畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）-基于偏微分方程的圖像平滑方法的研究.doc

Comment w1: 刪除 成都理工大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） I 基于偏微分方程的圖像平滑方法的研究 作者姓名：劉洋 專業(yè)班級(jí)：信息與計(jì)算科學(xué) 2008070201 指導(dǎo)教師：王茂芝 摘 要 在信息化的社會(huì)里，圖像在信息傳播中所起的作用越來(lái)越大。所以，消除 在圖像采集和傳輸過(guò)程中而產(chǎn)生的噪聲，保證圖像受污染度最小，成了數(shù)字圖 像處理領(lǐng)域里的重要部分，圖像平滑作為圖像處理中的重要環(huán)節(jié)，也逐漸受到 人們的關(guān)注，圖像平滑的目的主要是消除噪聲。 本文詳細(xì)介紹了圖像平滑的發(fā)展，圖像平滑方法按空間域和頻率域的分類 及各種方法的特點(diǎn)，由于傳統(tǒng)的這些方法在去噪的同時(shí)會(huì)破壞圖像的重要特征 從而引出了基于偏微分方程的圖像平滑方法。首先介紹圖像處理應(yīng)用時(shí)的常用 函數(shù)及其用法；其次詳細(xì)闡述了幾種去噪算法原理及特點(diǎn)；最后運(yùn)用 Matlab 軟 件對(duì)一張含噪圖片（含高斯噪聲或椒鹽噪聲）進(jìn)行仿真去噪，本文分別從各向 同性擴(kuò)散方程和各向異性擴(kuò)散方程對(duì)基于偏微分方程的圖像平滑方法進(jìn)行研究， 進(jìn)一步完善圖像平滑方法，以達(dá)到平滑效果更理想的目的。 關(guān)鍵詞：圖像平滑；偏微分方程；各向同性擴(kuò)散；各向異性擴(kuò)散 Comment w2: image smoothing method research based on partial differential equations 成都理工大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） II Based on partial differential equations for image smoothing method Abstract In the information society, the role of image in the dissemination of information. Therefore, to eliminate the noise in the image acquisition and transmission process to ensure that an important part of the image contaminated minimum, has become the field of digital image processing, image smoothing as an important link in image processing, but also gradually by the attention, smooth the image main purpose is to eliminate noise. This paper describes the development of image smoothing, image smoothing method according to the classification of the space and frequency domains and the characteristics of the various methods, these methods due to the traditional denoising will also undermine the image of the important characteristics which leads based on partial differential equationsimage Smoothing Method. First introduced the common functions and their usage in image processing applications; elaborated the principle and characteristics of several denoising algorithm; Matlab software on a noisy image (with Gaussian noise or salt and pepper noise) simulation denoising In this paper, research from the isotropic diffusion equation and anisotropic diffusion for image