（課標(biāo)Ⅰ卷）2020屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第四章三角函數(shù)與解三角形4.4解三角形課件.pptx

4.4 解三角形,高考理數(shù) (課標(biāo)專用),考點一 正弦定理與余弦定理,五年高考,A組 統(tǒng)一命題課標(biāo)卷題組,1.(2018課標(biāo),6,5分)在ABC中,cos = ,BC=1,AC=5,則AB= ( ) A.4 B. C. D.2,答案 A 本題考查二倍角公式和余弦定理. cos = ,cos C=2cos2 -1=2 -1=- , 又BC=1,AC=5, AB= = =4 .故選A.,2.(2016課標(biāo),8,5分)在ABC中,B= ,BC邊上的高等于 BC,則cos A= ( ) A. B. C.- D.-,答案 C 過A作ADBC,垂足為D,由題意知AD=BD= BC,則CD= BC,AB= BC,AC= BC,在ABC中,由余弦定理的推論可知,cosBAC= = = - ,故選C.,中,AC= BC,sinDAC= ,cosDAC= ,又因為B= ,所以cosBAC=cos = cosDACcos -sinDACsin = - =- ,故選C. 另解二:過A作ADBC,垂足為D,由題意知AD=BD= BC,則CD= BC,AB= BC,AC= BC,而 =( + )( + )= + + + = BC2- BC2=- BC2,所以cos BAC= = =- ,故選C. 另解三:過A作ADBC,垂足為D,設(shè)BC=3a(a0),結(jié)合題意知AD=BD=a,DC=2a.以D為原點,DC, DA所在直線分別為x軸,y軸建立平面直角坐標(biāo)系,則B(-a,0),C(2a,0),A(0,a),所以 =(-a,-a), = (2a,-a),所以| |= a,| |= a,所以cosBAC= = =- ,故選C.,思路分析 作ADBC(垂足為D),由已知結(jié)合勾股定理把AB與AC均用BC表示出來,再利用余 弦定理的推論求得cosBAC的值. 一題多解 另解一:過A作ADBC,垂足為D,由題意知AD=BD= BC,則CD= BC,在RtADC,3.(2016課標(biāo),13,5分)ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若cos A= ,cos C= ,a=1,則b= .,答案,解析 由已知可得sin A= ,sin C= ,則sin B=sin(A+C)= + = ,再由正弦定理可得 = b= = . 思路分析 利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系求出sin A與sin C的值,進而由sin B=sin(A+C)求出 sin B的值,再利用正弦定理即可求出b的值.,4.(2019課標(biāo),17,12分)ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.設(shè)(sin B-sin C)2=sin2A-sin Bsin C. (1)求A; (2)若 a+b=2c,求sin C.,解析 本題主要考查學(xué)生對正弦定理、余弦定理以及三角恒等變換的掌握;考查了學(xué)生的運 算求解能力;考查的核心素養(yǎng)是邏輯推理與數(shù)學(xué)運算. (1)由已知得sin2B+sin2C-sin2A=sin Bsin C,故由正弦定理得b2+c2-a2=bc. 由余弦定理得cos A= = . 因為0A180,所以A=60. (2)由(1)知B=120-C,由題設(shè)及正弦定理得 sin A+sin(120-C)=2sin C, 即 + cos C+ sin C=2sin C,可得cos(C+60)=- . 由于0C120,所以sin(C+60)= , 故sin C=sin(C+60-60)=sin(C+60)cos 60-cos(C+60)sin 60= . 思路分析 (1)先借助正弦定理將角化為邊,然后利用余弦定理求出角A的余弦值,進而得出角 A.(2)利用正弦定理將已知等式中的邊化為角,利用三角恒等變換將原式化為含有角C的正 弦、余弦的等式,利用角度變換求出sin C.,5.(2019課標(biāo),18,12分)ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知asin =bsin A. (1)求B; (2)若ABC為銳角三角形,且c=1,求ABC面積的取值范圍.,解析 本題考查了正弦定理、二倍角公式、三角形面積公式以及學(xué)生對三角恒等變換的掌 握情況;考查學(xué)生邏輯推理能力和運算求解能力;考查了邏輯推理和數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng). (1)由題設(shè)及正弦定理得sin Asin =sin Bsin A. 因為sin A0,所以sin =sin B. 由A+B+C=180,可得sin =cos , 故cos =2sin cos . 因為cos 0,故sin = ,因此B=60. (2)由題設(shè)及(1)知ABC的面積SABC= a. 由正弦定理得a= = = + . 由于ABC為銳角三角形,故0A90,0C90. 由(1)知A+C=120,所以30C90,故 a2,從而 SABC . 因此,ABC面積的取值范圍是 . 思路分析 (1)用正弦定理將邊化成角,再利用三角恒等變換求解角B. (2)用正弦定理先表示出邊a,再用面積公式和銳角三角形的性質(zhì)求出角C的范圍,進而求出ABC面積的取值范圍.,6.