結(jié)構(gòu)力學(xué)ppt課件

第一章緒論 1 1結(jié)構(gòu)力學(xué)的研究對(duì)象和任務(wù) 結(jié)構(gòu)的概念 結(jié)構(gòu)是在建筑物和構(gòu)筑物中 起主要受力 傳力及支承作用的部分 結(jié)構(gòu)的分類 按構(gòu)件的幾何特征 桿件結(jié)構(gòu) 空間或平面 薄壁結(jié)構(gòu) 薄板 薄殼 實(shí)體結(jié)構(gòu) 1 課程研究的對(duì)象 平面桿件結(jié)構(gòu) 課程的任務(wù) 結(jié)構(gòu)的組成規(guī)律 合理形式 結(jié)構(gòu)在外因作用下的強(qiáng)度 剛度和穩(wěn)定性 即平面桿件結(jié)構(gòu)在各種外因作用下的內(nèi)力 位移的計(jì)算原理和計(jì)算方法 暫不涉及穩(wěn)定問題 結(jié)構(gòu)計(jì)算簡(jiǎn)圖的概念 結(jié)構(gòu)計(jì)算簡(jiǎn)圖的簡(jiǎn)化原則是 計(jì)算簡(jiǎn)圖要能反映實(shí)際結(jié)構(gòu)的主要受力和變形特點(diǎn) 即要使計(jì)算結(jié)果安全可靠 便于計(jì)算 即計(jì)算簡(jiǎn)圖的簡(jiǎn)化程度要與計(jì)算手段以及對(duì)結(jié)果的要求相一致 1 2結(jié)構(gòu)計(jì)算簡(jiǎn)圖 2 3 結(jié)構(gòu)計(jì)算簡(jiǎn)圖的幾個(gè)要點(diǎn) 空間桿件結(jié)構(gòu)的平面簡(jiǎn)化桿件構(gòu)件的簡(jiǎn)化 以桿件的軸線代替桿件 桿件之間連接的簡(jiǎn)化 理想結(jié)點(diǎn)代替桿件與桿件之間的連接 鉸結(jié)點(diǎn) 匯交于一點(diǎn)的桿端是用一個(gè)完全無磨擦的光滑鉸連結(jié) 鉸結(jié)點(diǎn)所連各桿端可獨(dú)自繞鉸心自由轉(zhuǎn)動(dòng) 即各桿端之間的夾角可任意改變 剛結(jié)點(diǎn) 匯交于一點(diǎn)的桿端是用一個(gè)完全不變形的剛性結(jié)點(diǎn)連結(jié) 形成一個(gè)整體 剛結(jié)點(diǎn)所連各桿端相互之間的夾角不能改變 組合結(jié)點(diǎn) 半鉸 剛結(jié)點(diǎn)與鉸結(jié)點(diǎn)的組合體 4 結(jié)構(gòu)與支承物連接的簡(jiǎn)化 以理想支座代替結(jié)構(gòu)與其支承物 一般是大地 之間的連結(jié) 活動(dòng)鉸支座 允許沿支座鏈桿垂直方向的微小移動(dòng) 沿支座鏈桿方向產(chǎn)生約束力 固定鉸支座 允許饒固定鉸鉸心的微小轉(zhuǎn)動(dòng) 過鉸心產(chǎn)生任意方向的約束力 分解成水平和豎直方向的兩個(gè)力 固定支座 不允許有任何方向的移動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng) 產(chǎn)生水平 豎直及限制轉(zhuǎn)動(dòng)的約束力 5 1 3桿件結(jié)構(gòu)的分類1 按結(jié)構(gòu)的受力特點(diǎn)分類 梁 由水平 或斜向 放置桿件構(gòu)成 梁構(gòu)件主要承受彎曲變形 是受彎構(gòu)件 剛架 不同方向的桿件用結(jié)點(diǎn) 一般都有剛結(jié)點(diǎn) 連接構(gòu)成 剛架桿件以受彎為主 所以又叫梁式構(gòu)件 桁架 由若干直桿在兩端用鉸結(jié)點(diǎn)連接構(gòu)成 桁架桿件主要承受軸向變形 是拉壓構(gòu)件 組合結(jié)構(gòu) 由梁式構(gòu)件和拉壓構(gòu)件構(gòu)成 拱 一般由曲桿構(gòu)成 在豎向荷載作用下有水平支座反力 2 按計(jì)算方法分類 靜定結(jié)構(gòu) 超靜定結(jié)構(gòu) 6 1 4荷載分類 按作用時(shí)間分類 恒載 永久作用在結(jié)構(gòu)上 如結(jié)構(gòu)自重 永久設(shè)備重量 活載 暫時(shí)作用在結(jié)構(gòu)上 如人群 風(fēng) 雪 在結(jié)構(gòu)上可占有任意位置的可動(dòng)荷載 及車輛 吊車 在結(jié)構(gòu)上平行移動(dòng)并保持間距不變的移動(dòng)荷載 按作用性質(zhì)分類 靜力荷載 荷載由零加至最后值 且在加載過程中結(jié)構(gòu)始終保持靜力平衡 即可忽略慣性力的影響 動(dòng)力荷載 荷載 大小 方向 作用線 隨時(shí)間迅速變化 并使結(jié)構(gòu)發(fā)生不容忽視的慣性力 按與結(jié)構(gòu)的接觸分類 直接荷載 間接荷載 7 第二章平面體系的幾何組成分析 2 1概述平面桿件結(jié)構(gòu) 是由若干根桿件構(gòu)成的能支承荷載的平面桿件體系 而任一桿件體系卻不一定能作為結(jié)構(gòu) 本節(jié)內(nèi)容 研究結(jié)構(gòu)的組成規(guī)律和合理形式 前提條件 不考慮結(jié)構(gòu)受力后由于材料的應(yīng)變而產(chǎn)生的微小變形 即把組成結(jié)構(gòu)的每根桿件都看作完全不變形的剛性桿件 一 術(shù)語(yǔ)簡(jiǎn)介 圖 1 1 幾何不變體系 在荷載作用下能保持其幾何形狀和位置都不改變的體系稱之 幾何可變體系 在荷載作用下不能保持其幾何形狀和位置都不改變的體系稱之 8 剛片 假想的一個(gè)在平面內(nèi)完全不變形的剛性物體叫作剛片 