smoothing method based on partial differential equations, and further improve the image smoothing method in order to achieve the purpose of better smoothing effect Key words: Image smoothing; partial differential equations; isotropic diffusion; anisotropic diffusion 成都理工大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） III 目 錄 第 1 章 前 言1 1.1 課題研究背景1 1.2 圖像平滑的研究現(xiàn)狀2 1.2.1 領(lǐng)域平均法2 1.2.2 低通濾波法3 1.2.3 多圖像平均法4 1.2.4 中值濾波法4 1.2.5 各向同性擴(kuò)散方程6 1.2.6 各向異性擴(kuò)散方程6 1.3 本文的研究目標(biāo)和主要內(nèi)容7 第 2 章 偏微分方程基礎(chǔ)知識(shí)8 2.1 偏微分方程的導(dǎo)出與定解8 2.1.1 偏微分方程的概念8 2.1.2 幾個(gè)典型的數(shù)學(xué)物理方程8 2.1.3 初邊值問(wèn)題9 2.2 熱傳導(dǎo)方程初值問(wèn)題的求解12 2.3 二階偏微分方程的分類與化簡(jiǎn)13 2.3.1 二階偏微分方程的分類13 2.3.2 二階偏微分方程的化簡(jiǎn)15 2.4 與圖像處理有關(guān)的偏微分方程的例子15 第 3 章 圖像的基本知識(shí)17 3.1 圖像介紹17 3.1.1 圖像概述17 3.1.2 圖像分類18 3.2 靜態(tài)灰度圖像的數(shù)學(xué)模型18 3.2.1 靜態(tài)灰度圖像的連續(xù)模型18 3.2.2 灰度圖像的離散模型20 3.3 靜態(tài)彩色圖像的數(shù)學(xué)模型20 3.3.1 靜態(tài)灰度圖像的連續(xù)模型20 3.3.2 彩色圖像的數(shù)學(xué)模型20 成都理工大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） IV 3.4 動(dòng)態(tài)圖像的數(shù)學(xué)模型21 3.5 數(shù)字圖像的采集21 3.6 圖像格式23 第 4 章 數(shù)字圖像處理的基本知識(shí)27 4.1 數(shù)字圖像處理的概述27 4.1.1 數(shù)字圖像處理技術(shù)的發(fā)展27 4.1.2 數(shù)字圖像處理技術(shù)的流程27 4.1.3 低層圖像處理28 4.2 濾波和濾波器29 4.3 圖像增強(qiáng)算法30 4.3.1 平滑空間濾波30 4.3.2 銳化空間濾波30 4.4 圖像還原算法31 4.4.1 噪聲模型31 4.4.2 去噪算法32 第 5 章 基于偏微分方程的圖像平滑34 5.1 偏微分方程的概述34 5.2 基于偏微分方程的圖像平滑處理34 5.2.1 各向同性擴(kuò)散方程35 5.2.2 各向異性擴(kuò)散方程37 5.3 圖像平滑的實(shí)驗(yàn)分析38 5.3.1 傳統(tǒng)圖像平滑方法分析38 5.3.2 偏微分方程圖像平滑方法分析42 結(jié) 論48 致 謝50 參考文獻(xiàn)51 成都理工大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 1 第 1 章 前 言 1.1 課題研究背景 21 世紀(jì)，人類已經(jīng)進(jìn)入了信息化時(shí)代，計(jì)算機(jī)在處理各種信息中發(fā)揮著重 要作用。據(jù)統(tǒng)計(jì)，人類從自然界獲取的信息中，視覺(jué)信息占 75%85%。俗話說(shuō) “百聞不如一見(jiàn)”，有些場(chǎng)景或事物，不管花費(fèi)多少筆墨都難以表達(dá)清楚，然而， 若用一幅圖像描述，可以做到一目了然。可見(jiàn)，在當(dāng)代高度信息化的社會(huì)中， 圖形和圖像在信息傳播中所起的作用越來(lái)越大，在圖像處理領(lǐng)域，數(shù)字圖像處 理得到了飛速發(fā)展。 早期由于圖像處理領(lǐng)域涉及的數(shù)學(xué)理論較淺，盡管圖像處理與分析與計(jì)算 機(jī)科學(xué)有很強(qiáng)的聯(lián)系，但在相當(dāng)長(zhǎng)的一段時(shí)間里一些在特定條件下的算法的正 確性沒(méi)有得到很好的證明，圖像處理研究的進(jìn)展不大。近年來(lái)由于該領(lǐng)域研究 者數(shù)學(xué)功底的增強(qiáng)，同時(shí)，由于該領(lǐng)域的巨大市場(chǎng)需求吸引了越來(lái)越多的數(shù)學(xué) 工作者的加入。