第六章 微元法的應(yīng)用.doc

第六章 微元法的應(yīng)用26.1 微元法26.2 定積分在幾何學(xué)中的應(yīng)用46.3 定積分在物理學(xué)中的應(yīng)用96.4 定積分在其它領(lǐng)域的應(yīng)用11總結(jié)與提高14復(fù)習(xí)題六15第六章 微元法的應(yīng)用如阿基米德一個根本的那個人的、牛頓與高斯這樣的最偉大的數(shù)學(xué)家，總是不偏不倚地把理論與應(yīng)用結(jié)合起來。 克萊因 “微元法”就是根據(jù)定積分的定義抽象出來的將實際問題轉(zhuǎn)化成定積分的一種簡單直接方法,就是將研究對象分割成許多微小的單元，或從研究對象上選取某一“微元”加以分析，從而可以化曲為直，使變量、難以確定的量為常量、容易確定的量通俗地說就是把研究對象分為無限多個無限小的部分，取出有代表性的極小的一部分進行分析處理，再從局部到全體綜合起來加以考慮的科學(xué)思維方法。在處理問題時,從對事物的極小部分(微元)分析入手,達到解決事物整體的方法.這是一種深刻的思維方法,是先分割逼近,找到規(guī)律,再累計求和,達到了解整體. 微元法在幾何、物理、力學(xué)和工程技術(shù)等方面都有著極其廣泛的應(yīng)用本章我們首先重點討論定積分在幾何上的應(yīng)用；其次，討論它在物理、力學(xué)方面的一些應(yīng)用最后再討論在工程技術(shù)以及經(jīng)濟學(xué)方面的應(yīng)用6.1 微元法6.1.1 微元法的原理定積分概念的引入，體現(xiàn)了一種思想，它就是：在微觀意義下，沒有什么“曲、直”之分，曲頂?shù)膱D形可以看成是平頂?shù)?，“不均勻”的可以看成是“均勻”的。簡單地說，就是以“直”代“曲”，以“不變”代“變”；的思想.abx圖6.1.1 微元法的意義 直觀的看，對于圖所示圖形的面積時，在a, b上任取一點x，此處任給一個“寬度”，那么這個微小的“矩形”的面積為此時我們把稱為“面積微元”。把這些微小的面積全部累加起來，就是整個圖形的面積了。這種累加通過什么來實現(xiàn)呢？當(dāng)然就是通過積分，它就是這些問題可化為定積分來計算的待求量有兩個特點：一是對區(qū)間的可加性，這一特點是容易看出的；關(guān)鍵在于另一特點，即找任一部分量的表達式： （6.1.1）然而，人們往往根據(jù)問題的幾何或物理特征，自然的將注意力集中于找這一項。但不要忘記，這一項與之差在時，應(yīng)是比高階的無窮小量（即舍棄的部分更微?。?，借用微分的記號，將這一項記為 （6.1.2）這個量稱為待求量的元素或微元。用定積分解決實際問題的關(guān)鍵就在于求出微元。設(shè)在上連續(xù)，則它的變動上限定積分 （6.1.3）是的一個原函數(shù)，即.于是， （6.1.4）這表明連續(xù)函數(shù)的定積分就是（6.1.1）的微分的定積分.由理論依據(jù)（6.1.2）可知，所求總量就是其微分從到的無限積累（即積分），這種取微元計算積分或原函數(shù)的方法稱為微元法.如，求變速直線運動的質(zhì)點的運行路程的時候，我們在T0到T1的時間內(nèi)，任取一個時間值t，再任給一個時間增量，那么在這個非常短暫的時間內(nèi)（內(nèi)）質(zhì)點作勻速運動，質(zhì)點的速度為v ( t )，其運行的路程當(dāng)然就是就是“路程微元”，把它們?nèi)坷奂悠饋碇缶褪牵河眠@樣的思想方法，將來我們還可以得出“弧長微元”、“體積微元”、“質(zhì)量微元”和“功微元”等等。這是一種解決實際問題非常有效、可行的好方法。6.1.2 微元法的主要步驟設(shè)想有一個函數(shù) , 所求量可以表示為: ，然后實際進行以下三步:第一步取 , 并確定它的變化區(qū)間;第二步設(shè)想把分成許多個小區(qū)間, 取其中任一個小區(qū)間, 相應(yīng)于這個小區(qū)間的部分量 能近似地表示為與的乘積),就把稱為量的微元并記作, 即第三步在區(qū)間上積分, 得到Q =ba這里的關(guān)鍵和難點是求 , 在解決具體問題時本著是的線性主部的原則, 這樣計算的 為精確值。