第36講　直線與平面垂直的判定與性質(zhì)-2026高考數(shù)學(xué)大一輪全面復(fù)習(xí)資料（提高版）解析版

第36講直線與平面垂直的判定與性質(zhì)鏈教材夯基固本激活思維1.(人A必二P162T1(2)改)已知直線m，n和平面α，如果n?α，那么“m⊥n”是“m⊥α”的(B)A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分又不必要條件【解析】n?α，m⊥neq\a\vs4\al(不能推出/)m⊥α，充分性不成立；若m⊥α，n?α，則m⊥n，必要性成立．故“m⊥n”是“m⊥α”的必要不充分條件．2.若m，n是兩條不同的直線，α，β，γ是三個(gè)不重合的平面，則下列命題為真命題的是(C)A.若m?β，α⊥β，則m⊥αB.若m∥α，n∥α，則m∥nC.若m⊥β，m∥α，則α⊥βD.若α⊥γ，α⊥β，則β⊥γ【解析】對(duì)于A，若m?β，α⊥β，則m與α相交、平行或m?α，故A錯(cuò)誤．對(duì)于B，若m∥α，n∥α，則m與n相交、平行或異面，故B錯(cuò)誤．對(duì)于C，若m⊥β，m∥α，則由面面垂直的判定定理得α⊥β，故C正確．對(duì)于D，若α⊥γ，α⊥β，則β與γ相交或平行，故D錯(cuò)誤．3.如圖，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，則C1在底面ABC上的射影H必在(A)(第3題)A.直線AB上 B.直線BC上C.直線AC上 D.△ABC內(nèi)部【解析】連接AC1(圖略)，由AC⊥AB，AC⊥BC1，AB∩BC1＝B，得AC⊥平面ABC1.因?yàn)锳C?平面ABC，所以平面ABC1⊥平面ABC，所以C1在平面ABC上的射影H必在兩平面的交線AB上．4.如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1＝AB＝2，則A1C與側(cè)面BCC1B1所成角的正弦值為(B)(第4題)A.eq\f(\r(3),2) B.eq\f(\r(6),4)C.eq\f(\r(10),4) D.eq\f(\r(15),5)【解析】如圖，取B1C1的中點(diǎn)E，連接A1E，CE.根據(jù)題意易得A1E⊥側(cè)面BCC1B1，所以∠A1CE即為A1C與側(cè)面BCC1B1所成的角．根據(jù)題意易知A1E＝eq\r(3)，A1C＝2eq\r(2)，所以sin∠A1CE＝eq\f(A1E,A1C)＝eq\f(\r(3),2\r(2))＝eq\f(\r(6),4).(第4題答)5.(人A必二P152T4改)已知點(diǎn)P為邊長(zhǎng)為a的正三角形ABC所在平面外一點(diǎn)且PA＝PB＝PC＝a，則點(diǎn)P到平面ABC的距離為_(kāi)eq\f(\r(6)a,3)_．【解析】設(shè)點(diǎn)P在平面ABC上的射影為點(diǎn)O，由PA＝PC＝PB，可知OA＝OB＝OC，即O為△ABC的外心．如圖，延長(zhǎng)CO交AB于點(diǎn)G，連接PG.因?yàn)椤鰽BC是正三角形，故CG為△ABC邊AB上的高，且CO＝2OG.易知OG＝eq\f(1,3)CG＝eq\f(\r(3)a,6).又因?yàn)镻A＝PB＝AB＝a，所以△ABP是等邊三角形，所以點(diǎn)P到直線AB的距離PG＝eq\r(a2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))\s\up12(2))＝eq\f(\r(3)a,2)，則點(diǎn)P到平面ABC的距離PO＝eq\r(\f(3,4)a2－\f(1,12)a2)＝eq\f(\r(6)a,3).(第5題答)聚焦知識(shí)1.直線與平面垂直(1)定義：一般地，如果直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，就說(shuō)直線l與平面α互相垂直．(2)直線與平面垂直的判定定理與性質(zhì)定理：文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言判定定理如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的_兩條相交直線垂直_，那么該直線與此平面垂直_eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l⊥a，,l⊥b，,a∩b＝O，,a，b?