（應用數(shù)學專業(yè)論文）利率影響下風險模型的破產(chǎn)理論.pdf

摘要 摘要 近年來 隨著科技進步及經(jīng)濟發(fā)展 風險因素越來越復雜 風險的度量與管理日益 引起人們的重視 自從e h a l l e y 于1 6 9 3 年編制世界上第一個生命表算起 風險理論的 發(fā)展已經(jīng)有三百多年的歷史 如今 風險理論已經(jīng)成為保險精算學的一個重要分支 在 保險理論與實踐中具有重要的作用 而破產(chǎn)理論則是風險理論研究中的一個非常重要的 問題 對于保險公司而言 破產(chǎn)理論及相關問題的研究可為決策者提供一個非常有用的 早期風險預警手段 其研究具有重要的現(xiàn)實意義 本文介紹保險精算數(shù)學中最重要的問題之一的 破產(chǎn)概率 問題 它主要研究保險 公司的資產(chǎn)在某一時刻為負的概率 首先從理論和現(xiàn)實需要兩方面論述加強我國壽險公 司償付能力研究的必要性和緊迫性 然后結合我國壽險業(yè)的發(fā)展現(xiàn)狀 將風險模型分為 三類 即復合泊松過程的風險模型 復合二項風險模型和信用風險模型 進而詳細地描 述這三種風險模型下破產(chǎn)概率的不同形式 第一章描述本研究課題的現(xiàn)實背景以及該課題目前的最新進展 并給出論文的大致 框架 第二章介紹本研究課題所涉及的數(shù)學工具和金融背景 為本課題后續(xù)研究工作奠 定基礎 第三章通過討論帶利率的復合p os s o n 過程的風險模型 并將古典風險模型推廣至 單位索賠額的分布與當前時刻的馬爾可夫鏈相關的風險模型 求解出破產(chǎn)概率和生存概 率的迭代公式以及確定破產(chǎn)概率的初值 第四章主要介紹離散時間復合二項風險模型的最終破產(chǎn)問題和有限時間內的生存 問題 通過定義調節(jié)系數(shù)以及應用累進均值法則和c h e b y o h e v 不等式 得到一般情形下 的復合二項風險模型的最終破產(chǎn)概率的若干理論結果 提出并討論含投資因素 并且投 資收益率為隨機序列的復合二項風險模型 用類似的方法 得到模型的最終破產(chǎn)概率的 理論分析 第五章采用常數(shù)利率離散時間下信用風險的破產(chǎn)模型 提出公司破產(chǎn)發(fā)生的條件和 常利率離散時間下信用風險的生存概率 并利用該模型推導出公司的破產(chǎn)概率和破產(chǎn)時 刻分布 通過對破產(chǎn)概率的分析 得出破產(chǎn)前瞬問的余額分布和破產(chǎn)時余額分布 以及 破產(chǎn)前 破產(chǎn)時瞬間余額的聯(lián)合分布的遞推公式 最后在第六章結論和后期研究展望中對本研究課題進行總結 指出本研究課題的一 些實際應用局限之處 并指出下一步研究工作中需要改進的地方 關鍵詞 破產(chǎn)概率 復合泊松過程 復合二項分布 信用風險 華南理工大學碩十學位論文 a b s t r a c t i nr e c e n ty e a r s w i t ht h ed e v e l o p m e n to f s c i e n c e t e c h n o l o g ya n de c o n o m i c s r i s kf a c t o r sb e c o m em o r e a n dm o r ec o m p l i c a t e d w h i c hi n d u c e su st op a ym o r ea t t e n t i o nt ot h e m r i s kt h e o r yh a sb e e nd e v e l o p e d f o ro v e rt h r e eh u n d r e dy e a r ss i n c ee h a l l e yb u i l tu pt h ef i r s tl i f et a b l ei n1 6 9 3 u pt on o w r i s kt h e o r y h a sb e e no n eo ft h em o s ti m p o r t a n tb r a n c h e so fa e t u a r i a lm a t h e m a t i c sa n di sc o n s i d e r a b l ei m p o r t a n tf o r i n s u r a n c et h e o r ya n dp r a c t i c e b e s i d e s r u i nt h e o r yi sap a r t i c u l a ri m p o r t a n tf i e l di nr i s kt h e o r ys t u d y f o ri n s u r a n c ec o m p a n i e s t h es t u d yo fr u i nt h e o r ya n dr e l a t e dp r o b l e m si sh e l pf o rt h e mt oh e d g et h ee a r l y r i s k w h i c hj ss i g n i f i c a n tj np r a c t i c e t h i st h e s i sp r e s e n t so n ep r o b l e mo f t h em o s ti m p o r t a n tp r o b l e m so fl i f ea c t u a r i a lm a t h e m a t i c s r u i n p r o b a b i l i t y w h i c hc o n c e n t r a t e s o ns t u d y i n g t h e p r o b a