重慶市中考數學 第二部分 題型研究 二、解答題重難點突破 題型四 三角形 四邊形的證明與計算.doc

三角形、四邊形的證明與計算類型一有等腰三角形，通常作底邊上的高、中線或頂角的平分線針對演練1. 在abc中，ab=bc=2,abc=120,將abc繞點b順時針旋轉角(0120)，得a1bc1，a1b交ac于點e，a1c1分別交ac、bc于d、f兩點. 圖 圖第1題圖(1)證明：ea1=fc;（2）如圖，當=30時，試判斷四邊形bc1da的形狀，并說明理由；（3）在（2）的情況下，求ed的長.2. （2015連云港）在數學興趣小組活動中，小明進行數學探究活動，將邊長為2的正方形abcd與邊長為2的正方形aefg按圖位置放置，ad與ae在同一條直線上，ab與ag在同一條直線上.（1）小明發(fā)現dgbe,請你幫他說明理由；（2）如圖，小明將正方形abcd繞點a逆時針旋轉，當點b恰好落在線段dg上時，請你幫他求出此時be的長. 圖 圖 第2題圖3. 如圖，在abc中，d是ab邊的中點，aebc于點e，bfac于點f，ae,bf相交于點m，連接de,df.圖 圖 圖第3題圖 （1）de,df的數量關系為 ； （2）如圖，在abc中，cb=ca，點d是ab邊的中點，點m在abc的內部，且mbc=mac.過點m作mebc于點e，mfac于點f，連接de,df.求證：de=df； （3）如圖，若將上面（2）中的條件“cb=ca”變?yōu)椤癱bca”，其他條件不變，試探究de與df之間的數量關系，并證明你的結論.【答案】針對演練1.（1）證明：ab=bc,ac,abc繞點b順時針旋轉角得a1bc1,abe=c1bf,cc 1,ab=bc=a1b=bc1,ac1,在abe和c1bf中，abec1bf(asa),be=bf,a1b-be=bc-bf,即ea1=fc.(2)解：四邊形bc1da是菱形，理由如下：旋轉角30，abc=120，abc1=abc+=120+30150，abc1=120，ab=bc,ac= (180-120)30，abc1+c1=150+30180，abc1+a=150+30=180,abc1d, adbc1,四邊形bc1da是平行四邊形，又ab=bc1,四邊形bc1da是菱形.（3）解：如解圖，過點e作egab于點g,由（2）得a=aba1=30，ag=bg=ab=1,在rtaeg中，ae=，由（2）知ad=ab=2, 第1題解圖de=ad-ae=2-.2.解：(1)如解圖，延長eb交dg于點h,四邊形abcd與四邊形aefg是正方形，ad=ab，dag=bae=90，ag=ae,adgabe(sas)，agd=aeb，在adg中，agd+adg=90，aeb+adg90，dhe=90，即dgbe.(2)四邊形abcd與四邊形aefg都是正方形， 第2題解圖ad=ab,dab=gae=90，ag=ae,dab+bag=gae+bag,dag=bae.ad=ab,dag=bae,ag=ae，adgabe(sas),dg=be.如解圖，過點a作amdg于點m，amd=amg=90，bd是正方形abcd的一條對角線，第14題解圖mda=45.在rtamd中，mda=45，ad=2，dm=am=，在rtamg中，am 2+gm 2=ag 2,gm= =,gm=,dg=dm+gm=+,be=dg=+. 第2題解圖3.解：(1)de=df.(2)如解圖，連接cd，在abc中，cb=ca,cab=cba,mbc=mac,mab=mba,am=bm.點d是邊ab的中點，點m在cd上，cm平分fce，fcd=ecd.mebc于e，mfac于f, 第3題解圖mf=me.在cmf和cme中，,cmfcme(sas).cf=ce.在cfd和ced中，,cfdced(sas).de=df.(3)de=df.如解圖，作am的中點g，bm的中點h,連接dg、dh、gf、he,點d是邊ab的中點，dgbm,dg=bm.同理可得：dham,dh=am.mebc于e，h是bm的中點，在rtbem中，he=bm=bh，dg=he,同理可得：dh=fg.dgbm, dham,四邊形dhmg是平行四邊形，dgm=dhm.mgf=2mac,mhe=2mbc,且mbc=mac,mgf=mhe，dgm+mgf=dhm+mhe， 第3題解圖dgf=dhe,在dhe與fgd中，,dhefgd(sas).de=df. 