方差分析(analysisofvariance,ANOVA).ppt

第十一章 方差分析 (analysis of variance, ANOVA) 第一節(jié) 幾個(gè)基本問題,1. 單總體均值假設(shè)檢驗(yàn)和雙總體均值假設(shè)檢驗(yàn) 2. 多總體均值假設(shè)檢驗(yàn)-方差分析 在若干能夠互相比較的資料組中,把產(chǎn)生變異的原因(條件因素和隨機(jī)因素)加以明確區(qū)分的方法和技術(shù)。,一、相關(guān)術(shù)語 (1)試驗(yàn)指標(biāo): 把不同條件下所做的試驗(yàn)的結(jié)果, 用X表示; (2)試驗(yàn)因素: 影響試驗(yàn)結(jié)果的各種條件, 用A、B 、C表示; (3) 固定效應(yīng)模型:人為確定試驗(yàn)條件下的試驗(yàn)?zāi)Ｐ? 隨機(jī)效應(yīng)模型:隨機(jī)確定試驗(yàn)條件下的試驗(yàn)?zāi)Ｐ汀?4) 試驗(yàn)水平或處理: 每一試驗(yàn)條件在所處的狀態(tài)，或?qū)υ囼?yàn)條件所給定的值。用A1,A2,Ar和B1,B2, Bs表示; (4)單因素方差分析、兩因素方差分析和多因素方差分析。,例11.1 國(guó)民計(jì)算機(jī)公司在國(guó)內(nèi)三個(gè)不同地區(qū)生產(chǎn)打印機(jī)，為了解每個(gè)地區(qū)生產(chǎn)分廠的員工的質(zhì)量意識(shí),從各個(gè)生產(chǎn)廠中分別6名員工進(jìn)行質(zhì)量知識(shí)考核, 得到一組數(shù)據(jù)資料, 如下表:,試驗(yàn)條件(試驗(yàn)因素): 生產(chǎn)分廠,試驗(yàn)水平: 3,試驗(yàn)指標(biāo): 質(zhì)量考核得分,單因素試驗(yàn): 生產(chǎn)地點(diǎn),例11.2 一企業(yè)為推銷某種產(chǎn)品在五個(gè)不同地區(qū)建立了銷售點(diǎn), 統(tǒng)計(jì)的四個(gè)時(shí)期的銷售量資料如下表:,試驗(yàn)因素:地區(qū)和時(shí)期,試驗(yàn)水平: 地區(qū)水平5個(gè),時(shí)期水平4個(gè),試驗(yàn)指標(biāo): 銷售量,兩因素試驗(yàn): 地區(qū)和時(shí)期 45水平的方差分析,問:該企業(yè)在不同地區(qū)和不同時(shí)期的銷售量情況是否存在顯著的差異？,二、方差分析的假定條件 (1)各因素水平的觀察值Xij是隨機(jī)變量, 可分解為 Xij=j+ij , i =1,2,n, j=1,2,r 其中E(Xij)=j, n 為試驗(yàn)次數(shù), r為因素水平數(shù)。 (2) ijN(0, 2),且相互獨(dú)立; 在上述條件下，方差分析的數(shù)據(jù)模型為 XijN(i, 2),(1)在某一因素水平下的試驗(yàn)數(shù)據(jù),由于試驗(yàn)條件基本相同,因而數(shù)據(jù)間的差異可看成是隨機(jī)誤差引起的; (2)在不同因素水平下的試驗(yàn)數(shù)據(jù),由于試驗(yàn)條件的改變,其差異可看成是因試驗(yàn)條件不同而引起的; 每個(gè)因素j水平下的觀察值可當(dāng)作來自于因素j水平的總體的一個(gè)樣本, 因此應(yīng)該有一個(gè)均值j; 各因素影響是否顯著問題轉(zhuǎn)化為 檢驗(yàn)1=2=r 是否成立, 其中隨機(jī)誤差可分成 各因素水平下的數(shù)據(jù)的誤差- 組內(nèi)誤差(w2), (Sw2) , 不同條件影響的數(shù)據(jù)的誤差- 組間誤差(b2), (Sb2).,三、方差分析的基本思想,如果試驗(yàn)因素水平的變化對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)的影響不大, 則Sw2和Sb2結(jié)應(yīng)該比較接近,其比值應(yīng)該趨近于1,反之, 則Sb2明顯大于Sw2,其比值應(yīng)該大于1. 