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第3節(jié)函數(shù)的單調(diào)性與最值考試要求1.理解函數(shù)的單調(diào)性、最大(小)值及其幾何意義;2.會運用基本初等函數(shù)的圖象分析函數(shù)的性質(zhì).知 識 梳 理1.函數(shù)的單調(diào)性(1)單調(diào)函數(shù)的定義增函數(shù)減函數(shù)定義一般地,設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為I,如果對于定義域I內(nèi)某個區(qū)間D上的任意兩個自變量的值x1,x2當x1x2時,都有f(x1)f(x2),那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)當x1f(x2),那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)圖象描述自左向右看圖象是上升的自左向右看圖象是下降的(2)單調(diào)區(qū)間的定義如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù),那么就說函數(shù)yf(x)在這一區(qū)間具有(嚴格的)單調(diào)性,區(qū)間D叫做函數(shù)yf(x)的單調(diào)區(qū)間.2.函數(shù)的最值前提設(shè)函數(shù)yf(x)的定義域為I,如果存在實數(shù)M滿足條件(1)對于任意xI,都有f(x)M;(2)存在x0I,使得f(x0)M(3)對于任意xI,都有f(x)M;(4)存在x0I,使得f(x0)M結(jié)論M為最大值M為最小值常用結(jié)論與易錯提醒1.對勾函數(shù)yx(a0)的增區(qū)間為(,和,);減區(qū)間為,0)和(0,且對勾函數(shù)為奇函數(shù).2.設(shè)任意x1,x2D(x1x2),則0(或(x1x2)f(x1)f(x2)0)f(x)在D上單調(diào)遞增;0(或(x1x2)f(x1)f(x2)0)f(x)在D上單調(diào)遞減.3.函數(shù)在兩個不同的區(qū)間上單調(diào)性相同,一般要分開寫,用“,”或“和”連接,不要用“”.基 礎(chǔ) 自 測1.思考辨析(在括號內(nèi)打“”或“”)(1)對于函數(shù)f(x),xD,若對任意x1,x2D,且x1x2有(x1x2)f(x1)f(x2)0,則函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù).()(2)函數(shù)y的單調(diào)遞減區(qū)間是(,0)(0,).()(3)對于函數(shù)yf(x),若f(1)f(3),則f(x)為增函數(shù).()(4)函數(shù)yf(x)在1,)上是增函數(shù),則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是1,).()解析(2)此單調(diào)區(qū)間不能用并集符號連接,取x11,x21,則f(1)f(1),故應(yīng)說成單調(diào)遞減區(qū)間為(,0)和(0,).(3)應(yīng)對任意的x1x2,f(x1)f(x2)成立才可以.(4)若f(x)x,f(x)在1,)上為增函數(shù),但yf(x)的單調(diào)遞增區(qū)間可以是R.答案(1)(2)(3)(4)2.下列函數(shù)中,在區(qū)間(0,)內(nèi)單調(diào)遞減的是()A.yx B.yx2xC.yln xx D.yexx解析對于A,y1在(0,)內(nèi)是減函數(shù),y2x在(0,)內(nèi)是增函數(shù),則yx在(0,)內(nèi)是減函數(shù);B,C選項中的函數(shù)在(0,)上均不單調(diào);選項D中,yex1,而當x(0,)時,y0,所以函數(shù)yexx在(0,)上是增函數(shù).答案A3.(2018全國卷)設(shè)函數(shù)f(x)則滿足f(x1)f(2x)的x的取值范圍是()A.(,1 B.(0,)C.(1,0) D.(,0)解析當x0時,函數(shù)f(x)2x是減函數(shù),則f(x)f(0)1.