題型四三角形、四邊形的證明與計算類型二有直角三角形，通常作斜邊上的中線針對演練1. 在等腰rtabc中，ab=ac,bac=90，點d是斜邊bc的中點，點e是線段ab上一動點（點e不與a、b重合），連接de,作dfde交ac于點f,連接ef. (1)如圖，如果bc=4，當e是線段ab的中點時，求線段ef的長；（2）如圖，求證：bc=（ae+af）；（3）如圖，點m是線段ef的中點，連接am,在線段ab上是否存在點e，使得bc=4am?若存在，求eam的度數；若不存在，請說明理由. 圖 圖 圖第1題圖 2. 如圖，在acb和aed中,ac=bc,ae=de，acb=aed=90，點e在ab上，點f是線段bd的中點，連接ce、fe.（1）若ad=3，be=4，求ef的長；（2）求證：ce=ef;（3）將圖中的aed繞點a順時針旋轉，使aed的一邊ae恰好與acb的邊ac在同一條直線上（如圖），連接bd，取bd的中點f，并連接ef,問（2）中的結論是否仍然成立，并說明理由. 圖 圖第2題圖【答案】針對演練1.(1)解：點d、e分別是bc、ab的中點，deac，bac=bedaed90，又dfde,fde=90，fdeaed,dfab,點f是ac的中點，ef是abc的中位線，efbc=2; (2)證明：如解圖,連接ad,點d是rtabc斜邊的中點，adbc=cd,ead=bac=45，adb=adc=90，c45，ead=c,ade+adf=90,cdf+adf90， 第1題解圖ade=cdf,在ade與cdf中，adecdf(asa),ae=fc,bc=ac= (fc+af)= (ae+af).(3)解：在線段ab上存在點e，使得bc=4am.如解圖，連接dm,ad，bc=4am =2ad,ad=2am, 第1題解圖在rteaf和rtedf中點m為ef的中點，am=dm =ef,am+dm ad,2am ad, 顯然只有am和ad共線時，以上表達式等號才成立，此時eam=45. 2.（1）解：aed=90，ae=de,ad=3,ae=de=3,在rtbde中，de=3,be=4,bd=5,又f是線段bd的中點，efbd=2.5.（2）證明：如解圖，連接cf.bed=aed=acb=90點f是bd的中點，cf=ef= fb = fd,dfeabd+bef,abd=bef,dfe2abd,同理cfd2cbddfe+cfd=2(abd+cbd)= 90，即cbd= 90ce=ef. 第2題解圖 (3)解：(2)中的結論仍然成立.如解圖,連接cf，延長ef交cb于點g，acb=aed=90，debc,edf=gbf,在edf與gbf中，,edfgbf（asa）,ef=gf,bg=de=ae,ac=bc, 第2題解圖ce=cg,efc=90，cf=ef,cef為等腰直角三角形，cef45，ce=ef.題型四三角形、四邊形的證明與計算類型三截長補短針對演練 1. 如圖，d為abc外一點，過d作deab交ab延長線于e,過d作dfac交ac延長線于f，且de=df. （1）求證：ae=af; （2）若cab=60，bdc=60，試猜想bc、be、cf之間的數量關系并寫出證明過程； （3）若題中條件“cab=60”改為cab=，則bdc滿足什么條件時，（2）中結論仍然成立？并說明理由. 備用圖第1題圖 2. 已知在四邊形abcd中，abc+adc=180,ab=bc.（1）如圖，若bad=90，ad=2，求cd的長度；（2如圖，點p、q分別在線段ad、dc上，滿足pq=ap+cq，求證：pbq=90-adc;（3）如圖，若點q運動到dc的延長線上，點p也運動到da的延長線上時，仍然滿足pq=ap+cq,則（2）中的結論是否成立？若成立，請給出證明過程；若不成立，請寫出pbq與adc的數量關系，并給出證明過程. 圖 圖 圖第2題圖 3. 如圖，abc中，ab=ac，點p是三角形外一點，且apb=abc.（1）如圖，若bac=60，點p恰巧在abc的平分線上，pa=2，求pb的長;（2）如圖，若bac=60，試探究pa,pb,pc的數量關系，并證明;（3）如圖，若bac=120，請證明：pa+pc=pb. 