(2018課標(biāo),17,12分)在平面四邊形ABCD中,ADC=90,A=45,AB=2,BD=5. (1)求cosADB; (2)若DC=2 ,求BC.,解析 (1)在ABD中,由正弦定理得 = . 由題設(shè)知, = ,所以sinADB= . 由題設(shè)知,ADB90,所以cosADB= = . (2)由題設(shè)及(1)知,cosBDC=sinADB= . 在BCD中,由余弦定理得BC2=BD2+DC2-2BDDCcosBDC=25+8-252 =25. 所以BC=5. 方法總結(jié) 正、余弦定理的應(yīng)用原則 (1)正弦定理是一個連比等式,在運用此定理時,只要知道其中一對的比值或等量關(guān)系就可以通 過該定理解決問題,在解題時要學(xué)會靈活運用. (2)運用余弦定理時,要注意整體思想的應(yīng)用. (3)在利用正、余弦定理判斷三角形形狀時,等式兩邊一般不要約去公因式,應(yīng)移項提取公因 式,以免漏解.,(4)在利用正弦定理求三角形解的個數(shù)問題時,可能會出現(xiàn)一解、兩解或無解的情況,所以解答 此類問題時需要進行分類討論,以免漏解或增解.,7.(2017課標(biāo),17,12分)ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知ABC的面積為 . (1)求sin Bsin C; (2)若6cos Bcos C=1,a=3,求ABC的周長.,解析 本題考查正弦定理、余弦定理以及三角恒等變換,考查學(xué)生利用三角形面積公式進行 運算求解的能力. (1)由題設(shè)得 acsin B= ,即 csin B= . 由正弦定理得 sin Csin B= . 故sin Bsin C= . (2)由題設(shè)及(1)得cos Bcos C-sin Bsin C=- , 即cos(B+C)=- .所以B+C= ,故A= . 由題設(shè)得 bcsin A= ,即bc=8. 由余弦定理得b2+c2-bc=9,即(b+c)2-3bc=9,得b+c= . 故ABC的周長為3+ .,=1,結(jié)合兩角和的余弦公式求出B+C,進而得出A,然后利用三角形的面積公式和a的值求出bc 的值,最后利用余弦定理求出b+c的值,進而得出ABC的周長. 方法總結(jié) 解三角形的綜合應(yīng)用: (1)應(yīng)用正弦定理、余弦定理主要是將條件轉(zhuǎn)化為僅有邊或僅有角的形式,以便進一步化簡計 算,例如:將 csin B= 變形為 sin Csin B= . (2)三角形面積公式:S= absin C= acsin B= bcsin A. (3)三角形的內(nèi)角和為.這一性質(zhì)經(jīng)常在三角化簡中起到消元的作用,例如:在ABC中,sin(B+ C)=sin A.,思路分析 (1)首先利用三角形的面積公式可得 acsin B= ,然后利用正弦定理,把邊轉(zhuǎn)化 成角的形式,即可得出sin Bsin C的值;(2)首先利用sin Bsin C的值以及題目中給出的6cos Bcos C,8.(2016課標(biāo),17,12分)ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知2cos C(acos B+bcos A)=c. (1)求C; (2)若c= ,ABC的面積為 ,求ABC的周長.,解析 (1)由已知及正弦定理得, 2cos C(sin Acos B+sin Bcos A)=sin C, (2分) 2cos Csin(A+B)=sin C. 故2sin Ccos C=sin C. (4分) 可得cos C= ,所以C= . (6分) (2)由已知,得 absin C= . 又C= ,所以ab=6. (8分) 由已知及余弦定理得,a2+b2-2abcos C=7. 故a2+b2=13,從而(a+b)2=25.a+b=5. (10分) 所以ABC的周長為5+ . (12分),1.(2018課標(biāo),9,5分)ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.若ABC的面積為 ,則C = ( ) A. B. C. D.,考點二 解三角形及其綜合應(yīng)用,答案 C 本題考查解三角形及其綜合應(yīng)用. 根據(jù)余弦定理得a2+b2-c2=2abcos C,因為SABC= ,所以SABC= ,又SABC= absin C, 所以tan C=1,因為C(0,),所以C= .故選C.,2.(2019課標(biāo),15,5分)ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.若b=6,a=2c,B= ,則ABC的面 積為 .,答案 6,解析 本題考查解三角形,余弦定理,三角形面積公式;通過余弦定理和三角形面積公式的運用 考查推理論證能力和運算求解能力;考查的核心素養(yǎng)為邏輯推理和數(shù)學(xué)運算. 由b2=a2+c2-2accos B及已知得62=(2c)2+c2-22cc , c=2 (c=-2 舍去). a=2c=4 ,ABC的面積S= acsin B= 4 2 =6 .,3.(2015課標(biāo),16,5分)在平面四邊形ABCD中,A=B=C=75,BC=2,則AB的取值范圍是 .,答案 ( - , + ),解析 依題意作出四邊形ABCD,連接BD.令BD=x,AB=y,CDB=,CBD=.在BCD中,由正 弦定理得 = .由題意可知,ADC=135,則ADB=135-.在ABD中,由正弦定理得 = .