函數(shù)、極限與連續(xù)(3).ppt

1章 函數(shù)、極限與連續(xù),1.1 函數(shù)的概念與簡(jiǎn)單性質(zhì) 1.2 數(shù)列的極限 1.3 函數(shù)的極限 1.4 無窮小量和無窮大量 1.5 函數(shù)的連續(xù)性,1.1 函數(shù)的概念與簡(jiǎn)單性質(zhì),1.1.1 集合、常量與變量 1.1.2 函數(shù)的概念 1.1.3 函數(shù)的簡(jiǎn)單性質(zhì) 1.1.4 反函數(shù)和復(fù)合函數(shù) 1.1.5 初等函數(shù),1.1.1 集合、常量與變量(1),1. 集合 具有某種特定性質(zhì)事物的總體叫做集合. 組成這個(gè)集合的事物稱為該集合的元素. 一般用大寫字母A、B、C、表示集合，用小寫字母a、b、c、表示集合中的元素. 有限集；無限集.;空集，空集用 表示. 常見的數(shù)集有：全體自然數(shù)的集合記作N、全體整數(shù)的集合記作Z、全體有理數(shù)的集合記作Q，全體實(shí)數(shù)的集合記作R. ： ， 集合的運(yùn)算主要有： 集合的并： 集合的交： 集合運(yùn)算滿足交換律、結(jié)合律、分配律等一系列性質(zhì).,1.1.1 集合、常量與變量(2),2. 區(qū)間與鄰域 區(qū)間:開區(qū)間(a,b); 閉區(qū)間a,b; 半開區(qū)間a,b); 鄰域: 以點(diǎn)為中心的任何開區(qū)間稱為點(diǎn)的鄰域，記為 3. 常量與變量 在任何一個(gè)生產(chǎn)過程或科學(xué)實(shí)驗(yàn)過程中，常常會(huì)遇到各種不同的量，其中有些量在過程中不起變化，也就是保持一定數(shù)值的量，這種量叫做常量；還有一些量在過程中是變化著的，也就是可以取不同數(shù)值的量，這種量叫做變量,圖1.1,1.1.2 函數(shù)的概念,定義 設(shè)和是兩個(gè)變量，是一個(gè)給定的數(shù)集. 如果對(duì)于每一個(gè)，變量按照一定的法則(或關(guān)系)總有唯一確定的數(shù)值與它對(duì)應(yīng)，則稱是的函數(shù)，記為. 稱為自變量，稱為因變量(或函數(shù))，數(shù)集稱為這個(gè)函數(shù)的定義域，而因變量的變化范圍稱為函數(shù)的值域.函數(shù)中表示對(duì)應(yīng)關(guān)系的記號(hào)也可以用 、 等其他字母表示，此時(shí)函數(shù)記作 、 等. 分段函數(shù)，即用幾個(gè)式子分段來表示一個(gè)函數(shù).,1.1.3 函數(shù)的簡(jiǎn)單性質(zhì)（1）,1. 單調(diào)性 單調(diào)增加和單調(diào)減少的函數(shù)統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù). 從圖形上看，單調(diào)增加函數(shù)表現(xiàn)為曲線從左到右上升，單調(diào)減少函數(shù)表現(xiàn)為曲線從左到右下降. 圖1.5 圖1.6 圖1.7 圖1.8,1.1.3 函數(shù)的簡(jiǎn)單性質(zhì)（2）,2. 奇偶性 設(shè)函數(shù)f(x)的定義域D關(guān)于原點(diǎn)是對(duì)稱的，且對(duì)于任何xD，恒有f(-x)=f(x)成立，則稱函數(shù)f(x)為偶函數(shù)；如果恒有f(-x)=-f(x)成立，則稱函數(shù)f(x)為奇函數(shù). 圖1.9,1.1.3 函數(shù)的簡(jiǎn)單性質(zhì)（3）,3. 周期性 通常我們所說的周期指的是最小正周期. 4. 有界性 上界;下界,1.1.4 反函數(shù)和復(fù)合函數(shù),1. 反函數(shù),2. 復(fù)合函數(shù) 將一個(gè)函數(shù)代入另一個(gè)函數(shù)而得到的函數(shù)稱為上述兩個(gè)函數(shù)的復(fù)合函數(shù).,1.1.5 初等函數(shù)(1),1. 冪函數(shù) 2. 指數(shù)函數(shù) 3. 對(duì)數(shù)函數(shù):指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)是對(duì)數(shù)函數(shù)，記為 (a 是常數(shù)且a0, a1).,1.1.5 初等函數(shù)(2),4. 三角函數(shù) 三角函數(shù)在數(shù)學(xué)和其他學(xué)科中有著廣泛的應(yīng)用. 自然界中有很多現(xiàn)象都可用三角函數(shù)來描述，如簡(jiǎn)諧振動(dòng)、交流電等. 三角函數(shù)有正弦函數(shù) 、余弦函數(shù) 、正切函數(shù) 、余切函數(shù) 、正割函數(shù) 、余割函數(shù) ，它們都是周期函數(shù). 5. 反三角函數(shù) 反三角函數(shù)是三角函數(shù)的反函數(shù). 三角函數(shù) 的反函數(shù)依次為反正弦函數(shù) 、反余弦函數(shù) 、反正切函數(shù) 、反余切函數(shù) . 其圖形分別如圖1.20、圖1.21、圖1.22和圖1.23所示. 6. 初等函數(shù) 由上述五類基本初等函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過有限次的四則運(yùn)算和函數(shù)復(fù)合步驟構(gòu)成的函數(shù)，稱為初等函數(shù). 7. 