高中數(shù)學(xué)中軌跡方程的求解方法探討.docVIP

江西師范大學(xué)09屆學(xué)士學(xué)位畢業(yè)論文高中數(shù)學(xué)中軌跡方程的求解方法探討 萬依依探覓曲線的軌跡方程是解析幾何的一個基本問題, 這方面的試題能夠全面考查學(xué)生的數(shù)學(xué)能力和數(shù)學(xué)思想, 從而成為歷屆高考命題的熱點之一.解析幾何的實質(zhì)是用代數(shù)方法研究幾何問題，通過曲線的方程研究曲線的性質(zhì)，因此要掌握求曲線方程的思路和方法，它是解析幾何的核心之一。從近幾年的高考來看,圓錐曲線簡答題也基本上考查了圓錐曲線方程的求法,求曲線的軌跡方程的方法很多, 概括地講, 其解題方法主要有: 直接法、定義法、轉(zhuǎn)移法、點差法、向量法、幾何法、參數(shù)法等七種方法。1、 直接法直接法也叫直譯法,若曲線上的動點滿足的條件是一些幾何量的等量關(guān)系, 或這些幾何條件簡單明確且易于表達(dá), 則只需直接把種關(guān)系“ 翻譯” 成動點坐標(biāo): 的關(guān)系式, 經(jīng)化簡所得等式即為所求的軌跡方程.例1 一個動點到的距離等于它到 的距離的 倍, 求這個動點的軌跡方程.解: 設(shè)為所求軌跡上的任一點, 則有 化簡整理得: 即為所求軌跡方程。例2 與圓外切與點，且半徑為的圓的方程。解: 設(shè)所求圓心為，則, 因為圓的半徑為，所以所求圓的方程為2、 定義法若動點軌跡的條件符合某一基本軌跡的定義(如圓、橢圓、雙曲線、拋物線等), 可用定義探求解題的切人點.應(yīng)注意定義中的“ 和”與“差”與兩定點之間的距離的大小比較, 這也是判定軌跡的前提條件.例3 已知橢圓的中心在原點，以坐標(biāo)軸為對稱軸，且經(jīng)過兩個點求橢圓方程。解：設(shè)橢圓方程為， 橢圓經(jīng)過點，點適合橢圓方程，從而有解得所求橢圓方程為例4 若拋物線的焦點為, 準(zhǔn)線為 , 求拋物線的方程.解: 設(shè)為拋物線上任一點, 焦點為,則由拋物線的定義, 有 , 即 化簡可得 3、 轉(zhuǎn)移法轉(zhuǎn)移法也叫相關(guān)點法. 當(dāng)題設(shè)中給出了動點和已知曲線的關(guān)系時, 可根據(jù)這種關(guān)系將已知曲線上點的坐標(biāo)用動點的坐標(biāo)表示出來, 并代人已知曲線的方程, 消去參數(shù), 即可得動點的軌跡方程.例5 設(shè)定點，動點在圓上運動，以為兩邊作平行四邊形,求點的軌跡。解：設(shè)則線段的中點坐標(biāo)為，線段的中點坐標(biāo)為。因為平行四邊形對角線互相平分，故 則有，則。又點在圓上，故，但應(yīng)出去兩點例6 圓與圓的半徑都是,過動點分別作圓，圓的切線（分別為切點），使得.試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求動點P的軌跡方程。解：如圖所示，已直線為軸，線段為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則 設(shè)動點，由題意得同理可得 即所以動點的軌跡方程是即點的軌跡是以點為圓心，半徑為的圓。4、 點差法若軌跡問題中涉及到中點弦問題,就可考慮點差法.只要通過代點作差, 并以中點弦的斜率為橋梁, 即可獲得動點的軌跡方程.例7 已知橢圓方程為點的坐標(biāo)滿足過點的直線與橢圓交于兩點，為中點，求點的軌跡方程。解：設(shè)。當(dāng)時，在橢圓上， -整理得 又直線過點，得而當(dāng)時，的斜率不存在，此時直線平行于軸。中點必在軸上，即顯然滿足方程，綜上，點的軌跡方程為。例8 過點作拋物線的弦，若弦恰好被點平分，求弦所在直線的方程。解：設(shè)以點為中心的弦的短點坐標(biāo)為則有 ， ， ， ， .將帶入（-）得 ，弦所在直線的方程為即。五、向量法利用題設(shè)條件中的某些向量之間的關(guān)系,特別是垂直與共線的某些關(guān)系, 使之與動點 的坐標(biāo)發(fā)生聯(lián)系, 從而求出其關(guān)系式.例9 如圖所示，已知點的坐標(biāo)為，是拋物線上不同于原點的相異的兩個動點，且且(),試求點的軌跡方程。 解：（)，三點共線，又即是在上的射影。在以為直徑的圓上，圓心為，的軌跡方程為，即例10 如圖所示，軸的定點，是坐標(biāo)平面上的動點，點在線段上，點在線段上，并且（為原點），求點的軌跡方程。 解： 是的中點，且即是的垂直平分線， , 點的軌跡是以為焦點，長軸長為4的橢圓，又且,點的軌跡方程為 6、 幾何法通過充分挖掘動點的軌跡所包含的“平幾”關(guān)系, 以這些關(guān)系為橋梁, 建立動點的軌跡方程。例11 如圖所示，設(shè)動點到點和的距離分別為和，且存在常數(shù)使得，證明動點的軌跡為雙曲線，并求的方程。 解：在中，,則 4=即（常數(shù)），故動點的軌跡是以為焦點，實軸長的雙曲線，方程為例12 設(shè)橢圓方程為拋物線方程為如圖所示，過點作軸的平行線，與拋物線在第一象限的交點為,已知拋物線在點的切線經(jīng)過橢圓的右焦點，求滿足條件的橢圓方程和拋物線方程。 解：由得當(dāng)時得 點的坐標(biāo)為過點的切線方程為即令得點的坐標(biāo)為由橢圓方程得點的坐標(biāo)為，即即橢圓和拋物線的方程分別為.七、參數(shù)法當(dāng)動點 的坐標(biāo)之間的直接關(guān)系不易建立時，可適當(dāng)?shù)剡x取中間變量，并用 表示動點的坐標(biāo)，從而動點軌跡的參數(shù)方程消去參數(shù)，便可得到動點的軌跡的普通方程，這種方法稱為參數(shù)法；但要注意方程的等價性，即由的范圍確定出的范圍例13 已知橢圓直線：是上一點，射線交橢圓于點，又點在上且滿足當(dāng)點在上移動時，求點的軌跡方程，并說明軌跡是說明曲線。 解：由題意可知點不在原點，設(shè)的坐標(biāo)分別為其中 不同時為。設(shè)與軸正方向的夾角為，則有 點在直線上，點在橢圓上，得 兩邊同時乘以得 整理得點的軌跡方程為（其中不同時為0）。 點的軌跡是以為中心，長短半軸分別為和且長軸與軸平行， 去掉坐標(biāo)原點的橢圓。作為高考壓軸題的圓錐曲線, 其解答過程計算量較大, 對運算能力要求也較高, 是同學(xué)們較怕、也容易出現(xiàn)錯誤的地方, 因此, 尋求簡捷、合理的運算途徑尤為重要。上述七種探求軌跡方程的方法并不是孤立的,解決同一個問題往往需要幾種方法并用或同一個問題有幾種不同的解法。方法的選取應(yīng)視題目的結(jié)構(gòu)特征, 具體問題具體對待, 只有這樣才能做到“ 心有靈犀一點通” , 找到最優(yōu)解法, 提高解題速度。參考文獻(xiàn)：1李盤喜.高中數(shù)學(xué)解題題典M.東北:東北師范大學(xué)出版社，2012.2呂佐良.探求軌跡方程十法J.試題與研究，2008.3蔣明權(quán).探覓曲線的軌跡方程的十一種求法J.數(shù)理化學(xué)習(xí)（高中版），2008.4黃榮清.淺談高中數(shù)學(xué)中軌跡方程的求解方法J.基礎(chǔ)教育論壇，2012.5游建平.求軌跡方程的常用技巧J.中學(xué)生時代，2007.6王迎春.突破高考中圓錐曲線壓軸題錦囊妙計J.高中數(shù)理化，2010.7劉和玲.圓錐曲線高考題型分析J.中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2012.8徐玉明.淺述解析幾何中軌跡方程的求解J.成才之路，2007.9祝仰河.利用相關(guān)點法例求圓錐曲線特殊點的軌跡方程J.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究, 2011.10Seethe M P L Farina A. A Modified M/N Logic for Track Initiation of Low Targets Using Amplitude informationJ.RadarSymposium,2006.TRS International.2006 意見：1. 每個自然段的開頭要退兩個漢字，排版應(yīng)按論文的格式要求進(jìn)行排版；2. 論文要有一定的嚴(yán)謹(jǐn)性。比如某某