6.1.3 微元法的使用條件 據(jù)以上分析，可以用定積分來解決的確實際問題中的所求量應(yīng)符合下列條件：（1）是與一個變量的變化區(qū)間有關(guān)的量；（2）對于區(qū)間具有可加性；（3）局部量的近似值可表示為這里是實際問題選擇的函數(shù).6.2 定積分在幾何學(xué)中的應(yīng)用6.2.1直角坐標(biāo)系下平面圖形的面積 由定積分的幾何意義，連續(xù)曲線 與直線 軸所圍成的曲邊梯形的面積為 若 在 上不都是非負的，則所圍成的面積為一般的，由兩條連續(xù)曲線 及直線所圍成的平面圖形稱為型圖形，其面積為 而由兩條連續(xù)曲線 及直線所圍成的平面圖形稱為型平面圖形其面積為：上述結(jié)果用微元法分析如下：如圖6.2.1可選取積分變量為x，并可確定x的變化區(qū)間為a, b，在a, b上任取一小區(qū)間 x, x+dx，它對應(yīng)的小條形區(qū)域的面積近似等于，故面積元素為，圖6.2.1所以 同理，當(dāng)平面圖形是由連續(xù)曲線與直線以及y軸所圍時( 圖6.2.1)，其面積為xyo12圖6.2.2 例1 試求由所圍成的圖形的面積. 解 如圖，這是一個典型的型圖形，所以面積微元，于是所求面積例2 求由曲線x = y2以及直線y = x-2ABCDEF4x所圍的平面圖形的面積（如右圖）。y 解 這是一個典型的Y型平面圖形。由解得它們的交點坐標(biāo)是：(1, -1)；(4, 2)因此所求的平面圖形的面積為：圖6.2.3在平面圖形的面積計算過程當(dāng)中，對圖形進行適當(dāng)?shù)姆指钣袝r是必要的。我們所求面積的圖形就好比一塊大蛋糕，必要的時候，我們就得拿起小刀，對這塊“蛋糕”進行分割，把它切割成符合我們要求的形狀，然后再求出每小塊“蛋糕”的面積，最后把它們加起來就是整塊“蛋糕”的面積了。 6.2.2 已知平行截面面積的幾何體的體積abS(x)x現(xiàn)在我們看下面一個空間立體，假設(shè)我們知道它在x 處截面面積為S(x)，可否利用類似于上節(jié)極坐標(biāo)下推導(dǎo)面積公式的思想求出它的體積？如果像切紅薯片一樣，把它切成薄片，則每個薄片可近似看作直柱體，其體積等于底面積乘高，所有薄片體積加在一起就近似等于該立體的體積。我們繼續(xù)用微元法導(dǎo)出公式。在a, b上任取一點x，并且任給x的一個增量，這樣就得到一個非常薄的薄片，這個小薄片我們可以近似地把它看成柱體，于是這個微小的柱體體積為：dV=S(x)= A(x)把這些小體積加起來，就是我們要求的體積。它就是：。這里，體積的計算的關(guān)鍵是求截面面積S(x) , 常用的方法先畫出草圖，分析圖象求出S(x).例 3 求兩圓柱 所圍的立體體積 先畫出兩圓柱的圖象，圖中看到的是所求立體的八分之一的圖像, 該立體被平面 （因為兩圓柱半徑相同）所截的截面, 是一個邊長為 的正方形, 所以截面面積 ,考慮到是8 個卦限，所以有再看一個例題例4一半徑為a的圓柱體，用與底面交角為的平面去截該圓柱體，并且截面過底圓直徑，求截下部分的幾何體體積。解 如下圖建立坐標(biāo)系。在-a, a上任取一點x，那么在這一點垂直x軸的截面為一個直角三角形，其面積為xyABEOA(x)=ABBE而；，所以：所以，所求的體積為=y x y=f(x) 圖6.2.6 旋轉(zhuǎn)體的體積由分析和上面幾個例題看出，只要知道了截面面積函數(shù)就可以用定積分來解決立體的體積計算問題。6.2.3 旋轉(zhuǎn)體的體積設(shè)一平面圖形以x=a；x=b；y=0以及y=f(x)為邊界，求該圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周的旋轉(zhuǎn)體體積。其實這是一個求X型平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周的旋轉(zhuǎn)體體積問題。我們用“微元法”的思想，來解決這一問題。在a, b上任取一點x，再任給一個自變量的增量，得到一個細長條，該細長條我們可以把它看成矩形，該矩形的寬為，高為f(x)，那么這個小“矩形”繞x軸旋轉(zhuǎn)一周的旋轉(zhuǎn)體就是一個圓柱體，不過，這個圓柱體非常的薄，其厚度就是，圓柱體體積是：體積 = 底面積高于是小圓柱體的體積微元是：再把這些微小的圓柱體體積累加起來，也就是積分，所以所求的體積為這樣旋轉(zhuǎn)出來的旋轉(zhuǎn)體如圖所示。