建立函數(shù)關(guān)系,1.2 數(shù)列的極限,1.2.1 數(shù)列極限的定義 1.2.2 收斂數(shù)列極限的性質(zhì) 1.2.3 數(shù)列極限的存在準(zhǔn)則 1.2.4 數(shù)列極限的四則運(yùn)算法則,1.2.1 數(shù)列極限的定義,設(shè)有數(shù)列 ，如果對(duì)于任意給定的正數(shù) (無論它多么小)，總存在一個(gè)正整數(shù)N，使得當(dāng)時(shí)nN，不等式 恒成立，則稱常數(shù)a為數(shù)列 的極限，或稱數(shù)列 收斂于a，記為 或 幾何解釋,1.2.2 收斂數(shù)列極限的性質(zhì),定理1(收斂數(shù)列的有界性) 如果數(shù)列 收斂，則數(shù)列 一定有界. 定理2 收斂數(shù)列 的極限是唯一的. 推論(1) 如果數(shù)列 無界，則它一定發(fā)散. 推論(2) 如果在兩個(gè)不同的點(diǎn)附近都密集的分布著 的無窮多個(gè)點(diǎn)，則該數(shù)列一定發(fā)散.,1.2.3 數(shù)列極限的存在準(zhǔn)則,定理3(單調(diào)有界準(zhǔn)則) 單調(diào)有界數(shù)列必有極限. 定理4(夾逼準(zhǔn)則) 如果數(shù)列 、 和 滿足下列條件. (1) (2) 則數(shù)列 的極限存在，且,1.2.4 數(shù)列極限的四則運(yùn)算法則,定理5(數(shù)列極限的四則運(yùn)算法則) 若 ， ，則 (1) (2) (3),1.3 函數(shù)的極限,1.3.1 x時(shí)函數(shù)的極限 1.3.2 xx0時(shí)函數(shù)的極限 1.3.3 函數(shù)極限的運(yùn)算法則 定理2(函數(shù)極限的四則運(yùn)算法則) 定理3(復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則) 1.3.4 兩個(gè)重要極限 定理4(函數(shù)極限的夾逼準(zhǔn)則),1.3.1 x時(shí)函數(shù)的極限,定義1 設(shè)函數(shù)f(x)當(dāng) 時(shí)有定義，如果對(duì)于任意給定的正數(shù) (無論它有多么小)，總存在一個(gè)正數(shù)X，使得對(duì)滿足不等式 的一切x，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f(x)都滿足 ，則常數(shù)A稱為函數(shù)f(x)當(dāng) 時(shí)的極限，記作 或,1.3.2 xx0時(shí)函數(shù)的極限,定義2 設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn) 的某一去心鄰域內(nèi)有定義，如果對(duì)于任意給定的正數(shù) (無論它多么小)，總存在正數(shù) ，使得對(duì)于滿足不等式 的所有x，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f(x)都滿足不等式 ，則常數(shù)A稱為函數(shù)f(x)當(dāng) 時(shí)的極限，記作 或 .,1.4 無窮小量和無窮大量,1.4.1 無窮小量 定義1 定理1 定理2 定義2 定理3 定理4 1.4.2 無窮大量 定義3 定理5,1.5 函數(shù)的連續(xù)性,1.5.1 函數(shù)的連續(xù)性 1.5.2 函數(shù)的間斷點(diǎn) 1.5.3 初等函數(shù)的連續(xù)性及連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 1.5.4 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì),1.5.1 函數(shù)的連續(xù)性,定義1 設(shè)函數(shù) 在點(diǎn) 的某一鄰域內(nèi)有定義，如果 ，則稱函數(shù)在點(diǎn) 處連續(xù). 定義2 設(shè)函數(shù) 在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)有定義，如果 ，則稱函數(shù) 在點(diǎn) 處連續(xù). 定義3 若 ，則稱函數(shù) 在點(diǎn) 處左連續(xù)；若 ，則稱函數(shù) 在點(diǎn) 處右連續(xù).,1.5.2 函數(shù)的間斷點(diǎn),設(shè)函數(shù) 在點(diǎn) 的某一去心鄰域內(nèi)有定義，如果函數(shù)f(x)在點(diǎn) 不連續(xù)，則 稱是函數(shù)f(x)一個(gè)間斷點(diǎn). 無窮間斷點(diǎn) 可去間斷點(diǎn) 第一類間斷點(diǎn) 第二類間斷點(diǎn),1.5.3 初等函數(shù)的連續(xù)性及連續(xù)函數(shù)的性質(zhì),定理1 設(shè)函數(shù)f(x)和g(x)在 處連續(xù)，則 、 、 在 連續(xù). 定理2 設(shè)函數(shù) 在點(diǎn) 連續(xù)，且 ，而函數(shù) 在 處連續(xù)，則復(fù)合函數(shù) 在 處也連續(xù). 定理3 若函數(shù)y=f(x)在 區(qū)間上連續(xù)且單調(diào)增加(減少)，則其反函數(shù) 也在對(duì)應(yīng)的區(qū)間 上連續(xù)且單調(diào)增加(減少).,1.5.4 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì),定理4(最大值最小值定理)