解析法巧解中考數(shù)學(xué)壓軸題.doc

解析法巧解中考?jí)狠S題 在平面幾何題中，適當(dāng)?shù)慕⒅苯亲鴺?biāo)系，利用代數(shù)的方法解決幾何問題，即解析法，有時(shí)會(huì)顯得更簡(jiǎn)潔高效現(xiàn)以近年中考?jí)狠S題為例，分析說明解析法之妙 例1 （2013泰州）如圖1，在矩形ABCD中，點(diǎn)P在邊CD上，且與C、D不重合，過點(diǎn)A作AP的垂線與CB的延長線相交于點(diǎn)Q，連結(jié)PQ，M為PQ中點(diǎn) 若AD10，ABa，DP8，隨著a的大小的變化，點(diǎn)M的位置也在變化當(dāng)點(diǎn)M落在矩形ABCD外部時(shí)，求a的取值范圍 分析 本題將矩形、三角形、動(dòng)點(diǎn)、參數(shù)相結(jié)合，考察學(xué)生利用相似解決問題的綜合能力，難度較大，區(qū)分度高，按照參考答案給出的解題思路，如圖2所示，當(dāng)點(diǎn)M落在矩形ABCD外部時(shí)，須滿足的條件是“BEMN”分別求出BE與MN的表達(dá)式，列不等式求解，即可求出a的取值范圍 由ADPABQ，解得QBa 由QBEQCP，同樣由比例關(guān)系得出BE 又因?yàn)镸N為QCP的中位線，得出 MNPC（a8） 再由BEMN，即 得出a 12.5 當(dāng)點(diǎn)M落在矩形ABCD外部時(shí)，a的取值范圍為a12.5 這種解法不僅要想到添加輔助線，還兩次運(yùn)用了相似比，計(jì)算量大，易出錯(cuò)比較穩(wěn)妥而簡(jiǎn)潔的做法是將圖形放進(jìn)直角坐標(biāo)系中，利用數(shù)形結(jié)合的方法來解決此類問題一如何建立合適、恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系呢？通常需要考慮以下兩點(diǎn)： 第一，讓盡可能多的點(diǎn)落在直角坐標(biāo)系上，這些點(diǎn)的坐標(biāo)含有數(shù)字O，可以起到簡(jiǎn)化運(yùn)算的功效； 第二，考慮圖形的對(duì)稱性，同樣，也能起到簡(jiǎn)化運(yùn)算的作用解答 如圖3所示，建立以B點(diǎn)為原點(diǎn)，BC方向?yàn)閤軸正半軸，BA方向?yàn)閥軸正半軸的直角坐標(biāo)系 則A(0，a)，P(0，a8) 直線AP的斜率為kAP， 直線AQ為yxa， 直線AQ與x軸交于點(diǎn)Q， Q(a，0)又M為線段QP上的中點(diǎn)，M（5a，4）因?yàn)镸點(diǎn)落在矩形ABCD的外部，所以M點(diǎn)在第二象限，解得a12.5 這樣，通過建立合適的直角坐標(biāo)系，使圖形上各點(diǎn)得到確定，讓問題變得清晰明了，避免了運(yùn)用相似而產(chǎn)生的復(fù)雜計(jì)算 例2（2014連云港）某數(shù)學(xué)興趣小組對(duì)線段上的動(dòng)點(diǎn)問題進(jìn)行探究，已知AB8 問題思考： 如圖4，點(diǎn)P為線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，分別以AP、BP為邊在同側(cè)作正方形APDC、BPEF(1)分別連結(jié)AD、DF、AF，AF交DP于點(diǎn)K，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，在APK、ADK、DFK中，是否存在兩個(gè)面積始終相等的三角形？請(qǐng)說明理由 問題拓展： (2)如圖5，在“問題思考”中，若點(diǎn)M、N是線段AB上的兩點(diǎn)，且AMBN1，點(diǎn)G、H分別是邊CD、EF的中點(diǎn)，請(qǐng)寫出點(diǎn)P從M到N的運(yùn)動(dòng)過程中，GH的中點(diǎn)D所經(jīng)過的路徑的長 (3)在第二問的情況下，求OMOB的最小值 分析 這是一道關(guān)于正方形的綜合題，難度較大，解題難點(diǎn)在于分析動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，需要很好的空間想象能力和作圖分析能力；此外本題還綜合考查了二次函數(shù)、整式的運(yùn)算、四邊形、中位線、相似、軸對(duì)稱與勾股定理等眾多知識(shí)點(diǎn)但是，如果我們建立直角坐標(biāo)系，用解析幾何的方法就可以避開相似，省去很多不必要的麻煩在第(1)問根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)，求得PKa，進(jìn)而求得DKPDPK，然后根據(jù)面積公式即可求得，第(2)(3)問涉及點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，GH中點(diǎn)O的運(yùn)動(dòng)路徑是與AB平行且距離為3的線段XY上，如圖6所示；然后利用軸對(duì)稱的性質(zhì)，求出OMOB的最小值解答 (1)如圖6所示，以A點(diǎn)為原點(diǎn)，AB方向?yàn)閤軸正半軸，AC方向?yàn)閥軸正半軸，建立直角坐標(biāo)系設(shè)APa 又P在M到N之間運(yùn)動(dòng)， 1a7 a經(jīng)過的路徑是一條與AB平行的線段，長為3 (3)如圖7所示，作點(diǎn)M關(guān)于直線XY的對(duì)稱點(diǎn)M，連結(jié)BM 由軸對(duì)稱性質(zhì)可知，M(1，8)， 由兩點(diǎn)之間線段最短可知，此時(shí)OMOBBM最小