圖 圖 圖第3題圖 4. 已知，在等腰rtabc中，abc=90，ab=cb，d為直線ab上一點，連接cd，過點c作cecd，且ce=cd，連接de,交ac于點f. （1）如圖,當點d、b重合時，求證：ef=bf;（2）如圖,當點d在線段ab上，且dcb=30時，請?zhí)骄縟f、ef、cf之間的數量關系，并說明理由;（3）如圖，在（2）的條件下，在fc上任取一點g，連接dg，作射線gp使dgp=60，交dfg的角平分線于點q，求證：fd+fg=fq. 圖 圖 圖第4題圖【答案】針對演練1.（1）證明：在ade與adf中，,adeadf(sas),ae=af.(2)解:猜想:bcbe+cf,理由如下:由（1）得：6=7,bac=60,6=7=30,ade=adf=60,bdc=60,1=60-2=3,同理24，如解圖所示，在af延長線上取點g，使得fg=be，連接dg，在bde與gdf中bdegdf(sas), 第1題解圖bd=gd,1=5，gdc=4+5=2+1=ade=bdc=60,在bdc與gdc中， ，bdcgdc(sas),bc=cg=cf+fg=cf+be.(3)解：bdc滿足bdc= (180)時，(2)中結論仍然成立，理由如下：由（2）知bdegdf(sas),bd=gd,1=5.又bc=cf+be=cf+fg=cg,在bdc與gdc中,bdc gdc（sss）,bdc=gdc,又gdc=4+5=4+1,edf=180-cab=180-,bdc=4+1= (180-).2.(1)解：abc+adc=180，bad90，bcd=90,在rtbad和rtbcd中，,rtbadrtbcd(hl),ad=cd,ad=2,cd=2.（2）證明：如解圖，延長dc，在上面找一點k，使得ckap,連接bk,abc+adc=180,bad+bcd=180,bcd+bck=180,bad=bck,在bpa和bkc中，,bpabkc(sas),12，bp=bk.pq=ap+cq=ck+cq=kq,pq=kq,在pbq和kbq中，,pbqkbq(sss), 第2題解圖pbq=kbq,pbq=2+cbq=1+cbq, pbq=abc.abc+adc=180,abc=180-adc,abc90-adc，pbq90-adc.（3）解：（2）中結論不成立，應該是：pbq=90+adc，證明：如解圖，在cd延長線上找一點k，使得kcpa，連接bk，abc+adc=180,bad+bcd=180,bad+pab=180,pab=kcb,在bpa和bkc中，bpabkc(sas),abp=cbk,bp=bk,pq=ap+cqck+cq=kq,pq=kq,在pbq和kbq中，,pbqkbq（sss）, 第2題解圖pbq=kbq,2pbq+pbk=2pbq+abc=360,2pbq+(180-adc)=360,pbq=90+adc.3.(1)解：ab=ac,bac=60,abc是等邊三角形，apb=abc,apb=60,又點p恰巧在abc的平分線上，abp=30,pab=90,bp=2ap,ap=2,bp=4.(2)解:結論：pa+pc=pb.證明：如解圖，在bp上截取pd,使pd=pa，連接ad，apb=60,adp是等邊三角形，dap=60，1=2,pa=ad,在abd與acp中，,abdacp(sas),pc=db,pa+pc=pb. 第3題解圖(3)證明：如解圖，以點a為圓心，以ap的長為半徑畫弧交bp于點d，連接ad，過點a作afbp于點f，ap=ad,bac=120,abc=30,apb=30,dap=120,1=2,在abd與acp中， 第3題解圖，abdacp(sas),db=cp,afpd,pf=pa,ad=ap,pd=2pfpa,pa+pc=pb4.(1)證明：abc=90,ab=cb,a=acb=45,cecd,ce=cd,ebc=e=45,bce=90,ace=e=45,acb=ebc=45,ef=cf,bf=cf,ef=bf.（2）解：ef=df+cf.理由如下：在ef上找到g點使得fg=cf，如解圖，dcb=30,acb=45,acd=15,cfg=cde+acd=60,fg=cf,cfg是等邊三角形，cg=cf=gf,fcg=60,ecg=ecd-acd-fcg=90-15-60=15acd,在ecg和dcf中，ecgdcf(sas),eg=df, 第4題解圖ef=eg+gf,ef=df+cf.