作出f(x)的大致圖象如圖所示,結(jié)合圖象可知,要使f(x1)f(2x),則需或所以x0,易知f(x)在2,)上是減函數(shù),f(x)maxf(2)12.答案26.(2019綠色評價聯(lián)盟適考)已知函數(shù)f(x)則f(f(3),f(x)的最小值為.解析f(3)(3)22(3)3,f(f(3)f(3)2.由圖象得f(x)minf(1)1.答案21考點一確定函數(shù)的單調(diào)性(區(qū)間)【例1】 (1)(2019嘉興檢測)已知函數(shù)f(x)log4(4|x|),則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是;f(0)4f(2).解析由f(x)log4(4|x|)得函數(shù)f(x)的定義域為(4,4),且函數(shù)y4|x|的單調(diào)遞增區(qū)間為(4,0,則函數(shù)f(x)log4(4|x|)的單調(diào)遞增區(qū)間為(4,0.f(0)4f(2)143.答案(4,03(2)(一題多解)試討論函數(shù)f(x)(a0)在(1,1)上的單調(diào)性.解法一設(shè)1x1x21,因為f(x)aa,所以f(x1)f(x2)aa,由于1x1x20,x110,x210時,f(x1)f(x2)0,即f(x1)f(x2),函數(shù)f(x)在(1,1)上遞減;當a0時,f(x1)f(x2)0,即f(x1)0時,f(x)0,函數(shù)f(x)在(1,1)上遞減;當a0,函數(shù)f(x)在(1,1)上遞增.規(guī)律方法(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,應(yīng)先求定義域,在定義域內(nèi)求單調(diào)區(qū)間,如例1(1).(2)函數(shù)單調(diào)性的判斷方法有:定義法;圖象法;利用已知函數(shù)的單調(diào)性;導(dǎo)數(shù)法.(3)函數(shù)yf(g(x)的單調(diào)性應(yīng)根據(jù)外層函數(shù)yf(t)和內(nèi)層函數(shù)tg(x)的單調(diào)性判斷,遵循“同增異減”的原則.【訓(xùn)練1】 (一題多解)判斷函數(shù)f(x)x(a0)在(0,)上的單調(diào)性,并給出證明.解f(x)在(0,上是減函數(shù),在,)上是增函數(shù).證明如下:法一設(shè)x1,x2是任意兩個正數(shù),且x1x2,則f(x1)f(x2)(x1x2a).當0x1x2時,0x1x2a,又x1x20,即f(x1)f(x2),所以函數(shù)f(x)在(0,上是減函數(shù).當x1a,又x1x20,所以f(x1)f(x2)0,即f(x1)0)在(0,上是減函數(shù),在,)上為增函數(shù).法二f(x)1,令f(x)0,則10,解得x或x(舍).令f(x)0,則10,解得x0,0x1時,f(x)logx是減函數(shù),得f(x)0恒成立,試求實數(shù)a的取值范圍.解當a時,f(x)x2,設(shè)1x1x2,則f(x2)f(x1)(x2x1),1x1x2,x2x10,2x1x22,0,10,f(x2)f(x1)0,f(x1)f(x2).f(x)在區(qū)間1,)上為增函數(shù),f(x)在區(qū)間1,)上的最小值為f(1).當x1,)時,0恒成立,則x22xa0對x1,)恒成立.即a(x22x)在x1,)上恒成立.令g(x)(x22x)(x1)21,x1,),g(x)在1,)上是減函數(shù),g(x)maxg(1)3.又a1,當30在x1,)上恒成立.故實數(shù)a的取值范圍是(3,1.規(guī)律方法(1)求函數(shù)最值的常用方法:單調(diào)性法;基本不等式法;配方法;圖象法;導(dǎo)數(shù)法.(2)利用單調(diào)性求最值,應(yīng)先確定函數(shù)的單調(diào)性,然后根據(jù)性質(zhì)求解.若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上是增函數(shù),則f(x)在a,b上的最大值為f(b),最小值為f(a).若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上是減函數(shù),則f(x)在a,b上的最大值為f(a),最小值為f(b).