函數(shù)的求導(dǎo)法則(13).ppt

二、反函數(shù)的求導(dǎo)法則,三、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則,一、函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則,2.2 函數(shù)的求導(dǎo)法則,四、基本求導(dǎo)法則與導(dǎo)數(shù)公式,一、函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則,定理1 如果函數(shù)uu(x)及vv(x)在點(diǎn)x具有導(dǎo)數(shù) 那么它們的和、差、積、商(除分母為零的點(diǎn)外)都在點(diǎn)x具有導(dǎo)數(shù) 并且,u(x)v(x)=u(x)v(x),u(x)v(x)=u(x)v(x)+u(x)v(x),求導(dǎo)法則的推廣 (uvw)=uvw (uvw) =uvw+uvw+uvw 特殊情況 (Cu)=Cu,例1 y=x 4+5x 3-4x+2 求y,=4x 3+15 x 2-4,=4x 3+53 x 2-4,=(x 4)+5(x 3)-4(x),=(x 4)+(5x 3)-(4x)+(2),解,y=(x 4+5x 3-4x+2),求導(dǎo)法則,解,例3 ysin xcos x 求y,解,求導(dǎo)法則,y(sin xcos x)(sin x)cos xsin x(cos x),cos xcos xsin x(sin x)cos 2x,求導(dǎo)法則,用類似方法還可求得,(tan x)=sec2x,(sec x)=sec x tan x ,例4 ycotx 求y,解,例5 ycsc x 求y,解,二、反函數(shù)的求導(dǎo)法則,定理2 如果函數(shù)xf(y)在某區(qū)間Iy內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)且f (y)0 那么它的反函數(shù)yf 1(x)在對(duì)應(yīng)區(qū)間Ixf(Iy)內(nèi)也可導(dǎo) 并且,簡要證明,由于xf(y)可導(dǎo)(從而連續(xù)) 所以xf(y)的反函數(shù)yf 1(x)連續(xù),當(dāng)x0時(shí) y0 所以,例7 求(arctan x)及(arccot x),解,因?yàn)閥=arctan x是x=tan y的反函數(shù) 所以,例6 求(arcsin x)及(arccos x),解,因?yàn)閥=arcsin x是x=sin y的反函數(shù) 所以,反函數(shù)的求導(dǎo)法則:,定理3 如果ug(x)在點(diǎn)x可導(dǎo) 函數(shù)yf(u)在點(diǎn)ug(x)可導(dǎo) 則復(fù)合函數(shù)yfg(x)在點(diǎn)x可導(dǎo) 且其導(dǎo)數(shù)為,簡要證明,則Du0 此時(shí)有,假定u=j(x)在x的某鄰域內(nèi)不等于常數(shù),解,復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則:,解,解,復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則:,解,x,復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則可以推廣到多個(gè)中間變量的情形 例如 設(shè)yf(u) u(v) v(x) 則,復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則:,解,解,例13,四、基本求導(dǎo)法則與導(dǎo)數(shù)公式,基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式,(1) (C)0 (2) (xm)m xm1 (3) (sin x)cos x (4) (cos x)sin x (5) (tan x)sec2x (6) (cot x)csc2x (7) (sec x)sec xtan x (8) (csc x)csc xcot x (9) (a x)a x ln a (10) (e x)ex,函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則,復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則,反函數(shù)求導(dǎo)法,四、基本求導(dǎo)法則與導(dǎo)數(shù)公式,(1) (u v)=u v (2) (Cu)=Cu (C是常數(shù)) (3) (uv)=uv+u v,即 (sh x)ch x 類似地 有 (ch x)sh x,例14 求雙曲正弦sh x與雙曲余弦ch x的導(dǎo)數(shù).,解,例15 求雙曲正切th x的導(dǎo)數(shù).,解,例16 求反雙曲正弦arsh x的導(dǎo)數(shù).,例17 ysin nxsinn x (n為常數(shù)) 求y,n sinn1xsin(n+1)x,ncos nxsinn x+n sinn1xcos x,(sin x),nsinn1x,+sin nx,sinn