為y0 x0 1 所以根據(jù)二次函數(shù)值域的求法 可解得 y0 3 答案 3 題型1導(dǎo)數(shù)的概念及幾何意義 例1 1 給出下列命題 若函數(shù)y x 則當x 0時 y 0 若函數(shù)f x ax2 1 且f 2 13 則f x x3 x 加速度是動點位移函數(shù)s t 對時間t的導(dǎo)數(shù) 其中正確的命題有 a 0個 b 1個 c 2個 d 3個 2 已知函數(shù)f x xlnx 若直線l過點 0 1 并且與曲線y f x 相切 則直線l的方程為 分析 1 通過函數(shù)的平均變化率的求法及了解導(dǎo)數(shù)概念在實際背景下的意義 就可判斷 2 通過導(dǎo)數(shù)與切線斜率的聯(lián)系可求出切點的坐標 從而求出切線方程 解析 1 因為y x的導(dǎo)數(shù)為y 1 故 錯 由條件可得f x x3 x c c為常數(shù) 所以 錯 速度是動點位移函數(shù)s t 對時間t 的導(dǎo)數(shù) 加速度是速度函數(shù)對時間t的導(dǎo)數(shù) 故選a 2 設(shè)切點坐標為 x0 y0 則y0 x0lnx0 切線的斜率為lnx0 1 所以lnx0 1 解得x0 1 y0 0 所以直線l的方程為x y 1 0 答案 1 a 2 x y 1 0 點評 導(dǎo)數(shù)的概念是通過函數(shù)的平均變化率 瞬時變化率和曲線的切線等實際背景引入的 所以在了解導(dǎo)數(shù)概念的基礎(chǔ)上也應(yīng)了解這些實際背景的意義 特別是導(dǎo)數(shù)的幾何意 義 變式訓(xùn)練1 1 曲線y e 2x 1在點 0 2 處的切線與直線y 0和y x圍成的三角形的面積為 a b c d 1 2 在f1賽車中 賽車位移與比賽時間t存在函數(shù)關(guān)系s 10t 5t2 s的單位為m t的單位為s 則t 20時的瞬時速度為 x 1在點 0 2 處的切線方程是2x y 2 0 直線y x與直線2x y 2 0的交點為 直線y 0與直線2x y 2 0的交點為 1 0 故三角形的面積為 1 2 因為位移與時間的函數(shù)為s 10t 5t2 所以s 10 10t 在t 20時瞬時速度為210m s 答案 2 a 2 210m s 解析 1 函數(shù)y e 2x 1的導(dǎo)數(shù)為y 2e 2x 則y x 0 2 曲線y e 2 例2求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 1 y 2x2 1 x2 3x 4 2 y excosx 3 y lnx 4 y 題型2導(dǎo)數(shù)的運算 解析 1 y 2x2 1 x2 3x 4 2x2 1 x2 3x 4 2x2 1 x2 3x 4 4x x2 3x 4 2x2 1 2x 3 8x3 18x2 18x 3 2 y excosx excosx exsinx 3 y lnx 1 lnx 分析 直接利用導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)運算法則求導(dǎo) 4 y 點評 理解和掌握求導(dǎo)法則和公式的結(jié)構(gòu)是靈活進行求導(dǎo)運算的前提條件 變式訓(xùn)練2求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 1 y 2x3 3x2 5x 2 y x2lnx 3 y x sinx 4 y 2 y x2lnx 2xlnx x2 2xlnx x 3 y x sinx 1 cosx 4 y 解析 1 y 2x3 3x2 5x 6x2 6x 5 1 關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的概念要從以下幾個方面理解 函數(shù)y f x 在點x0處的導(dǎo)數(shù)f x0 就是導(dǎo)函數(shù)f x 在點x0處的函數(shù)值 即f x0 f x 并不是所有的函數(shù)都有導(dǎo)數(shù) 2 在處理曲線的切線與導(dǎo)數(shù)有關(guān)的問題時 若切點未知 一定要把切點設(shè)出來 導(dǎo)函數(shù)f x 與函數(shù)f x 有相同的定義域 且導(dǎo)函數(shù)f x 在x0處的函數(shù)值 即為函數(shù)f x 在點x0處的導(dǎo)數(shù) 區(qū)間一般指開區(qū)間 因為在其端點處不一定有增量 例曲線s y 3x x3在點a 0 16 處的切線方程為 錯解 y 3x2 3 所以y 3x2 3 3 故切線的斜率為3 切線方程為3x y 16 0 剖析 出現(xiàn)上述錯誤的原因就是認為點a 0 16 在曲線上 在確定曲線在某點處切線的方程時 一定要先確定該點是否 在曲線上 若此點在曲線上 則曲線在該點處切線的斜率即為該點的導(dǎo)數(shù)值 若此點不在曲線上 