b i l i t y t h a t t h ea s s e t ss u r p l u so f i n s u r a n c ec o m p a n i e s i s b e l o wa tz e r o f i r s t l y f r o mt h e o r e t i c a la n dr e a l i s t i cn e e d s i ti su r g e n ta n dn e c e s s a r yf o ro u rd o m e s t i c i n s u r a n c ec o m p a n i e st os t r e n g t h e nt h es o l v e n c yr i s k c o n s i d e r i n gt h es t a t u sq u oo fi n s u r a n c ec o m p a n i e s r i s km o d e li sd i v i d e di n t ot h r e ep a r t s w h i c h8 r ec o m p o u n dp o i s s o np r o c e s sr i s km o d e l c o m p o u n db i n o m i a l r i s km o d e la n dc r e d i tr i s km o d e l f u r t h e r m o r e d e t a i l e dd i f i e r e n td e r i v a t i v ep r o c e s s e so f t h e s et h r e e1 6 n d s o f r i s km o d e l sa r ei n v e s t i g a t e di nt h ee n d c h a p t e r1d e s c r i b e st h ep r a c t i c a lb a c k g r o u n do f t h i sp r o j e c ta n dt h eu p d a t e dr e s e a r c hp r o g r e s s w h i c h g i v e sas k e t c h yf r a m e w o r kt or e l yo n i nc h a p t e r2 ab r i e fr e v i e wo fm a t h e m a t i c a lk n o w l e d g ea n d e c o n o m i c a lb a c k g r o u n di sg i v e n w h i c hb u i l d st h eb a s i sf o r t h en e x ts t u d y i nc h a p t e r3 c o m p o u n dp o i s s o np r o c e s sr i s km o d e lw i t hc o n s t a n ti n t e r e s ti s d i s c u s s e da n dt h e c l a s s i c a lr i s km o d e li sp r o m o t e dt oar i s km o d e lt h a tt h ed i s t r i b u t i o no f t h eu n i tc l a i md e p e n d so nt h es t a t e o ft h em a r k o vc h a i no nc u l t e n tt i m e a n dt h er e c u r s i v ef o r m u l a sf o rt h er u i np r o b a b i l i t ya n ds u r v i v a l p r o b a b i l i t ya r ea c h i e v e d w h i c ht h ei n i t i a lv a l u eo f t h er u i np r o b a b i l i t yi sa l s oo b t a i n e d c h a p t e r4i n t r o d u c e sm a i n l ya b o u tt h ep r o b l e mo f r u i na n ds u r v i v a lo f c o m p o u n db i n o m i a lr i s km o d e l w i t hd i s c r e t et i m e b yd e f i n i n gt h ea 由u s t m e n tc o e f f i c i e n ta n da p p l y i n gp r o g r e s s i v em e a nr u l ea n d c h e b y c h e vi n e q u a l i t y t h ef o r m u l a so fu l t i m a t er u i np r o b a b i l i t i e so ft h eg e n e r a lc o m p o u n db i n o m i a lr i s k m o d e la r ea t t a i n e d i na d d i t i o n ac o m p o u n db i n o m i a lr i s km o d e lt h a ti n v e s t m e n ty i e l d sa n ds t o c h a s t i c v a r i a b l e si sp r o p o s e da n dd i s c u s s e d w h i c