華理概率論06-6-B-試卷答案.doc

華東理工大學(xué)20052006學(xué)年第二學(xué)期概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程期末考試試卷 B 2006.06開課學(xué)院： 理學(xué)院 ，專業(yè)：大面積 ，考試形式：閉卷 ， 所需時(shí)間：120分鐘考生姓名： 學(xué)號(hào)： 班級(jí) 任課教師 題序一二 三四五六七八總 分得分評(píng)卷人一、 填空題（每題5分，共20分） （1）設(shè) P ( A ) = 0.5 , P ( ) = 0.75 , a） 若A 與B 獨(dú)立，則 P(B) 0.5 ； b). 若A 與B 不相容 ，則 P(B) 0.25 。（2）設(shè)為總體的樣本，則它們分別服從 和 分布。 （3）設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立，且。記，則 。（4） 設(shè)隨機(jī)變量的密度函數(shù)為： 且 ，則： 的值分別等于： 1 和 2 。 二、 選擇題（每題5分，共20分）（1） 設(shè)A,B是任意兩個(gè)概率不是零的不相容事件，則下列結(jié)論中肯定正確的是（ D ）。（A）； （B）；（C）P(AB) = P(A) P(B)； （D）。（2）設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立，且；，則（ A ）。（A）14.8 ； （B） 4 ；（C）12.4 ； （D）其它 。（3）設(shè)隨機(jī)變量X ，Y相互獨(dú)立，服從相同的兩點(diǎn)分布：，則下列結(jié)論中肯定正確的是（ C ）：（A）X=Y ； （B）P(X=Y) = 0 ；（C）P(X=Y) = ； （D）P(X=Y) = 1 。（4）設(shè)服從二維正態(tài)分布，則隨機(jī)變量獨(dú)立的充要條件為（ B ）：（A）； （B）；（C）； （D）。三、（共10分）袋中有5個(gè)白球，3個(gè)紅球，甲先從袋中隨機(jī)取出一球后，乙再?gòu)闹须S機(jī)取出一球。（1）試求“乙取出的是白球”的概率；（2）若已知“乙取出的是白球”，計(jì)算“甲取到紅球”的條件概率。解：（1）設(shè)A 甲取出的是白球 ；B 乙取出的是白球 ；則，由全概率公式（或抓鬮模型）， 。（5分）（2） 利用貝葉斯公式，得。（5分）四、（共12分）一個(gè)復(fù)雜系統(tǒng)由100個(gè)相互獨(dú)立的元件組成，在系統(tǒng)運(yùn)行過程中每個(gè)元件損壞的概率是0.10。又知為使系統(tǒng)正常運(yùn)行，至少必需有85個(gè)元件工作。試用中心極限定理近似計(jì)算：（1）系統(tǒng)的可靠度（即正常運(yùn)行的概率），（2）若上述系統(tǒng)改由 n 個(gè)相互獨(dú)立元件組成，而且又要求至少 80 元件工作才能使整個(gè)系統(tǒng)正常運(yùn)行，問 n 至少為多大時(shí)，才能保證系統(tǒng)的可靠度不低于 0.95 ？ （ ）解：設(shè)，（根據(jù)第i 個(gè)元件是否工作，對(duì)應(yīng)的分別取 1 或 0）。顯然，其中 。由二項(xiàng)分布中心極限定理， 。（4分）（1）此時(shí)，系統(tǒng)可靠度為：。（4分）（2）由于所以從，得到，即。（4分）五、（共8分）設(shè)隨機(jī)變量 的有關(guān)數(shù)字特征分別為：，試求：。解：24 。六、（共10分）設(shè)令隨機(jī)變量 ，試求：（1） 的密度函數(shù) ； （2） 的數(shù)學(xué)期望 。解： （1）由于為單調(diào)增加函數(shù)，其反函數(shù)，故當(dāng)時(shí)， ；（1分）當(dāng)時(shí)，（4分）（2）。（5分）七、（共10分）某種產(chǎn)品在處理前與處理后分別抽樣，分析其“含脂率”如下：處理前 ：0.19 ，0.18 ，0.21 ，0.30 ，0.41 ，0.12 ，0.27 ；處理后 ：0.15 ，0.13 ，0.07 ，0.24 ，0.19 ，0.06 ，0.08 ，0.12 。假定處理前后的含脂率都服從正態(tài)分布，其標(biāo)準(zhǔn)差不變。取顯著性水平 0.05后，經(jīng)過Excel軟件計(jì)算得到下面的輸出表格（其中變量 1 代表處理前的含脂率 ；變量 2 代表處理后的含脂率）。問：（1） 表格中數(shù)字的含義，（2）檢驗(yàn)它們的均值是否相等（0.05）？ 解： （1）”t Stat” = T統(tǒng)計(jì)量的（觀察）測(cè)試值，“P(T=t) 雙尾” 雙側(cè)檢驗(yàn)時(shí)的 P值，“t雙尾臨界” 雙側(cè)檢驗(yàn)時(shí)的臨界值，其它省略。（5分）（2）設(shè)它們的期望分別為：，令 , 采用雙側(cè)T檢驗(yàn)。由于從表格可以看出，此時(shí)的P-值0.0190 0.05 ，這說明T統(tǒng)計(jì)量的（觀察）測(cè)試值落入拒絕區(qū)域，從而拒絕原假設(shè)，即認(rèn)為處理前后的均值不相等。（5分）八、（共10分）設(shè)總體 ，隨機(jī)抽樣得到樣本觀察值： ，今分別用 ， 作為的估計(jì)值。（1）試分別寫出的分布函數(shù)，（4分）（2）問它們是否分別為的無偏估計(jì)；（4分）（3）如果不是無偏估計(jì)，問應(yīng)該如何把進(jìn)行線性組合，使之成為的無偏估計(jì)。（2分）解：（1）由于，對(duì)應(yīng)的分布函數(shù)為： ，所以的分布函數(shù)分別為： ，（2分）