四、方差分析的一般提法 設(shè)因素有r個(gè)水平，每一個(gè)水平的均值分別用 1, 2, , r 表示，要檢驗(yàn) r個(gè)水平的均值是否相等，可提出如下假設(shè)： H0: 1=2=r(水平變化對(duì)指標(biāo)沒有顯著影響) H1: 1,2,r不全相等(水平變化對(duì)指標(biāo)有顯著影響),10.2 單因素方差分析,分析中只涉及到一個(gè)因素, 對(duì)該因素在不同水平下的試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行分析, 判斷試驗(yàn)因素是否對(duì)試驗(yàn)結(jié)果產(chǎn)生顯著的影響。 一、等重復(fù)的單因素方差分析 1. 單因素等重復(fù)試驗(yàn)方差分析的一般性提法 假設(shè)試驗(yàn)中只有一個(gè)因素A,共做了A1,A2,Ar個(gè)水平的觀察,每個(gè)水平Ai滿足AiN(i,2),其中i,2 均是未知量。 為檢驗(yàn)H0: 1=2=r 是否成立, 對(duì)每個(gè)水平均做n次獨(dú)立試驗(yàn)，共得到nr個(gè)數(shù)據(jù)。,數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)模型為 Xij=j+ij, ij N(0,2), i=1,2,n j =1,2,r 其中ij相互獨(dú)立, j、2為各總體Aj 的未知參數(shù)。,表11.3 單因素等重復(fù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu),(2) 全體總體的樣本觀平均值為,2.總離差平方和的分解,(1) 設(shè)從第j個(gè)總體中隨機(jī)抽取容量為n 的樣本,則第j個(gè)總體的樣本均值為:,全體樣本的離差為,(3) 總離差平方和的分解,令,當(dāng)H0成立時(shí),有,則可構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量F :,表11.4 方差分析表,F1-,P值,F,例11.3 根據(jù)例11.1的數(shù)據(jù)檢驗(yàn)不同生產(chǎn)廠員工的質(zhì)量意識(shí)是否存在判別？,FF1- 或P , 拒絕原假設(shè)H0。即不同生產(chǎn)廠員工的質(zhì)量意識(shí)存在顯著判別。,解: 提出假設(shè) H0: 1=2=3 H1: 1,2, 3 不全相等。,方差分析表,例11.4 在電解銅工藝中，電流強(qiáng)度、電解液配方和濃度、設(shè)備水平等, 對(duì)電解銅的純度有很大影響。不了考察電流強(qiáng)度的作用效果,將其他因素固定不變, 分別在五種電流強(qiáng)度下各做5次試驗(yàn)，觀察一小時(shí)內(nèi)得到的電解銅的雜質(zhì)率如下表：,試在顯著性水平=0.05下對(duì)下列假設(shè)進(jìn)行檢驗(yàn) H0:電流強(qiáng)度對(duì)電解銅的雜質(zhì)率沒有影響,解: H0:1=2=3=4=5 H1: 1,2,3, 4, 5不全相等。 方差分析表如下:,FF1- 或P, 拒絕原假設(shè)H0。 即在顯著性水平=0.05下電流強(qiáng)度對(duì)電解銅的雜質(zhì)率有顯著影響。,2. 不等重復(fù)的單因素方差分析 假設(shè)試驗(yàn)中只有一個(gè)因素A,分成r個(gè)水平A1,A2, Ar 作觀察, 每個(gè)水平 Ai 滿足 AiN(i,2)。 為檢驗(yàn)H0: 1=2=r 是否成立, 對(duì)每個(gè)水平各做nj 次獨(dú)立試驗(yàn), n1, n2,nr不完全相等, 試進(jìn)行方差分析。,表11.3 單因素不等重復(fù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu),不等重復(fù)因素方差分析表,例11.5 為了進(jìn)一步激勵(lì)銷售人員熱情, 努力提高產(chǎn)品的市場(chǎng)銷售量, SOOMTH公司的銷售主管部門正籌劃實(shí)行銷售人員新的分配方法, 擬定采用的做法是對(duì)新近招聘進(jìn)來的銷售人員實(shí)行傭金制, 對(duì)工作滿五年的員工采用傭金 和固定薪金,而對(duì)工作八年以上的銷售人員基本實(shí)行固定薪金方案。