使該領(lǐng)域得到了前所未有的發(fā)展。圖像增強(qiáng)、圖像恢復(fù)和圖像 分割是圖像處理與分析中的主要問(wèn)題，對(duì)圖像進(jìn)行平滑和邊緣檢測(cè)等處理是常 用的方法；然而，圖像的平滑和邊緣的保持是一對(duì)矛盾的關(guān)系；圖像的低通濾 波在降噪的同時(shí)模糊的圖像的邊界。而人對(duì)圖像的高頻部分（邊緣細(xì)節(jié)）是很 敏感的，圖像的大部分信息存在于邊緣和輪廓部分。傳統(tǒng)的濾波和邊緣檢測(cè)方 法難以處理這類問(wèn)題。由于基于 PDEs 的圖像處理方法在平滑噪聲的同時(shí)可以 使邊界得到保持，因此在圖像處理中得到廣泛的運(yùn)用。 基于偏微分方程的圖像處理是圖像處理領(lǐng)域中的一個(gè)重要分支，這方面的 研究工作可從 Nagao,rudin 等關(guān)于圖像光滑和圖像增強(qiáng)的研究以及 Koenderink 對(duì)于圖像結(jié)構(gòu)的探索。 圖像處理中的兩個(gè)分支直接影響到了這個(gè)學(xué)科的最終形成。第一是圖像分 割，它實(shí)際上的是為了把真實(shí)世界中的物體從圖像中分離出來(lái)，同時(shí)得到真就 的邊界。其中 Mumford-Shah 模型是較為常用的方法。具體算法略。第二是圖 像濾波，它是所有圖像處理方法的前奏。1984 年，Koenderink 發(fā)現(xiàn)了圖像信號(hào) 經(jīng)過(guò)高斯濾波后的結(jié)果與熱傳導(dǎo)方程存在一定的聯(lián)系。圖像濾波需要兩個(gè)限制 條件：對(duì)比度不變和仿射不變，滿足的偏微分方程只有一個(gè)，所謂的 AMSS 方 Comment w3: 鄰域 成都理工大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 2 程。 基于偏微分方程的圖像處理應(yīng)用范圍幾乎覆蓋要整個(gè)圖像處理領(lǐng)域，包括 圖像識(shí)別、圖像分割、圖像重建、圖像邊緣提取、圖像檢索、醫(yī)學(xué)圖像處理、 彩色圖像處理、動(dòng)態(tài)圖像分析等。有的研究甚至用到了視覺(jué)哲學(xué)等的一些結(jié)論。 一方面，這個(gè)領(lǐng)域的發(fā)展在應(yīng)用領(lǐng)域不斷拓展，另一方面隨著本學(xué)科的發(fā)展， 人們?cè)噲D用嚴(yán)格的數(shù)學(xué)理論對(duì)現(xiàn)存的圖像處理方法進(jìn)行改造?；谄⒎址匠?的圖像處理在使用偏微分方程理論的同時(shí)也推動(dòng)了偏微分方程理論的以展。 我國(guó)的研究人員在這個(gè)領(lǐng)域關(guān)注的比較晚，從 20 世紀(jì) 90 年代到現(xiàn)在也取得 了很多驕人的研究成果。 1.2 圖像平滑的研究現(xiàn)狀 圖像平滑也稱為圖像去噪，是圖像處理中的重要環(huán)節(jié)，它極大地影響著后 繼處理的結(jié)果。抑制或消除這些噪聲而改善圖像質(zhì)量的過(guò)程稱為圖像的平滑。 圖像平滑的目的是為了消除噪聲。圖像噪聲的來(lái)源有三：一為在光電、電磁轉(zhuǎn) 換過(guò)程中引入的人為噪聲；二為大氣層電（磁）暴、閃電、電壓、浪涌等引起 的強(qiáng)脈沖性沖激噪聲的干擾；三為自然起伏性噪聲，由物理量的不連續(xù)性或粒 子性所引起，這類噪聲又可分成熱噪聲、散粒噪聲等。一個(gè)較好的去除噪聲的 方法應(yīng)該是既能消除噪聲又不使圖像的邊緣輪廓和線條變模糊,即在抑制噪聲的 同時(shí)有效地保持空間分辨率。圖像平滑作為圖像處理的重要環(huán)節(jié)，平滑質(zhì)量的 好壞直接影響到后繼處理和分析的結(jié)果。通過(guò)觀察噪聲圖像、考察圖像的噪聲 模型可以知道不必要的細(xì)節(jié)和一些不光滑的現(xiàn)象，圖像平滑算法可以去除圖像 中原本沒(méi)有的、由噪聲所帶來(lái)的細(xì)節(jié)。 圖像平滑的方法有很多，亦可以分為空間域或頻率域，亦可以分為全局處 理或局部處理，亦可以按線性平滑、非線性平滑和自適應(yīng)平滑來(lái)區(qū)別。下面介 紹幾種簡(jiǎn)單的圖像平滑的方法. 1.2.1 領(lǐng)域平均法 鄰域平均法是一種局部空間域處理的算法。設(shè)一幅圖像為 )(yxf，NM 的陣列，平滑處理后得到的圖像為,由式（1.1）決定)(yxg，)(yxg， 成都理工大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 3 (1.1) snm nmf M yxg , ),( 1 ),( 式中的=0 , 1 , 2 ， ,點(diǎn)鄰域中心點(diǎn)的坐標(biāo)的集合，yx，)(1yxSN，是， 但不包括點(diǎn)，內(nèi)坐標(biāo)點(diǎn)的總數(shù)。