在平面桿件體系中 一根直桿 折桿或曲桿都可以視為剛片 并且由這些構(gòu)件組成的幾何不變體系也可視為剛片 剛片中任一兩點(diǎn)間的距離保持不變 既由剛片中任意兩點(diǎn)間的一條直線的位置可確定剛片中任一點(diǎn)的位置 所以可由剛片中的一條直線代表剛片 9 二 研究體系幾何組成的任務(wù)和目的 研究結(jié)構(gòu)的基本組成規(guī)則 用及判定體系是否可作為結(jié)構(gòu)以及選取結(jié)構(gòu)的合理形式 根據(jù)結(jié)構(gòu)的幾何組成 選擇相應(yīng)的計(jì)算方法和計(jì)算途徑 2 2平面體系的自由度一 自由度的概念體系可獨(dú)立運(yùn)動(dòng)的方式稱為該體系的自由度 或表示體系位置的獨(dú)立坐標(biāo)數(shù) 平面體系的自由度 用以確定平面體系在平面內(nèi)位置的獨(dú)立坐標(biāo)數(shù) 10 圖2 2 2 上 所示 為平面內(nèi)一根鏈桿 其一端 和大地相連 顯然相對(duì)于大地來說這根鏈桿在平面內(nèi)只有一種運(yùn)動(dòng)方式 即作繞 點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng) 所以該體系只有一個(gè)自由度 同時(shí)又可看到 如果用鏈桿 與水平坐標(biāo)的夾角作為表示該體系運(yùn)動(dòng)方式的參變量 即表示該體系運(yùn)動(dòng)中任一時(shí)刻的位置 表示體系位置的參變量數(shù)與體系的自由度數(shù)也是相等的 所以 該體系的自由度數(shù)為 個(gè) 平面內(nèi)最簡(jiǎn)體系的自由度數(shù) 一個(gè)點(diǎn) 在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)完全不受限制的一個(gè)點(diǎn)有 個(gè)自由度 一個(gè)剛片 在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)完全不受限制的一個(gè)剛片有 個(gè)自由度 圖 2 1 11 12 二 約束概念當(dāng)對(duì)體系添加了某些裝置后 限制了體系的某些方向的運(yùn)動(dòng) 使體系原有的自由度數(shù)減少 就說這些裝置是加在體系上的約束 約束 是能減少體系自由度數(shù)的裝置 13 單約束 見圖 2 2 連接兩個(gè)物體 剛片或點(diǎn) 的約束叫單約束 單鏈桿 鏈桿 上圖 一根單鏈桿或一個(gè)可動(dòng)鉸 一根支座鏈桿 具有 個(gè)約束 單鉸 下圖 一個(gè)單鉸或一個(gè)固定鉸支座 兩個(gè)支座鏈桿 具有兩個(gè)約束 單剛結(jié)點(diǎn)一個(gè)單剛結(jié)點(diǎn)或一個(gè)固定支座具有 個(gè)約束 14 復(fù)約束連接 個(gè) 含 個(gè) 以上物體的約束叫復(fù)約束 復(fù)鏈桿 若一個(gè)復(fù)鏈桿上連接了 個(gè)結(jié)點(diǎn) 則該復(fù)鏈桿具有 2N 3 個(gè)約束 等于 2N 3 個(gè)鏈桿的作用 復(fù)鉸 若一個(gè)復(fù)鉸上連接了 個(gè)剛片 則該復(fù)鉸具有2 N 1 個(gè)約束 等于 N 1 個(gè)單鉸的作用 15 三 多余約束在體系上加上或撤除某一約束并不改變?cè)w系的自由度數(shù) 則該約束就是多余約束 16 2 3平面體系的幾何組成分析一 幾何不變體系的簡(jiǎn)單組成規(guī)則規(guī)則一 兩剛片規(guī)則 圖2 3 1 兩個(gè)剛片用不全交于一點(diǎn)也不全平行的三根鏈桿相連 組成無多余約束的幾何不變體系 或 兩個(gè)剛片用一個(gè)單鉸和桿軸不過該鉸鉸心的一根鏈桿相連 組成無多余約束的幾何不變體系 虛鉸的概念 虛鉸是由不直接相連接的兩根鏈桿構(gòu)成的 虛鉸的兩根鏈桿的桿軸可以平行 交叉 或延長(zhǎng)線交于一點(diǎn) 當(dāng)兩個(gè)剛片是由有交匯點(diǎn)的虛鉸相連時(shí) 兩個(gè)剛片繞該交點(diǎn) 瞬時(shí)中心 簡(jiǎn)稱瞬心 作相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng) 從微小運(yùn)動(dòng)角度考慮 虛鉸的作用相當(dāng)于在瞬時(shí)中心的一個(gè)實(shí)鉸的作用 17 18 規(guī)則二 三剛片規(guī)則 三個(gè)剛片用不全在一條直線上的三個(gè)單鉸 可以是虛鉸 兩兩相連 組成無多余約束的幾何不變體系 19 鉸接三角形規(guī)則 簡(jiǎn)稱三角形規(guī)則 平面內(nèi)一個(gè)鉸接三角形是無多余約束的幾何不變體系 以上三個(gè)規(guī)則可互相變換 之所以用以上三種不同的表達(dá)方式 是為了在具體的幾何組成分析中應(yīng)用方便 表達(dá)簡(jiǎn)捷 規(guī)則三 二元體規(guī)則 二元體特性 在體系上加上或拆去一個(gè)二元體 不改變體系原有的自由度數(shù) 利用二元體規(guī)則簡(jiǎn)化體系 使體系的幾何組成分析簡(jiǎn)單明了 20 例2 3 1對(duì)下列圖示各體系作幾何組成分析 簡(jiǎn)單規(guī)則的一般應(yīng)用方法 21 22 23 二 瞬變體系的概念 瞬變體系幾何組成特征 在微小荷載作用下發(fā)生瞬間的微小的剛體幾何變形 然后便成為幾何不變體系 24 25 26 