【訓(xùn)練2】 (2017浙江卷)若函數(shù)f(x)x2axb在區(qū)間0,1上的最大值是M,最小值是m,則Mm()A.與a有關(guān),且與b有關(guān) B.與a有關(guān),但與b無關(guān)C.與a無關(guān),但與b無關(guān) D.與a無關(guān),但與b有關(guān)解析因為最值在f(0)b,f(1)1ab,fb中取,所以最值之差一定與b無關(guān),但與a有關(guān),故選B.答案B考點三函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用變式遷移【例3】 (1)如果函數(shù)f(x)滿足對任意x1x2,都有0成立,那么實數(shù)a的取值范圍是.(2)定義在R上的奇函數(shù)yf(x)在(0,)上遞增,且f0,則不等式f(logx)0的解集為.解析(1)對任意x1x2,都有0,所以yf(x)在(,)上是增函數(shù).所以解得a0可化為f(logx)f或f(logx)f,logx或logx0,解得0x或1x3.所以原不等式的解集為.答案(1)(2)【變式遷移1】 在例題第(1)題中,條件不變,若設(shè)mf(),nf(a),tf(2),試比較m,n,t的大小.解由例題知f(x)在(,)上是增函數(shù),且a2,又a2,ff(a)f(2),即mn0的解集是.解析因為f(x)在R上為偶函數(shù),且f0,所以f(logx)0等價于f(|logx|)f,又f(x)在0,)上為減函數(shù),所以|logx|,即logx,解得x3.答案規(guī)律方法(1)利用單調(diào)性求參數(shù)的取值(范圍)的思路是:根據(jù)其單調(diào)性直接構(gòu)建參數(shù)滿足的方程(組)(不等式(組)或先得到其圖象的升降,再結(jié)合圖象求解.(2)在求解與抽象函數(shù)有關(guān)的不等式時,往往是利用函數(shù)的單調(diào)性將“f”符號脫掉,使其轉(zhuǎn)化為具體的不等式求解,此時應(yīng)特別注意函數(shù)的定義域.【訓(xùn)練3】 已知函數(shù)f(x)在(,)上單調(diào)遞減,且為奇函數(shù).若f(1)1,則滿足1f(x2)1的x的取值范圍是()A.2,2 B.1,1 C.0,4 D.1,3解析因為f(x)為奇函數(shù),所以f(1)f(1)1,于是1f(x2)1等價于f(1)f(x2)f(1),又f(x)在(,)上單調(diào)遞減,1x21,1x3.答案D基礎(chǔ)鞏固題組一、選擇題1.若函數(shù)f(x)|2xa|的單調(diào)遞增區(qū)間是3,),則a的值為()A.2 B.2 C.6 D.6解析由圖象易知函數(shù)f(x)|2xa|的單調(diào)增區(qū)間是,),令3,a6.答案C2.(2016北京卷)下列函數(shù)中,在區(qū)間(1,1)上為減函數(shù)的是()A.y B.ycos xC.yln(x1) D.y2x解析y與yln(x1)在(1,1)上為增函數(shù),且ycos x在(1,1)上不具備單調(diào)性.A,B,C不滿足題意.只有y2x在(1,1)上是減函數(shù).答案D3.已知函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于x1對稱,且在(1,)上單調(diào)遞增,設(shè)af,bf(2),cf(3),則a,b,c的大小關(guān)系為()A.cba B.bacC.bca D.abc解析函數(shù)圖象關(guān)于x1對稱,aff,又yf(x)在(1,)上單調(diào)遞增,f(2)ff(3),即bac.答案B4.定義新運算“”:當ab時,aba;當ab時,abb2,則函數(shù)f(x)(1x)x(2x)在區(qū)間2,2上的最大值等于()A.1 B.1 C.6 D.12解析由已知得當2x1時,f(x)x2,當1x2時,f(x)x32.f(x)x2,f(x)x32在定義域內(nèi)都為增函數(shù),f(x)的最大值為f(2)2326.答案C5.f(x)是定義在(0,)上的單調(diào)增函數(shù),滿足f(xy)f(x)f(y),f(3)1,則當f(x)f(x8)2時,x的取值范圍是()A.(8,) B.