hi n d u c t st h eu l t i m a t er u i np r o b a b i l i t i e sb yu s i n gt h es a m ew a y 壘 塑 i nc h a p t e r5 ac r e d i tr i s kr u i nm o d e li nt h ef i n i t ed i s c r e t et i m eu n d e rt h ec o n s t a n ti n t e r e s tr a t ei s a d v a n c e d t h ec o n d i t i o no fr u i ni sg i v e n a n dt h es u r v i v a lp r o b a b i l i t yw i t hc r e d i tr i s ki sp r o p o s e di nt h e f i n i t ed i s c r e t et i m er i s km o d e lu n d e rt h ec o n s t a n ti n t e r e s tr a t e b yu s i n gt h i sm o d e l r u i np r o b a b i l i t yi s d e r i v e d w e l la st h ed i s t r i b u t i o no f t h er u i nt i m e 二t h r o u g ht h ea n a l y s i so nr u i np r o b a b i l i 饑t h er e c u r s i v e f o r m u l a ef o rt h ed i s t r i b u t i o no f t h es u r p l u sb e f o r er u i na n dt h a ta tr u i nm o m e n t a n dt h ej o i n t d i s t r i b u t i o n o f s u r p l u sb e f o r ea n d a tr u i na l eo b t a i n e dc o m p l e t e l y f i n a l l yt h ec o n c l u s i o no f t h i st h e s i ss u m su pt h er e s e a r c hw o r k a n dp o i n t so u ts o m el i m i t so fp r a c t i c a l a p p l i c a t i o n i nt h em e a n w h i l e af u r t h e rr e s e a r c hp r o p o s a lr e m a i n st ob ei m p l e m e n t e d k e y w o r d s r u i np r o b a b i l i t y c o m p o u n dp o i s s o np r o c e s s c o m p o u n db i n o m i a ld i s t r i b u t i o n c r e d i tr i s k 華南理工大學 學位論文原創(chuàng)性聲明 本人鄭重聲明 所呈交的論文是本人在導師的指導下獨立進行研究所 取得的研究成果 除了文中特別加以標注引用的內容外 本論文不包含任何 其他個人或集體已經(jīng)發(fā)表或撰寫的成果作品 對本文的研究做出重要貢獻 的個人和集體 均已在文中以明確方式標明 本人完全意識到本聲明的法律 后果由本人承擔 作者躲妗覷吊 嗍砜2 月 d 日 學位論文版權使用授權書 本學位論文作者完全了解學校有關保留 使用學位論文的規(guī)定 同意 學校保留并向國家有關部門或機構送交論文的復印件和電子版 允許論文 被查閱和借閱 本人授權華南理工大學可以將本學位論文的全部或部分內 容編入有關數(shù)據(jù)庫進行檢索 可以采用影印 縮印或掃描等復制手段保存 和匯編本學位論文 保密口 在年解密后適用本授權書 本學位論文屬于 不保密皤 請在以上相應方框內打 作者簽名 諺 鈕素 日期 w 哆年 月f 日 導師簽名 探缸 第一章破產(chǎn)概率的研究導論 第一章破產(chǎn)概率導論 破產(chǎn)概率 問題是聚合風險理論研究的最重要的問題之一 研究保險公司的資產(chǎn) 在某一時刻為負的概率 聚合風險理論 是保險精算數(shù)學中的一部分 用來處理保險中 的隨機模型 公認以1 9 0 3 年f i l l i pl u n d b e r g 1 l 的工作為起點 在這種模型中 總假定理 賠發(fā)生的到達流用一個點過程來描述 保險公司每次理賠的賠付額為一非負隨機變量序 列 保險公司對每份保單收取一定數(shù)量的保費 保費率與平均賠付額之間的差額作為保 險公司的 相對安全負荷 保險公司必須謹慎的確定保費率和理賠的賠付額 使其具 有一定的盈利能力 倘若不具備這種盈利能力 或者喪失這種盈利能力 即說明保險公 司面臨破產(chǎn)的風險 1 1 問題的提出 保險公司是經(jīng)營風險的特殊企業(yè) 按照合同標的不同 保險公司經(jīng)營的業(yè)務分為兩 類 財產(chǎn)保險和人身保險 我國遵循 產(chǎn)壽險分業(yè)經(jīng)營 的原則 將保險公司分為財產(chǎn) 保險公司和人壽保險公司兩大類 人壽保險公司主要經(jīng)營人壽保險 人壽保險以人的生 命為標的 與一般企業(yè)相比 人壽保險公司的經(jīng)營具有以下幾個特點 2 叫 一是未來保險成本 的不確定性 壽險公司以人的生命作為經(jīng)營的標的 它承擔的是對廣大投保人的一種或 有負債 