則應(yīng)按先求切點 再求斜率 最后寫出直線的方程的方法解答 特別是涉及直線與圓錐曲線相切一類問題時 除采用導(dǎo)數(shù)知識解答外 還可以采用代數(shù)方法 即應(yīng)用判別式的方法解答 正解 設(shè)過點a的切線與曲線切于點m x0 3x0 y 3x2 3 由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知切線的斜率k y 3 3 又由兩點連線的斜率公式知k 聯(lián)立 得x0 2 從而切線的斜率k y 9 故切線方程為9x y 16 0 答案 9x y 16 0 一 選擇題 本大題共5小題 每小題6分 1 基礎(chǔ)再現(xiàn) 設(shè)函數(shù)f x xm ax的導(dǎo)函數(shù)f x 2x 1 則m a的值為 a 1 b 1 c 2 d 2 解析 f x xm ax f x mxm 1 a 2x 1 所以m 2 a 1 則m a 1 答案 b 2 基礎(chǔ)再現(xiàn) f x 是f x 的導(dǎo)函數(shù) f x 的圖像如圖所示 則f x 的圖像只可能是 解析 由導(dǎo)數(shù)的概念可知 函數(shù)的平均變化率的變化是先快后慢 且在端點處變化率為0 只有d符合 答案 d 3 基礎(chǔ)再現(xiàn) 已知某物體的運動曲線方程為s t 2t2 則該物體在t 1時的速度為 a 5 b 7 c 9 d 13 解析 s t 2t2 4t 4t s 1 5 答案 a 4 視角拓展 定義 設(shè)f x 是函數(shù)y f x 的導(dǎo)函數(shù)y f x 的導(dǎo)數(shù) 若f x 0有實數(shù)解x0 則稱點 x0 f x0 為函數(shù)y f x 的 拐點 現(xiàn)已知f x x3 3x2 2x 2 則函數(shù)f x 的 拐點 a的坐標為 a 1 8 b 1 2 c 0 2 d 2 10 令f x 6x 6 0得x 1 f 1 1 3 2 2 2 拐點為a 1 2 答案 b 解析 f x 3x2 6x 2 f x 6x 6 5 高度提升 下列圖像中有一個是函數(shù)f x x3 ax2 a2 1 x 1 a r a 0 的導(dǎo)函數(shù)f x 的圖像 則f 1 等于 a b c d 函數(shù)y f x 的圖像符合第2個圖 則可解得a 0 與條件a 0矛盾 若導(dǎo)函數(shù)y f x 的圖像符合第3個圖 則有a2 1 0 且a 0 解得a 1 所以f 1 答案 b 解析 因為f x x2 2ax a2 1 顯然第1個圖不符合 若導(dǎo) 6 基礎(chǔ)再現(xiàn) f x x3 2f 2 x 則f 2 解析 因為f x 3x2 2f 2 所以f 2 3 22 2f 2 解得f 2 12 答案 12 二 填空題 本大題共4小題 每小題7分 7 基礎(chǔ)再現(xiàn) 直線y kx 1與曲線y x2 ax b相切于點a 1 3 則a b 解析 由題意可得解得a 0 b 2 k 2 所以a b 2 答案 2 8 視角拓展 如圖 直線l是曲線y f x 在x 3處的切線 則f 3 解析 由圖可知直線l過點 3 3 0 可求出直線l的斜率k 由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知 f 3 答案 9 高度提升 已知點p在曲線y 上 為曲線在點p處的切線的傾斜角 則 的取值范圍是 解析 y ex 2 1 y 0 即 1 tan 0 答案 10 基礎(chǔ)再現(xiàn) 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 1 y ex lnx 2 y x sincos 3 y 三 解答題 本大題共3小題 每小題14分 2 y x sincos x sinx y x sinx 1 cosx 3 y 3 x 5 9 y 3 x 5 9 3 1 0 9 解析 1 y ex lnx ex lnx 1 1 11 視角拓展 已知函數(shù)f x 2x3 ax與g x bx2 c的圖像都過p 2 0 且在點p處有相同的切線 1 求實數(shù)a b c的值 2 設(shè)函數(shù)f x f x g x 求f x 的單調(diào)區(qū)間 又 f x g x 在點p處有相同的切線 f 2 g 2 4b 16 b 4 c 16 a 8 b 4 c 16 解析 1 f x g x 的圖像都過p 2 0 f 2 0 即2 23 a 2 0 a 8 g 2 0 即4b c 0 即f x 的單調(diào)增區(qū)間為 2 同理 由f x 0得 2 x 即f x 的單調(diào)減區(qū)間為 2 2 由 1 知f x 2x3 8x g x 4x2 16 則f x 2x3 4x2 8x 16 f x 6x2 8x 8 由f x 6x2 8x 8 0得x 2或x 12 能力綜合 已知函數(shù)f x