人教版選修21第二章拋物線拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程講義

案例（二）精析精練課堂 合作 探究重點難點突破知識點一 拋物線定義平面內(nèi)與一個定點和一條定直線的距離相等的點的軌跡叫做拋物線，定點為拋物線的焦點，定直線為拋物線的準(zhǔn)線。(1)定義可歸結(jié)為”一動三定”：一個動點設(shè)為；一定點(即焦點)；一定直線(即準(zhǔn)線)；一定值1（即動點到定點的距離與它到定直線的距離之比為1）。(2) 定義中的隱含條件：焦點不在準(zhǔn)線上。若在上，拋物線退化為過且垂直于的一條直線。 (3)拋物線定義建立了拋物線上的點、焦點、準(zhǔn)線三者之間的距離關(guān)系，在解題中常將拋物線上的動點到焦點距離(也稱焦半徑)與動點到準(zhǔn)線距離互化，與拋物線的定義聯(lián)系起來，通過這種轉(zhuǎn)化使問題簡單化。 知識點二 拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程 拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程建系特點：以拋物線的頂點為坐標(biāo)原點，對稱軸為一條坐標(biāo)軸建立直角坐標(biāo)系，這樣使標(biāo)準(zhǔn)方程不僅具有對稱性，而且曲線過原點，方程不含常數(shù)項，形式更為簡單，便于應(yīng)用。如下圖所示，分別建立直角坐標(biāo)系，設(shè)出，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程如下： （1） （2） （3） （4）（1），焦點：，準(zhǔn)線；（2），焦集點：，準(zhǔn)線； （3），焦點：，準(zhǔn)線； （4），焦點：，準(zhǔn)線。 相同點：（1）拋物線都過原點；（2）對稱軸為坐標(biāo)軸；（3）準(zhǔn)線都與對稱軸垂直，垂足與焦點在對稱軸上關(guān)于原點對稱。它們到原點的距離都等于一次項系數(shù)絕對值的，即。不同點：（1）圖形關(guān)于軸對稱時，為一次項，為二次項，方程右端為，左端為；圖形關(guān)于軸對稱時，為二次項，為一次項，方程右端為，左端為；（2）開口方向在軸（或軸）正向時，焦點在軸（或軸）的正半軸上，方程右端取正號；開口在軸（或軸）負(fù)向時，焦點在軸（或軸）負(fù)半軸時，方程右端取負(fù)號。 總之，參數(shù)的幾何意義：焦參數(shù)是焦點到準(zhǔn)線的距離，所以恒為正值；值越大，張口越大；等于焦點到拋物線頂點的距離。方程的左邊是某變量的平方項，右邊是另一變量的一次項，方程右邊一次項的變量與焦點所在坐標(biāo)軸的名稱相同，一次項系數(shù)的符號決定拋物線的開口方向。 典型例題分析 題型1 拋物線的定義及應(yīng)用 【例1】 已知拋物線，點是拋物線上的動點，點的坐標(biāo)為（12，6）。求點到點的距離與點到軸的距離之和的最小值。 解析由定義知，拋物線上的點到焦點的距離等于點到準(zhǔn)線的距離，求與點到軸的距離之和的最小值，轉(zhuǎn)化成求的最小值。 答案 如右圖易判斷知點在拋物線外側(cè)， 設(shè)，焦點，則到軸的距離即值。 設(shè)到準(zhǔn)線的距離為，則。 故，由拋物線定義知。于是，由圖可知，當(dāng)、三點共線時，取最小值，為13。故所求距離之和的最小值為。規(guī)律總結(jié) 定義是解決問題的基礎(chǔ)和靈魂，要善于思考定義和應(yīng)用定義，本題如果設(shè)點坐標(biāo)為，利用兩點間距離公式求解，無法得到答案。由拋物線定義可知，等于點到準(zhǔn)線的距離，當(dāng)、三點共線時，的距離最小，這體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化思想。 【變式訓(xùn)練1】 定長為5的線段的兩個端點在拋物線上移動，試求線段的中點到軸的最短距離。 答案如右圖，分別過、作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為、，在直角梯形中， 。 