【教學(xué)設(shè)計(jì)】《球》（數(shù)學(xué)北師大必修二）

球教學(xué)設(shè)計(jì)本課時(shí)編寫(xiě)：崇文門(mén)中學(xué) 高巍巍教材分析: 教材基于學(xué)生已有的對(duì)空間幾何體體積的知識(shí)基礎(chǔ)，通過(guò)提供直觀形象的觀察和推導(dǎo)，了解推導(dǎo)過(guò)程中基本的數(shù)學(xué)思想方法“分割、求和、化為準(zhǔn)確和”，進(jìn)一步得出球的表面積、體積公式.球是重要的幾何體，需要研究、分析、應(yīng)用，而且可以先滲透極限思想，對(duì)微積分有初步的認(rèn)識(shí)和了解.教學(xué)目標(biāo)：【知識(shí)與能力目標(biāo)】1. 通過(guò)對(duì)球的表面積、體積公式的推導(dǎo)，了解推導(dǎo)過(guò)程中基本的數(shù)學(xué)思想方法“分割、求和、化為準(zhǔn)確和”，有利于同學(xué)進(jìn)一步學(xué)習(xí)微積分知識(shí)和近代數(shù)學(xué)知識(shí)；2. 能運(yùn)用球的表面積、體積計(jì)算公式進(jìn)行計(jì)算和解決有關(guān)實(shí)際問(wèn)題；3. 培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力和思維能力.【過(guò)程與方法】1. 學(xué)生研究體會(huì)球表面積、體積關(guān)系變化過(guò)程，滲透極限思想；2. 學(xué)生通過(guò)學(xué)習(xí)能增強(qiáng)空間想象能力.【情感態(tài)度與價(jià)值觀】通過(guò)學(xué)習(xí)，學(xué)生感受到幾何體體積的求解過(guò)程，對(duì)自己空間思維能力影響，從而增強(qiáng)學(xué)習(xí)的積極性.教學(xué)重難點(diǎn)： 【教學(xué)重點(diǎn)】球的表面積、體積.【教學(xué)難點(diǎn)】球的表面積、體積公式推導(dǎo). 課前準(zhǔn)備： 課件、學(xué)案、實(shí)物模型. 教學(xué)過(guò)程： 一、課題引入：下面的物體呈什么形狀？ 問(wèn)題1：還有什么物體給我們球的形象呢？問(wèn)題2：球可以由平面圖形怎么得到呢？問(wèn)題3：它也有表面積和體積，那么它的表面積和體積是什么？如何得到呢？ 那我們就先一起來(lái)研究球的體積吧.二、新課探究：1球的概念：半圓以它的直徑為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面叫做球面球面所圍成的幾何體，叫做球體，簡(jiǎn)稱(chēng)球球的各個(gè)元素（如圖所示）：（1）球心；（2）球的半徑；（3）球的直徑.O直徑半徑球心2.球的體積：球的體積現(xiàn)在不知道怎么求，那如何把未知的轉(zhuǎn)化成已知呢？那可以考慮將球拆分嗎？如果用一組等距離的平面去切割球，當(dāng)距離很小時(shí)得到很多“小圓片”， “小圓片”的體積之和正好是球的體積.由于“小圓片”近似于圓柱形狀，所以它的體積也近似于相應(yīng)圓柱的體積，因此求球的體積可以按“分割、求和、化為準(zhǔn)確和”的方法來(lái)進(jìn)行. 步驟： 如圖，把半球垂直于底面的半徑OA作n等分，過(guò)這些等分點(diǎn)，用一組平行于底面的平面把半球切割成n個(gè)“小圓片”， “小圓片”的厚度近似為，底面是“小圓片”的下底面. 由勾股定理可得第i層（由下向上數(shù)）“小圓片”的下底面半徑： （）第i層“小圓片”的體積為：，（） 半球的體積：1（1）（1）1n（注：）n）=當(dāng)所分的層數(shù)不斷增加，也就是說(shuō)，當(dāng)n不斷變大時(shí)，式越來(lái)越接近于半球的體積，如果n無(wú)限變大，就能由式推出半徑的體積.事實(shí)上，n增大，就越來(lái)越小，當(dāng)n無(wú)限大時(shí)，趨向于0，這時(shí)，有，所以，半徑為R的球的體積為： 球的體積：.