平滑化的圖像的每個(gè)像素)(yx，SM是)(yxg， 的灰度值由包含在的預(yù)定鄰域中的的幾個(gè)像素的灰度值的平均)(yx，)(yxf， 值所決定。 以上方法簡(jiǎn)單，計(jì)算速度快，但它的主要缺點(diǎn)是在降低噪聲的同時(shí)使圖像 產(chǎn)生模糊，鄰域越大，模糊越厲害。 為了減少這種效應(yīng)，可以采用閾值法。當(dāng)一些點(diǎn)和它的鄰域內(nèi)點(diǎn)的灰度的 平均值的差不超過(guò)規(guī)定的閾值時(shí)，就仍然保留其原灰度值不變，如果大于閾值 時(shí)就用它們的平均值來(lái)代替該點(diǎn)的灰度值。這樣平滑后的圖像會(huì)比鄰域平均法 模糊度減少。 1.2.2 低通濾波法 這是一種頻域處理法。在分析圖像信號(hào)的頻率特性時(shí)，對(duì)于一幅圖像，它 的邊緣、跳躍部分以及噪聲都代表圖像的高頻分量，而大面積的背景區(qū)和慢變 部分則代表圖像的低頻分量，用頻域低通濾波法除去其高頻分量就能去掉噪聲， 從而使圖像得到平滑。 利用卷積定理，可以寫(xiě)成以下形式 )()()(vuFvuHvuG， （1.2） 其中是含噪圖像的傅里葉變換，是平滑后圖像的傅里葉變)(vuF，)(vuG， 換，是傳遞函數(shù)。利用使的高頻分量得到衰減，得到)(vuH，)(vuH，)(vuF， 后再經(jīng)過(guò)反變換就得到所希望的平滑圖像了。)(vuG，)(vug， )(yxf，),(vuF),(vuG),(vug 圖 1-1 低通濾波平滑圖像的處理框圖 FFT 線性濾波器 ),(VUH IFFT 成都理工大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 4 由于傅里葉變換的性質(zhì)決定，這種平滑的方法在處理過(guò)程中會(huì)產(chǎn)生較嚴(yán)重 的模糊和振鈴現(xiàn)象。 1.2.3 多圖像平均法 如果一幅圖像包含有加性噪聲，這些噪聲對(duì)于每個(gè)坐標(biāo)點(diǎn)是不相關(guān)的，并 且其平均值為零，在這種情況下就可能采用多圖像平均法來(lái)達(dá)到去掉噪聲的目 的。 設(shè)為有噪聲圖像 ，為噪聲，為原始圖像，可)(yxf，),(yxn),(yxg),(yxg 用（1.3）式表示： ( , )( , )( , )f x yg x yn x y （1.3） 多圖像平均法是把一系列有噪聲的圖像 疊加起來(lái)，然后再取平均),(yxf 值以達(dá)到平滑的目的。 當(dāng)做平均處理的含噪聲圖像數(shù)目增加時(shí)，其統(tǒng)計(jì)平均值就越接近原始無(wú)噪 聲圖像。這種方法在實(shí)際應(yīng)用中的最大困難在于把多幅圖像配準(zhǔn)起來(lái)，以便使 相應(yīng)的像素能正確地對(duì)應(yīng)排列。 1.2.4 中值濾波法 （1）對(duì)某些輸入信號(hào)中值濾波的不變性 對(duì)某些特定的輸入信號(hào)，如在窗口內(nèi)單調(diào)增加或減少的序列，中值濾波輸 出信號(hào)仍保持輸入信號(hào)不變，即：或 niini fff ，則。 niini fff ii fy 33 方形窗口中值濾波 55551111 55501111 55551101 55551111 50551111 55551111 555111 555111 555111 555111 成都理工大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 5 33 方形窗口中值濾波 00100 00100 00100 00100 00100 00000 00000 00000 00000 00000 33 方形中值濾波 1111111111 1111111111 1155555511 1155555511 1155885511 1155885511 1155555511 1155555511 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1155555511 1155555511 1155555511 1155555511 1155555511 1155555511 1111111111 1111111111 (a) 原始圖像 (b)中值濾波輸出 圖 1.1 中值濾波不變性示例 二維中值濾波的不變性如圖 1.1 所示。它不但與輸入信號(hào)有關(guān)，而且還與 窗口形狀有關(guān)。一般與窗口對(duì)頂角連線垂直的邊緣線保持不變性。利用這個(gè)特 點(diǎn)，可以使中值濾波既能去除圖像中的噪聲，又能保持圖像中一些物體的邊緣。 對(duì)于一些周期性的數(shù)據(jù)序列，中值濾波對(duì)此序列保持不變性。例如，下列 一維周期性的數(shù)序列 , 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, i f 若設(shè)窗口長(zhǎng)度為 9，則中值濾波對(duì)此序列保持不變性。