又， ， ,由幾何性質(zhì)，有，當(dāng)且僅當(dāng)過焦點時取等號，當(dāng)為焦點弦時，有最小值，此時，到軸有最短距離為。 題型2 求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程 【例2】 若動圓與圓（外切，又與直線相切，則動圓圓心的軌跡方程是 （ ） A. B. C. D. 解析 利用拋物線定義的條件。 答案 設(shè)動圓的半徑為，圓心為到點（2，0）的距離為，到直線的距離為，所以到（2，0）的距離與到直線的距離相等，由拋物線的定義知。故選A。 規(guī)律總結(jié) 處理求軌跡方程的選擇、填空類問題，可首先考慮畫維由線的定義，或者經(jīng)轉(zhuǎn)化后聯(lián)系圓錐曲線的定義來處理。 【變式訓(xùn)練2】 已知圓與定直線，且動圓和圓外切并與直線相切，求動圓的圓心的軌跡方程。答案 依題意，可知到圓心距離和到定直線的距離相等，點軌跡為拋物線，且。點軌跡方程為。 【例3】 根據(jù)下列條件，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程： （1)焦點為（一2，0）； （2）準(zhǔn)線為； （3）焦點到準(zhǔn)線的距離是4； （4）過點（1，2）。 解析 求拋物線方程的主要方法是待定系數(shù)法，但要依據(jù)所給條件選擇適當(dāng)?shù)姆匠绦问健?答案（1)焦點在軸負(fù)半軸上，即，拋物線方程。（2）焦點在軸正半軸上，即，拋物線方程為；（3），拋物線方程有四種形式：；（4）點（1，2）在第一象限，要分兩種情形：當(dāng)拋物線的焦點在軸上時，設(shè)其方程為，則，解得，拋物線方程為；當(dāng)拋物線的焦點在軸上時，設(shè)其方程為，則，解得，拋物線方程為。 規(guī)律總結(jié) （1）拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程中的系數(shù)叫做焦參數(shù)，它的幾何意義是：焦點到準(zhǔn)線的距離，且焦點到頂點及頂點到準(zhǔn)線的距離均為。（2）拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有四種類型，所以判斷類型是解題的關(guān)鍵。在方程的類型已確定的前提下，由于標(biāo)準(zhǔn)方程只有一個參數(shù)，所以只需一個條件就可以確定一個拋物線的方程。（3）焦點在軸上的拋物線方程可統(tǒng)一寫出；焦點在軸上的拋物線方程可統(tǒng)一寫成?！咀兪接?xùn)練3】 設(shè)拋物線的準(zhǔn)線與直線的距離為3，求拋物線的方程。答案 當(dāng)時。由，得，這時拋物線的準(zhǔn)線方程是。拋物線的準(zhǔn)線與直線的距離為3。，解得。這時拋物線的方程是。同理，當(dāng)時，拋物線的方程是。題型3 求拋物線的焦點坐標(biāo)和標(biāo)準(zhǔn)方程【例4】 已知拋物線的方程，求它的焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程。解析 要根據(jù)的正負(fù)分類討論。答案 （1）當(dāng)時，因為，所以，所以焦點，準(zhǔn)線方程。（2）當(dāng)時，。因為，所以。所以焦點，即，準(zhǔn)線方程。綜上所述，拋物線的焦點，準(zhǔn)線方程。規(guī)律總結(jié) 可能是正的，也可能是負(fù)的，因此一定要分，兩種情況討論，此類題易忽略?！咀兪接?xùn)練4】 求拋物線的焦點坐標(biāo)及的值。答案 拋物線方程可化為。.時，點，焦點坐標(biāo)為；時，焦點坐標(biāo)為。題型4 實際應(yīng)用問題 【例5】 一輛卡車高3m，寬1.6m，欲通過斷面為拋物線形的隧道，如圖所示，已知拱口寬恰好是拱高的4倍，若拱寬為m，求能使卡車通過的的最小整數(shù)值。 解析 要求拱寬的最小值，需建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，寫出拋物線方程，然后利用方程求解。 