函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性(3).ppt

1,函數(shù)單調(diào)性的判別法,函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法,小結(jié) 思考題 作業(yè),6.4 函數(shù)的單調(diào)性與 曲線的凹凸性,曲線凹凸性的判別法,曲線的拐點及其求法,第6章 微分中值定理與導數(shù)的應用,2,定理6.8,單調(diào)增加;,單調(diào)減少.,一、函數(shù)單調(diào)性的判別法,設(shè)函數(shù)y = f (x)在a, b上連續(xù),在,(a, b)內(nèi)可導.,那末函數(shù)y = f (x),在a, b上,那末函數(shù)y = f (x),在a, b上,3,證,拉氏定理,(1),(2),此定理不論對于開、閉、有限或無窮區(qū)間都正確.,若在(a, b)內(nèi),若在(a, b)內(nèi),因為,所以y = f (x)在a, b上單調(diào)增加;,因為,所以y = f (x)在a, b上單調(diào)減少.,4,例,解,定義域為,因為,所以,所以,5,方法,問題,如上例, 函數(shù)在定義區(qū)間上不是單調(diào)的,若函數(shù)在其定義域的某個區(qū)間內(nèi)是單調(diào)的,然后判定區(qū)間內(nèi)導,數(shù)的符號.,的分界點,二、函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法,但在各個部分區(qū)間上單調(diào).,則該區(qū)間稱為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.,導數(shù)等于零的點和不可導點,可能是單調(diào)區(qū)間,的點劃分函數(shù)f (x)的定義區(qū)間,6,例,解,定義域,單調(diào)區(qū)間為,單調(diào)區(qū)間.,7,例,解,單調(diào)減少區(qū)間為,定義域,單調(diào)增加區(qū)間為,導數(shù)不存在.,8,區(qū)間內(nèi)有限個或無窮多個離散點處導數(shù)為零,如,不影響區(qū)間的單調(diào)性.,單調(diào)增加.,又如,可導, 且,等號只在,(無窮多個離散點)處成立,故,內(nèi)單調(diào)增加.,9,例,證,因為,因為,10,例,證,定不出符號,11,即,12,證,練習,若令,則只須證明g(x)單調(diào)增加.,而,拉氏定理,g(x)單調(diào)增加.,從而,13,考研數(shù)學(一, 二) 12分,練習,證,法一,則,所以,單調(diào)減少,從而,單調(diào)增加.,因此,即,故,14,練習,證,法二,對函數(shù),所以,單調(diào)減少,從而,在a, b上應用拉氏定理, 得,設(shè),則,即,即,考研數(shù)學(一, 二) 12分,15,考研數(shù)學(一, 二) 選擇題4分,設(shè)函數(shù) f (x)連續(xù),則存在,使得,16,?,(concave and convex),三、曲線凹凸性的判別法,1. 定義,如何研究曲線的彎曲方向,17,定義6.1,恒有,凹,(凸),圖形上任意弧段 位于所張弦的下方,圖形上任意弧段 位于所張弦的上方,如果對(a, b)內(nèi)任意,兩點x1, x2,那么稱f (x)在(a, b)內(nèi)的圖形是 的.,18,曲線弧上每一點的切線都在曲線的下,或定義,(上),方,稱為凹 弧.,(凸),凹弧的曲線段,f (x)的切線斜率是單增的,是單增的,弧的切線斜率是單減的,是單減的.,而凸,利用二階導數(shù)判斷曲線的凹凸性,從幾何直觀上,隨著x的增大,19,定理6.9,具有二階導數(shù),凹,(凸),2. 凹凸性的判別法,如果 f (x)在a, b上連續(xù),在(a, b)內(nèi),在(a, b)內(nèi),在a, b上的圖形是 的.,則 f (x),20,證,即,這說明切線位于曲線的下方,泰勒公式,即f (x)是凹的.,21,即,例,證,設(shè),圖形是凹的.,利用函數(shù)圖形的凹凸性證明不等式:,22,例,解,凸,變,凹,的分界點.,點(0, 0)是曲線由,23,練習,考研數(shù)學(一,二, 三,四)填空4分,設(shè)函數(shù) y = f (x)具有二階導數(shù),分別為 f (x)在點x0處對應的增量與微分,則,24,1. 定義,連續(xù)曲線上凹凸的分界點稱為曲線的,拐點.,幾何上,四、曲線的拐點及其求法,(inflection point),拐點處的切線必在拐點處穿過曲線.,25,拐點的充分條件,2. 拐點的求法,拐點也可能出現(xiàn)在二階導數(shù)不存在的點處.,拐點的必要條件,若f (x)具有二階導數(shù),則點,(1),(2),(x0, f (x0)是拐點的必要條件為,(或x0為二階導數(shù)不存在的點),設(shè)函數(shù)f (x)在點x0鄰域內(nèi)二階,可導,點(x0, f (x0)即為拐點;,點(x0, f (x0)不是拐點.,26,例,解,不存在,定義域為,(1),(2),(3),列表,拐點,拐點,27,例,解,拐點的第二充分條件,設(shè)函數(shù)f (x)在x0的鄰域內(nèi),是曲線 y = f (x)的拐點.,三階可導,那末(x0, f (x0),28,例,解,29,證,法一,用單調(diào)性證.,法二,用凹凸性證.,例,設(shè),則,即,所以f (x)的圖形是凸的.,30,例,的單調(diào)區(qū)間、凹凸區(qū)間和拐點.,解,不存在,不存在,拐點,單調(diào)增加區(qū)間,單調(diào)減少區(qū)間,凸區(qū)間,凹區(qū)間,31,練習,考研數(shù)學( 三,四)10分,設(shè)函數(shù) y = y (x)由方程,確定,試判斷曲線 y = y (x)在點(1,1)附近的凹凸性.,解,兩邊對x求導得,解得,兩邊對x再求導得,32,練習,考研數(shù)學( 三,四)10分,設(shè)函數(shù) y = y (x)由方程,確定,試判斷曲線 y = y (x)在點(1,1)附近的凹凸性.,由于二階導函數(shù),的附近是連續(xù)函數(shù),所以由,的附近,故曲線 y = y (x)在點(1,1)附近是凸.,33,五、小結(jié),單調(diào)性的判別是拉格朗日中值定理的重要,單調(diào)性的應用:,改變彎曲方向的點:,凹凸性;,拐點;,利用函數(shù)的單調(diào)性可以確定某些方程實根,的個數(shù)和證明不等式.,研究曲線的彎曲方向:,凹凸性的應用:,利用凹凸性證明不等式.,應用.,34,證,只要證,令,則,所以,即,有,得,思考題1,也即,35,思考題2,考研數(shù)學二, 8分,證明不等式,證,先證右邊不等式.,設(shè),單調(diào)減少,故有,即,36,思考題2,考研數(shù)學二, 8分,