對(duì)于二維周期序列不 變性，如周期網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)圖案，分析起來(lái)就更復(fù)雜了，可以通過(guò)試驗(yàn)改變窗口形 狀和尺寸來(lái)獲取。 （2）中值濾波去噪聲性能 對(duì)于零均值正態(tài)分布的噪聲輸入，中值濾波輸出的噪聲方差近似為 2 med （1.4） 2 1 2 )(4 1 2 2 2 m mmf i med 成都理工大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 6 式中：為輸入噪聲功率（方差） ，為中值濾波窗口長(zhǎng)度（點(diǎn)數(shù)） ，為 2 i mm 輸入噪聲均值，為輸入噪聲密度函數(shù)。)(mf 而均值濾波的輸出噪聲方差為 2 0 22 0 1 i m （1.5） 比較兩公式，可以看出，中值濾波的輸出與輸入噪聲的密度分布有關(guān)。對(duì) 隨機(jī)噪聲的抑制能力，中值濾波比均值濾波要差一些。但對(duì)脈沖干擾，特別是 脈沖寬度小于 m/2、相距較遠(yuǎn)的窄脈沖干擾，中值濾波的效果較好。 （3）中值濾波的頻譜特性 設(shè) G 為輸入信號(hào)頻譜，F(xiàn) 為輸出信號(hào)頻譜，定義中值濾波的頻率響應(yīng)特性 為 （1.6） 試驗(yàn)表明，中值濾波頻譜特性起伏不大，其均值比較平坦?？梢哉J(rèn)為信號(hào) 經(jīng)中值濾波后，頻譜基本不變。這一特點(diǎn)對(duì)設(shè)計(jì)和使用中值濾波器很有意義。 1.2.5 各向同性擴(kuò)散方程 傳統(tǒng)的圖像平滑算法如均值濾波、中值濾波和高斯濾波等,由于不考慮圖像 的形狀特征,其平滑結(jié)果等價(jià)于傳導(dǎo)系數(shù)為常量的熱擴(kuò)散方程,屬于各向同性擴(kuò) 散。 如果圖像中存在某種雜質(zhì)，并且期濃度分布不均勻，這時(shí)，雜質(zhì)將從濃度 較高的區(qū)域向濃度較低區(qū)域遷移，這種遷移過(guò)程在物理學(xué)了稱之為擴(kuò)散；類似 地，當(dāng)介質(zhì)中的溫度分布不均勻時(shí)，將發(fā)生熱量從溫度較高的區(qū)域向溫度較區(qū) 域的遷移過(guò)程，稱之為熱傳導(dǎo)。若以函數(shù)表示濃度隨空間和時(shí)間)(tzyxu， 的變化，那么空間分布的不均勻性用梯度來(lái)刻畫(huà)，于是可以將雜質(zhì)在宏觀u 上的定向遷移，看成是由梯度產(chǎn)生的作用力-所推動(dòng)的，這里負(fù)號(hào)表示作用u 力指向u值減小的方向。 F G H 成都理工大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 7 1.2.6 各向異性擴(kuò)散方程 （1）P-M模型 為了達(dá)到去噪同時(shí)保護(hù)邊緣，可以采用擴(kuò)散過(guò)程中的傳導(dǎo)系數(shù)依賴于圖像 的局部特征。具體來(lái)說(shuō)，在圖像比較平坦的區(qū)域，傳導(dǎo)系數(shù)能自動(dòng)增大。這可 使平坦區(qū)域中較小的起伏被平滑；而在圖像的邊緣附近，傳導(dǎo)系數(shù)能自動(dòng)減小， 可使邊緣幾乎不受影響。 Perona和Malik引入的各向異性擴(kuò)散方程是這個(gè)領(lǐng)域最有影響的工作。他們 提出用保邊界的具有方向性的熱擴(kuò)散方程來(lái)代替高斯平滑濾波器。他們的研究 開(kāi)辟了圖像處理中偏微分方程理論和應(yīng)用的很多新領(lǐng)域。 （2）Catte模型 理想的擴(kuò)散系數(shù)要使得式在圖像均質(zhì)區(qū)域內(nèi)擴(kuò)散程度大以利于噪聲消除； 在邊緣區(qū)域內(nèi)擴(kuò)散程度小以利于保持邊緣。Catte 等人指出P-M 方法是“病態(tài)” 的，輸入的微小變化會(huì)導(dǎo)致輸出完全改變;Whitaker 證明P-M 方法處理所得的 圖像受“階梯”效應(yīng)干擾，視覺(jué)效果差。 1.3 本文的研究目標(biāo)和主要內(nèi)容 圖像在獲取和傳輸過(guò)程中，往往受到噪聲的干擾，而降噪的目的是盡可能 保持原始信號(hào)主要特征的同時(shí)，除去信號(hào)中的噪聲。目前的圖像去噪方法可以 將圖像的高頻成分濾除，雖然能夠達(dá)到降低噪聲的效果，但同時(shí)破壞了圖像細(xì) 節(jié)。邊緣特性是圖像最為有用的細(xì)節(jié)信息，本文對(duì)鄰域平均法、中值濾波法、 維納濾波法及偏微分方程的各向異性擴(kuò)散方程方法和各向同性方程方法的圖像 去噪算法進(jìn)行了研究分析和討論。 