(8,9C.8,9 D.(0,8)解析211f(3)f(3)f(9),由f(x)f(x8)2,可得fx(x8)f(9),因為f(x)是定義在(0,)上的增函數(shù),所以有解得81時,f(x)2x2x在(1,)上遞增,令x1時,2x2x224f(1),故f(x)的單調(diào)增區(qū)間為0,1(1,)0,).答案20,)三、解答題11.已知函數(shù)f(x)(a0,x0).(1)求證:f(x)在(0,)上是增函數(shù);(2)若f(x)在上的值域是,求a的值.(1)證明設(shè)x2x10,則x2x10,x1x20,f(x2)f(x1)0,f(x2)f(x1),f(x)在(0,)上是增函數(shù).(2)解f(x)在上的值域是,又由(1)得f(x)在上是單調(diào)增函數(shù),f,f(2)2,易知a.12.已知函數(shù)f(x)2x的定義域為(0,1(a為實數(shù)).(1)當a1時,求函數(shù)yf(x)的值域;(2)求函數(shù)yf(x)在區(qū)間(0,1上的最大值及最小值,并求出當函數(shù)f(x)取得最值時x的值.解(1)當a1時,f(x)2x,任取1x1x20,則f(x1)f(x2)2(x1x2)(x1x2).1x1x20,x1x20,x1x20.f(x1)f(x2),f(x)在(0,1上單調(diào)遞增,無最小值,當x1時取得最大值1,所以f(x)的值域為(,1.(2)當a0時,yf(x)在(0,1上單調(diào)遞增,無最小值,當x1時取得最大值2a;當a0時,f(x)2x,當1,即a(,2時,yf(x)在(0,1上單調(diào)遞減,無最大值,當x1時取得最小值2a;當1,即a(2,0)時,yf(x)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,無最大值,當x時取得最小值2.能力提升題組13.若函數(shù)f(x)ax(a0,a1)在1,2上的最大值為4,最小值為m,且函數(shù)g(x)(14m)在0,)上是增函數(shù),則a()A.4 B.2 C. D.解析當a1時,則yax為增函數(shù),有a24,a1m,此時a2,m,此時g(x)在0,)上為減函數(shù),不合題意.當0a1,g(x)x24x3(x2)211,若f(a)g(b),則g(b)(1,1,即b24b31,即b24b20,解得2b0,對任意的x0,恒有|f(x)a|f(x0)a|,則f(x)可以為()A.f(x)lg x B.f(x)x22xC.f(x)2x D.f(x)sin x解析由aR,不妨設(shè)a0,g(x)|f(x)|,則原問題可看成存在x00,g(x)maxg(x0)|f(x0)|.對于A選項,g(x)|lg x|,結(jié)合其函數(shù)圖象知,g(x)存在最小值0,不存在最大值,排除A;對于B選項,g(x)|x22x|x22x|,g(x)存在最小值0,不存在最大值,排除B;對于C選項,g(x)|2x|2x,顯然g(x)不存在最小值,也不存在最大值,排除C;對于D選項,g(x)|sin x|1,g(x)存在最大值,故選D.答案D16.(一題多解)設(shè)函數(shù)f(x),記M(a)為f(x)的最大值,則M(a)的最小值為.解析法一由題知當a0時,f(x)無最大值,故a0.由定義域知0x11,令(x1)cos2,代入f(x),則有f(x)cos sin sin(),其中tan ,且a0,所以M(a)2(當且僅當a1時取到等號).法二由題知當a0時,f(x)無最大值,故a0,令導(dǎo)函數(shù)f(x)0,得唯一極大值點x1,所以M(a)f2(當且僅當a1時取到等號).答案217.已知函數(shù)f(x)lg(x2),其中a是大于0的常數(shù).(1)求函數(shù)f(x)的定義域;(2)當a(1,4)時,求函數(shù)f(x)在2,)上的最小值;(3)若對任意x2,)恒有f(x)0,試確定a的取值范圍.解(1)由x20,得0,當a1時,x22xa0恒成立,定義域為(0,),當a1時,定義域為x|x0且x1,當0a1時,定義域為x|0x1或x1.(2)設(shè)g(x)x2,當a(1,4),x2,)時,g(x)10.因此g(x)在2,)上是增函數(shù),f(x)在2,)上是
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