盡管出售保險產(chǎn)品時 壽險公司依據(jù)歷史資料和對未來的判斷 可以對產(chǎn)品的 成本進行科學的預測 但是在經(jīng)營過程中 由于外部環(huán)境的改變 比如銀行利率的調整 通貨膨脹的影響等因素 使得這種或有負債的大小呈現(xiàn)出一定的隨機性或者不確定性 因此保險經(jīng)營和管理比一般工商企業(yè)更具有風險性 二是壽險產(chǎn)品的技術含量高 信息 不對稱性強 壽險產(chǎn)品是一種技術性很高的商品 比如合同條款的設計 保險費率的厘 定 承保范圍的規(guī)定等都要用到壽險精算學這門復雜的技術 其中包含大量的計算和推 導 這些使得大多數(shù)投保人沒有能力理解它們 為此 保險合同存在很強的信息不對稱 性 為了取得市場和投保人的信任 壽險公司在經(jīng)營上必須具備較強的穩(wěn)健性和雄厚的 準備金 而監(jiān)管部門也必須加強對壽險公司的監(jiān)管 確保它們對投保人或受益人未來的 給付或賠償 三是保險雙方權利和義務在時間上的不對稱性 壽險公司先收取保費 取 得合同的權利 在未來約定事件發(fā)生后才具有承擔賠償或給付保險金的義務 而投保人 要先繳納保費 履行合同義務 在將來約定事件出現(xiàn)后才有享受獲得賠償或給付保險金 的權利 四是壽險合同的長期性和儲蓄性 人壽保險的保險期限較長 般為十幾年 幾十年 甚至終生 而且被保險人或受益人得到的保險金給付不僅包括以前繳納的保險 華南理工大學碩士學位論文 費 還應該包括保險費產(chǎn)生的利息 具有儲蓄性的特征 這又加大上述權利和義務在時 間上的不對稱性和保險成本的不確定性 正是由于壽險經(jīng)營的這些特點 再加上其保險 保障的職能 使得壽險公司具有很強的負外部效應 即一旦壽險公司陷入財務危機 形 成破產(chǎn)倒閉 不能按照合同規(guī)定向廣大投保人支付保險金 就會發(fā)生連鎖反應 危害社 會的穩(wěn)定和破壞經(jīng)濟的發(fā)展 壽險公司必須具備足夠的償付能力 這就是壽險業(yè)持續(xù)穩(wěn) 定發(fā)展的基礎 對壽險公司償付能力的研究必然成為壽險公司本身 社會公眾和國家監(jiān) 管當局關注的焦點 在我國保險公司的運作過程中 保費收入是主要的收入來源 理賠則是主要的風險 因素 為了保障保險公司財務經(jīng)營的穩(wěn)定性和減少損失波動 保持足夠多的保單數(shù)目是 必不可少的 保險公司必須統(tǒng)籌安排 應將多少準備金用于賠付 應將多少資金注入投 資 以增加收益 保險公司最基本的經(jīng)營目標就是要提高保險公司的償付能力 確保穩(wěn) 定運作 因此 科學地預測保險公司未來的保費收入 可能發(fā)生的理賠額 以及估計保 險公司的破產(chǎn)概率等 都是十分重要的課題 我國的保險事業(yè)起步較晚 目前 保險業(yè) 可能采用的投資工具有限 投資增值能力較差 因此更加需要加強保險公司的經(jīng)營管理 保險公司一方面應該采取各種措施增加保單數(shù)額 穩(wěn)定風險波動 另 方面合理的厘定 保險費率 科學的預測未來的風險與收益 這已經(jīng)成為我國保險業(yè)必不可少的經(jīng)營手段 我國自恢復保險經(jīng)營以來 保險業(yè)取得迅猛的發(fā)展 2 0 年闖的保費收入年均遞增速度在 3 0 以上 遠遠高于同期g d p 的增長速度 2 0 0 4 年 保費收入高達4 3 1 8 1 億元 同比 增長1 1 3 保險深度 即保費收入占國內生產(chǎn)總值的比重達到3 4 保險密度 即按 照常住人口計算的人均保費收入達到3 3 2 元 截至2 0 0 4 年底 保險公司總資產(chǎn)1 1 8 5 3 6 億元 比年初增加2 7 3 0 7 億元 但我國保險業(yè)在高速發(fā)展 一派繁榮的背后 也潛藏著 巨大的危機 到目前為止 我國保險業(yè)的發(fā)展基本上是屬于粗放經(jīng)營型的 保險公司以 保費收入作為經(jīng)營業(yè)績的硬指標 其決策往往缺乏戰(zhàn)略長遠性 缺少風險管理意識 各 個保險公司在實際業(yè)務中 重保費 輕理賠 以保險價格進行惡性競爭 在產(chǎn)品開發(fā)上 以占有市場份額為主要手段 彼此形成惡性競爭 粗放的過快增長 加之經(jīng)營環(huán)境的變 化 我國的保險公司 尤其是經(jīng)營具有長期性和儲蓄性的壽險業(yè)務的壽險公司積累很大 的風險 綜合我國壽險公司2 0 0 4 年的保險業(yè)發(fā)展統(tǒng)計 人壽險業(yè)務在2 0 0 4 年內平穩(wěn)增 長 保費收入3 2 2 8 2 億元 同比增長7 2 由于保險公司主動調整業(yè)務結構和受升息 等因素的影響 人壽險業(yè)務增速有所放緩 但是在經(jīng)濟補償方面 截至2 0 0 4 年底 保 險業(yè)務共支付賠償與給付1 0 0 4 4 億元 同比增長1 9 4 保費收入的增長速度與保險 賠償?shù)脑鲩L速度之間存在的較大差距 使得保險公司償付能力的危機并非危言聳昕 而且 按照我國加入w t o 的承諾 我國將逐步對外開放我國的保險市場 對中國 這個潛力巨大的保險市場覬覦已久的世界保險巨頭們已經(jīng)陸續(xù)進入 它們在信用 資金 實力 產(chǎn)品開發(fā)能力 資金運用水平 營銷 服務以及風險管理技術等方面與國內保險 公司相比具有明顯的優(yōu)勢 這樣 國內壽險公司此前擁有的地域和業(yè)務優(yōu)勢已經(jīng)逐步喪 第一章破產(chǎn)概率的研究導論 失 來自外資保險公司的競爭壓力迅速增加 國內壽險公司如果還不盡快調整 很快就 會陷入經(jīng)營困境 面臨生存危機 進而影響其償付能力 同時 世界經(jīng)濟一體化和金融 業(yè)混業(yè)經(jīng)營已經(jīng)成為一種必然趨勢 