（3）證明：在fq上找到h點，使得fh=fg，連接gh,如解圖，fq平分dfg，qfg=60,fg=fh,fgh是等邊三角形，ghf=fgh=60,gh=fg=fh,afd=cde+acd=60,ghq=dfg=120,fgd+dgh=60,dgh+qgh=60,fgd=qgh,在dfg和qhg中，dfgqhg(asa), 第4題解圖df=qh,fh+qh=fq,fg+fd=fq.題型四三角形、四邊形的證明與計算類型四構造適宜的三角形或四邊形針對演練1. 如圖，四邊形abcd、befg均為正方形. （1）如圖，連接ag、ce，判斷ag和ce的數量關系和位置關系并證明; （2）將正方形befg繞點b順時針旋轉角（0180)，如圖，連接ag、ce相交于點m，連接mb,求出emb的度數; （3）若be=2，bc=6，連接dg，將正方形befg繞點b順時針旋轉角（0180），求在這個旋轉過程中線段dg長度的取值范圍. 圖 圖第1題圖2. 四邊形acbd是由等邊abc和頂角為120的等腰abd拼成，將一個60角頂點放在d處，將60角繞d點旋轉，該60角兩邊分別交直線bc、ac于點m、n，交直線ab于e、f兩點.（1）當點e、f均在邊ab上時（如圖），求證：bm+an=mn;（2）當點f、e分別在邊ba及其延長線上時（如圖），線段bm、an、mn之間又有怎樣的數量關系： ;（3）在（1）的條件下，若ac=5，ae=1，求bm的長 . 圖 圖第2題圖3. 如圖，在菱形abcd中，abc=60，若點e在ab的延長線上，efad，ef=be，點p是de的中點，連接fp并延長交ad于點g. （1）過d點作dhab，垂足為h，若dh=2，be=ab，求dg的長； （2）連接cp，求證：cpfp; （3）如圖，在菱形abcd中，abc=60，若點e在cb的延長線上運動，點f在ab的延長線上運動，且be=bf，連接de，點p為de的中點，連接fp、cp，那么第（2）問的結論成立嗎？若成立，求出的值；若不成立，請說明理由. 圖 圖第3題圖4. 如圖，abc中，bac=90, ab=ac, adbc于點d，點e在ac邊上，連接be. （1）若af是abe的中線，且af=5，ae=6，連接df，求df的長; （2）若af是abe的高，延長af交bc于點g. 如圖，若點e是ac邊的中點，連接eg，求證：ag+eg=be; 如圖,若點e是ac邊上的動點，連接df.當點e在ac邊上（不含端點）運動時，dfg的大小是否改變？如果不變，請求出dfg的度數;如果要變，請說明理由. 圖 圖 圖第4題圖5. 如圖，abc中，beac于點e，adbc于點d，連接de. （1）若ab=bc，de=1，be=3，求abc的周長；（2）如圖，若ab=bc，ad=bd，adb的角平分線df交be于點f，求證：bf=de；（3）如圖，若abbc，ad=bd，將adc沿著ac翻折得到agc，連接dg、eg，請猜想線段ae、be、dg之間的數量關系，并證明你的結論. 圖 圖 圖第5題圖【答案】針對演練1.解：（1）ag=ce,agce，證明如下：四邊形abcd、befg均為正方形，gba=ebc=90,bg=be,ba=bc,在gba和ebc中，,gbaebc(sas),ag=ce,gab=bce,bga+bce=bga+gab=90,agce.(2)如解圖,過b作bpec,bqma,垂足分別為p、q，可知四邊形bpmq為矩形，pbe+pbg=qbg+pbg=90,pbe=qbg,在bpe和bqg中，,bpebqg(aas),bp=bq,且bq=pm,bp=pm,bpm為等腰直角三角形， 第1題解圖emb=45.(3)當在初始位置時，dg最大，此時gc6+28，cd6,由勾股定理可求得dg10，當g點在線段bd上時，dg最小，此時bg2，bd6，所以dg6-2，而旋轉角取不到0,所以dg的范圍為：6-2dg10.2.