答案 以拱頂為原點，拱寬所在直線為軸，建立直角坐標(biāo)系，如圖，設(shè)拋物線方程為，則點的坐標(biāo)為，由于點在拋物線上， 所以 所以，拋物線方程為。 將點代入拋物線方程，得。 所以，點到拱底的距離為。 解得，取整數(shù)，的最小值為13。規(guī)律總結(jié) 實際問題中可由實際情況確立坐標(biāo)系，要求坐標(biāo)系要簡單，建好坐標(biāo)系后要由實際情況寫出各點坐標(biāo)及曲線方程，然后依題意解之即可。 【變式訓(xùn)練5】 汽車前燈反射鏡與軸截面的交線是拋物線的一部分，燈口所在的圓面與反射鏡的軸垂直，燈泡位于拋物線焦點處，已知燈口的直徑是24 cm，燈深10 cm，那么燈泡與反射鏡的頂點（即截得拋物線頂點）距離是多少？ 答案 取反射鏡的軸即拋物線的對稱軸為軸，拋物線的頂點為坐標(biāo) 原點，建立直角坐標(biāo)系,如右圖所示。 因燈口直徑，燈深，所以點的坐標(biāo)是（10，12）。 設(shè)拋物線的方程為。 由點在拋物線上，得。 拋物線的焦點的坐標(biāo)為（3.6，0）。 因此燈泡與反射鏡頂點的距離是3.6 cm規(guī)律 方法 總結(jié)（1）批物線的焦點坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程，不論還是,總有：焦點，準(zhǔn)線方程。（2）正確理解拋物線的定義：拋物線定義中的定點不在定直線上，這一點不可忽視。當(dāng)時，則動點到定點與到定直線的距離相等的軌跡是過且與垂直的一條直線。（3）已知方程求拋物線的焦點、準(zhǔn)線方程時，應(yīng)先將方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式。（4） 根據(jù)給定條件，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程時，由于標(biāo)準(zhǔn)方程有四種形式，故應(yīng)先根據(jù)焦點位置或準(zhǔn)線確定方程的形式，再用待定系數(shù)法求之。當(dāng)對稱軸已知，焦點不確定時，可分類討論，也可統(tǒng)一設(shè)方程。如對稱軸為軸的拋物線，標(biāo)準(zhǔn)方程可設(shè)為。 （5）在解決有關(guān)拋物線上的點到焦點的距離問題時，常利用拋物線的定義轉(zhuǎn)化為到到準(zhǔn)線的距離。定時 鞏固 檢測基礎(chǔ)訓(xùn)練頂點在原點，準(zhǔn)線方程為的拋物線方程為 （ ）A. B.C. D.答案D(點撥:的準(zhǔn)線方程是。)2.拋物線的準(zhǔn)線方程是 （ ）A. B.C. D.答案C(點撥:原方程可化為:。)3.若拋物線上橫坐標(biāo)為6的點的焦半徑為10,則頂點到準(zhǔn)線的距離為 （ ）A.1 B.2 C.4 D.8答案C(點撥:依拋物線的定義得，而頂點到準(zhǔn)線的距離為。)4.焦點在直線上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是 。答案或(點撥:有兩種情形,分別討論。)5.根據(jù)下列條件寫出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。(1)準(zhǔn)線方程；(2)焦點到準(zhǔn)線的距離為2；(3)經(jīng)過點(-3,-5)。答案(1)由，得，所求拋物線的方程是；(2),有四種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程，分別是；(3)當(dāng)拋物線的方程為時，將點(-3,-5)代入得，即拋物線的方程為；當(dāng)拋物線的方程為時，將點(-3，5)代入得，即 。能力提升6.過拋物線產(chǎn)的焦點作直線交拋物線于、兩點,如果,那么 （ ）A.10 B.8 C.6 D.4答案B(點撥:根據(jù)拋物線的定義知。)7.已知為拋物線上一動點，為拋物線的焦點,定點,則的最小值為 （ ）A.3 B.4 C.5 D.6答案B(點撥:利用拋物線定義進(jìn)行長度轉(zhuǎn)化。)8.動點到直線的距離比它到點的距離大2，則點的軌跡方程是 。答案(點撥:動點到直線的距離與到點的距離相等。)9.有一拋