概率論答案第五冊.pdf

華東理工大學 概率論與數理統(tǒng)計 作業(yè)簿 第五冊 學 院 專 業(yè) 班 級 學 號 姓 名 任課教師 第十三次作業(yè) 一 填空題 1 已知二維隨機變量 的聯合概率分布為 0 1 0 1 2 0 1 0 15 0 25 0 2 0 15 0 15 則 max 2 sin EEEE max D 2 設隨機變量 321 相互獨立 1 6 0 U 2 4 0 N 3 3 E 則 32 321 E 12 32 321 D 46 3 已知 4 0 2 2 NX 則 2 3 XE 1 16 4 設 2 1 6 0 10 NYNX 且X與Y相互獨立 則 3 YXD 7 4 二 選擇題 05 15 025 02 1 36 0 1 設 N 10 4 0 N 下列說法正確的是 B A 5 0 N B 0 E C 5 D D 3 D 2 設 321 XXX相互獨立同服從參數3 的泊松分布 令 3 1 321 XXXY 則 2 YE C A 1 B 9 C 10 D 6 3 設 PX 且 1 2 1 XXE 則 A A 1 B 2 C 3 D 0 三 計算題 1 設二維隨機變量 的聯合概率密度函數為 其他0 20 20 8 1 yxyx yxp 求 EEE 解 EyyxxxyxyxxpE D 6 7 d d 8 1 dd 2 0 2 0 3 4 d d 8 1 dd 2 0 2 0 yyxxyxyxyxxypE D 2 二維隨機變量 服從以點 0 1 1 0 1 1 為頂點的三角形區(qū)域上的均 勻分布 試求 E和 D 解 2 0 x yG p x y x yG 11 01 4 2 3 y Edyxy dx 11 22 01 11 2 6 y Edyxydx 22 11161 6918 DEE 3 有10個人同乘一輛長途汽車 沿途有20個車站 每到一個車站時 如果沒 有人下車 則不停車 設每位乘客在各站下車是等可能的 且各乘客是否下車是 相互獨立的 求停車次數的數學期望 解 設 1 0 i i i 第 站有人下車 第 站沒人下車 則PP i 0 10 個人在第 i 站都不下車 10 20 1 1 從而 10 20 1 11 1 i P 于是 10 20 1 11 1 1 0 0 iii PPE 長途汽車停車次數 2021 L 故 10 2021 20 19 120 EEEEL 第十四次作業(yè) 一 填空題 1 已知9 4 DD 則當12 D時 當4 0 時 D 2 設4 0 36 25 xy YDXD 則 YXD 85 3 設二維隨機變量 5 0 4 1 4 1 N 則 cov 二 選擇題 12 1 8 17 2 1 已知隨機變量X與Y獨立同分布 記YXU YXV 則U與V必 D A 獨立 B 不獨立 C 相關 D 不相關 2 設隨機變量 與 的方差存在且不等于0 則 DDD 是 與 C A 獨立的充要條件 B 獨立的充分條件 但不是必要條件 C 不相關的充要條件 D 不相關的充分條件 但不是必要條件 3 對于任意兩個隨機變量X和Y 若 E XYE XE Y 則 B A D XYD XD Y B D XYD XD Y C X和Y獨立 D X和Y不獨立 三 計算題 1 已知二維隨機變量 的聯合概率分布為 0 1 2 3 1 3 0 8 3 8 3 0 8 1 0 0 8 1 1 求 2 與 是否獨立 說明理由 解 1 邊際分布 1 3 Pi 3 4 1 4 0 1 2 3 Pj 1 8 3 8 3 8 1 8 于是 313 13 442 E 13313 0123 88882 E 再由聯合分布得 3319 1 11 23 3 8884 E 從而 93 3 cov 0 42 2 故0 2 由于 3 1 0 32 PP 而 1 0 0P 故 不獨立 2 設二維隨機變量 的聯合概率密度函數為 ac 試證 XY 證明 XY DYDXac YXac dcYDbaXD dcYbaX cov cov 4 設兩個隨機變量 5 0 9 4 4 2 DDEE 求 323 22 E 解 68 3 cov 2 3 3 2 3 323 22 22 22 EDEEED EEE E 第十四次作業(yè) 一 選擇題 1 設隨機變量 密度函數為 p x 則31 的密度函數 py 為 A A 11 33 y p B 1 3 3 y p C 1 3 1 3 py D 1 3 3 y p 2 設隨機變量 和 相互獨立 其分布函數分別為 xF 與 yF 則 max 的分布函數 zF 等于 B A max zFzF B zFzF C 2 1 zFzF D zFzFzFzF 二 填空 已知 1 0 N 3 1 則 的概率密度為 y 2 2 6 e 2 3 y y 三 計算題 1 已知隨機變量 2 0 U 求 2 的概率密度 解 00 0 00 0 2 y yyFyF y yyyP yPyF 故 00 0 2 1 y yypyp y yp 其他0 40 4 1 y y 2 設隨機變量X的概率分布為 X 1 2 3 n P 2 1 2 2 1 3 2 1 n 2 1 求 2 sin XY 的概率分布 解 由于 341 20 141 2 sin kx kx kx x L 2 1 k 故隨機變量Y的可能取值為 1 0 1 隨機變量Y的 1 14 1 k kXPYP 1 4 14 15 2 1 2 1 1 8 1 2 1 k k 1 2 0 k kXPYP 1 2 2 3 1 1 2 1 1 4 1 2 1 k k 1 34 1 k kXPYP 1 4 34 15 8 1 2 1 1 2 1 2 1 k k 于是隨機變量Y的分布律為 Y 1 0 1 P 15 2 3 1 15 8 3 設 1 0 U 求 ln 的分布 解 對應于 ln 2 lnln xfexy xx 由于 x xexf x 1 ln2 2 ln 當 1 0 x 時 0 其他 密度函數中非零部分對應的 x y落在區(qū)域 D 中 利用卷積公式 當1z 時 1 0 1 z xz pzedxee 當01z 時 0 1 z z xz pzedxe 當0z 時 0pz 故 1 1 1 01 0 0 z z eez pzez z 00 0e1 x x xF x 所以 00 0 e1 2 2 y y yFyF y 從而 00 0 e2 e1 00 0 e1 11 11 22 2 2 2 z z z z zFzF zz z 00 0 e2 e1 e4 2 z z zp zzz 8 某廠生產一種化工產品 這種產品每月的市場需求量 單位 噸 服從 5 0 上的均勻分布 這種產品生產出來后 在市場上每售出1噸可獲利6萬元 如果 產量大于需求量 則每多生產1噸要虧損4萬元 如果產量小于需求量 則不虧 損 但只有生產出來的那一部分產品能獲利 問 為了使每月的平均利潤達到最 大 這種產品的月產量 a 應該定為多少噸 這時 平均每月利潤是多少元 解 因為 5 0 U 所以 的概率密度為 其他0 5051 x x 設月產量為 a 50 a 每月的利潤為 則 f 時當 時當 aa aaa 6 410 46 該廠平均每月利潤為 E xx