所以 = ,即y= = = = .,因為075,+75=180,所以30105, 當(dāng)=90時,易得y= ; 當(dāng)90時,y= = ,此時由30105,及tan 30= ,tan 105=tan(60+45)= =-2- ,可知 ( -2, ),且 0,所以y= ( - , )( , + ). 綜上所述:y( - , + ). 思路分析 連接BD,在BCD與ABD中分別利用正弦定理得出邊角之間的關(guān)系,利用BD作 為橋梁連接兩個關(guān)系,從而建立AB關(guān)于CDB的三角函數(shù),從而利用CDB的取值范圍求AB 的取值范圍.,1.(2017山東,9,5分)在ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c.若ABC為銳角三角形,且滿足 sin B(1+2cos C)=2sin Acos C+cos Asin C,則下列等式成立的是 ( ) A.a=2b B.b=2a C.A=2B D.B=2A,B組 自主命題省(區(qū)、市)卷題組,考點一 正弦定理與余弦定理,答案 A 解法一:因為sin B(1+2cos C)=2sin Acos C+cos Asin C, 所以sin B+2sin Bcos C=sin Acos C+sin(A+C), 所以sin B+2sin Bcos C=sin Acos C+sin B, 即cos C(2sin B-sin A)=0, 所以cos C=0或2sin B=sin A, 即C=90或2b=a, 又ABC為銳角三角形,所以0C90,故2b=a.故選A. 解法二:由正弦定理和余弦定理得 b =2a +c , 所以2b2 =a2+3b2-c2, 即 (a2+b2-c2)=a2+b2-c2, 即(a2+b2-c2) =0,所以a2+b2=c2或2b=a, 又ABC為銳角三角形,所以a2+b2c2,故2b=a,故選A. 方法總結(jié) 解三角形時,可以由正弦定理、余弦定理將邊角互化,邊角統(tǒng)一后,化簡整理即可求 解.注意靈活運用三角公式.,2.(2016天津,3,5分)在ABC中,若AB= ,BC=3,C=120,則AC= ( ) A.1 B.2 C.3 D.4,答案 A 在ABC中,設(shè)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,則由c2=a2+b2-2abcos C,得13=9+b2-23b ,即b2+3b-4=0,解得b=1(負(fù)值舍去),即AC=1.故選A.,3.(2018浙江,13,6分)在ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.若a= ,b=2,A=60,則sin B= ,c= .,答案 ;3,解析 本小題考查正弦定理、余弦定理. 由 = 得sin B= sin A= , 由a2=b2+c2-2bccos A,得c2-2c-3=0,解得c=3(舍負(fù)).,4.(2019浙江,14,6分)在ABC中,ABC=90,AB=4,BC=3,點D在線段AC上.若BDC=45,則BD = ,cosABD= .,答案 ;,解析 本題考查了兩角差的余弦公式和正弦定理,通過解三角形考查了運算求解能力,通過長 度和角度的計算體現(xiàn)了數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng). 在BDC中,BC=3,sinBCD= ,BDC=45, 由正弦定理得 = ,則BD= = , 在ABD中,sinBAD= ,cosBAD= ,ADB=135, cosABD=cos180-(135+BAD)=cos(45-BAD)=cos 45cosBAD+sin 45sinBAD= = .,思路分析 在BCD中,由正弦定理求BD的值;cosABD的值可通過兩角差的余弦公式求解. 解后反思 三角恒等變換和正弦定理、余弦定理是解三角形的基礎(chǔ)知識,在熟練掌握的前提 下,應(yīng)比較運算量大小,從而選取比較理想的解法.,5.(2019天津,15,13分)在ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知b+c=2a,3csin B=4asin C. (1)求cos B的值; (2)求sin 的值.,解析 本小題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系,兩角和的正弦公式,二倍角的正弦與余弦公式,以及正弦定理、余弦定理等基礎(chǔ)知識.考查運算求解能力.體現(xiàn)了對數(shù)學(xué)運算這一核心素養(yǎng)的重視. (1)在ABC中,由正弦定理 = ,得bsin C=csin B, 又由3csin B=4asin C,得3bsin C=4asin C,即3b=4a. 又因為b+c=2a,得到b= a,c= a. 由余弦定理可得cos B= = =- . (2)由(1)可得sin B= = , 從而sin 2B=2sin Bcos B=- ,cos 2B=cos2B-sin2B=- , 故sin =sin 2Bcos +cos 2Bsin =- - =- .,思路分析 (1)由已知邊角關(guān)系:3csin B=4asin C利用正弦定理,得三邊比例關(guān)系,根據(jù)余弦定理 即可求出cos B. (2)由(1)利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式,求出sin B,再由二倍角公式求出sin 2B、cos 2B,代入兩 角和的正弦公式即可求出sin 的值. 