證明：把dbm繞點d逆時針旋轉120得到daq，如解圖，則dm=dq,aq=bm,adq=bdm,qdn=adq+adn=bdm+adn=adb-mdn 第2題解圖=120-60=60, qdn=mdn=60,在mnd和qnd中，, mndqnd(sas),mn=qn,qn=aq+an=bm+an,bm+an=mn.(2)解：mn+an=bm.【解法提示】理由如下：如解圖，把dan繞點d順時針旋轉120得到dbp, 則dn=dp,an=bp,dan=dbp=90,點p在bm上，mdp=adb-adm-bdp=120-adm-adn120-mdn120-6060，mdp=mdn=60,在mnd和mpd中，,mndmpd(sas), 第2題解圖mn=mp,bm=mp+bp,mn+an=bm.(3)解：如解圖，過點m作mhac交ab于點g，交dn于點h，abc是等邊三角形， bmg是等邊三角形，bm=mg=bg,根據（1）中mndqnd可得qnd=mnd,根據mhac可得qnd=mhn,mnd=mhn,mn=mh,gh=mh-mg=mn-bm=an,即an=gh,在ane和ghe中， , aneghe(aas), 第2題解圖ae=ge=1,ac=5,ab=ac=5,bg=ab-ae-eg=5-1-1=3,bm=bg=3.3.（1）解：四邊形abcd為菱形，abc60，dabc,cd=cb,cdg=cba=60，dah=abc=60,dhab,dha=90，在rtadh中，sindah=,ad= =4,又ab=ad,be=ab=41,efad,pdg=pef,p為de的中點，pd=pe,dpg=epf,pdgpef（asa）,dg=ef,efad,adbc,efbc,feb=cba=60，be=ef,bef為等邊三角形，ef=be=1,dg=ef=1.(2)證明：如解圖,連接cg、cf,由（1）知pdgpef,pg=pf,bf=ef,dg=ef,bf=dg,在cdg與cbf中，cdgcbf（sas）,cg=cf,pg=pf,cpfp.第3題解圖（3）解：cpfp仍成立.理由如下：如解圖，過d作ef的平行線，交fp的延長線于點g，連接cg、cf，易證pefpdg,dg=ef=bf,dgef,gdp=fep,dabc,adp=pec,gdp-adp=fep-pec,gda=bef=60， 第3題解圖cdg=adc+gda=120,cbf=180-ebf=120,在cdg和cbf中，,cdgcbf(sas),cg=cf，dcg=fcb,pg=pf,cppf，gcp=fcp,dcb=180-abc=120,dcg+gce=120,fce+gce=120,即gcf=120，fcpgcf=60，在rtcpf中，tanfcp=tan60= =.4.解：（1）bac=90,ab=ac,af是abe的中線，be=2af=10,ae=6,ab=ac= =8,ce=ac-ae=2,adbc于點d，bd=cd,bf=ef,fd是bec的中位線，df=ce=1.(2)證明：如解圖，過點c作cmac交ag延長線于點m，在abe和cam中，abecam（asa）,ae=cm,aeb=m,be=am,ae=ec,ec=cm,ab=ac,bac=90,abc=acb=45,acm=90,gcm=90-45=45=acg,在egc和mgc中， 第4題解圖egcmgc(sas),ge=gm,am=ag+gm=ag+ge,be=am,ag+ge=be;dfg的大小不會改變，adbc于點d,af是abe的高，afb=adb=90,a,b,d,f四點共圓，abd+afd=180,afd+dfg=180,dfg=abd.bac=90,ab=ac,abc=45,dfg=abd=45.5.（1）解：如解圖所示：ab=bc，beac，ae=ce，aeb=90，adbc，adc=90，de=ac=ae，ac=2de=2，ae=1，ab=，bc=，abc的周長=ab+bc+ac=2+2. 第5題解圖（2）證明：連接af，如解圖所示：ab=bc，beac，3=4，adc=90，ad=bd，abd是等腰直角三角形，dab=dba=45，3=22.5，1+c=3+c=90，1=3=22.5，df平分adb，adf=bdf， 第5題解圖在adf和bdf中，adfbdf（sas），af=bf，2=3=22.5，eaf=1+2=45，aef是等腰直角三角形，af=ae，de=ae，bf=d