瞬變體系的靜力特性 在微小荷載作用下可產(chǎn)生無窮大內(nèi)力 因此 瞬變體系或接近瞬變的體系都是嚴(yán)禁作為結(jié)構(gòu)使用的 瞬變體系一般是總約束數(shù)滿足但約束方式不滿足規(guī)則的一類體系 是特殊的幾何可變體系 FNAB FNAC FP2FNsina FPFN FP 2sina 27 例2 3 2對(duì)下列圖示體系作幾何組成分析 說明剛片和約束的恰當(dāng)選擇的影響 28 29 三 三個(gè)剛片的三個(gè)單鉸有無窮遠(yuǎn)虛鉸情況 兩個(gè)平行鏈桿構(gòu)成沿平行方向上的無窮遠(yuǎn)虛鉸 三個(gè)剛片由三個(gè)單鉸兩兩相連 若三個(gè)鉸都有交點(diǎn) 容易由三個(gè)鉸的位置得出體系幾何組成的結(jié)論 當(dāng)三個(gè)單鉸中有或者全部為無窮遠(yuǎn)虛鉸時(shí) 可由分析得出以下依據(jù)和結(jié)論 當(dāng)有一個(gè)無窮遠(yuǎn)虛鉸時(shí) 若另兩個(gè)鉸心的連線與該無窮遠(yuǎn)虛鉸方向不平行 體系幾何不變 若平行 體系瞬變 當(dāng)有兩個(gè)無窮遠(yuǎn)虛鉸時(shí) 若兩個(gè)無窮遠(yuǎn)虛鉸的方向相互不平行 體系幾何不變 若平行 體系瞬變 當(dāng)有三個(gè)無窮遠(yuǎn)虛鉸時(shí) 體系瞬變 30 31 例2 3 3對(duì)下列圖示體系作幾何組成分析 32 33 34 例2 3 4對(duì)圖示各體系作幾何組成分析 35 四 有多余約束的幾何不變體系 拆除約束法 去掉體系的某些約束 使其成為無多余約束的幾何不變體系 則去掉的約束數(shù)即是體系的多余約束數(shù) 切斷一根鏈桿或去掉一個(gè)支座鏈桿 相當(dāng)去掉一個(gè)約束 切開一個(gè)單鉸或去掉一個(gè)固定鉸支座 相當(dāng)去掉兩個(gè)約束 切斷一根梁式桿或去掉一個(gè)固定支座 相當(dāng)去掉三個(gè)約束 在連續(xù)桿 梁式桿 上加一個(gè)單鉸 相當(dāng)去掉一個(gè)約束 36 例2 3 5對(duì)圖示各體系作幾何組成分析 37 第二章小結(jié)一 本章要求 了解幾何不變體系 幾何可變體系 瞬變體系 剛片 體系的自由度 虛鉸 約束及多余約束的概念 重點(diǎn)理解并掌握平面幾何不變體系的簡(jiǎn)單組成規(guī)則 并能靈活應(yīng)用到對(duì)體系的分析中 二 簡(jiǎn)單規(guī)則應(yīng)用要點(diǎn)簡(jiǎn)單規(guī)則中的四個(gè)要素 剛片個(gè)數(shù) 約束個(gè)數(shù) 約束方式 結(jié)論 應(yīng)用簡(jiǎn)單規(guī)則對(duì)體系進(jìn)行幾何組成分析的要點(diǎn)是 緊扣規(guī)則 即 將體系簡(jiǎn)化或分步取為兩個(gè)或三個(gè)剛片 由相應(yīng)的規(guī)則進(jìn)行分析 分析過程中 規(guī)則中的四個(gè)要素均要明確表達(dá) 缺一不可 38 三 對(duì)體系作幾何組成分析的一般途徑 恰當(dāng)靈活地確定體系中的剛片和約束體系中的單個(gè)桿件 折桿 曲桿或已確定的幾何不變體系 一般視為剛片 但當(dāng)它們中若有用兩個(gè)鉸與體系的其它部分連接時(shí) 則可用一根過兩鉸心的鏈桿代替 視其為一根鏈桿的作用 如果上部體系與大地的連接符合兩個(gè)剛片的規(guī)則 則可去掉與大地的約束 只分析上部體系 通過依次從外部拆除二元體或從內(nèi)部 基礎(chǔ) 基本三角形 加二元體的方法 簡(jiǎn)化體系后再作分析 39 第一部分靜定結(jié)構(gòu)內(nèi)力計(jì)算靜定結(jié)構(gòu)的特性 幾何組成特性 靜力特性靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力計(jì)算依據(jù)靜力平衡原理 第三章靜定梁和靜定剛架 3 1單跨靜定梁?jiǎn)慰珈o定梁的類型 簡(jiǎn)支梁 伸臂梁 懸臂梁一 截面法求某一指定截面的內(nèi)力 40 內(nèi)力概念內(nèi)力是結(jié)構(gòu)承受荷載及變形的能力的體現(xiàn) 可理解為在各種外因用下結(jié)構(gòu)內(nèi)部材料的一種響應(yīng) 內(nèi)力是看不見的 但可由結(jié)構(gòu)上受有荷載和結(jié)構(gòu)發(fā)生變形 變形體 體現(xiàn) 截面法若要求某一橫截面上的內(nèi)力 假想用一平面沿桿軸垂直方向?qū)⒃摻孛娼亻_ 使結(jié)構(gòu)成兩部分 在截開后暴露的截面上用力 內(nèi)力 代替原相互的約束 對(duì)于截開后結(jié)構(gòu)的兩部分上 截面上的內(nèi)力已成為外力 因此 由任一部分的靜力平衡條件 均可列出含有截面內(nèi)力的靜力平衡方程 解該方程即將內(nèi)力求出 41 截面內(nèi)力截開一根梁式桿件的截面上有三個(gè)內(nèi)力 分量 即 軸力 N 剪力 Q和彎矩 內(nèi)力的定義 N 截面上平行于截面外法線方向的正應(yīng)力的代數(shù)和 一般以受拉為正 Q 截面上垂直于截面法線方向的切應(yīng)力的代數(shù)和 以使隔離體產(chǎn)生順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)為正 截面上正應(yīng)力對(duì)截面中性軸的力矩代數(shù)和 對(duì)梁一般規(guī)定使其下部受拉為正 42 內(nèi)力計(jì)算式 用截面一側(cè)上外力表達(dá)的方式 N 截面一側(cè)所有外力在桿軸平行方向上投影的代數(shù)和 左左為正 右右為正 Q 截面一側(cè)所有外力在桿軸垂直方向上投影的代數(shù)和 左上為正 右下為正 截面一側(cè)所有外力對(duì)截面形心力矩代數(shù)和 彎矩的豎標(biāo)畫在桿件受拉一側(cè) 43 例3 1 1求圖 a 所示簡(jiǎn)支梁在圖示荷載下截面的內(nèi)力 解 1 支座反力 A 0FBy 4 10 4 2 100 4 5 2 0Fby 60kN B 0FAy 60kN Fx 0FAx 100 3 5 0FAx 60kN 由 y 0校核 滿足 44 截面內(nèi)力 x 0 NC 60 0 NC 60kN y 0 QC 60 10 1 5 0 QC 45kN C 0 C 60 1 5 10 1 5 1 5 2 0 C 101 25kNm 下側(cè)受拉 45 計(jì)算支座反力去掉梁的支座約束 代以支座約束反力 并假定反力的方向 建立梁的整體平衡方程 求C截面的內(nèi)力切開過C點(diǎn)的橫截面 將梁分成兩部分 取左側(cè)部分考慮 其暴露的截面上按規(guī)定的內(nèi)力的正方向?qū)?nèi)力示出 建立靜力平衡方程 46 說明 計(jì)算內(nèi)力要點(diǎn) 所取的隔離體 包括結(jié)構(gòu)的整體 截面法截取的局部 其隔離體周圍的所有約束必須全部切斷并代以約束力 內(nèi)力 對(duì)未知外力 如支座反力 可先假定其方向 由計(jì)算后所得結(jié)果的正負(fù)判斷所求力的實(shí)際方向 并要求在計(jì)算結(jié)果后的圓括號(hào)內(nèi)用箭線表示實(shí)際方向 計(jì)算截面的內(nèi)力時(shí) 截面兩側(cè)的隔離體可任取其一 一般按其上外力最簡(jiǎn)原則選擇 截面內(nèi)力均按規(guī)定的正方向畫出 二 荷載與內(nèi)力的關(guān)系 內(nèi)力圖概念表示結(jié)構(gòu)上所有截面的軸力 剪力和彎矩分布的圖形稱為內(nèi)力圖 作內(nèi)力圖的最基本的方法是 按內(nèi)力函數(shù)作內(nèi)力圖 47 建立表示截面位置的x坐標(biāo) 取x處的 即K截面 以右部分建立平衡方程 y 0得梁 段的剪力函數(shù) FQk 70 20 x 0 x 4 梁 段的剪力圖是一條斜直線 取該區(qū)段內(nèi)任意兩截面的座標(biāo)值代入函數(shù) 既可畫出該區(qū)段的剪力圖 內(nèi)力函數(shù)是分段的連續(xù)函數(shù) 48 荷載與內(nèi)力的關(guān)系微分關(guān)系 dFN dx qxdFQ dx qydM dx Qd2M dx2 qy增量關(guān)系 DFN FPxDFQ FPyDM m 49 微分關(guān)系及幾何意義 dFN dx qxdFQ dx qydM dx Qd2M dx2 qy 在無荷載區(qū)段 Q圖為水平直線 當(dāng) Q 時(shí) 圖為斜直線 當(dāng) Q 時(shí) 圖為水平直線 在均布荷載區(qū)段 Q圖為斜直線 圖為拋物線 且凸向與荷載指向相同 50 增量關(guān)系及幾何意義 DFN FPxDFQ FPyDM m 水平集中力FPx作用點(diǎn)兩側(cè)截面FN圖有突變 其突變值等于FPx FQ圖和 圖不受影響 豎向集中力FPy作用點(diǎn)兩側(cè)截面FQ圖有突變 其突變值等于FPy 圖有折點(diǎn) 其折點(diǎn)的尖角與FPy方向相同 FN圖不受影響 集中力偶 作用點(diǎn)兩側(cè)截面的 圖有突變 其突變值等于 FN圖和FQ圖不受影響 51 利用荷載和內(nèi)力關(guān)系的幾何意義 可由荷載的分布和類型定性地判斷或校核區(qū)段上的內(nèi)力圖形狀以及突變點(diǎn)和突變值的大小 52 53 三 疊加法作彎矩圖1 簡(jiǎn)支梁的彎矩圖疊加法 54 彎矩圖疊加的實(shí)質(zhì) 指彎矩豎標(biāo)的疊加 而不是圖形的簡(jiǎn)單疊加 當(dāng)同一截面在兩個(gè)彎矩豎標(biāo)在基線不同側(cè)時(shí) 疊加后是兩個(gè)豎標(biāo)絕對(duì)值相減 彎矩豎標(biāo)畫在絕對(duì)值大的一側(cè) 當(dāng)兩個(gè)豎標(biāo)在基線同一側(cè)時(shí) 則疊加后是兩個(gè)豎標(biāo)絕對(duì)值相加 豎標(biāo)畫在同側(cè) 基線接力法概念 直桿段彎矩圖的區(qū)段疊加法直桿區(qū)段的彎矩圖疊加可利用簡(jiǎn)支梁的彎矩圖疊加法 其步驟是 計(jì)算直桿區(qū)段兩端的最后彎矩值 以桿軸為基線畫出這兩個(gè)值的豎標(biāo) 并將兩豎標(biāo)連一直線 將所連直線作為新的基線 疊加相應(yīng)簡(jiǎn)支梁在跨間荷載作用下的彎矩圖 55 56 例3 1 2作圖示簡(jiǎn)支梁的內(nèi)力圖 解 求支座反力 求控制截面內(nèi)力取截面 以左 FQC 70 20 4 10kNMC 70 4 20 4 2 120kNm 下側(cè)受拉 57 取截面 以右 QDB 50kN B 50 100kNm 下側(cè)受拉 取截面 以右 QDC 50 40 10kN 3 作內(nèi)力圖 58 區(qū)段疊加法求 截面彎矩 E 20 42 8 120 2 100kNm 下側(cè)受拉 40 4 4 120 2 100kNm 下側(cè)受拉 說明 集中力或集中力偶作用點(diǎn) 