1圖6.2.7 例5 求由曲線y = x2和x = y2所圍的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周的旋轉(zhuǎn)體體積。解 設(shè)所求體積為V，由于上邊界為x = y2，下邊界為y = x2，則所求的體積為：“以x=0；x=1；y=0和圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周的旋轉(zhuǎn)體體積”與“以x=0；x=1；y=0和圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周的旋轉(zhuǎn)體體積”之差。即O b-ag1(y) g2(y)ya 圖6.2.8x例5 求圓繞軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積. 解 此旋轉(zhuǎn)體為一圓環(huán)體(圖5-16). 圓的方程可表示為：左半圓； 右半圓，所求體積為左半圓,右半圓分別與直線、以及軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的兩個旋轉(zhuǎn)體的體積之差, 即 6.2.4 直角坐標(biāo)平面曲線的弧長1.曲線方程情形設(shè)曲線弧由直角坐標(biāo)方程給出，其中 在上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)?，F(xiàn)在用元素法來計算這曲線弧的長度.取橫坐標(biāo) 為積分變量，它的變化區(qū)間為.曲線上對應(yīng)于上任一小區(qū)間的一段弧的長度 可以用該曲現(xiàn)在點出的切線上相應(yīng)的一小段的長度來近似代替. 而這相應(yīng)切線段的長度為以此作為弧長元素，即以為被積表達式，在區(qū)間 上做定積分，變得所求得弧長.曲線段弧 的長度為2.參數(shù)方程情形設(shè)曲線弧由參數(shù)方程給出，其中 ， 在上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)?，F(xiàn)在來計算這曲線弧的長度.取參數(shù)為積分變量，它的變化區(qū)間為 .相應(yīng)上任一小區(qū)間 的小弧段的長度的近似值及弧長元素為于是，曲線段弧 的長度為6.2.4 旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間連續(xù)，求其繞軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積.在任取小區(qū)間，以左端點所對應(yīng)的函數(shù)值為半徑作圓，這圓的周長與小區(qū)間所對應(yīng)的弧長的乘積，近似代替該小區(qū)間所對應(yīng)的弧段繞軸旋轉(zhuǎn)所得的曲面面積.所以，旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積元素可表示為；所以旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積為.例6 求半徑為的球面面積.解 球面可看作上半圓周繞軸旋轉(zhuǎn)一周而形成的旋轉(zhuǎn)曲面.取積分變量為，其區(qū)間為.任取小區(qū)間，于是側(cè)面積面積元素為 側(cè)面積為 .習(xí)題6.21. 求拋物線 與直線 所圍的平面圖形的面積.2. 求由曲線 圍成的平面圖形的面積.3. 求由拋物線 與直線 所圍平面圖形的面積.4.求底面半徑為r，高為h的直圓錐的體積.5. 求由拋物線,直線及x軸所圍平面圖形分別繞軸、 y軸旋轉(zhuǎn)所得立體的體積.6求懸鏈線 介于和之間的一段弧長.6.3 定積分在物理學(xué)中的應(yīng)用“微元法”是研究物理問題時所采用的一種特殊的分析方法,它是把研究對象分割為無限多個無限小的部分,或把物理過程分解成無限多個無限小的部分,然后抽取其中的一部分加以研究,通過對所抽取的這一部分的研究,就可以認知整體或全過程的性質(zhì)和規(guī)律,它實質(zhì)就是“從復(fù)合到單一,再從單一到復(fù)合”的綜合分析思維方法。6.3.1 變力沿直線所作的功 從物理學(xué)知道，如果物體在做直線運動的過程中受到常力作用，并且力 的方向與物體運動的方向一致，那么，當(dāng)物體移動了距離s時,力對物體所作的功是 .