（R為球的半徑） 同樣方法思路推導(dǎo)球的表面積3.球的表面積： 球的表面積：.（R為球的半徑）【設(shè)計(jì)意圖】這個(gè)公式的推導(dǎo)難度較大，所以只試著推導(dǎo)一個(gè)體積公式，表面積公式不再做推導(dǎo)，思路方法基本相同，只作為了解，不需要完全理解掌握，只要滲透分割、極限的數(shù)學(xué)思想方法即可.球的體積、表面積的公式應(yīng)用才是這節(jié)課的重點(diǎn).4.球的截面問(wèn)題：用一個(gè)平面去截一個(gè)球，截面是圓面：（1）球心和截面圓心的連線垂直于截面；（2）球心到截面的距離d與球的半徑r，有下面的關(guān)系：da OOdRrP球面被經(jīng)過(guò)球心的平面截得的圓叫做球的大圓，被不經(jīng)過(guò)球心的平面截得的圓叫做球的小圓知識(shí)拓展：過(guò)南北極的半大圓是經(jīng)線，平行于赤道的小圓是緯線球面上兩點(diǎn)之間的最短距離，就是經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的大圓在這兩點(diǎn)間的一段劣弧的長(zhǎng)度，我們把這個(gè)弧長(zhǎng)叫做兩點(diǎn)的球面距離.5.正方體的內(nèi)切球和外接球 正方體的內(nèi)切球：正方體的邊長(zhǎng)為球直徑設(shè)正方體邊長(zhǎng)為，球的半徑為. 正方體的外接球：正方體的體對(duì)角線為球的直徑設(shè)正方體邊長(zhǎng)為，球的半徑為.三、知識(shí)應(yīng)用：題型一計(jì)算球的體積、表面積問(wèn)題例1. (1) 已知球的半徑為2cm，求這個(gè)球的體積、表面積.解： (2) 已知球的表面積為，求球的半徑及體積. 解： ， 則 ， .【設(shè)計(jì)意圖】 通過(guò)題目的練習(xí)更加好的理解記憶公式并使用，可以更靈活的應(yīng)用.例2. 如圖所示,圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑,求證：(1) 球的體積等于圓柱體積的；(2) 球的表面積等于圓柱的側(cè)面積證明：（1）設(shè)球的半徑為R，則圓柱的底面半徑為R，高為2R.則有，所以.（2）因?yàn)?，所?22主視圖俯視圖左視圖2題型二三視圖中的球例3. 一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（ ）A B C D 解：正方體和球組成，球半徑為1，.【設(shè)計(jì)意圖】高考中將三視圖和表面積體積問(wèn)題經(jīng)常合一考查， 所以這一類(lèi)問(wèn)題是重點(diǎn). 題型三正方體外接球與內(nèi)切球例4. (1) 若一個(gè)球內(nèi)切于棱長(zhǎng)為的正方體內(nèi)，則該球的表面積為；體積為(2) 一個(gè)正方體的頂點(diǎn)都在球面上，它的棱長(zhǎng)是，則球的表面積為；體積為 (3) 一個(gè)長(zhǎng)方體的各頂點(diǎn)均在同一球的球面上,且一個(gè)頂點(diǎn)上的三條棱的長(zhǎng)分別為,則此球的表面積為；體積為解：(1) ，則，(2) ，則，.(3) 同理正方體思考，體對(duì)角線為球直徑，. 則，. 【設(shè)計(jì)意圖】理解一般情況后，請(qǐng)同學(xué)舉例特殊值計(jì)算，或者反球.最重要的明確棱長(zhǎng)與球半徑間的關(guān)系，自然找到解決辦法. 請(qǐng)同學(xué)思考正四面體內(nèi)切球及外接球.題型四球的截面問(wèn)題例5. 若與球心距離為4的平面截球所得的截面圓的面積是9,求球的表面積. 解：與球心距離為4的平面截球所得的截面圓的面積是9，d=4時(shí)，r=3故R=5球的表面積S=4R2=100.題型五計(jì)算球表面積、體積的實(shí)際問(wèn)題例6.一個(gè)圓柱形的玻璃瓶的內(nèi)半徑為3cm，瓶里所裝的水深為8cm，將一個(gè)鋼球完全浸入水中，瓶中水的高度上升到8.5cm，求鋼球的半徑.解：設(shè)鋼球的半徑為R，由題意得：，解得，