浙江專用高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)第三章函數(shù)的概念與基本初等函數(shù)Ⅰ第3節(jié)函數(shù)的單調(diào)性與最值習(xí)題含解析.docx

第3節(jié)函數(shù)的單調(diào)性與最值考試要求1.理解函數(shù)的單調(diào)性、最大(小)值及其幾何意義；2.會運用基本初等函數(shù)的圖象分析函數(shù)的性質(zhì).知 識 梳 理1.函數(shù)的單調(diào)性(1)單調(diào)函數(shù)的定義增函數(shù)減函數(shù)定義一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為I，如果對于定義域I內(nèi)某個區(qū)間D上的任意兩個自變量的值x1，x2當x1x2時，都有f(x1)f(x2)，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)當x1f(x2)，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)圖象描述自左向右看圖象是上升的自左向右看圖象是下降的(2)單調(diào)區(qū)間的定義如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說函數(shù)yf(x)在這一區(qū)間具有(嚴格的)單調(diào)性，區(qū)間D叫做函數(shù)yf(x)的單調(diào)區(qū)間.2.函數(shù)的最值前提設(shè)函數(shù)yf(x)的定義域為I，如果存在實數(shù)M滿足條件(1)對于任意xI，都有f(x)M；(2)存在x0I，使得f(x0)M(3)對于任意xI，都有f(x)M；(4)存在x0I，使得f(x0)M結(jié)論M為最大值M為最小值常用結(jié)論與易錯提醒1.對勾函數(shù)yx(a0)的增區(qū)間為(，和，)；減區(qū)間為，0)和(0，且對勾函數(shù)為奇函數(shù).2.設(shè)任意x1，x2D(x1x2)，則0(或(x1x2)f(x1)f(x2)0)f(x)在D上單調(diào)遞增；0(或(x1x2)f(x1)f(x2)0)f(x)在D上單調(diào)遞減.3.函數(shù)在兩個不同的區(qū)間上單調(diào)性相同，一般要分開寫，用“，”或“和”連接，不要用“”.基 礎(chǔ) 自 測1.思考辨析(在括號內(nèi)打“”或“”)(1)對于函數(shù)f(x)，xD，若對任意x1，x2D，且x1x2有(x1x2)f(x1)f(x2)0，則函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù).()(2)函數(shù)y的單調(diào)遞減區(qū)間是(，0)(0，).()(3)對于函數(shù)yf(x)，若f(1)f(3)，則f(x)為增函數(shù).()(4)函數(shù)yf(x)在1，)上是增函數(shù)，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是1，).()解析(2)此單調(diào)區(qū)間不能用并集符號連接，取x11，x21，則f(1)f(1)，故應(yīng)說成單調(diào)遞減區(qū)間為(，0)和(0，).(3)應(yīng)對任意的x1x2，f(x1)f(x2)成立才可以.(4)若f(x)x，f(x)在1，)上為增函數(shù)，但yf(x)的單調(diào)遞增區(qū)間可以是R.答案(1)(2)(3)(4)2.下列函數(shù)中，在區(qū)間(0，)內(nèi)單調(diào)遞減的是()A.yx B.yx2xC.yln xx D.yexx解析對于A，y1在(0，)內(nèi)是減函數(shù)，y2x在(0，)內(nèi)是增函數(shù)，則yx在(0，)內(nèi)是減函數(shù)；B，C選項中的函數(shù)在(0，)上均不單調(diào)；選項D中，yex1，而當x(0，)時，y0，所以函數(shù)yexx在(0，)上是增函數(shù).答案A3.(2018全國卷)設(shè)函數(shù)f(x)則滿足f(x1)f(2x)的x的取值范圍是()A.(，1 B.(0，)C.(1，0) D.