注意對(duì)有突變的內(nèi)力應(yīng)考慮分兩側(cè)截面分別計(jì)算 59 例3 1 3求作圖示伸臂梁的 圖 分析 僅有豎向荷載作用時(shí) 梁的內(nèi)力只有彎矩和剪力 剪力圖的控制截面在 和 而彎矩圖取截面 即可 綜合考慮 取控制截面為截面 和 60 解 支座反力梁的整體平衡方程 0F y 140 67kN 0F y 27 33kN x 0F x 36kN 由 y 0校核 滿足 2 計(jì)算控制截面的剪力并作FQ圖取支座 以左 FQBC 60 4 5 48kN取支座 以左 FQBD 60 4 5 140 67 92 67kN 61 3 計(jì)算控制截面的彎矩并作 圖取截面 L以左 27 33 4 20 4 2 50 68kNm 上側(cè)受拉 取截面 R以左 B 27 33 4 20 4 2 100 49 32kNm 下側(cè)受拉 取截面B以右 B B 60 4 2 5 96kNm 上側(cè)受拉 62 例3 1 4比較圖示斜梁和簡(jiǎn)支梁的異同 分析 支座反力相同 兩梁的內(nèi)力由內(nèi)力函數(shù)比較簡(jiǎn)支梁 F0Nx 0F0Qx ql 2 qxM0 x qlx 2 qx2 2斜梁 FNx ql 2qx sina F0QxsinaFQx ql 2 qx cosa F0QxcosaMx qlx 2 qx2 2 M0 x 63 64 單跨靜定梁小結(jié)要求 理解內(nèi)力 內(nèi)力圖的概念 了解梁的主要受力 變形特點(diǎn) 理解并掌握截面法計(jì)算內(nèi)力的方法 熟練掌握用疊加法做直桿段的彎矩圖 本節(jié)難點(diǎn)及重點(diǎn) 內(nèi)力正 負(fù)號(hào)的判斷 疊加法做彎矩圖 65 3 2多跨靜定梁 66 多跨靜定梁由相互在端部鉸接 水平放置的若干直桿件與大地一起構(gòu)成的結(jié)構(gòu) 一 多跨靜定梁的組成及傳力特征對(duì)上圖所示梁進(jìn)行幾何組成分析 桿與大地按兩個(gè)剛片的規(guī)則組成無多余約束的幾何不變體 可獨(dú)立承受荷載 然后桿 和桿 也分別按兩個(gè)剛片的規(guī)則依次擴(kuò)大先前已形成的幾何不變體 顯然 桿 是依賴于 以右的部分才能承受荷載 而桿 是依賴于 以右的部分才能承受荷載的 或者說 桿 被桿 支承 桿 被桿 支承 根據(jù)各桿之間這種依賴 支承關(guān)系 引入以下兩個(gè)概念 67 基本部分 結(jié)構(gòu)中不依賴于其它部分而獨(dú)立與大地形成幾何不變的部分 附屬部分 結(jié)構(gòu)中依賴基本部分的支承才能保持幾何不變的部分 把結(jié)構(gòu)中各部分之間的這種依賴 支承關(guān)系形象的畫成如圖示的層疊圖 可以清楚的看出多跨靜定梁所具有的如下特征 組成順序 先基本部分 后附屬部分 傳力順序 先附屬部分 后基本部分 由于這種多跨靜定梁的層疊圖象階梯 可稱為階梯形多跨靜定梁 68 二 多跨靜定梁的內(nèi)力計(jì)算多跨靜定梁的內(nèi)力總能由靜力平衡條件求出 關(guān)鍵是按怎樣的途徑使計(jì)算概念清晰 簡(jiǎn)明 例3 2 1計(jì)算圖示多跨靜定梁 并作內(nèi)力圖 69 解 按層疊圖依次取各單跨梁計(jì)算 MA 0FCy 4 10 5 2 2 2 6 20 0 FCy 12 5kN MC FAy 4 20 5 2 2 2 10 2 0FAy 7 5kN Fx 0FAx 5 2 2 2 0FAx 5kN 70 71 說明 按層疊圖從上往下的順序 畫各單跨梁的受力圖 并按這個(gè)順序逐一計(jì)算各單跨梁的約束力 桿 的約束力有 個(gè) 如簡(jiǎn)支梁的計(jì)算 桿 上沒有直接作用的外荷載 注意鉸 上作用的集中荷載FP可放在鉸的任意側(cè) 但在 處有桿 部分傳來的已知約束力FPy 該桿的計(jì)算相當(dāng)于伸臂梁的計(jì)算 其上的荷載即是由其上的附屬部分由約束處傳來的已知約束力 桿 是整個(gè)梁的基本部分 有三個(gè)與大地相連的待求的支座約束力 其上除了有在 處由 以右部分傳來的已知約束力 還有直接作用的外荷載FP和m 該桿仍是伸臂梁的計(jì)算 72 將所有單根梁的約束力求得后 即可將各單跨梁的內(nèi)力圖作出后匯集 也可先匯集成整體再一次作內(nèi)力圖 注意 段上集中力偶作用時(shí)彎矩圖的疊加特點(diǎn) 當(dāng)多跨靜定梁的附屬部分上有外荷載時(shí) 該外荷載將使該附屬部分產(chǎn)生內(nèi)力 并傳給它以下的基本部分使其也產(chǎn)生內(nèi)力 當(dāng)在其基本部分上有外荷載時(shí) 該外荷載僅使該基本部分 及以下 產(chǎn)生內(nèi)力 對(duì)其上的附屬部分不產(chǎn)生內(nèi)力 73 例3 2 2分析圖示多跨靜定梁可分解成單跨梁分別計(jì)算的條件 并作梁的FQ M圖 74 分析 圖示梁的荷載以及約束的方向 是豎向平行力系 一個(gè)平面平行力系只能列兩個(gè)獨(dú)立的平衡方程 解兩個(gè)未知數(shù) 桿 有兩個(gè)與大地相連的豎向支座鏈桿 當(dāng)僅在豎向荷載作用下時(shí) 可維持這個(gè)平行力系的平衡 所以 桿 在僅有豎向荷載的作用下 可視為與桿 同等的基本部分 75 解 畫層疊圖 計(jì)算各單跨梁的約束力按層疊圖以次畫出各單跨梁的受力圖 注意桿 在桿端只有豎向約束力 并按由上向下的順序分別計(jì)算 作內(nèi)力圖 76 說明 本例中桿 是不直接與大地相連的桿件 稱這類桿為有懸跨多跨靜定梁 當(dāng)僅有豎向荷載作用時(shí) 