高中數(shù)學(xué) 數(shù)列題型講義 新人教A版必修5.doc

數(shù)列題型講義題型一：由數(shù)列的遞推公式求通項1、根據(jù)下列條件，確定數(shù)列an的通項公式(1)a11，an13an2； (2)a11，anan1(n2)； (3)已知數(shù)列an滿足an1an3n2，且a12，求an.解(1)an13an2，an113(an1)，3，數(shù)列an1為等比數(shù)列，公比q3，又a112， an123n1，an23n11.(2)anan1(n2)，an1an2，a2a1.以上(n1)個式子相乘得ana1.(3)an1an3n2，anan13n1(n2)，an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1(n2)當(dāng)n1時，a1(311)2符合公式，ann2.方法歸納： 已知數(shù)列的遞推關(guān)系，求數(shù)列的通項時，通常用累加、累乘、構(gòu)造法求解當(dāng)出現(xiàn)anan1m時，構(gòu)造等差數(shù)列；當(dāng)出現(xiàn)anxan1y時，構(gòu)造等比數(shù)列；當(dāng)出現(xiàn)anan1f(n)時，用累加法求解；當(dāng)出現(xiàn)f(n)時，用累乘法求解2、 根據(jù)下列各個數(shù)列an的首項和基本關(guān)系式，求其通項公式(1)a11，anan13n1(n2)； (2)a12，an1anln.解(1)anan13n1(n2)，an1an23n2， an2an33n3， a2a131，以上(n1)個式子相加得ana131323n113323n1.(2)an1anln，an1anlnln，anan1ln，an1an2ln，a2a1ln，以上(n1)個式相加得，ana1lnlnlnln n又a12，anln n2.題型二：數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用3、 已知數(shù)列an的前n項和snn224n(nn*)(1)求an的通項公式； (2)當(dāng)n為何值時，sn達(dá)到最大？最大值是多少？解(1)n1時，a1s123. n2時，ansnsn1n224n(n1)224(n1)2n25.經(jīng)驗證，a123符合an2n25，an2n25(nn*)(2)法一snn224n，n12時，sn最大且sn144.法二an2n25，an2n250，有n.a120，a130，故s12最大，最大值為144.方法歸納： (1)數(shù)列可以看作是一類特殊的函數(shù)，因此要用函數(shù)的知識，函數(shù)的思想方法來解決(2)數(shù)列的單調(diào)性是高考常考內(nèi)容之一，有關(guān)數(shù)列最大項、最小項、數(shù)列有界性問題均可借助數(shù)列的單調(diào)性來解決，判斷單調(diào)性時常用作差法，作商法，結(jié)合函數(shù)圖象等方法題型等差數(shù)列的判定或證明4、已知數(shù)列an的前n項和為sn且滿足an2snsn10(n2)，a1.(1)求證：是等差數(shù)列； (2)求an的表達(dá)式 (1)證明ansnsn1(n2)，又an2snsn1，sn1sn2snsn1，sn0，2(n2)由等差數(shù)列的定義知是以2為首項，以2為公差的等差數(shù)列(2)解由(1)知(n1)d2(n1)22n，sn.當(dāng)n2時，有an2snsn1，又a1，不適合上式，an方法歸納： 等差數(shù)列主要的判定方法是定義法和等差中項法，而對于通項公式法和前n項和公式法主要適合在選擇題中簡單判斷題型三：等差數(shù)列前n項和的最值5、在等差數(shù)列an中，已知a120，前n項和為sn，且s10s15，求當(dāng)n取何值時，sn取得最大值，并求出它的最大值解法一a120，s10s15，1020d1520d，d.an20(n1)n.a130.即當(dāng)n12時，an0，n14時，an0.當(dāng)n12或13時，sn取得最大值，且最大值為s12s131220130.法二同法一求得d.sn20nn2n2.nn*，當(dāng)n12或13時，sn有最大值，且最大值為s12s13130.法三同法一得d.又由s10s15，得a11a12a13a14a150.5a130，即a130.當(dāng)n12或13時，sn有最大值，且最大值為s12s13130.方法歸納： 求等差數(shù)列前n項和的最值，常用的方法：(1)利用等差數(shù)列的單調(diào)性或性質(zhì)，求出其正負(fù)轉(zhuǎn)折項，便可求得和的最值(2)利用等差數(shù)列的前n項和snan2bn(a、b為常數(shù))為二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求最值題型四：等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用6、設(shè)等差數(shù)列的前n項和為sn，已知前6項和為36，sn324，最后6項的和為180(n6)，求數(shù)列的項數(shù)n.