不知道這樣的分配方案辦法是否能達(dá)到促進(jìn)銷售的目的，為此考慮進(jìn)行跟蹤觀察一段時(shí)間，然后才正式商定。從各個(gè)分配方案的人員中按隨機(jī)原則確定一人，登記每個(gè)月的銷售量(單位:萬元)，具體數(shù)據(jù)資料如下表：,試在顯著性水平0.05的條件下檢驗(yàn)假設(shè): 不同分配方法對(duì)產(chǎn)品銷售沒有促進(jìn)作用。,解: H0:1=2=3 (不同分配方法對(duì)產(chǎn)品銷售沒有促進(jìn)作用) H1: 1,2,3不全相等 (不同分配方法對(duì)產(chǎn)品銷售具有促進(jìn)作用) 方差分析表如下:,FF1- 或P, 拒絕原假設(shè)H0。,11.3 兩因素方差分析,一、無重復(fù)的雙因素方差分析 1. 無重復(fù)兩個(gè)因素方差分析簡(jiǎn)介 試驗(yàn)中考慮兩個(gè)因素A、B, 其中A因素有r個(gè)水平A1,A2,Ar, B因素有s個(gè)水平B1,B2,Bs. 對(duì)Ai與Bj 的每一種搭配只作一次試驗(yàn)(即無重復(fù)),試驗(yàn)結(jié)果用Xij表示, 各Xij相互獨(dú)立,且服從均值為ij,方差2的正態(tài)分布。 檢驗(yàn)?zāi)繕?biāo): 因素A與因素B對(duì)試驗(yàn)結(jié)果是否有顯著的影響。,無重復(fù)兩因素試驗(yàn)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu),數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)模型為 Xij=ij+ij, ij N(0,2), i=1,2,r , j =1,2,s,2. 無重復(fù)雙因素方差分析的檢驗(yàn)假設(shè),H0A: 因素A對(duì)試驗(yàn)結(jié)果影響不顯著; H1A: 因素A對(duì)試驗(yàn)結(jié)果影響顯著; H0B: 因素B對(duì)試驗(yàn)結(jié)果影響不顯著; H1B: 因素B對(duì)試驗(yàn)結(jié)果影響顯著;,3.總離差平方和的分解,全體樣本的離差為,總離差平方和的分解,分別記,總離差平方和的分解,子總體均值: i., .j, 總體均值: , 總體方差: 2.,3. 總體參數(shù)的估計(jì),其中,當(dāng)原假設(shè)成立時(shí),相應(yīng)的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為,無重復(fù)雙因素方差分析表,例10.3 有四個(gè)品牌的彩電在五個(gè)地區(qū)銷售, 為了分析彩電的品牌和銷售地區(qū)對(duì)銷售量是否有影響, 對(duì)每個(gè)品牌在各地區(qū)的銷售量取得以下數(shù)據(jù)。試分析品牌和銷售地區(qū)是否對(duì)彩電的銷售量有顯著影響？(=0.05),解: 提出假設(shè),H0A: 地區(qū)對(duì)銷售量影響不顯著; H1A: 地區(qū)對(duì)銷售量影響顯著; H0B: 品牌對(duì)銷售量影響不顯著; H1B: 品牌對(duì)銷售量影響顯著;,由于FAF1-(3,12), FBF1-(4,12), 因此 , 品牌對(duì)銷售量有顯著影響，而不能認(rèn)為地區(qū)對(duì)銷售量有顯著影響。,二、等重復(fù)的雙因素方差分析 1. 等重復(fù)兩個(gè)因素方差分析簡(jiǎn)介 試驗(yàn)中考慮兩個(gè)因素A、B, 其中A因素有r個(gè)水平A1,A2,Ar, B因素有s個(gè)水平B1,B2,Bs. 對(duì)Ai與Bj 的每一種搭配做l 次試驗(yàn)(即等重復(fù)),試驗(yàn)結(jié)果用Xijk表示, 各Xijk相互獨(dú)立,且服從均值為ij,方差2的正態(tài)分布,共有 rsl 個(gè)試驗(yàn)數(shù)據(jù)。 