保險公司面臨的來自銀行 證券等金融行業(yè)外的競 爭壓力也會逐漸加大 壽險公司面臨的生存風險也必然加大 為了確保我國金融和經(jīng)濟 的安全 也為促使我國壽險業(yè)的健康 持續(xù)和穩(wěn)健的發(fā)展 加強對我國壽險公司償付能 力的研究已經(jīng)刻不容緩 綜上所述 從壽險經(jīng)營的特點出發(fā) 研究我國壽險公司償付能力的影響因素及其破 產(chǎn)概率 并在充分了解我國壽險公司償付能力和監(jiān)管現(xiàn)狀的基礎上 有針對性的設定一 個破產(chǎn)概率上界以加強對我國壽險公司償付能力的監(jiān)管 有著十分重要的理論價值和現(xiàn) 實意義 1 2 研究架構 圖 一l 研究架構圖 壽險公司必須維持足夠的償付能力 這是壽險公司盈利和持續(xù)經(jīng)營的基礎 壽險公 司償付能力的影響因子很多 受通貨膨脹 銀行利率和金融風險投資收益的影響 由這 些影響因子形成的集合 共同作用于風險模型 使得風險模型在受到上述幾項因子影響 時 能夠確保壽險公司的償付能力 這是壽險公司在實證研究中所要關注的核心 另一 方面來說 從模型研究的角度出發(fā) 風險模型又可以分為帶三種過程的模型 即復合泊 松過程 復合二項分布和信用風險模型 由于壽險公司各險種所收保費費率和償付保險 金的總額各不相同 因此可以分別采取這三種不同的模型 從而計算出破產(chǎn)概率 同時 破產(chǎn)概率又嚴重影響風險模型的構造和變化 因此 本文研究的重心在于推導償付能力 影響因子下三種復合過程的破產(chǎn)概率 本文的結構安排如下 第二章首先給出風險模型的簡要介紹 這一介紹重現(xiàn)了從上 世紀6 0 年代發(fā)展起來的破產(chǎn)理論的歷史發(fā)展過程 并結合風險模型的研究背景 簡單 介紹幾種復合過程的風險模型 再概述所要運用的數(shù)學方法 第三章具體介紹復合泊松 過程風險模型 討論利率影響下離散時間復合泊松過程風險模型的最終破產(chǎn)概率和有限 時間內的生存問題 利用期望值原理來確定保費費率 在這十確定的保費費率下 討論 破產(chǎn)概率和生存概率的迭代公式 然后確定破產(chǎn)概率的初值 第四章通過對利率影響下 華南理工大學碩士學位論文 離散時間復合二項風險模型的討論 定義調節(jié)系數(shù)以及應用累進均值法則和c h e b y c h e v 不等式 得到一般情形下復合二項風險模型的最終破產(chǎn)概率的若干表達式 第五章介紹 利率影響下有限離散時間的信用風險的破產(chǎn)模型 得到有限時間內破產(chǎn)概率的遞推方 程 破產(chǎn)前瞬間的余額分布 破產(chǎn)時余額分布以及破產(chǎn)前 破產(chǎn)時瞬間余額的聯(lián)合分布 等理論結果 并分析它們之間的關系 最后在結論部分 結合壽險公司各險種所收保費 費率和償付保險金的總額各不相同的特點 比較三種風險模型的差異 得到各個風險模 型適用的條件 并對后期研究進行展望和建議 1 3 研究限制 本文研究的主要限制來源于數(shù)據(jù)方面的問題 由于受人壽保險公司經(jīng)營特點的影 響 信息的不對稱性 使得中國的保險市場具有很強的封閉性 對于其他可以獲得的免 費保險市場的數(shù)據(jù)所缺乏的準確性和權威性 也使得本文的模型計算會失去實際的比較 另外 本文的所有結論都是基于有限離散時間下的風險破產(chǎn)模型 這個模型相對比較簡 單 但是 如果假定是一個連續(xù)時間下的風險破產(chǎn)模型 或者假定銀行利率或通貨膨脹 率是一個隨機變量 或者索賠次數(shù)與索賠額分布并非獨立 理論上這些問題的數(shù)學推導 會變得相當?shù)膹碗s 有待于進一步地研究 盡管這些限制具有客觀性和主觀性 但是我們不可能因為有這些限制就不進行相關 的研究 雖然目前本文得出的結論還無法與中國實際的保險市場相結合 也無法直接適 用于中國的保險公司 但是這一方法對實際具有指導意義 且為更為深入和結合實際的 研究拋磚引玉 1 4 本章小結 本章主要介紹保險精算數(shù)學中最重要的問題之一的 破產(chǎn)概率 問題 它主要研究 的是保險公司的資產(chǎn)在某一時刻為負的概率 保險公司是經(jīng)營風險的特殊企業(yè)的特點 將保險公司經(jīng)營的業(yè)務分為兩類 財產(chǎn)保險和人身保險 在本文中 我們主要討論的是 負責人身保險類的保險公司 即壽險公司的資產(chǎn)質量 由于壽險公司存在很多不確定性 的特點 因此需要用隨機過程的理論來刻畫它的某些參數(shù) 諸如單位時間內索賠發(fā)生的 次數(shù) 每次索賠額的大小以及隨機保費率的厘定 這些都要借助隨機過程中的理論 如 更新過程 馬氏過程 鞅方法 隨機微分方程和隨機積分方程系統(tǒng)來加以解決 正是由 于壽險公司的這些特點和需求 提出用專業(yè)的數(shù)學方法來解決破產(chǎn)概率的這個課題 在了解研究問題的背景之后 對本文的研究架構進行簡單介紹 由于壽險公司償付 能力的影響因予很多 如受通貨膨脹 銀行利率和金融風險投資收益的影響 另外風險 第章破產(chǎn)概率的研究導論 模型又分為帶三種過程的模型 即復合泊松過程 復合二項分布和信用風險模型 因此 本文在以下的幾章分別研究這幾種模型的破產(chǎn)概率 但是由于受到數(shù)據(jù)方面的制約 很難獲得各保險公司真實的數(shù)據(jù)資源 因此本文的 研究重點在于為保險公司提供破產(chǎn)概率的理論分析 為決策者提供有用的風險預警段 把理論結果應用于數(shù)值計算 從而驗證理論結果的正確性 這是后續(xù)研究的重點內容 華南理工大學碩士學位論文 第二章風險模型研究背景及其數(shù)學基礎 近年來 隨著科學技術的進步及經(jīng)濟的發(fā)展 風險因素越來越復雜 風險的度量與 管理日益引起人們的重視 自從e h a l l e y 于1 6 9 3 年編制世晃上第一個生命表算起 風 險理論的發(fā)展已經(jīng)有三百多年的歷史 如今 風險理論已經(jīng)成為保險精算學的一個重要 分支 在保險理論與實踐中具有重要的作用 而破產(chǎn)理論則是風險理論研究中的 個非 常重要的問題 對于保險公司而言 破產(chǎn)理論及相關問題的研究可為決策者提供 個非 常有用的早期風險預警手段 其研究具有重要的現(xiàn)實意義 2 1 償付能力風險的簡介 償付能力 s o l v e n c y 一般定義為一個商業(yè)實體按時履行到期財務義務 債務 的 能力 它指的是一個公司相對于其風險而言的總體財務實力和財務穩(wěn)定性 它包含兩層 含義 一是公司總體財務實力的大小 這是針對時點上的一種衡量 在某一時點上 公 司總體財務實力的大小主要取決于資本化力 c a p i t a l i z a t i o n 和流動性兩個方面 資本 化力指公司的自有資本和盈余應對公司風險的能力 即公司是否有足夠的自有資本和盈 余來應對當時所面臨的風險 流動性是指公司現(xiàn)金和資產(chǎn)的變現(xiàn)能力 即公司是否有足 夠的現(xiàn)金或變現(xiàn)資產(chǎn)來償付到期債務 二是總體財務實力的延續(xù)性 它意味著在 定的 時間段的每一個時點上 公司都具備足夠的資本化力和流動性 可見 償付能力是 個 時點的連續(xù)性概念 可以稱之為動態(tài)償付能力 由于動態(tài)償付能力是一個時點連續(xù)概念 不便于度量和運用 為此 引入償付能力 的靜態(tài)概念 保險公司靜態(tài)償付能力可以從保險公司的資產(chǎn)與負債之間的關系上來體現(xiàn) 從保險公司的資產(chǎn)負債表上看 保險公司的負債主要由保費準備金 賠款準備金 資本 金 總準備金和未分配盈余構成 保費準備金和賠款準備金合成為保險準備金或技術準 備金 這是保險公司對被保險人的負債 在保險期限內 以保險事故為契機 以保險賠 償或給付的方式返還給被保險人 保險公司要持續(xù)經(jīng)營 必須有兩種充足的準備金 一 是用以應付常規(guī)損失賠付的技術準備金 一是用以應付非常規(guī)損失的償付準備金 如果 由于實際損失與期望損失之間的偏差 保險公司的技術準備金不足以賠付時 就要借助 于償付準備金 保險公司在任何時候都必須在總資產(chǎn)與技術準備金構成的對被保險人的 負債之間保持一個足夠大的量 以應付可能發(fā)生的實際損失大于期望損失的賠付責任 這個量就是保險公司的償付準備金 s o l v e n c yr e s e r v e 償付準備金對應于保險公司的 股東權益 即保險公司的資本金 總準備金和未分配盈余 償付準備金的增減體現(xiàn)保險 公司償付能力的增減 第一章風險模型研究背景及其數(shù)學基礎 但保險公司的規(guī)模不同 其業(yè)務量大小自然也很不一樣 償付準備金雖然可以衡量 某個保險公司的償付能力的大小 但不能評估該公司的償付能力是否充分 也不能用于 規(guī)模各異的保險公司之間償付能力狀況的比較 于是人們引入償付能力邊際的概念 償 付能力邊際 s o l v e n c ym a r g i n 也稱為償付能力額度 是保險公司償付能力強度的衡量 指標 它將償付準備金與保費收入作為對比 用于表示保險公司同業(yè)務量相聯(lián)系的償付 能力大小 從對償付能力管理的不同角度出發(fā) 人們又從償付能力邊際引申出另外幾個概念 5 j 1 最低償付能力邊際 m i n i m u ms o l v e n c ym a r g i n 簡稱m s m 最低償付能力邊際是指 保險公司為了履行其賠償和給付義務 在理論上應該保持的償付能力邊際 它通常指運 用數(shù)學公式求得的保險公司應該保有的償付能力邊際的理論結果 因此比較精確 一定 程度上揭示償付能力的內在規(guī)律 2 法定償付能力邊際 s t a t u t o r ys o l v e n c ym a r g i n 簡 稱s s m s s m 是僳臉監(jiān)督機關為確保保險公司穩(wěn)健經(jīng)營 依據(jù)保險法規(guī)而規(guī)定的保險 公司必須保持的最低償付能力 s s m 一般由保險監(jiān)督機關參照m s m 同時經(jīng)過經(jīng)驗權 衡而選定 適用于大多數(shù)保險公司 3 實際償付能力邊際 a c t u a ls o l v e n c ym a r g i n 簡 稱a s m a s m 是指保險公司根據(jù)業(yè)務規(guī)模實際保持的償付能力 一般以資本金 總準 備金和未分配盈余表示 即某一指定日期的資產(chǎn)和負債之間的差額 如果保險公司的實 際償付能力邊際 a s m 未能達到保險監(jiān)督機關法定的償付能力邊際 s s m 則稱該 保險公司技術無償付能力 保險公司技術無償付能力并不是說明保險公司就已經(jīng)喪失償 付能力 不能償付未來的負債 它只是表明該公司償付能力處于 種風險預警狀態(tài) 另 一方面 保險公司的實際償付能力邊際 a s m 大于法定償付能力邊際 s s m 并不 是表明它的財務狀況穩(wěn)定 總體財務實力強 因為法定償付能力邊際是保險監(jiān)督機關經(jīng) 過較長一段時間權衡各個方面的因素 充分考慮m s m 的基礎上制定的綜合性指標 它 適用于全行業(yè) 各個保險公司應該維持什么樣的實際償付能力邊際 a s m 應該根據(jù)各 個企業(yè)自身的財務狀況 發(fā)展戰(zhàn)略以及經(jīng)驗等因素進行選擇 基于以上償付能力的概念 不難定義壽險公司償付能力風險 