本文共分為六部分，具體內(nèi)容安排如下： 前言，介紹所研究課題的研究背景、意義，國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀，以及課題 的研究思路、研究?jī)?nèi)容。 第二章，偏微分方程的基礎(chǔ)知識(shí)，簡(jiǎn)單介紹了偏微分方程的概念和幾種 常見(jiàn)的偏微分方程，及偏微分方程在圖像處理中的幾個(gè)例子。 第三章，簡(jiǎn)單地介紹了圖像的基本知識(shí)，介紹了圖像的概念、分類、圖 像的采集、圖像的模型和常見(jiàn)的圖像的格式。 成都理工大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 8 第四章，簡(jiǎn)單地介紹了數(shù)字圖像處理的基本知識(shí)，介紹了數(shù)字圖像處理 的發(fā)展?fàn)顩r，說(shuō)明了數(shù)字圖像處理的流程以及圖像增強(qiáng)算法和圖像還 原算法。 第五章，研究了基于偏微分方程圖像平滑的方法，簡(jiǎn)單的介紹了各向同 性擴(kuò)散方程和各向異性擴(kuò)散方程方法，用實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了偏微分方程的圖 像平滑方法。 第六部分給出了本文的研究結(jié)論，對(duì)比了傳統(tǒng)的圖像平滑方法和基于偏 微分方程圖像平滑方法。 第 2 章 偏微分方程基礎(chǔ)知識(shí) 2.1 偏微分方程的導(dǎo)出與定解 2.1.1 偏微分方程的概念 如果一個(gè)微分方程中待求解的未知函數(shù)只有一個(gè)自變量，那么這個(gè)方程是 常微分方程；如果未知函數(shù)有多個(gè)自變量，方程中出現(xiàn)多元函數(shù)對(duì)不同自變量 的各階偏導(dǎo)數(shù)，那么，這樣的微分方程就稱為偏微分方程。 偏微分方程概念的引入是科學(xué)家研究自然的一個(gè)必然結(jié)果，因?yàn)閹缀跛?的研究對(duì)象，包括天文學(xué)、物理學(xué)等領(lǐng)域的物體運(yùn)動(dòng)、狀態(tài)變化等都不可能只 受到一個(gè) 因素的影響，它們往往與位置、時(shí)間、溫度等諸多因素相關(guān)，因此必 須用偏微分方程才能描述并求解，需要指出的是，大多數(shù)的偏微分方程都與某 個(gè)實(shí)際問(wèn)題有密切的聯(lián)系，或者就是從某個(gè)實(shí)際問(wèn)題中導(dǎo)出的，在早期的研究 過(guò)程中，這樣的實(shí)際問(wèn)題大多來(lái)源于物理學(xué)范疇，所以偏微分方程也經(jīng)常被稱 為數(shù)學(xué)物理方程，因此偏微分方程從一開(kāi)始就是一問(wèn)應(yīng)用性極強(qiáng)的數(shù)學(xué)分支。 與常微分方程的研究過(guò)程有所不同的是，數(shù)學(xué)家們?cè)谠噲D建立偏微分方程 研究的一般性理論時(shí)一再受挫，最終不得不放棄了這種企圖，偏微分方程是十 分復(fù)雜的研究對(duì)象嗎，即使是線性的方程，也可以復(fù)雜到很難處理的程度；至 于非線性方程，人們更加感到，目前大體上還只能分別針對(duì)各種具體問(wèn)題，提 出個(gè)別的解決辦法。在這個(gè)過(guò)程中，隨著偏微分方程研究的內(nèi)容越來(lái)越多、越 來(lái)越難，各種新方法不斷涌現(xiàn)，不斷豐富和發(fā)展了偏微分方程的 研究?jī)?nèi)容，同 成都理工大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 9 時(shí)也促進(jìn)了許多其它數(shù)學(xué)分支的發(fā)展。 2.1.2 幾個(gè)典型的數(shù)學(xué)物理方程 一個(gè)物理量往往是空間位置（）和時(shí)間 的函數(shù)，例如，某個(gè)區(qū)域zyx，t 中溫度的分布和變化，就可以用來(lái)表示，有了這個(gè)函數(shù)，就)(zyxtuu， 能知道這個(gè)區(qū)域內(nèi)各點(diǎn)在各個(gè)時(shí)刻的溫度，在物體內(nèi)部不具有熱源的情況下， 它的溫度分布應(yīng)該滿足 ），（其中0)( 2 2 2 2 2 2 2 a z u y u x u a t u （2.1） 這里，是傳熱系數(shù)，是熱容量。 Q k a 2 kQ （2.1）被稱為熱傳導(dǎo)方程，熱傳導(dǎo)方程，因?yàn)樗硎玖艘环N傳熱過(guò)程；其實(shí)一種化學(xué)物 質(zhì)在溶液中的濃度也同樣滿足（2.1） ，所以它有時(shí)也被稱為擴(kuò)擴(kuò))(zyxtuu， 散方程散方程。 當(dāng)物體處于熱穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)，也就是說(shuō)，此時(shí)它的溫度處于不隨時(shí)間變化而 改變的狀態(tài)，那么溫度就滿足方程u 0 2 2 2 2 2 2 z u y u x u u （2.2） 方程（2.2）稱為拉普拉斯（拉普拉斯（LaplaceLaplace）方程）方程，或稱為調(diào)和方程調(diào)和方程，它除了表 示熱的平衡外，也可以用來(lái)表示真空中靜止的電磁場(chǎng)、經(jīng)典的引力場(chǎng)、或流體 的某種穩(wěn)態(tài)流動(dòng)等。 類似地，當(dāng)聲波在空氣中傳播時(shí)，如果表示壓強(qiáng)的小擾動(dòng)，那么滿足uu (其中) )( 2 2 2 2 2 2 2 2 2 z u y u x u a t u 0a （2.3） 這里是聲音在空氣中的傳播速度，方程（2.3）不僅用來(lái)表示聲波，也可a 以用來(lái)表示電磁波或其它的波動(dòng)，一般稱為波動(dòng)方程波動(dòng)方程。 成都理工大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 10 上述三種方程是物理學(xué)中最早出現(xiàn)的偏微分方程，18 世紀(jì)以來(lái)，它們就被 認(rèn)為是最典型的數(shù)學(xué)物理方程。對(duì)這三種方程的求解，能夠解釋許多重要的物 理現(xiàn)象，因此有廣泛而重要的應(yīng)用。 2.1.3 初邊值問(wèn)題 對(duì)于波動(dòng)方程，最典型的求解問(wèn)題是初始值問(wèn)題初始值問(wèn)題，或稱為柯西問(wèn)題柯西問(wèn)題，即： 求波動(dòng)方程（2.3）中的解，使其滿足u (2.4)()0()()( 10 zyxuzyx t u zyxuzyxou， 上式稱為初始條件初始條件，其中的和是已給的函數(shù)，他們)( 0 zyxu，)( 1 zyxu， 分別表示在時(shí)刻 =0 時(shí)的波的形狀和關(guān)于 的變化率。tt 我們先考慮一維的情形，此時(shí)（2.3）化為弦振動(dòng)方程 0 2 2 2 2 2 x u a t u （2.5） 相應(yīng)的初始條件為).()0()()0( 10 xux t u xuxu ， 作變換則方程（2.5）化為，atxatx 0 2 u 從而（2.5）的通解為 (2.6)()(atxgatxfu 這里和是任意的兩個(gè)具有連續(xù)二階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)， （2.6）的含義是，弦fg 的橫振動(dòng)是由一個(gè)向右傳的波和一個(gè)向左傳的波疊加而成的，)(atxf)(atxg 之所以被稱為向右傳的波，是因?yàn)楫?dāng) 取不同值時(shí)，的波形總是一樣)(atxftu 的，但以速度向右推移；含義類似。a)(atxg 代入初始條件，我們得到弦振動(dòng)的達(dá)朗貝爾（d Alembert）公式： = （2.7）Udu a atxuatxu atx atx )( 2 1 2 )()( 0 在高維的情形下，相應(yīng)的求解過(guò)程要復(fù)雜的多，這時(shí)可以利用傅里葉 （Fourier）變換求解，我們把記為 x=()又記)(zyx， 321 xx,x， 成都理工大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 11 ，定義），（ 321 321321 ),()(dxdxdxexxxff xi （2.8） 其中為向量?jī)?nèi)積，我們稱為的傅里葉變換，當(dāng) 332211 xxxx)( f)(xf 時(shí)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，且及其導(dǎo)數(shù)當(dāng)時(shí)速降，則不僅有),( 321 xxxffx)( f 意義，而且 (2.9) 321321 - 3 ),( )2( 1 )( dddefxf xi 式（2.9）稱為傅里葉逆變換，另外還有 (i=1,2,3) (2.10) 321321 ),()(dxdxdxexxx x f fi xi i i 等公式，它表明求導(dǎo)運(yùn)算經(jīng)傅里葉變換后化為乘法運(yùn)算. 