檢驗(yàn)?zāi)繕?biāo): 因素A與因素B及其搭配對(duì)試驗(yàn)結(jié)果是否有顯著的影響。,等重復(fù)兩因素試驗(yàn)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu),數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)模型為 Xijk=ij+ijk, ijk N(0,2), i=1,2,r , j =1,2,s,k=1,2,l,2. 等重復(fù)雙因素方差分析的檢驗(yàn)假設(shè),H0A: 因素A對(duì)試驗(yàn)結(jié)果影響不顯著; H1A: 因素A對(duì)試驗(yàn)結(jié)果影響顯著; H0B: 因素B對(duì)試驗(yàn)結(jié)果影響不顯著; H1B: 因素B對(duì)試驗(yàn)結(jié)果影響顯著; H0AB: 因素A與B的搭配對(duì)試驗(yàn)結(jié)果影響不顯著; H1AB: 因素A與B的搭配對(duì)試驗(yàn)結(jié)果影響顯著;,3.總離差平方和的分解,全體樣本的離差為,總離差平方和的分解,當(dāng)H0成立時(shí), 有,相應(yīng)的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為,等重復(fù)雙因素方差分析表的結(jié)構(gòu),例11.7 城市道路交通管理部門為研究不同的路段和不同的時(shí)間段對(duì)行車時(shí)間的影響, 讓一名交通警察分別在兩個(gè)路段和高峰與非高峰期親自駕車進(jìn)行試驗(yàn), 通過試驗(yàn)取得共20個(gè)行車時(shí)間(單位: 分鐘)的數(shù)據(jù)。試分析路段、時(shí)間以及路段和時(shí)間的交互作用對(duì)行車時(shí)間的影響(=0.05).,時(shí)間和路段的等重復(fù)雙因素方差分析表,(1) FAF0.95=4.49, FBF0.95=4.49,應(yīng)該拒絕H0A,H0B, 即不同時(shí)間和路段的行車時(shí)間之間有顯著差異; (2) FABF0.95=4.49,應(yīng)該接受H0AB, 即時(shí)間和路段的 交互作用對(duì)行車時(shí)間沒有顯著影響。,P294例11.7 GMAT是商學(xué)院用來考核申請(qǐng)攻讀碩士學(xué)位學(xué)生學(xué)習(xí)能力的一種標(biāo)準(zhǔn)化考試, 錄取參考分?jǐn)?shù)一般在200800分之間,考分越高表明學(xué)生的學(xué)習(xí)能力越強(qiáng)。根據(jù)過去的經(jīng)驗(yàn), 參加GMAT考試的學(xué)生, 多數(shù)來自于商學(xué)院、工學(xué)院和社會(huì)技術(shù)學(xué)院。某考前輔導(dǎo)機(jī)構(gòu)為使自己的考前輔導(dǎo)更有針對(duì)性, 也是為了對(duì)考生負(fù)責(zé), 決定進(jìn)行一次試驗(yàn)。首先從商學(xué)院、工學(xué)院和社會(huì)技術(shù)學(xué)院各抽取兩名學(xué)生, 讓他們參加不同授課方式的培訓(xùn), 授課方式主要包括三種形式:3小時(shí)復(fù)習(xí)、1天課程強(qiáng)化和10周學(xué)習(xí)班?，F(xiàn)在的問題是來自于不同背景的學(xué)生，參加不同授課方式, 對(duì)他們最終得分是否有影響。經(jīng)過培訓(xùn)后的測(cè)試資料如下表。 試根據(jù)這組資料,在顯著性水平0.05下檢驗(yàn)假設(shè)假設(shè): H0 :原來的學(xué)習(xí)背景和培訓(xùn)方式對(duì)學(xué)生的考分沒有影響.,解: 兩因素三水平的試驗(yàn)問題, 每個(gè)因素的搭配各做了兩次觀察, 屬于等重復(fù)的方差分析問題。 提出假設(shè): H0A: