函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性(1).ppt

第四節(jié) 函數(shù)的單調(diào)性 與曲線的凹凸性,一、單調(diào)性的判別法,二、單調(diào)區(qū)間求法,六、小結(jié),三、曲線凹凸的定義,五、曲線凹凸的判定,四、曲線的拐點(diǎn)及其求法,一、單調(diào)性的判別法,【定理】,【證】,應(yīng)用拉氏定理,得,【例1】,【解】,【注意】函數(shù)的單調(diào)性是一個(gè)區(qū)間上的性質(zhì)，要用導(dǎo)數(shù)在這一區(qū)間上的符號(hào)來(lái)判定，而不能用一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)符號(hào)來(lái)判別一個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性,【說(shuō)明】,定理中區(qū)間換成其它有限或無(wú)限區(qū)間，結(jié)論仍成立.,【例2】,【解】,連續(xù),如上圖,【問(wèn)題】函數(shù)在定義區(qū)間上不是單調(diào)的，但在各個(gè)部分區(qū)間上單調(diào)單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)怎么求呢？,二、單調(diào)區(qū)間求法,【定義】若函數(shù)在其定義域的某個(gè)區(qū)間內(nèi)是單 調(diào)的，則該區(qū)間稱為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.,導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)(駐點(diǎn))和不可導(dǎo)點(diǎn)， 可能是單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn),【方法】,【可能分界點(diǎn)】,單調(diào)區(qū)間的求法步驟：,求,求駐點(diǎn)、不可導(dǎo)點(diǎn)(可能的分界點(diǎn)),確定單調(diào)區(qū)間,列表考察 f (x)在各個(gè)區(qū)間內(nèi)的符號(hào),【例3】,【解】,單調(diào)區(qū)間為,【例4】,【解】,討論函數(shù)的單調(diào)性,在 x = 0 處有一水平切線,在(,0及0,）上都單調(diào)增加,如圖所示,【例5】,【證】,【應(yīng)用】, 利用單調(diào)性證明不等式,【結(jié)論】 若函數(shù)在某區(qū)間上除有限個(gè)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)為 零外, 均有 (或 ), 則不影響函數(shù)的單調(diào)性.,教材P130例1,【補(bǔ)例6】,證明,【證】,正負(fù)不易判定,即,證完,【補(bǔ)例7】,【應(yīng)用】, 利用單調(diào)性確定某些方程實(shí)根的個(gè)數(shù).,前已證過(guò),1. 用零點(diǎn)定理證存在性（正根）.,2. 用羅爾定理反證唯一性.,以下用,1. 用零點(diǎn)定理證存在性（正根）.,2. 用函數(shù)的單調(diào)性證唯一性.,【證明】,唯一性,則其圖象若與 軸相交則僅相交一次,存在性（略，用零點(diǎn)定理在 內(nèi)證）,故方程 只有一個(gè)正根.,【證完】,三、曲線凹凸的定義,【問(wèn)題】單調(diào)性不能反映曲線的彎曲方 向；如何研究曲線的彎曲方向?,圖形上任意弧段位于所張弦的上方,圖形上任意弧段位于所張弦的下方,【定義】,四、曲線凹凸的判定,【定理1】,【觀察】,【證】,只證(1)如圖,由拉氏中值定理可得,兩式相減得,即,亦即,凹的,證完,【例8】,【解】,【注意到】,【注】定理中區(qū)間為非閉區(qū)間時(shí)仍然成立.,這樣的點(diǎn)稱為拐點(diǎn).,五、曲線的拐點(diǎn)及其求法,1、【定義】,【注意】拐點(diǎn)處的切線必在拐點(diǎn)處穿過(guò)曲線（指拐點(diǎn)處可導(dǎo)時(shí)）.,2、拐點(diǎn)的求法,【分析】,連續(xù)曲線上凹凸的分界點(diǎn)( 內(nèi)點(diǎn))稱為曲線的拐點(diǎn).,所以要尋求拐點(diǎn),只要找出f (x)符號(hào)發(fā)生變化的分界點(diǎn)即可.如果f (x)在區(qū)間I內(nèi)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù),則二階導(dǎo)數(shù)值在由負(fù)變正或由正變負(fù)的過(guò)程中,必在分界點(diǎn)處的值為零.即,此外 二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)也可能是拐點(diǎn)（如下圖）,原點(diǎn)既是角點(diǎn)、又是拐點(diǎn)，不可導(dǎo),可能的拐點(diǎn),【總結(jié)】,【方法】,【求拐點(diǎn)的步驟】,設(shè)函數(shù)f (x)在x0的某去心鄰域內(nèi)二階可導(dǎo),且x0是可能的拐點(diǎn),則,【例9】,【解】,拐點(diǎn),拐點(diǎn),【例10】,【解】,但 時(shí),總有,凹的,故,此例說(shuō)明了 的點(diǎn) 也可能不是拐點(diǎn).,【結(jié)論】,【例11】,【解】,【注意】,【凹凸性應(yīng)用】 由曲線的凹凸定義證明不等式,證明,教材P1529(3),【證】,令,則,于是由凹弧定義,有,即,得證,【例12】,六、小結(jié),單調(diào)性的判別是拉格朗日中值定理的重要應(yīng)用.,定理中的區(qū)間換成其它有限或無(wú)限區(qū)間，結(jié)論仍然成立.,【應(yīng)用】利用函數(shù)的單調(diào)性，可以,. 確定某些方程實(shí)根的個(gè)