懸跨梁可視為附屬部分 當(dāng)是任意的一般荷載作用時(shí) 桿 不能視為附屬部分 桿 部分也不能作為基本部分 多跨靜定梁小結(jié)了解多跨靜定梁兩種基本類型的幾何組成特點(diǎn) 多跨靜定梁分層計(jì)算的目的 為了不解聯(lián)立方程 計(jì)算要點(diǎn) 按先附屬 后基本的順序 77 3 2多跨靜定梁 78 多跨靜定梁由相互在端部鉸接 水平放置的若干直桿件與大地一起構(gòu)成的結(jié)構(gòu) 一 多跨靜定梁的組成及傳力特征對(duì)上圖所示梁進(jìn)行幾何組成分析 桿與大地按兩個(gè)剛片的規(guī)則組成無多余約束的幾何不變體 可獨(dú)立承受荷載 然后桿 和桿 也分別按兩個(gè)剛片的規(guī)則依次擴(kuò)大先前已形成的幾何不變體 顯然 桿 是依賴于 以右的部分才能承受荷載 而桿 是依賴于 以右的部分才能承受荷載的 或者說 桿 被桿 支承 桿 被桿 支承 根據(jù)各桿之間這種依賴 支承關(guān)系 引入以下兩個(gè)概念 79 基本部分 結(jié)構(gòu)中不依賴于其它部分而獨(dú)立與大地形成幾何不變的部分 附屬部分 結(jié)構(gòu)中依賴基本部分的支承才能保持幾何不變的部分 把結(jié)構(gòu)中各部分之間的這種依賴 支承關(guān)系形象的畫成如圖示的層疊圖 可以清楚的看出多跨靜定梁所具有的如下特征 組成順序 先基本部分 后附屬部分 傳力順序 先附屬部分 后基本部分 由于這種多跨靜定梁的層疊圖象階梯 可稱為階梯形多跨靜定梁 80 二 多跨靜定梁的內(nèi)力計(jì)算多跨靜定梁的內(nèi)力總能由靜力平衡條件求出 關(guān)鍵是按怎樣的途徑使計(jì)算概念清晰 簡(jiǎn)明 例3 2 1計(jì)算圖示多跨靜定梁 并作內(nèi)力圖 81 解 按層疊圖依次取各單跨梁計(jì)算 MA 0FCy 4 10 5 2 2 2 6 20 0 FCy 12 5kN MC FAy 4 20 5 2 2 2 10 2 0FAy 7 5kN Fx 0FAx 5 2 2 2 0FAx 5kN 82 83 說明 按層疊圖從上往下的順序 畫各單跨梁的受力圖 并按這個(gè)順序逐一計(jì)算各單跨梁的約束力 桿 的約束力有 個(gè) 如簡(jiǎn)支梁的計(jì)算 桿 上沒有直接作用的外荷載 注意鉸 上作用的集中荷載FP可放在鉸的任意側(cè) 但在 處有桿 部分傳來的已知約束力FPy 該桿的計(jì)算相當(dāng)于伸臂梁的計(jì)算 其上的荷載即是由其上的附屬部分由約束處傳來的已知約束力 桿 是整個(gè)梁的基本部分 有三個(gè)與大地相連的待求的支座約束力 其上除了有在 處由 以右部分傳來的已知約束力 還有直接作用的外荷載FP和m 該桿仍是伸臂梁的計(jì)算 84 將所有單根梁的約束力求得后 即可將各單跨梁的內(nèi)力圖作出后匯集 也可先匯集成整體再一次作內(nèi)力圖 注意 段上集中力偶作用時(shí)彎矩圖的疊加特點(diǎn) 當(dāng)多跨靜定梁的附屬部分上有外荷載時(shí) 該外荷載將使該附屬部分產(chǎn)生內(nèi)力 并傳給它以下的基本部分使其也產(chǎn)生內(nèi)力 當(dāng)在其基本部分上有外荷載時(shí) 該外荷載僅使該基本部分 及以下 產(chǎn)生內(nèi)力 對(duì)其上的附屬部分不產(chǎn)生內(nèi)力 85 例3 2 2分析圖示多跨靜定梁可分解成單跨梁分別計(jì)算的條件 并作梁的FQ M圖 86 分析 圖示梁的荷載以及約束的方向 是豎向平行力系 一個(gè)平面平行力系只能列兩個(gè)獨(dú)立的平衡方程 解兩個(gè)未知數(shù) 桿 有兩個(gè)與大地相連的豎向支座鏈桿 當(dāng)僅在豎向荷載作用下時(shí) 可維持這個(gè)平行力系的平衡 所以 桿 在僅有豎向荷載的作用下 可視為與桿 同等的基本部分 87 解 畫層疊圖 計(jì)算各單跨梁的約束力按層疊圖以次畫出各單跨梁的受力圖 注意桿 在桿端只有豎向約束力 并按由上向下的順序分別計(jì)算 作內(nèi)力圖 88 說明 本例中桿 是不直接與大地相連的桿件 稱這類桿為有懸跨多跨靜定梁 當(dāng)僅有豎向荷載作用時(shí) 懸跨梁可視為附屬部分 當(dāng)是任意的一般荷載作用時(shí) 桿 不能視為附屬部分 桿 部分也不能作為基本部分 多跨靜定梁小結(jié)了解多跨靜定梁兩種基本類型的幾何組成特點(diǎn) 多跨靜定梁分層計(jì)算的目的 為了不解聯(lián)立方程 計(jì)算要點(diǎn) 按先附屬 后基本的順序 89 3 3靜定剛架剛架一般指由若干橫 梁或斜梁 桿 豎 柱 桿構(gòu)成的 可圍成較大空間的結(jié)構(gòu)形式 剛架的桿件是以彎曲變形為主的梁式桿為主 剛架的特點(diǎn)在于它的剛結(jié)點(diǎn) 剛架可按支座形式和幾何構(gòu)造特點(diǎn)分為 簡(jiǎn)支剛架 懸臂剛架 三鉸剛架和復(fù)合剛架 前三類是可僅用一次兩各剛片或三個(gè)剛片的規(guī)律組成的幾何不變體 可統(tǒng)稱為簡(jiǎn)單剛架 而最后一類是多次用兩各剛片或三個(gè)剛片的規(guī)律確定的幾何不變體 將其稱為復(fù)合剛架 顯然 簡(jiǎn)單剛架的分析是復(fù)合剛架分析的基礎(chǔ) 90 靜定剛架的計(jì)算步驟 計(jì)算支座反力 或約束力 計(jì)算桿端截面內(nèi)力 簡(jiǎn)稱桿端力 和控制截面內(nèi)力 畫各內(nèi)力圖 例3 3 1計(jì)算圖示靜定剛架的內(nèi)力 并作內(nèi)力圖 分析 圖示剛架由3個(gè)支座鏈桿按兩個(gè)剛片的規(guī)則與大地相連 這種形式的剛架為簡(jiǎn)單剛架 由于其與簡(jiǎn)支梁的支座類似 又可稱簡(jiǎn)支剛架 91 解 求支座反力由整體平衡 MA 0FDy 4 40 20 4 2 0FDy 60kN MO 0FAy 4 40 2 20 4 2 0FAy 20kN Fx 0FAx 20 4 0FAx 80kN 由 y 0校核 滿足 92 計(jì)算桿端力取AB桿B截面以下部分 計(jì)算該桿 端桿端力 Fx 0FQBA 20 4 80 0FQBA 0 Fy 0FNBA 20 0FNBA 20kN MB 0MBA 20 4 2 80 4 0MBA 160kNm 右側(cè)受拉 93 取BD桿B截面以右部分 計(jì)算該桿B端桿端力 Fx 0FNBD 0 Fy 0FQBD 40 60 0FQBD 20kN MB 0MBD 40 2 60 4 0MBD 160kNm 下側(cè)受拉 由結(jié)點(diǎn)B校核 Fx 0 Fy 0 MB 0滿足 94 繪制內(nèi)力圖由已求得各桿端力 分別按各桿件作內(nèi)力圖 彎矩圖可由已知桿端彎矩 按直桿段的區(qū)段疊加法作桿件的彎矩圖 說明 在剛架中 各桿件桿端是作為內(nèi)力的控制截面的 桿端力 即桿端內(nèi)力 剛架的內(nèi)力正負(fù)號(hào)規(guī)定同梁 為了區(qū)分匯交于同一結(jié)點(diǎn)的不同桿端的桿端力 用內(nèi)力符號(hào)加兩個(gè)下標(biāo) 桿件兩端結(jié)點(diǎn)編號(hào) 表示桿端力 如用MBA表示剛架中AB桿在B端的彎矩 95 例3 3 2計(jì)算圖示懸臂剛架 并作內(nèi)力圖 分析 懸臂剛架的特點(diǎn)是 支座反力集中在剛架的一個(gè)桿端 因此可由截面的懸臂一側(cè)部分的平衡條件求出該截面的全部?jī)?nèi)力 即不需計(jì)算支座反力 96 1 計(jì)算各桿端彎矩 并作彎矩圖MBC 10 3 3 2 45kNm 上側(cè)受拉 MBD 5 2 10kNm 左側(cè)受拉 MBA 10 3 3 2 5 2 35kNm 左側(cè)受拉 MA 10 6 3 5 6 150kNm 左側(cè)受拉 97 2 計(jì)算各桿端剪力 并作剪力圖 FQBC 10 3 30kNFQBD 5kN MA 0FQBA 5 35 10 3 3 2 0FQBA 16kN MB 0FQAB 5 150 10 3 3 2 0FQAB 39kN 98 3 計(jì)算各桿端軸力 并作軸力圖 由結(jié)點(diǎn) 的平衡條件 建立沿 桿方向的投影方程 得 FNBA 5 3 5 30 4 5 0FNBA 27kNFNAB 20 10 3 4 5 0FNAB 44kN 99 說明 本例計(jì)算和作內(nèi)力圖的過程是 彎矩圖 剪力圖 軸力圖 當(dāng)剛架上所有的外力已知時(shí)先作彎矩圖 再截開桿件兩端取出桿件為隔離體 對(duì)兩桿端截面形心分別建立力矩方程求出桿端剪力 作剪力圖 最后取結(jié)點(diǎn)為隔離體 利用結(jié)點(diǎn)的投影平衡方程求桿端軸力 作軸力圖 100 例3 3 3求圖示三鉸剛架的支座反力 分析 三鉸剛架共有四個(gè)支座反力 除了利用整體的三個(gè)平衡方程 還要考慮鉸 兩側(cè)截面 處彎矩為零的條件 解 由剛架整體平衡條件 MA 0FBx 2 FBy 4 20 2 1 40 2 10 0由鉸 右側(cè) MC 0FBx 2 FBy 2 10 0 101 整理后得關(guān)于支座 上兩個(gè)支座反力的聯(lián)立方程 FBx 2FBy 65 0解得 FBy 23 33kN FBx FBy 5 0FBx 18 33kN 再由剛架整體的平衡條件 求 支座的兩個(gè)支座反力 Fx 0FAx 18 33 40 21 67kN Fy 0FBx 23 33 40 16 67kN 102 說明 本例研究的三鉸剛架的三個(gè)鉸的相對(duì)位置可以是任意的 因此是這類 有推力 結(jié)構(gòu)的一般形式 它的支座反力的計(jì)算方法也具有一般性 容易看出 本例求支座反力時(shí)必須解聯(lián)立方程 本例采用的方法的原則是 集中先求一個(gè)鉸的兩個(gè)約束力 即以另外兩個(gè)鉸的鉸心為矩心分別建立關(guān)于這兩個(gè)約束力的二元一次聯(lián)立方程 求解后再計(jì)算其它鉸處的約束力 103 例3 3 4計(jì)算圖示剛架 并作其彎矩圖 分析 圖示剛架是由基本部分AGFB和附屬部分EDC構(gòu)成的復(fù)合剛架 可按多跨靜定梁先附屬后基礎(chǔ)的順序計(jì)算 104 解 計(jì)算 部分的約束力 ME 0FCy 10 4 2 4 20kN Fx 0FEx 10 4 40kN Fy 0FEy FCy 20kN 105 計(jì)算 部分的約束力根據(jù)作用和反作用定理 由上面得出的 鉸處的約束力要反向作用到 部分上按實(shí)際方法示出 MA 0FBy 20 4 40 4 30 6 4 65kN MB 0FAy 40 4 30 6 4 85kN Fx 0FAx 70kN 由 Fy 0校核 滿足 3 作彎矩圖 106 例3 3 5計(jì)算圖示剛架 并作彎矩圖 分析 這是復(fù)合剛架 基本部分為內(nèi)部GKHDJC 附屬部分為兩側(cè)的三鉸剛架GIEAC和HLFBD 可以看出 剛架及剛架上的外力 荷載和支座反力 均對(duì)稱于中間豎桿KJ 容易分析出 剛架的內(nèi)力也對(duì)稱于桿KJ 因此 