壽險公司償付能力風 險是指一定的時間內公司失去給付已售保單約定保險金的能力或在該時間段內的某一 個時點上不能按時給付已到期壽險合同所約定的保險金的可能性 可以看出 壽險公司 償付能力風險實際是對壽險公司動態(tài)償付能力所處狀態(tài)的一種度量 用償付能力邊際表 示 就是壽險公司實際償付能力邊際小于最低償付能力邊際的可能性 借助于破產(chǎn)概率 可阻將保險公司的靜態(tài)償付能力 動態(tài)償付能力和償付能力風險 的關系描述如下 p r s t i t u e x 1 口p 占 2 1 此處f表示破產(chǎn)概率 s 表示賠償或保險金給付總量的隨機過程 華南理工太學碩士學位論文 表示期初某保險公司的實際賠付能力邊際 a s m u 表示法定最低償付能力邊際 s s m 口 表示風險附加系數(shù) e x 表示賠付總量的期望值 e 工 1 口x 表示時期r 內含風險附加的純保費收入 占就表示時期 內該保險公司的動態(tài)賠付能力狀況 可以將占看成保險公司一定時期 內動態(tài)償付能力的 預警器 即償付能力風險 曰表示保險公司的風險附加系數(shù) 又稱 安全負荷系數(shù) 即保費收入與總索賠量的差除以總索賠量 同樣 它也可以為保險公司 在一定時期內的動態(tài)償付能力提供 預警 功能 2 2 風險模型的研究背景 經(jīng)典風險理論 作為保險精算數(shù)學的 部分 主要是處理保險公司保險事務中的隨 機風險模型 討論在有限時間內的生存概率以及最終破產(chǎn)概率等問題 g r a n d e l l 在a s p e c t o fr i s kt h e o r y l 6 j 一書中曾系統(tǒng)的討論這些問題 經(jīng)典的風險模型是通過研究隨著時間r 的變化 保險公司盈余額的變化來研究保險公司的破產(chǎn)概率 當盈余額首次為負時 稱 該保險公司破產(chǎn) 隨機風險模型按照時間分類 分為連續(xù)時間模型和離散時間模型 連 續(xù)時間模型是以連續(xù)變化的量連續(xù)的收取保費 風險理論的大部分結論都是關于連續(xù)時 間模型的 如l u n d b e r g 不等式和c r a m e r l u n d b e r g 近似公式i l 后來f e l l e r g e r b e r l 7 j g o r d o ne w i l l m o t s 1 3 a s m u s s e n 1 4 以及王過京1 1 5 等人運用隨機過程的理論和方法 取 得許多更好的結果 尤其是g e r b e rh u 在其書a ni n t r o d u c t i o nt om a t h e m a t i c a lr i s k t h e o r y 7 中采用隨機過程中的許多理論 如更新過程 馬氏過程 鞅方法 隨機微分方 程和隨機積分方程系統(tǒng)的介紹破產(chǎn)理論 從數(shù)學角度一步步地深入推導出保險公司的最 終破產(chǎn)概率和破產(chǎn)概率的上界等問題 下面將簡要回顧保險公司的經(jīng)典風險理論和破產(chǎn) 理論 2 2 1復合泊松過程的風險模型 集體風險模型 作為保險 精算 數(shù)學知識的綜合運用 是用來描述保險業(yè)經(jīng)營狀 況的隨機模型 在這種模型中 索賠的次數(shù)用點過程來描述 每次的索賠量是一系列的 隨機變量 保險公司收取一定量的保費來低償負債 保費收入與索賠額的差額稱為安全 負荷 另外 假設保險公司有一定的風險準備金 集體風險理論中 個很重要的問題就 是研究破產(chǎn)概率 即保險公司的收益第一次為負數(shù)的概率 在參考文獻 7 和 1 6 中有 詳細介紹 8 第 章風險模型研究背景及其數(shù)學基礎 最簡單的古典風險模型 有如下幾個特點 1 索賠的點過程為一泊松過程 2 索賠量為獨立同分布的隨機變量 3 點過程與隨機變量是相互獨立的 4 每單位時間收取的保費是 個常數(shù) 按照上面的假設 保險公司在時刻f 的盈余用u f 來表示 記u 為保險公司的初始 準備金 并設u 已知且非負 由于未來時刻的盈余是未知的 所以u t 是一個連續(xù)時間 的隨機變量 且有 u u c t s t 2 2 其中 c 為常數(shù) 表示單位時間內保險公司收到的保費 在 o t 內收到的保費就等 于c t 另一方面 s t 是 o t 內的索賠總額 假定s t 是一復合泊松過程 且 r s y i k z x 2 3 j l 其中u t 表示在 o t 內到時刻f 時發(fā)生的理賠次數(shù) o t 0 是以z 為參數(shù)的 p o i s s o n 過程 是正的獨立同分布的隨機變量序列 肖 表示第 次理賠的理賠額 其分 布函數(shù)為f 并與 f 相互獨立 記 a t 研 l 1 一f x d x 2 4 設c 1 口 礎 其中口稱為相對安全負荷 并假定它大于零 從 2 2 可見 這里的盈余并沒有考慮利息和其他除了保費和理賠之外的影響盈余的 因素 如附加費和保險持有人的分紅等等 此處的盈余是指初始準備金加上所收保費后 超過理賠量的那部分 顯然這種盈余并非財務意義上的盈余 只是為了數(shù)學上處理方便 當盈余首次出現(xiàn)負值 稱保險公司的 破產(chǎn) 發(fā)生 既然此處的盈余并不是財務意 義上的盈余 則這里所說的破產(chǎn)也就并不意味著該保險公司無力償付或真的破產(chǎn) 因為 如果考慮其他許多影響盈余的因素 盈余仍有可能為正或者恢復為正 見b o w e r sn l 文獻 1 7 1 但破產(chǎn)發(fā)生的概率畢竟是衡量一個保險公司金融風險的極其重要的尺度 以p 表示破產(chǎn)發(fā)生 即u f 0 的概率 它可以視為初始盈余 的函數(shù) 為使上 述定義更嚴格 記t i n