(，0)解析當x0時，函數(shù)f(x)2x是減函數(shù)，則f(x)f(0)1.作出f(x)的大致圖象如圖所示，結(jié)合圖象可知，要使f(x1)f(2x)，則需或所以x0，易知f(x)在2，)上是減函數(shù)，f(x)maxf(2)12.答案26.(2019綠色評價聯(lián)盟適考)已知函數(shù)f(x)則f(f(3)，f(x)的最小值為.解析f(3)(3)22(3)3，f(f(3)f(3)2.由圖象得f(x)minf(1)1.答案21考點一確定函數(shù)的單調(diào)性(區(qū)間)【例1】 (1)(2019嘉興檢測)已知函數(shù)f(x)log4(4|x|)，則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是；f(0)4f(2).解析由f(x)log4(4|x|)得函數(shù)f(x)的定義域為(4，4)，且函數(shù)y4|x|的單調(diào)遞增區(qū)間為(4，0，則函數(shù)f(x)log4(4|x|)的單調(diào)遞增區(qū)間為(4，0.f(0)4f(2)143.答案(4，03(2)(一題多解)試討論函數(shù)f(x)(a0)在(1，1)上的單調(diào)性.解法一設(shè)1x1x21，因為f(x)aa，所以f(x1)f(x2)aa，由于1x1x20，x110，x210時，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，函數(shù)f(x)在(1，1)上遞減；當a0時，f(x1)f(x2)0，即f(x1)0時，f(x)0，函數(shù)f(x)在(1，1)上遞減；當a0，函數(shù)f(x)在(1，1)上遞增.規(guī)律方法(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，應(yīng)先求定義域，在定義域內(nèi)求單調(diào)區(qū)間，如例1(1).(2)函數(shù)單調(diào)性的判斷方法有：定義法；圖象法；利用已知函數(shù)的單調(diào)性；導(dǎo)數(shù)法.(3)函數(shù)yf(g(x)的單調(diào)性應(yīng)根據(jù)外層函數(shù)yf(t)和內(nèi)層函數(shù)tg(x)的單調(diào)性判斷，遵循“同增異減”的原則.【訓(xùn)練1】 (一題多解)判斷函數(shù)f(x)x(a0)在(0，)上的單調(diào)性，并給出證明.解f(x)在(0，上是減函數(shù)，在，)上是增函數(shù).證明如下：法一設(shè)x1，x2是任意兩個正數(shù)，且x1x2，則f(x1)f(x2)(x1x2a).當0x1x2時，0x1x2a，又x1x20，即f(x1)f(x2)，所以函數(shù)f(x)在(0，上是減函數(shù).當x1a，又x1x20，所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)0)在(0，上是減函數(shù)，在，)上為增函數(shù).法二f(x)1，令f(x)0，則10，解得x或x(舍).令f(x)0，則10，解得x0，0x1時，f(x)logx是減函數(shù)，得f(x)0恒成立，試求實數(shù)a的取值范圍.解當a時，f(x)x2，設(shè)1x1x2，則f(x2)f(x1)(x2x1)，1x1x2，x2x10，2x1x22，0，10，f(x2)f(x1)0，f(x1)f(x2).f(x)在區(qū)間1，)上為增函數(shù)，f(x)在區(qū)間1，)上的最小值為f(1).當x1，)時，0恒成立，則x22xa0對x1，)恒成立.即a(x22x)在x1，)上恒成立.令g(x)(x22x)(x1)21，x1，)，g(x)在1，)上是減函數(shù)，g(x)maxg(1)3.又a1，當30在x1，)上恒成立.故實數(shù)a的取值范圍是(3，1.規(guī)律方法(1)求函數(shù)最值的常用方法：單調(diào)性法；基本不等式法；配方法；圖象法；導(dǎo)數(shù)法.(2)利用單調(diào)性求最值，應(yīng)先確定函數(shù)的單調(diào)性，然后根據(jù)性質(zhì)求解.若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a，b上是增函數(shù)，則f(x)在a，b上的最大值為f(b)，最小值為f(a).