計(jì)算桿KJ及它的任一側(cè)即可由對(duì)稱性得知另一側(cè) 支座反力見圖 107 解 求剛架內(nèi)力計(jì)算GIEAC部分 MC 0FGx qa2 2 2qa2 2a 3qa 4kN MG 0FCx qa 2 2qa2 2a 3qa 4kN 108 由鉸 以下部分的平衡條件 ME 0FC FCx 3qa 4kN 由鉸 以上部分的平衡條件 ME 0FGy FG qa 2 qa 4kN 由該部分的整體平衡條件 Fx 0 Fy 0校核 滿足 計(jì)算桿端彎矩 作剛架彎矩圖MIG qa2 4 qa2 2 3qa2 4kN 上側(cè)受拉 MKG qa2 4 qa2 2 qa2 4kN 上側(cè)受拉 109 例3 3 6分析下列圖示剛架 110 111 靜定剛架小結(jié) 要求了解組成剛架的構(gòu)件及構(gòu)件的受力特征 剛結(jié)點(diǎn)的傳力 位移特征 簡(jiǎn)單剛架和復(fù)合剛架的概念 內(nèi)力正負(fù)號(hào)規(guī)定 熟練掌握并能靈活地應(yīng)用靜力平衡條件計(jì)算簡(jiǎn)單剛架的內(nèi)力 進(jìn)一步鞏固直桿的區(qū)段疊加法作彎矩圖的方法 掌握復(fù)合剛架的內(nèi)力計(jì)算和內(nèi)力圖制作方法 途徑 剛架內(nèi)力計(jì)算基本步驟 計(jì)算剛架的支座反力和約束力 計(jì)算桿端力 作內(nèi)力圖 彎矩圖 剪力圖 軸力圖 校核 112 第四章靜定拱 實(shí)體三鉸拱 概述一 拱的概念拱的軸線一般是曲線形狀 實(shí)體拱指由充滿密實(shí)材料的桿構(gòu)成的拱 拱的受力特征是 在豎向荷載作用下可產(chǎn)生水平支座反力 水平推力 具有這類受力特征的結(jié)構(gòu)稱為有推力結(jié)構(gòu) 113 二 拱的分類 按具有的鉸的數(shù)量分類 三鉸拱 兩鉸拱 無鉸拱 按幾何組成 或計(jì)算方法 分類 靜定拱 三鉸拱 帶拉桿三鉸拱 超靜定拱 兩鉸拱 無鉸拱 4 2三鉸拱的內(nèi)力計(jì)算三鉸拱的構(gòu)造及各部名稱 及相應(yīng)于拱的簡(jiǎn)支梁 相應(yīng)簡(jiǎn)支梁 一 三鉸拱的支座反力 一 三鉸拱的支座反力三鉸拱的支座反力和三鉸剛架支座反力的計(jì)算方法完全相同 即以其中兩個(gè)鉸分別建立力矩平衡方程 集中計(jì)算剩下的一個(gè)鉸的兩個(gè)約束力的方法 114 當(dāng)三鉸拱的兩個(gè)底鉸在一條水平線上時(shí) 其支座反力的計(jì)算常采取如下步驟 由拱的整體平衡條件求兩個(gè)豎向支座反力 由拱頂鉸C任一側(cè)的平衡條件 求在這一側(cè)上的水平支座反力 再由拱的整體平衡條件 求另一水平支座反力 115 1 MA 0FByl FP1a1 FP2a2 FP3a3 0FBy FP1a1 FP2a2 FP3a3 l a MB 0FAyl FP1b1 FP2b2FP3b3 0FAy FP1b1 FP2b2 FP3b3 l b MC 0FByl2 FBxf FP3 l2 b3 0FBx FByl2 FP3 l2 b3 f c Fx 0FBx FAx 0FAx FBx FH d 116 說明 上述計(jì)算底鉸在一條水平線上的三鉸拱支座反力的方法和步驟 適用于任意荷載作用下的情況 但兩個(gè)底鉸的水平反力相同僅是在只有豎向荷載作用的情況下 二 三鉸拱與相應(yīng)簡(jiǎn)支梁的幾個(gè)關(guān)系式 相應(yīng)簡(jiǎn)支梁 指與拱的跨度 荷載相同的簡(jiǎn)支梁 容易得知三鉸拱與相應(yīng)簡(jiǎn)支梁的如下幾個(gè)關(guān)系式 FAy F0AyFBy F0ByFH M0C f 4 2 1 這三個(gè)關(guān)系式僅在只有豎向荷載作用下成立 由第三式分析 在拱上作用的荷載和拱的跨度不變的條件下 M0C是一個(gè)常數(shù) FH與f得出 拱的推力FH與它的高跨比f l有關(guān) 即當(dāng)高跨比f l越小 越大 則水平推力FH越大 越小 117 二 拱的內(nèi)力計(jì)算拱的任一截面上一般有三個(gè)內(nèi)力 M FQ FN 內(nèi)力計(jì)算的基本方法仍是截面法 與直桿件不同的是拱軸為曲線時(shí) 截面法線角度不斷改變 截面上內(nèi)力 FQ FN 的方向也相應(yīng)改變 例4 2 1已知圖示三鉸拱的拱軸方程為y x 4fx l x l2 求支座反力及K截面的內(nèi)力 解 求支座反力由拱的整體平衡條件 MA 0FBy 16 10 12 2 8 4 0FBy 11 5kN MB 0FAy 16 10 4 2 8 12 0FAy 14 5kN 118 取鉸 以右部分的平衡條件 MC 0FH 4 FBy 8 10 4 0FH 13kN 119 求 截面的內(nèi)力取 截面以左部分 截面各內(nèi)力均按正方向畫 注意 規(guī)定拱的軸力以受壓為正 剪力和彎矩的規(guī)定仍同前 確定 截面位置參數(shù)yK和 K 將 截面坐標(biāo)x 4m代入 y x 4fx l x l2和tan K dy dx 4f l 2x l2得 yK 3mtan K 0 5則有 K 26 57 sin K 0 447cos K 0 894建立隔離體的平衡方程 求 截面的內(nèi)力 以截面 的外法線n和切向 的方向分別建立投影方程 求FNK和FQK 120 Fn 0FNK 14 5 2 4 sin K 13cos K 0FNK 14 528kN FNK F0QKsin K FHcos K 121 F 0FQK 14 5 2 4 cos K