解由題意可知a1a2a636 anan1an2an5180得(a1an)(a2an1)(a6an5)6(a1an)216.a1an36.又sn324，18n324.n18. 方法歸納： 本題的解題關(guān)鍵是將性質(zhì)mnpqamanapaq與前n項和公式sn結(jié)合在一起，采用整體思想，簡化解題過程題型五：等比數(shù)列的判定或證明7、已知數(shù)列an滿足a11，a22，an2，nn*.(1)令bnan1an，證明：bn是等比數(shù)列； (2)求an的通項公式(1)證明b1a2a11.當(dāng)n2時，bnan1anan(anan1)bn1，bn是以1為首項，為公比的等比數(shù)列(2)解由(1)知bnan1ann1，當(dāng)n2時，ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)11n211n1. 當(dāng)n1時，111a1，ann1(nn*)方法歸納： 證明一個數(shù)列為等比數(shù)列常用定義法與等比中項法，其他方法只用于選擇、填空題中的判定；若證明某數(shù)列不是等比數(shù)列，則只要證明存在連續(xù)三項不成等比數(shù)列即可題型六：等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用8、已知等比數(shù)列前n項的和為2，其后2n項的和為12，求再后面3n項的和解sn2，其后2n項為s3nsns3n212，s3n14.由等比數(shù)列的性質(zhì)知sn，s2nsn，s3ns2n成等比數(shù)列，即(s2n2)22(14s2n)解得s2n4，或s2n6.當(dāng)s2n4時，sn，s2nsn，s3ns2n，是首項為2，公比為3的等比數(shù)列，則s6nsn(s2nsn)(s6ns5n)364，再后3n項的和為s6ns3n36414378.當(dāng)s2n6時，同理可得再后3n項的和為s6ns3n12614112.故所求的和為378或112.方法歸納： 本題利用了等比數(shù)列的性質(zhì)中的第4條，其和sn，s2nsn，s3ns2n成等比數(shù)列，若把數(shù)列an平均分成若干組，其積也為等比數(shù)列題型七：公式法求和9、已知數(shù)列an是首項a14，公比q1的等比數(shù)列，sn是其前n項和，且4a1，a5，2a3成等差數(shù)列(1)求公比q的值； (2)求tna2a4a6a2n的值解(1)由題意得2a54a12a3. an是等比數(shù)列且a14，公比q1，2a1q44a12a1q2，q4q220，解得q22(舍去)或q21，q1. (2)a2，a4，a6，a2n是首項為a24(1)4，公比為q21的等比數(shù)列，tnna24n.方法歸納： 用公式法求和時，要保證公式使用的正確性，尤其要區(qū)分好等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式及前n項和公式題型八：分組轉(zhuǎn)化求和10、已知數(shù)列xn的首項x13，通項xn2npnq(nn*，p，q為常數(shù))，且x1，x4，x5成等差數(shù)列求：(1)p，q的值； (2)數(shù)列xn前n項和sn的公式解 (1)由x13，得2pq3，又因為x424p4q，x525p5q，且x1x52x4，得325p5q25p8q，解得p1，q1.(2)由(1)，知xn2nn，所以sn(2222n)(12n)2n12.方法歸納： 對于不能由等差數(shù)列、等比數(shù)列的前n項和公式直接求和的問題，一般需要將數(shù)列通項的結(jié)構(gòu)進(jìn)行合理的拆分，轉(zhuǎn)化成若干個等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和題型九：裂項相消法求和11、在數(shù)列an中，a11，當(dāng)n2時，其前n項和sn滿足san.(1)求sn的表達(dá)式； (2)設(shè)bn，求bn的前n項和tn.解(1)san，ansnsn1(n2)，s(snsn1)，即2sn1snsn1sn，由題意sn1sn0，式兩邊同除以sn1sn，得2，數(shù)列是首項為1，公差為2的等差數(shù)列12(n1)2n1，sn.(2)又bn，tnb1b2bn.方法歸納： 使用裂項法求和時，要注意正負(fù)項相消時消去了哪些項，保留了哪些項，切不可漏寫未被消去的項，未被消去的項有前后對稱的特點，實質(zhì)上造成正負(fù)相消是此法的根源與目的題型十：錯位相減法求和12、已知等差數(shù)列an滿足a20，a6a810.(1)求數(shù)列an的通項公式； (2)求數(shù)列的前n項和解(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，由已知條件可得解得故數(shù)列an的通項公式為an2n.(2)設(shè)數(shù)列的前n項和為sn，sn.記tn1， 則tn， 得：tn1，tn.即t