易錯警示 角B為三角形內(nèi)角,故sin B0,由cos B求sin B僅有一正解.,6.(2019北京,15,13分)在ABC中,a=3,b-c=2,cos B=- . (1)求b,c的值; (2)求sin(B-C)的值.,解析 本題主要考查正弦、余弦定理,同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式,兩角差的正弦公式等知識 點,考查學(xué)生的運算能力,以及利用方程思想解決數(shù)學(xué)問題的能力,同時體現(xiàn)了直觀想象的核心 素養(yǎng). (1)由余弦定理b2=a2+c2-2accos B,得 b2=32+c2-23c . 因為b=c+2,所以(c+2)2=32+c2-23c . 解得c=5.所以b=7. (2)由cos B=- 得sin B= . 由正弦定理得sin C= sin B= . 在ABC中,B是鈍角,所以C為銳角. 所以cos C= = . 所以sin(B-C)=sin Bcos C-cos Bsin C= .,7.(2019江蘇,15,14分)在ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c. (1)若a=3c,b= ,cos B= ,求c的值; (2)若 = ,求sin 的值.,解析 本小題主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函數(shù)關(guān)系、誘導(dǎo)公式等基礎(chǔ)知識,考 查運算求解能力.滿分14分. (1)因為a=3c,b= ,cos B= , 由余弦定理得cos B= ,得 = , 即c2= .所以c= . (2)因為 = , 由正弦定理 = ,得 = ,所以cos B=2sin B. 從而cos2B=(2sin B)2,即cos2B=4(1-cos2B), 故cos2B= . 因為sin B0,所以cos B=2sin B0,從而cos B= . 因此sin =cos B= .,1.(2018江蘇,13,5分)在ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,ABC=120,ABC的平分線交 AC于點D,且BD=1,則4a+c的最小值為 .,考點二 解三角形及其綜合應(yīng)用,答案 9,解析 依題意畫出圖形,如圖所示. 易知SABD+SBCD=SABC, 即 csin 60+ asin 60= acsin 120, a+c=ac, + =1, 4a+c=(4a+c) =5+ + 9,當(dāng)且僅當(dāng) = ,即a= ,c=3時取“=”.,一題多解1 作DECB交AB于E,BD為ABC的平分線, = = , DECB, = = = , = , = . = + . = , 1= + +2 | | | , 1= ,ac=a+c, + =1, 4a+c=(4a+c) =5+ + 9,當(dāng)且僅當(dāng) = ,即a= ,c=3時取“=”.,一題多解2 以B為原點,BD所在直線為x軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系, 則D(1,0).AB=c,BC=a,A ,C . A,D,C三點共線, , + c =0, ac=a+c, + =1, 4a+c=(4a+c) =5+ + 9,當(dāng)且僅當(dāng) = ,即a= ,c=3時取“=”.,2.(2015湖北,13,5分)如圖,一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛,到A處時測得公路北側(cè)一 山頂D在西偏北30的方向上,行駛600 m后到達(dá)B處,測得此山頂在西偏北75的方向上,仰角為 30,則此山的高度CD= m.,答案 100,解析 依題意有AB=600,CAB=30, CBA=180-75=105,DBC=30,DCCB. ACB=45, 在ABC中,由 = ,得 = , 有CB=300 , 在RtBCD中,CD=CBtan 30=100 , 則此山的高度CD=100 m.,3.(2017浙江,14,6分)已知ABC,AB=AC=4,BC=2.點D為AB延長線上一點,BD=2,連接CD,則 BDC的面積是 ,cosBDC= .,答案 ;,解析 本題考查余弦定理,同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式,二倍角公式,三角形面積公式,考查運 算求解能力. AB=AC=4,BC=2,cosABC= = , ABC為三角形的內(nèi)角,sinABC= , sinCBD= ,故SCBD= 22 = . BD=BC=2,ABC=2BDC.又cosABC= , 2cos2BDC-1= ,得cos2BDC= , 又BDC為銳角,cosBDC= .,4.(2018北京,15,13分)在ABC中,a=7,b=8,cos B=- . (1)求A; (2)求AC邊上的高.,解析 (1)在ABC中,因為cos B=- ,所以sin B= = . 由正弦定理得sin A= = . 由題設(shè)知 B,所以0A .所以A= . (2)在ABC中, 因為sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B= , 所以AC邊上的高為asin C=7 = . 方法總結(jié) 處理解三角形相關(guān)的綜合題目時,首先,要掌握正弦定理、余弦定理,其次,結(jié)合圖 形分析哪些邊、角是已知的,哪些邊、角是未知的,然后將方程轉(zhuǎn)化為只含有邊或角的方程,最 后通過解方程求出邊或角.,5.(2018天津,15,13分)在ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知bsin A=acos . (1)求角B的大小; (2)設(shè)a=2,c=3,求b和sin(2A-B)的值.,解析 本小題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系,兩角差的正弦與余弦公式,二倍角的正弦與 余弦公式,以及正弦定理、余弦定理等基礎(chǔ)知識,考查運算求解能力. (1)在ABC中, 由正弦定理 = ,可得bsin A=asin B, 又由bsin A=acos ,得asin B=acos , 即sin B=cos ,可得tan B= . 又因為B(0,),可得B= . (2)在ABC中,由余弦定理及a=2,c=3,B= , 有b2=a2+c2-2accos B=7,故b= . 由bsin A=acos ,可得sin A= . 因為ac,故cos A= .,因此sin 2A=2sin Acos A= ,cos 2A=2cos2A-1= .所以,sin(2A-B)=sin 2Acos B-cos 2Asin B= - = . 解題關(guān)鍵 (1)利用正弦定理合理轉(zhuǎn)化bsin A=acos 是求解第(1)問的關(guān)鍵; (2)由余弦定理及已知條件求得sin A,利用a0是求解第(2)問的關(guān)鍵. 失分警示 (1)忽略ac這一條件,從而導(dǎo)致cos A有兩個值,最終結(jié)果出現(xiàn)增解; (2)不能熟記二倍角公式以及兩角差的正弦公式,從而導(dǎo)致結(jié)果出錯.,1.(2015天津,13,5分)在ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知ABC的面積為3 ,b-c =2,cos A=- ,則a的值為 .,C組 教師專用題組,考點一 正弦定理與余弦定理,答案 8,解析 因為cos A=- ,0A,所以sin A= = .由3 = bcsin A得bc=24.又因為b-c= 2,所以b=6,c=4.由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=36+16+12=64.故a=8.,2.(2015廣東,11,5分)設(shè)ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.若a= ,sin B= ,C= ,則b= .,答案 1,解析 在ABC中,由sin B= ,可得B= 或B= ,結(jié)合C= 可知B= .從而A= ,利用正弦定 理 = ,可得b=1.,3.(2015重慶,13,5分)在ABC中,B=120,AB= ,A的角平分線AD= ,則AC= .,答案,解析 依題意知BDA=C+ BAC, 由正弦定理得 = , sin = , C+BAC=180-B=60, C+ BAC=45, BAC=30,C=30. 從而AC=2ABcos 30= .,4.(2015北京,12,5分)在ABC中,a=4,b=5,c=6,則 = .,答案 1,解析 在ABC中,由余弦定理的推論可得cos A= = = ,由正弦定理可知 = = = =1. 評析 本題主要考查正弦定理、余弦定理的推論以及二倍角公式的應(yīng)用,考查學(xué)生的運算 求解能力和知識的應(yīng)用轉(zhuǎn)化能力.,5.(2016北京,15,13分)在ABC中,a2+c2=b2+ ac. (1)求B的大小; (2)求 cos A+cos C的最大值.,解析 (1)由余弦定理及題設(shè)得cos B= = = . 又因為0B,所以B= . (2)由(1)知A+C= ,C= -A. cos A+cos C= cos A+cos = cos A- cos A+ sin A= cos A+ sin A=cos . 因為0A , 所以當(dāng)A= 時, cos A+cos C取得最大值1.,6.(2015安徽,16,12分)在ABC中,A= ,AB=6,AC=3 ,點D在BC邊上,AD=BD,求AD的長.,解析 設(shè)ABC的內(nèi)角A,B,C所對邊的長分別是a,b,c, 由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosBAC=(3 )2+62-23 6cos =18+36-(-36)=90, 所以a=3 . 又由正弦定理得sin B= = = , 由題設(shè)知0B , 所以cos B= = = . 在ABD中,由正弦定理得AD= = = = .,7.(2015課標(biāo),17,12分)ABC中,D是BC上的點,AD平分BAC,ABD面積是ADC面積的倍. (1)求 ; (2)若AD=1,DC= ,求BD和AC的長.,解析 (1)SABD= ABADsinBAD, SADC= ACADsinCAD. 因為SABD=2SADC,BAD=CAD,所以AB=2AC. 由正弦定理可得 = = . (2)因為SABDSADC=BDDC,所以BD= . 在ABD和ADC中,由余弦定理知 AB2=AD2+BD2-2ADBDcosADB, AC2=AD2+DC2-2ADDCcosADC. 故AB2+2AC2=3AD2+BD2+2DC2=6. 由(1)知AB=2AC,所以AC=1.,8.(2013課標(biāo),17,12分)ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知a=bcos C+csin B. (1)求B; (2)若b=2,求ABC面積的最大值.,解析 (1)由已知及正弦定理得sin A=sin Bcos C+sin Csin B. 又A=-(B+C), 故sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C. 由和C(0,)得sin B=cos B. 又B(0,),所以B= . (2)ABC的面積S= acsin B= ac. 由已知及余弦定理得4=a2+c2-2accos . 又a2+c22ac,故ac ,當(dāng)且僅當(dāng)a=c時,等號成立. 因此ABC面積的最大值為 +1. 方法總結(jié) 求三角形面積的最值時,常利用基本不等式求兩邊之積的最值,從而確定面積的最值.,9.(2011課標(biāo),17,12分)已知a,b,c分別為ABC三個內(nèi)角A,B,C的對邊,acos C+ asin C-b-c=0. (1)求A; (2)若a=2,ABC的面積為 ,求b,c.,解析 (1)由acos C+ asin C-b-c=0及正弦定理得sin Acos C+ sin Asin C-sin B-sin C=0. 因為B=-A-C,所以 sin Asin C-cos Asin C-sin C=0. 由于sin C0,所以sin = . 又0A,故A= . (2)ABC的面積S= bcsin A= ,故bc=4. 又a2=b2+c2-2bccos A,故b2+c2=8. 解得b=c=2. 評析 本題考查了正、余弦定理和三角公式,考查了方程的思想.靈活運用正、余弦定理是求 解關(guān)鍵.正確的轉(zhuǎn)化是本題的難點.,1.(2014課標(biāo),4,5分)鈍角三角形ABC的面積是 ,AB=1,BC= ,則AC= ( ) A.5 B. C.2 D.1,考點二 解三角形及其綜合應(yīng)用,答案 B SABC= ABBCsin B= 1 sin B= , sin B= ,B=45或135.若B=45,則由余弦定理得AC=1,ABC為直角三角形,不符合題 意,因此B=135,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2ABBCcos B=1+2-21 =5,AC= . 故選B. 思路分析 利用SABC= ABBCsin B求出sin B的值,進而分析出B的大小,再利用余弦定理求解 AC的值.,2.(2014課標(biāo),16,5分)已知a,b,c分別為ABC三個內(nèi)角A,B,C的對邊,a=2,且(2+b)(sin A-sin B)= (c-b)sin C,則ABC面積的最大值為 .,答案,解析 因為a=2,所以(2+b)(sin A-sin B)=(c-b)sin C可化為(a+b)(sin A-sin B)=(c-b)sin C,由正弦 定理可得(a+b)(a-b)=(c-b)c,即b2+c2-a2=bc,由余弦定理可得cos A= = = ,又0A, 故A= .因為cos A= = ,所以bc4,當(dāng)且僅當(dāng)b=c時取等號.由三角形面積公 式知SABC= bcsin A= bc = bc ,故ABC面積的最大值為 .,3.(2011課標(biāo),16,5分)在ABC中,B=60,AC= ,則AB+2BC的最大值為 .,答案 2,解析 設(shè)AC=b= ,AB=c,BC=a, 在ABC中, = = =2, a=2sin A,c=2sin C,又A+C=120, AB+2BC=c+2a=2sin C+4sin A=2sin C+4sin(120-C) =4sin C+2 cos C=2 sin(C+), 其中sin = ,cos = , 3060,而0C120, 30+C180,當(dāng)C+=90時,AB+2BC有最大值2 . 失分警示 沒有找到由正弦定理將AB+2BC轉(zhuǎn)化為角A和角C的正弦的思路,導(dǎo)致無從下手,無 法得出正確的結(jié)果.,4.(2017天津,15,13分)在ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知ab,a=5,c=6,sin B= . (1)求b和sin A的值; (2)求sin 的值.,解析 本小題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系,二倍角的正弦、余弦公式,兩角和的正弦公 式以及正弦定理、余弦定理等基礎(chǔ)知識.考查運算求解能力. (1)在ABC中,因為ab,故由sin B= ,可得cos B= .由已知及余弦定理,有b2=a2+c2-2accos B= 13,所以b= . 由正弦定理 = ,得sin A= = . 所以,b的值為 ,sin A的值為 . (2)由(1)及ac,得cos A= , 所以sin 2A=2sin Acos A= ,cos 2A=1-2sin2A=- . 故sin =sin 2Acos +cos 2Asin = .,方法總結(jié) 1.利用正、余弦定理求邊或角的步驟:(1)根據(jù)已知的邊和角畫出相應(yīng)的圖形,并在 圖中標(biāo)出;(2)結(jié)合圖形選擇用正弦定理或余弦定理求解;(3)在運算和求解過程中注意三角恒 等變換和三角形內(nèi)角和定理的運用. 2.解決三角函數(shù)及解三角形問題的滿分策略:(1)認(rèn)真審題,把握變形方向;(2)規(guī)范書寫,合理選 擇公式;(3)計算準(zhǔn)確,注意符號.,5.(2016浙江,16,14分)在ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知b+c=2acos B. (1)證明:A=2B; (2)若ABC的面積S= ,求角A的大小.,解析 (1)由正弦定理得sin B+sin C=2sin Acos B, 故2sin Acos B=sin B+sin(A+B)=sin B+sin Acos B+cos Asin B, 于是sin B=sin(A-B). 由已知得cos B0,則B . 又A(0,),故- A-B. 所以,B=-(A-B)或B=A-B, 因此A=(舍去)或A=2B, 所以,A=2B.,綜上,A= 或A= . 評析 本題主要考查三角函數(shù)及其變換、正弦定理和三角形面積公式等基礎(chǔ)知識,同時考查 運算求解能力.,(2)由S= 得 absin C= ,故有sin Bsin C= sin 2B=sin Bcos B, 因sin B0,得sin C=cos B. 又B ,C(0,),所以C= B. 當(dāng)B+C= 時,A= ;當(dāng)C-B= 時,A= .,6.(2016山東,16,12分)在ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知2(tan A+tan B)= + . (1)證明:a+b=2c; (2)求cos C的最小值.,解析 (1)由題意知2 = + , 化簡得2(sin Acos B+sin Bcos A)=sin A+sin B, 即2sin(A+B)=sin A+sin B. 因為A+B+C=, 所以sin(A+B)=sin(-C)=sin C. 從而sin A+sin B=2sin C. 由正弦定理得a+b=2c. (2)由(1)知c= , 所以cos C= = = - , 當(dāng)且僅當(dāng)a=b時,等號成立. 故cos C的最小值為 .,評析 本題考查了三角恒等變換、正弦定理和余弦定理及基本不等式,綜合性較強,重點考查 了化歸與轉(zhuǎn)化的思想方法,屬中檔題.,7.(2015浙江,16,14分)在ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別是a,b,c.已知A= ,b2-a2= c2. (1)求tan C的值; (2)若ABC的面積為3,求b的值.,解析 (1)由b2-a2= c2及正弦定理得sin2B- = sin2C,所以-cos 2B=sin2C. 又由A= ,即B+C= ,得-cos 2B=sin 2C=2sin Ccos C, 解得tan C=2. (2)由tan C=2,C(0,)得sin C= ,cos C= . 又因為sin B=sin(A+C)=sin , 所以sin B= . 由正弦定理得c= b, 又因為A= , bcsin A=3,所以bc=6 ,故b=3. 評析 本題主要考查三角函數(shù)及三角恒等變換、正弦定理等基礎(chǔ)知識,同時考查運算求解能力.,8.(2015陜西,17,12分)ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.向量m=(a, b)與n= (cos A,sin B)平行. (1)求A; (2)若a= ,b=2,求ABC的面積.,解析 (1)因為mn,所以asin B- bcos A=0, 由正弦定理,得sin Asin B- sin Bcos A=0, 又sin B0,從而tan A= , 由于00,所以c=3. 故ABC的面積為 bcsin A= .,故sin C=sin(A+B)=sin =sin Bcos +cos Bsin = . 所以ABC的面積為 absin C= .,解法二:由正弦定理,得 = , 從而sin B= , 又由ab,知AB,所以cos B= .,9.(2015湖南,17,12分)設(shè)ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,a=btan A,且B為鈍角. (1)證明:B-A= ; (2)求sin A+sin C的取值范圍.,解析 (1)證明:由a=btan A及正弦定理, 得 = = , 所以sin B=cos A,即sin B=sin . 又B為鈍角,因此 +A ,故B= +A,即B-A= . (2)由(1)知,C=-(A+B)=- = -2A0, 所以A . 于是sin A+sin C=sin A+sin =sin A+cos 2A=-2sin2A+sin A+1=-2 + .,因為0A ,所以0sin A , 因此 -2 + .,由此可知sin A+sin C的取值范圍是 .,10.(2015四川,19,12分)如圖,A,B,C,D為平面四邊形ABCD的四個內(nèi)角. (1)證明:tan = ; (2)若A+C=180,AB=6,BC=3,CD=4,AD=5,求tan +tan +tan +tan 的值.,解析 (1)證明:tan = = = . (2)由A+C=180,得C=180-A,D=180-B. 由(1),有tan +tan +tan +tan = + + + = + . 連接BD. 在ABD中,有BD2=AB2+AD2-2ABADcos A, 在BCD中,有BD2=BC2+CD2-2BCCDcos C, 所以AB2+AD2-2ABADcos A=BC2+CD2+2BCCDcos A. 則cos A= = = . 于是sin A= = = .,連接AC.同理可得 cos B= = = , 于是sin B= = = . 所以,tan +tan +tan +tan = + = + = . 評析 本題主要考查二倍角公式、誘導(dǎo)公式、余弦定理、簡單的三角恒等變換等基礎(chǔ)知識, 考查運算求解能力、推理論證能力,考查化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想.,11.