f t l u t 0 都有u 0 則約定t 這樣便有 e u p r u u t o l u o p r t i 砜 2 5 f 2 u 另外 引入函數(shù)歹 表示公司的生存概率 定義為歹 1 一妒 經(jīng)典風險過程是風險理論中最基本的風險模型 關于它的討論目前已經(jīng)趨于完美 泊松過程是由瑞典精算師l u n d b e r g t l 首先提出來的 后來由c r a m e r 將l u n d b e r g 的工作 9 華南理工大學碩士學位論文 奠定在堅實的數(shù)學基礎之上 求解破產(chǎn)概率的分析方法較為繁雜 f e l l e r 的更新理論和 g e r b e r u l 的鞅方法對這一模型的結果給出嚴格的證明 這兩種方法也是當代研究破產(chǎn)理 論的兩種主要途徑 g e r b e r 7 1 在初始盈余為零的情況下 給出與風險有關的破產(chǎn)概率 破產(chǎn)前一刻的盈余和破產(chǎn)時赤字的概率的顯式解 在假定調節(jié)系數(shù)存在的條件下 有以 下結論 1 p o 2 南5 2 l u n d b e r g 不等式f i j 妒 p 一 v u o 其中r 為調節(jié)系數(shù) 3 l u n d b e r g c r a m e r 近似 存在正常數(shù)c 使得 e u c e 一 一 即l i i i l 嘗 1 2 6 c e 一 2 2 2復合二項分布的風險模型 風險理論的大部分結論 都是關于連續(xù)時間模型的 現(xiàn)實中 離散時間模型更易于 應用 因此 我國學者對保費收入方式 理賠方式做進一步的研究 其中孫立娟和顧嵐 1 1 8 荊用遞推公式得出引入利率的離散時間保險風險模型的破產(chǎn)前盈余分布 破產(chǎn)持續(xù)時 間分布等結論 而成世學和伍彪 l9 探討完全離散的經(jīng)典風險模型下的最終破產(chǎn)概率 破 產(chǎn)前一刻的盈余和破產(chǎn)時赤字的概率 并給出遞推解和顯式解 龔日朝和楊向群1 2 0 1 運用 分析方法與隨機過程理論解決復合二項分布風險模型下的破產(chǎn)概率以及廣義復合二項 風險模型下的生存概率 柳向東1 2 1 證明兩類離散風險模型的等價性 離散風險模型中討論最多的是復合二項分布 復合二項分布即取定一個時間單位 后 假定在任一單位時間內 僅可能出現(xiàn)兩種情況 或有一次索賠發(fā)生 或者沒有索賠 發(fā)生 用掌 表示索賠發(fā)生的隨機過程 則磊 0 表示在該單位時間內沒有索賠發(fā)生 f 1 表示在該單位時間內有一次索賠發(fā)生 且滿足 p r 宣1 p p 磊 0 1 一p q 0 p 1 2 7 在上述假定下 n n 卣 島 磊 約定n o 0 v n 0 用z 表示保險公司所支付的第胛個索賠額 當取定一錢幣單位后 可以假定z 是 僅取正整數(shù)值的隨機變量 則到時刻療為止保險公司所支付的索賠總額磚由下式給出 伸 s x l x 2 x x v 珂 0 并約定 o 0 2 8 j l 假定保險公司所支付的索賠額 置 也是獨立同分布隨機變量序列 且與 溉 甩 1 獨立 則索賠總額序列f 只 肝20 便是復合二項分布序列 1 0 第一章風險模型研究背景及其數(shù)學基礎 假定z 與z 一j 分布 并稱之為個體索賠額 記 p o 0 p 玎 p h v n 1 2 9 在保險公司的事務中 甜為初始盈余 只取非負整數(shù)值 在每一單位時間的始端收 取的保險費恒定為常數(shù)c 時 則保險公司在時刻n 的盈余u 可以表示為 u l h u c t 一s o l 2 2 1 0 保險公司在經(jīng)營運作中 一方面擁有龐大的資金以及各種責任準備金 這形成巨額 的可運用資金 另一方面 為保護有關各方特別是被保險人的利益 必須合理有效地進 行資金運用 因此 考慮投資因素的風險模型也越來越受到重視 為了分析的方便 又 引入幾類相關的復合二項分布的風險模型 以 f i n 凹一只 矗 0 1 2 2 一1 1 u 3 即 f r n c n s n 0 1 2 2 1 2 其中 i 為每個單位時間內預期的投資收益率 是一恒定的常量 為保險公司根 據(jù)初始資金的大小 單位時間內的保費收入和預測的賠付額的大小而設定的用于投資的 資金 胛 1 表示保險公司前n 期的總投資收益率 是一隨機過程 其中 高是 k 0 取值在 一m 上的獨立同分布隨機序列 記為 表示第n 期投資的隨機收益 且假 定0 r e i 可見 2 1 0 2 1 1 和 2 一1 2 定義的三個模型為一般復合二項分布的風險模型 c o m p o u n d b i n o m i a l r i s k m o d e l 分別記為 u j 行 二 j 1 2 3 其中 u l h 薔沒有考 慮投資收入 u h 呻 0 為投資收益率為常數(shù)f 的情形 虬0 為投資收益率為隨機 序列的情形 本文恒假定e s 目x p u 0 停時r 為破產(chǎn)時刻 本文采用s m u f 2 2 2 3 1 所 給的定義 即令 t i n f n l u 0 其中i n f 2 1 3 此時需考慮的是與破產(chǎn)時刻 有關的風險變量 設工 u 表示保險公司破產(chǎn)前一 刻的盈余 y i u j 一 表示保險公司破產(chǎn)時的赤字 r 為恒定的利息力 則v 1 1 就為折現(xiàn)系數(shù) 本文將討論與上述風險變量有關的概率規(guī)律 主要有 p p r v 1 i t 砜 甜 2 1 4 f u x p r v 7 o u 一l x l u o z 0 2 1 5 華南理工大學碩士學位論文 g y p r v 7 t 0 2 1 6 在以上的定義中 妒 表示在初始盈余為 的條件下 保險公司最終破產(chǎn)的