如果物體在運動過程中所受到的力是變化的，那么就遇到變力對物體作功的問題.例1 把一個帶電量為 的點電荷放在 軸的原點 處，它產(chǎn)生一個電場，并對周圍的電荷產(chǎn)生作用力，由物理學(xué)知道，如果有一個單位正電荷放在這個電場中距離原點 為 的地方，那么電場對它的作用力的大小為（ 是常數(shù)），如圖，當(dāng)這個單位正電荷在電場中從 處沿 軸移動到處時，計算電場力 對它所做得功.解 在上述移動過程中，電場對這個單位正電荷的作用力是不斷變化的，取 為積分變量，它的變化區(qū)間為 ，在 上任取一小區(qū)間 ，當(dāng)單位正電荷從 移動到 時，由庫侖定律庫侖定律：真空中兩個點電荷之間相互作用的電力，跟它們的電荷量的乘積成正比，跟它們的距離的二次方成反比，作用力的方向在它們的連線上。即： 其中k為靜電力常量， k=9.010 9 Nm2/c2，電場力對它所作的功近似于，從而得功元素為圖6.3.1于是所求的為 6.3.2 靜止液體的壓力物理學(xué)知道，深為處液體的壓強為，其中是液體的密度，. 設(shè)有一面積為的平板，水平地放置在液體中深為處，則平板一側(cè)所受的壓力為.如果平板垂直放在液體中，那么由于液體的深度不同，就不能用上面的公式計算平板一側(cè)所受的壓力，需要定積分來求解. 下面舉例說明.例2 某水庫的閘門形狀為等腰梯形，它的兩條底邊各長10m和6m,高為20m,較長的底邊與水面相齊，計算閘門的一側(cè)所受的水壓力。解 如圖6.3.2, 以閘門的長底邊的中點為原點且鉛直向下作 軸,取 為積分變量，它的變化范圍為 .在 上任取一個小區(qū)間 ,閘門上相應(yīng)于該小區(qū)間的窄條各點處所受到水的壓強近似于,這窄條的長度近似為,高度為 ,因而這一窄條的一側(cè)所受的水壓力近似為圖6.3.2這就是壓力元素，于是所求的壓力為6.3.3 引力的計算圖6.3.3由萬有引力定律知道，質(zhì)量分別為相距為的兩質(zhì)點間的引力的大小為，其中為引力系數(shù)，引力的方向沿著兩質(zhì)點的連線方向.如要計算一細棒對一質(zhì)點的引力，由于細棒上各點與該物質(zhì)的距離是變化的，并且各點對該物質(zhì)的引力方向也是變化的，所以就不能用上面公式來計算。下面舉例說明用微元法計算它的方法：例3 設(shè)有一根長度為 、線密度為 的均勻細直棒，在其中垂線上距棒 單位處有一質(zhì)量為 的質(zhì)點。試計算該棒對質(zhì)點 的引力解 取坐標(biāo)系如圖6.3.3所示，使棒位于 軸上，質(zhì)點 位于 軸上，棒的中點為原點 ，取 為積分變量，它的變化區(qū)間為.在 上任取一小區(qū)間 ，把細直棒上相應(yīng)于 的一段近似的看成質(zhì)點，其質(zhì)量為 ，與 相距 ，因此可以按照兩質(zhì)點間的引力計算公式求出這段細直棒對質(zhì)點 的引力 的大小為，從而求出 在水平方向分力的近似值，即細直棒對質(zhì)點 的引力在水平方向分力的元素為于是得到引力在水平方向的分力為上式中的負號表示 指向 軸的負向，又由對稱性知，引力在鉛直方向分力為.習(xí)題6.31.一貯油罐裝有密度為的油料.為了便于清理，罐的下部側(cè)面開有半徑的圓孔，孔中心距液面孔口擋板用螺釘鉚緊，已知每個螺釘能承受的力.問至少需要多少個螺釘？2.古埃及大金字塔為一正四棱錐，設(shè)高為125m，塔基為230m230m的正方形，傳說歷時20年才建成。若建造金字塔所用石塊的密度為3210kg/m3，試求建成這座金字塔所做的功，并由此大致估算需要多少工匠直接投入建塔工程。 3.一橫放的半徑為的圓柱形油桶盛有半桶油，油的密度為，計算桶的圓形一側(cè)所受的壓力.4.邊長為的矩形薄片，與液面成角沉于液體內(nèi)，長邊平行于液面而位于深處，設(shè)，液體的比重為，試求薄片每面所受的壓力6.4 定積分在其它領(lǐng)域的應(yīng)用6.4.1平均值許多問題常要計算連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上的平均值，如24小時的平均氣溫等.1.算術(shù)平均值設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，將分成等份，設(shè)等分點依次為,，當(dāng)足夠大，每個小區(qū)間的長就足夠小，于是可用近似代替小區(qū)間上各點的函數(shù)值，. 