(2013課標(biāo),17,12分)如圖,在ABC中,ABC=90,AB= ,BC=1,P為ABC內(nèi)一點,BPC =90. (1)若PB= ,求PA; (2)若APB=150,求tanPBA.,解析 (1)由已知得PBC=60,所以PBA=30. 在PBA中,由余弦定理得PA2=3+ -2 cos 30= .故PA= . (2)設(shè)PBA=,由已知得PAB=30-,PB=sin . 在PBA中,由正弦定理得 = , 化簡得 cos =4sin . 所以tan = ,即tanPBA= . 思路分析 (1)由已知求出PBA,在PAB中利用余弦定理求解PA;(2)設(shè)PBA=,則PAB= 30-,在RtPBC中求得PB=sin ,然后在PBA中利用正弦定理求得tan .,考點一 正弦定理與余弦定理 1.(2019河南鄭州一模,5)在ABC中,三邊長分別為a,a+2,a+4,最小角的余弦值為 ,則這個三 角形的面積為 ( ) A. B. C. D.,三年模擬,A組 20172019年高考模擬考點基礎(chǔ)題組,答案 A 由條件知長為a的邊所對的內(nèi)角最小,設(shè)為A,則由余弦定理的推論,得cos A= = ,解得a=3或a=-2(舍去),則三邊長分別為3,5,7,且sin A= ,所以ABC 的面積S= 57 = ,故選A.,2.(2019安徽安慶二模,10)若ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知bsin 2A=asin B,且c= 2b,則 等于 ( ) A. B. C. D.,答案 D 由正弦定理及bsin 2A=asin B,得2sin Bsin Acos A=sin Asin B,又sin A0,sin B0,則 cos A= .又c=2b,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=b2+4b2-4b2 =3b2,得 = .故選D.,3.(2019湖南郴州一模,10)在ABC中,三內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且b2+c2- bc=a2,bc= a2,則角C的大小是 ( ) A. 或 B. C. D.,答案 A b2+c2- bc=a2,b2+c2-a2= bc,cos A= = = ,又A(0,),A = .由b2+c2-a2= bc及bc= a2得b2+c2- bc= bc,即 b2-4bc+ c2=0.( b-c)(b- c)= 0,解得c= b或b= c.當(dāng)c= b時,由bc= a2得a=b,ABC為等腰三角形,且A=B= ,C= ;當(dāng)b= c時,由bc= a2得a=c,ABC是以B為頂點的等腰三角形,A=C, C= .綜上,C的大小為 或 ,故選A.,4.(2019湖南四校調(diào)研聯(lián)考,10)ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且 + =1,則 C= ( ) A. B. C. D.,答案 B 由正弦定理可得 + = + =1,整理可得a2+b2-c2=ab. 由余弦定理的推論可得cos C= = = ,又由C(0,),可得C= .故選B.,5.(2018江西贛州2月聯(lián)考,7)在ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,滿足2acos A=bcos C+ ccos B,且b+c=4,則a的最小值為 ( ) A.2 B.2 C.3 D.2,答案 A 由正弦定理及題意可得2sin Acos A=sin Bcos C+sin Ccos B.又知在ABC內(nèi),sin A= sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C,2sin Acos A=sin A,sin A0 ,cos A= . 又A(0,),A= . a2=b2+c2-2bccos A=(b+c)2-3bc=16-3bc,b,c均為正數(shù),b+c2 ,bc4,當(dāng)且僅當(dāng)b=c時 取“=”.a2=16-3bc16-12=4,又a0,a2. a的最小值為2,故選A.,1.(2019河南六市3月聯(lián)考,10)在ABC中,A,B,C的對邊分別為a,b,c,若 = ,b=4,則 ABC的面積的最大值為 ( ) A.4 B.2 C.3 D.,考點二 解三角形及其綜合應(yīng)用,答案 A 由 = 得2acos B-ccos B=bcos C,由正弦定理得,2sin Acos B=sin Bcos C+sin Ccos B,又知sin(B+C)=sin A=sin Bcos C+cos Bsin C,2sin Acos B=sin A,A(0,),sin A0, cos B= ,又知B(0,),B= ,又知cos B= = 1- =1- ,ac16,當(dāng)且僅當(dāng) a=c時等號成立,SABC= acsin B 16sin = 16 =4 ,故ABC的面積的最大值為 4 ,故選A.,2.(2019山西實驗中學(xué)4月月考,10)設(shè)銳角ABC的三個內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且c=1,A= 2C,則ABC周長的取值范圍為 ( ) A.(0,2+ ) B.(0,3+ ) C.(2+ ,3+ ) D.(2+ ,3+ ,答案 C 因為ABC為銳角三角形,所以0A ,0B ,0C ,又A=2C,所以02C ,0- C-2C ,所以 C ,所以 cos C ,又因為A=2C,所以sin A=2sin Ccos C,又因為c=1,