若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a，b上是減函數(shù)，則f(x)在a，b上的最大值為f(a)，最小值為f(b).【訓(xùn)練2】 (2017浙江卷)若函數(shù)f(x)x2axb在區(qū)間0，1上的最大值是M，最小值是m，則Mm()A.與a有關(guān)，且與b有關(guān) B.與a有關(guān)，但與b無關(guān)C.與a無關(guān)，但與b無關(guān) D.與a無關(guān)，但與b有關(guān)解析因為最值在f(0)b，f(1)1ab，fb中取，所以最值之差一定與b無關(guān)，但與a有關(guān)，故選B.答案B考點三函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用變式遷移【例3】 (1)如果函數(shù)f(x)滿足對任意x1x2，都有0成立，那么實數(shù)a的取值范圍是.(2)定義在R上的奇函數(shù)yf(x)在(0，)上遞增，且f0，則不等式f(logx)0的解集為.解析(1)對任意x1x2，都有0，所以yf(x)在(，)上是增函數(shù).所以解得a0可化為f(logx)f或f(logx)f，logx或logx0，解得0x或1x3.所以原不等式的解集為.答案(1)(2)【變式遷移1】 在例題第(1)題中，條件不變，若設(shè)mf()，nf(a)，tf(2)，試比較m，n，t的大小.解由例題知f(x)在(，)上是增函數(shù)，且a2，又a2，ff(a)f(2)，即mn0的解集是.解析因為f(x)在R上為偶函數(shù)，且f0，所以f(logx)0等價于f(|logx|)f，又f(x)在0，)上為減函數(shù)，所以|logx|，即logx，解得x3.答案規(guī)律方法(1)利用單調(diào)性求參數(shù)的取值(范圍)的思路是：根據(jù)其單調(diào)性直接構(gòu)建參數(shù)滿足的方程(組)(不等式(組)或先得到其圖象的升降，再結(jié)合圖象求解.(2)在求解與抽象函數(shù)有關(guān)的不等式時，往往是利用函數(shù)的單調(diào)性將“f”符號脫掉，使其轉(zhuǎn)化為具體的不等式求解，此時應(yīng)特別注意函數(shù)的定義域.【訓(xùn)練3】 已知函數(shù)f(x)在(，)上單調(diào)遞減，且為奇函數(shù).若f(1)1，則滿足1f(x2)1的x的取值范圍是()A.2，2 B.1，1 C.0，4 D.1，3解析因為f(x)為奇函數(shù)，所以f(1)f(1)1，于是1f(x2)1等價于f(1)f(x2)f(1)，又f(x)在(，)上單調(diào)遞減，1x21，1x3.答案D基礎(chǔ)鞏固題組一、選擇題1.若函數(shù)f(x)|2xa|的單調(diào)遞增區(qū)間是3，)，則a的值為()A.2 B.2 C.6 D.6解析由圖象易知函數(shù)f(x)|2xa|的單調(diào)增區(qū)間是，)，令3，a6.答案C2.(2016北京卷)下列函數(shù)中，在區(qū)間(1，1)上為減函數(shù)的是()A.y B.ycos xC.yln(x1) D.y2x解析y與yln(x1)在(1，1)上為增函數(shù)，且ycos x在(1，1)上不具備單調(diào)性.A，B，C不滿足題意.只有y2x在(1，1)上是減函數(shù).答案D3.已知函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于x1對稱，且在(1，)上單調(diào)遞增，設(shè)af，bf(2)，cf(3)，則a，b，c的大小關(guān)系為()A.cba B.bacC.bca D.abc解析函數(shù)圖象關(guān)于x1對稱，aff，又yf(x)在(1，)上單調(diào)遞增，f(2)ff(3)，即bac.答案B4.定義新運算“”：當ab時，aba；當ab時，abb2，則函數(shù)f(x)(1x)x(2x)在區(qū)間2，2上的最大值等于()A.1 B.1 C.6 D.12解析由已知得當2x1時，f(x)x2，當1x2時，f(x)x32.f(x)x2，f(x)x32在定義域內(nèi)都為增函數(shù)，f(x)的最大值為f(2)2326.答案C5.f(x)是定義在(0，)上的單調(diào)增函數(shù)，滿足f(xy)f(x)f(y)，f(3)1，則當f(x)f(x8)2時，x的取值范圍是()A.(8，) B.(8，9C.8，9 D.(0，8)解析211f(3)f(3)f(9)，由f(x)f(x8)2，可得fx(x8)f(9)，因為f(x)是定義在(0，)上的增函數(shù)，所以有解得81時，f(x)2x2x在(1，)上遞增，令x1時，2x2x224f(1)，故f(x)的單調(diào)增區(qū)間為0，1(1，)0，).答案20，)三、解答題11.已知函數(shù)f(x)(a0，x0).(1)求證：f(x)在(0，)上是增函數(shù)；(2)若f(x)在上的值域是，求a的值.(1)證明設(shè)x2x10，則x2x10，x1x20，f(x2)f(x1)0，f(x2)f(x1)，f(x)在(0，)上是增函數(shù).(2)解f(x)在上的值域是，又由(1)得f(x)在上是單調(diào)增函數(shù)，f，f(2)2，易知a.12.已知函數(shù)f(x)2x的定義域為(0，1(a為實數(shù)).(1)當a1時，求函數(shù)yf(x)的值域；(2)求函數(shù)yf(x)在區(qū)間(0，1上的最大值及最小值，并求出當函數(shù)f(x)取得最值時x的值.解(1)當a1時，f(x)2x，任取1x1x20，則f(x1)f(x2)2(x1x2)(x1x2).1x1x20，x1x20，x1x20.f(x1)f(x2)，f(x)在(0，1上單調(diào)遞增，無最小值，當x1時取得最大值1，所以f(x)的值域為(，1.(2)當a0時，yf(x)在(0，1上單調(diào)遞增，無最小值，當x1時取得最大值2a；當a0時，f(x)2x，當1，即a(，2時，yf(x)在(0，1上單調(diào)遞減，無最大值，當x1時取得最小值2a；當1，即a(2，0)時，yf(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，無最大值，當x時取得最小值2.能力提升題組13.若函數(shù)f(x)ax(a0，a1)在1，2上的最大值為4，最小值為m，且函數(shù)g(x)(14m)在0，)上是增函數(shù)，則a()A.4 B.2 C. D.解析當a1時，則yax為增函數(shù)，有a24，a1m，此時a2，m，此時g(x)在0，)上為減函數(shù)，不合題意.當0a1，g(x)x24x3(x2)211，若f(a)g(b)，則g(b)(1，1，即b24b31，即b24b20，解得2b0，對任意的x0，恒有|f(x)a|f(x0)a|，則f(x)可以為()A.f(x)lg x B.f(x)x22xC.f(x)2x D.f(x)sin x解析由aR，不妨設(shè)a0，g(x)|f(x)|，則原問題可看成存在x00，g(x)maxg(x0)|f(x0)|.對于A選項，g(x)|lg x|，結(jié)合其函數(shù)圖象知，g(x)存在最小值0，不存在最大值，排除A；對于B選項，g(x)|x22x|x22x|，g(x)存在最小值0，不存在最大值，排除B；對于C選項，g(x)|2x|2x，顯然g(x)不存在最小值，也不存在最大值，排除C；對于D選項，g(x)|sin x|1，g(x)存在最大值，故選D.答案D16.(一題多解)設(shè)函數(shù)f(x)，記M(a)為f(x)的最大值，則M(a)的最小值為.解析法一由題知當a0時，f(x)無最大值，故a0.由定義域知0x11，令(x1)cos2，代入f(x)，則有f(x)cos sin sin()，其中tan ，且a0，所以M(a)2(當且僅當a1時取到等號).法二由題知當a0時，f(x)無最大值，故a0，令導(dǎo)函數(shù)f(x)0，得唯一極大值點x1，所以M(a)f2(當且僅當a1時取到等號).答案217.已知函數(shù)f(x)lg(x2)，其中a是大于0的常數(shù).(1)求函數(shù)f(x)的定義域；(2)當a(1，4)時，求函數(shù)f(x)在2，)上的最小值；(3)若對任意x2，)恒有f(x)0，試確定a的取值范圍.解(1)由x20，得0，當a1時，x22xa0恒成立，定義域為(0，)，當a1時，定義域為x|x0且x1，當0a1時，定義域為x|0x1或x1.(2)設(shè)g(x)x2，當a(1，4)，x2，)時，g(x)10.因此g(x)在2，)上是增函數(shù)，f(x)在2，)上是