于是，在區(qū)間的近似平均值為 .當(dāng)時，的極限就是在的平均值. 據(jù)此，以及定積分的定義，得由定積分中值定理易知， 就是在的平均值.例1 計算從0秒到秒這段時間內(nèi)自由落體的平均速度. 解 自由落體的速度為，所以要計算的平均速度為.例2 設(shè)交流電；兩個交流半周的整流電流，求其在一個周期上的平均值.解 由，的周期為，于是由，的周期為，于是，平均值是直流電的強度，它等效于一個周期內(nèi)流過的交流電量.一般地,如果 , , 且 那么成為函數(shù) 關(guān)于權(quán)數(shù) 在區(qū)間 上的加權(quán)平均值.若令 , 加權(quán)平均就變成了算術(shù)平均2.均方根在物理學(xué)中，除討論電流在一個周期上的平均值外，還常考慮電流的有效值.周期性非恒定電流的有效期規(guī)定為：當(dāng)在其一個周期內(nèi)，在負載電阻上消耗的平均功率，等于取固定值的直流電流在上消耗的功率時，稱這個值為的有效值.由于固定值的電流在電阻上消耗的功率為，電流在上消耗的功率為，它在一個周期內(nèi)的平均值為，所以，于是，即 （6.3.1）數(shù)學(xué)上，將(6.3.1)稱為函數(shù)在區(qū)間上的均方根. 由此可見： 沒有經(jīng)過整流的電流的有效值為； 整流為兩個交流半周的電流的有效值為.二者結(jié)果相同.這是因為消耗的功率相同，而與電流的方向無關(guān).6.4.2 微元法在其他領(lǐng)域中的應(yīng)用微元法在經(jīng)濟、化工、醫(yī)學(xué)、生物等領(lǐng)域也有廣泛的應(yīng)用，如人口統(tǒng)計、心臟輸出量的測定、單位時間內(nèi)的血流量、化學(xué)反應(yīng)物的生成、生物群落的量的計算等等。例3（人口統(tǒng)計模型）某城市1990年的人口密度近似為表示距市中心 公里區(qū)域內(nèi)的人口數(shù), 單位為每平方公里10 萬人.試求距市中心2區(qū)域內(nèi)的人口數(shù). 解 假設(shè)我們從城市中心畫一條射線, 把這條線上從0到2 之間分成n 個小區(qū)間, 每個小區(qū)間的長度為.每個小區(qū)間確定了一個環(huán), 估算每個環(huán)中的人口數(shù)并把它們相加, 就得到了總?cè)丝跀?shù)。第 個環(huán)的面積為:于是此環(huán)面積的線性主部為.在第 個環(huán)內(nèi), 人口密度可看成常數(shù), 所以此環(huán)內(nèi)的人口數(shù)近似為，即得微元。故人口數(shù)(10 萬) , 即距市中心2 區(qū)域內(nèi)的人口數(shù)大約為229, 100。總結(jié)與提高&數(shù)海擷趣數(shù)學(xué)與文學(xué)的關(guān)系，當(dāng)代國際著名的數(shù)學(xué)家丘成桐在其演講數(shù)學(xué)與文學(xué)的比較中有較為細致的論述，但最引人入勝的是關(guān)于數(shù)學(xué)思想與文學(xué)意境的論述，由“如孤帆遠影碧空盡， 惟見長江天際流”的美妙意境聯(lián)想到極限；從“眾里尋他千百度，驀然回首， 那人卻在燈火闌珊處” 體會解題的感受；曠野孤身一人誦讀佳句“前不見古人，后不見來者，念天地之悠悠，獨愴然而涕下”，感受時空變換穿梭，真是其種種美的體驗，不盡溢于言表。古人將數(shù)詞入詩成為佳話，而將數(shù)詞用在書信中其表情達意又另有一番滋味。相傳西漢時卓文君與司馬相如成婚不久，司馬相如便辭別嬌妻去京城做官。癡情的卓文君朝思暮想，等待春丈夫的“萬金”家書。殊不知等了 5 年，等來的卻只是一封寫著“一二三四五六七八九十百千萬”的數(shù)字家書。聰穎過人的卓文君當(dāng)然明白丈夫的意思家書中數(shù)字無“億”，表示丈夫已對她“無意”了，只不過沒直說罷了。卓文君知丈夫已移情另有所愛，既悲且憤又恨當(dāng)即復(fù)書如下：一別之后，兩地相思，只說是三四月，又誰知五六年，七弦琴無心彈，八行書無可傳，九連環(huán)從中拆斷，十里長亭望眼欲穿。百思想，千系念，萬般無奈把郎怨。萬語千言道不盡，百無聊賴十憑欄。九重登高看孤雁，八月中秋月圓人不園。七月半