用傅里葉變換求解偏微分方程（以波動(dòng)方程為例）初始值問(wèn)題的基本思路 是： 第一步，對(duì)方程（2.3）的初始條件（2.4）作關(guān)于變量（）的傅里葉變zyx， 換，并利用性質(zhì)（2.10） ，從而得到含參數(shù)的關(guān)于 t 的常微分方程初始值問(wèn)題： ua dt ud )( 2 3 2 2 2 1 2 2 2 （2.11） )(),( 1000 u dt ud uu tt （2.12）第二步，解常微分方程初值問(wèn)題（2.11） ， （2.12） ，從而得出 a ta utautu )sin( ),()cos(),(),( 32113210321 （2.13） 其中. 2 3 2 2 2 1 第三步，作的傅里葉逆變換，得出所求的解，這),( 321 tu ),( 321 tu 一運(yùn)算過(guò)程比較復(fù)雜，最后結(jié)果是： 成都理工大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 12 at t at t tt dslxu ta dslxu tat dsatlxatu a dsatlxatu at xtu )( 4 1 )( 4 1 )( 4 1 )( 4 1 ),( 1 1 2 0 1 2 11 1 10 1 （2.14） 這就是解波動(dòng)方程初始值問(wèn)題的“泊松（Poison）公式”，式中 是用向量表l 示的積分變量，是球面的面積元素，特別地，在最后的表)( 1at dsds)( 1atll 達(dá)式中，積分是在沿以為中心，為半徑的球面上進(jìn)行的。xat 上述用傅里葉變換求解偏微分方程的思想可歸納為下述圖表： 解 傅里葉逆變換 ),( xtu),(tu 解常微分方程 初始條件 傅里葉變換 初始條件 10,u u 1 0,uu 有時(shí)候我們考慮的偏微分方程求解問(wèn)題與邊界有關(guān)，比如我們來(lái)考慮有限 物體的溫度分布，設(shè)該物體占據(jù)三維空間的某個(gè)有界區(qū)域，他的邊界有 一定的光滑性，顯然物體所處的環(huán)境肯定會(huì)對(duì)物體的溫度分布產(chǎn)生影響，如果 物體表面的溫度是給定的，即 xxtgxtu x ),(),( （2.15） 且當(dāng)時(shí)的溫度為0t （x 為向量） )(), 0( 0 xuxu （2.16） 因此，我們要求的既要滿足熱傳導(dǎo)方程（2.1） ，又要滿足初始條件),( xtu （2.16）和邊界條件（2.15） ，求解這樣的問(wèn)題，稱為偏微分方程的初邊值問(wèn)題初邊值問(wèn)題. 初邊值問(wèn)題可用分離變量法（即傅里葉變換法）求解，這是法國(guó)數(shù)學(xué)家傅 里葉提出的，對(duì)數(shù)學(xué)及其各個(gè)領(lǐng)域的應(yīng)用產(chǎn)生了重要的影響。 成都理工大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 13 2.2 熱傳導(dǎo)方程初值問(wèn)題的求解 本節(jié)我們講述如何利用傅里葉變換來(lái)求解這一類問(wèn)題，為了方便用式子右 上角叫記號(hào)表示傅里葉的逆變換，于是 ff ）（ 考慮以下初值問(wèn)題 0,),( 2 2 2 txtxf x u a t u xxuxu),() 0 , ( 0 （2.17） 在上式兩邊關(guān)于變量作傅里葉變換，得到x ),( 22 tfua dt ud )( 1 t u 解之得， defetu ta t ta)( 0 2222 ),(),( 經(jīng)傅里葉變換得到 dftxKddtxKtxu t ),(),()(),(),( 0 （2.18） 其中 0, 0),( ; 0, 2 1 ),( )4/( 22 ttxK te ta txK tax （2.19） 成都理工大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 14 通常稱（2.18）為泊松（泊松（Poisson）公式）公式 ， 稱為),();,(txKtx 熱傳導(dǎo)方程的基本解基本解。 定理定理 2.1 若且有界，則由泊松公式（2.18）確),()(Cx0),(txf 定的函數(shù)是初值問(wèn)題（2.17）的解有界。 2.3 二階偏微分方程的分類與化簡(jiǎn) 2.3.1 二階偏微分方程的分類 前面介紹過(guò)三個(gè)典型的偏微分方程分別是： （波動(dòng)方程） fua t u 2 2 2 （2.20） （熱傳導(dǎo)方程） （2.21）fua t u 2 （位勢(shì)方程） fu （2.22） 其中為 Laplace 算子，的函數(shù)，其)()( 11 1 2 2 txxxxf x mm m i i ，或，是， 中 a 是常數(shù)， （2.22）中當(dāng)=0 為調(diào)和方程，很顯然，他們都是二階線性偏微分f 方程。 二階偏微分方程的一般形式是 fcu x u b xx u a i m i i ji m ji ij 1 2 1， （2.23） 其中的函數(shù)，因此上面提到的這三個(gè)方程都是)( 1mijiij xxfcbaa，都是、 它的特例。以 A 表示矩陣，對(duì)于波動(dòng)方程，取 m=n+1,則 mjiij a ,.,2, 1, )( 1 n xt A= 1 2 2 aO Oa 成都理工大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 15 對(duì)于熱傳導(dǎo)方程，取，則 1 , 1 n xtnm A= 0 2 2 aO Oa 1 1 n