《梯形》典型例題.doc

梯形典型例題例1 已知：如圖，四邊形ABCD為矩形，四邊形ABDE為等腰梯形，。求證：例2 已知，如圖，梯形ABCD中，延長AB到E，使，求證：例3 如圖，把邊長為2cm的正方形剪成四個(gè)全等的直角三角形請用這四個(gè)直角三角形拼成符合下列要求的圖形（全部用上，互不重疊且不留空隙），并把你的拼法畫出來： （1）不是正方形的菱形一個(gè)；（2）不是正方形的矩形一個(gè)；（3）梯形兩個(gè)；（4）不是矩形、菱形的平行四邊形一個(gè)；（5）不是梯形和平行四邊形的凸四邊形一個(gè)。例4 如圖，已知：四邊形ABCD是等腰梯形，其中，若，. 求：梯形ABCD的面積. 例5 如圖，已知：在梯形ABCD中，AC、BD相交于點(diǎn)O. 求證：. 例6 已知：如圖，梯形ABCD中，. 求BC的長. 例7 已知：如圖，在梯形ABCD中，過B作，過D作交BE于E. 求證：. 練習(xí)：1.已知：如圖，等腰梯形ABCD的面積為100，且，求梯形的高。2.已知：四邊形ABCD中，求證四邊形ABCD是等腰梯形。3.如圖，在等腰梯形ABCD中，點(diǎn)P為BC邊上一點(diǎn)，垂足分別為E、F、G，求證：4.已知：如圖，在直角梯形ABCD中，于求證：參考答案例1 分析 要證，則考慮這兩個(gè)三角形中對應(yīng)邊、對應(yīng)角的相等關(guān)系。而，且，則問題得證，本題要證對應(yīng)的角相等也并不困難。證明 四邊形ABCD為矩形，四邊形ABDE為等腰梯形，且為其對角線，。在和中，又，例2 證法一 由ABCD是等腰梯形，又，在與中，于是，故。證法二 如圖，連結(jié)BD，由可知四邊形DCEB為平行四邊形，所以又ABCD為等腰梯形，于是，故證法三 如圖，作于于M。在與中，所以又，故又由，可得所以F為AE的中點(diǎn)，CF為AE的垂直平分線，所以證法四 如圖，連結(jié)BD。由知四邊形BECD為平行四邊形，所以。又ABCD是等腰梯形，所以又由，可知。所以說明：本題采用了幾種常用的作輔助線的方法證得結(jié)論，目的是說明解與梯形有關(guān)的問題經(jīng)常用這些作輔助線的方法。例3 分析 畫出這些圖形的關(guān)鍵是認(rèn)識這些圖形，也可以動手剪出這樣的四個(gè)直角三角形，動手拼一拼，拼的過程中要注意把相等的兩條邊拼在一起。解例4 分析：由已知條件知，梯形ABCD是等腰梯形，由于等腰梯形是一個(gè)軸對稱圖形，由圖中的輔助線很容易想到. 在此基礎(chǔ)上應(yīng)用勾股定理，就可以解決問題. 解答：過點(diǎn)D、C作于E，于F. 則根據(jù)等腰梯形的軸對稱性可知：. ， 四邊形CDEF是矩形. . 在中，根據(jù)勾股定理有， . 說明 等腰梯形是一個(gè)軸對稱圖形，在計(jì)算等腰梯形的有關(guān)量時(shí)，就要從上底的兩個(gè)端點(diǎn)作下底的垂線，從而產(chǎn)生一個(gè)矩形和兩個(gè)全等的直角三角形，然后我們就可以根據(jù)等腰梯形的對稱性，矩形自身的性質(zhì)以及全等的直角三角形的性質(zhì)解決問題例5 分析 圖中有兩條線AD和BC是平行的，也就是說一條直線上的各點(diǎn)到另一條直線的距離相等所以如果出現(xiàn)同底的三角形，就可以保證其面積相等，因此，在這個(gè)圖形中就能出現(xiàn)面積相等的三角形證明：，A、D兩點(diǎn)到BC的距離相等. 即中BC邊上的高與中BC邊上的高相等. （等底等高）. 說明 本題中，我們也可以用和的面積相等，推出和的面積相等，等底等高的性質(zhì)在證明三角形及四邊形的面積問題時(shí)，起關(guān)鍵作用. 例6 解法1 如圖，延長DA，CB交于F. ， . 解法2 如圖，作，交DC于E. ， 在中， ，分析 本題綜合考查了梯形的性質(zhì)及等腰三角形的判定，易錯(cuò)點(diǎn)是作輔助線后探索不出圖中所含的等腰三角形. 解題關(guān)鍵是作出恰當(dāng)?shù)妮o助線. 例7 分析：計(jì)算面積，我們可以通過面積的計(jì)算公式，但同時(shí)，對于一些特殊的圖形可采取特殊的方法，如，同底同高的兩個(gè)三角形面積相等，同底等高的三角形和平行四邊形的面積比為. 那么由給出條件中的幾對平行線，可考慮構(gòu)造幾個(gè)平行四邊形. 延長DC交BE于F，延長AC交BE于M，則圖中就有兩個(gè)平行四邊形，即AMED和ABFD. 而且這個(gè)平行四邊形的底都為AD，且高都是AD，BE平行線之間的距離，即它們的高也相等，所以它們的面積相等. 繼續(xù)觀察圖形可發(fā)現(xiàn)的面積恰好是ABFD面積的一半，的面積恰好是AMED的一半. 因此可證明這兩個(gè)三