α))_?l⊥α性質(zhì)定理垂直于同一個(gè)平面的兩條直線_平行__eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α，,b⊥α))_?a∥b2.直線和平面所成的角(1)定義：平面的一條斜線和它在_平面上的射影_所成的角，叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角．(2)范圍：_eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))_．3.空間距離(1)點(diǎn)到平面的距離：過(guò)一點(diǎn)作垂直于已知平面的直線，則該點(diǎn)與垂足間的線段，叫做這個(gè)點(diǎn)到該平面的垂線段，垂線段的長(zhǎng)度叫做這個(gè)點(diǎn)到該平面的距離．(2)直線到平面的距離：一條直線與一個(gè)平面平行時(shí)，這條直線上任意一點(diǎn)到這個(gè)平面的距離，叫做這條直線到這個(gè)平面的距離．(3)兩個(gè)平面間的距離：如果兩個(gè)平面平行，那么其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離都相等，我們把它叫做這兩個(gè)平行平面間的距離．4.常用結(jié)論(1)若一條直線垂直于一個(gè)平面，則這條直線垂直于這個(gè)平面內(nèi)的任意直線．(2)若兩條平行線中的一條垂直于一個(gè)平面，則另一條也垂直于這個(gè)平面．(3)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行．(4)一條直線垂直于兩平行平面中的一個(gè)，則這條直線與另一個(gè)平面也垂直．(5)兩個(gè)相交平面同時(shí)垂直于第三個(gè)平面，它們的交線也垂直于第三個(gè)平面．研題型素養(yǎng)養(yǎng)成舉題固法與線、面垂直相關(guān)命題的判定例1(2024·唐山二模)已知m為平面α外的一條直線，則下列說(shuō)法正確的是(B)A.存在直線n，使得n⊥m，n⊥αB.存在直線n，使得n⊥m，n∥αC.存在直線n，使得n∥m，n∥αD.存在直線n，使得n∥m，n⊥α【解析】對(duì)于A，當(dāng)直線m與平面α斜交時(shí)，此時(shí)不存在直線n，使得n⊥m，n⊥α，所以A錯(cuò)誤．對(duì)于B，如圖(1)，當(dāng)m⊥α?xí)r，過(guò)直線n作平面β，使得α∩β＝a.因?yàn)閙⊥α，a?α，所以m⊥a.又因?yàn)閙⊥n，可得a∥n.因?yàn)閚?α，a?α，所以n∥α.如圖(2)，當(dāng)m與平面α斜交時(shí)，設(shè)斜足為A，在直線m上取一點(diǎn)P，作PO⊥α，垂足為O，連接OA，在平面α內(nèi)，過(guò)點(diǎn)A作直線a⊥OA.因?yàn)閍⊥PO，且PO∩OA＝O，PO，OA?平面POA，所以a⊥平面POA.又因?yàn)镻A?平面POA，所以a⊥PA，即a⊥m.在過(guò)a和m確定的平面內(nèi)，過(guò)點(diǎn)P作直線n，使得n⊥m，所以n∥a.因?yàn)閚?α，a?α，所以n∥α，所以存在直線n，使得n⊥m，n∥α.若直線m∥α，此時(shí)存在平面β∥α且m?β，在直線m上取一點(diǎn)Q，在平面β內(nèi)過(guò)Q作直線n⊥m，根據(jù)面面平行的性質(zhì)有n∥α，所以B正確．對(duì)于C，當(dāng)直線m與平面α相交時(shí)，若n∥m，則直線n與平面α必相交，所以C錯(cuò)誤．對(duì)于D，當(dāng)m∥α?xí)r，若n∥m，可得n∥α或n?α，所以D錯(cuò)誤．圖(1)圖(2)(例1答)變式1(2024·景德鎮(zhèn)三檢)已知a，b是空間內(nèi)兩條不同的直線，α，β，γ是空間內(nèi)三個(gè)不重合的平面，則下列說(shuō)法正確的是(C)A.若α⊥β，a?α，則a⊥βB.若a⊥β，α⊥β，則a∥αC.若α∩β＝a，α⊥γ，β⊥γ，則a⊥γD.若α⊥β，α∩β＝a，b⊥a，則b⊥α或b⊥β【解析】對(duì)于A，由α⊥β，a?α，設(shè)α∩β＝l，當(dāng)a∥l時(shí)，可得a∥β，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由a⊥β，α⊥β可得a∥α或a?α，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，如圖，設(shè)α∩γ＝b，β∩γ＝c，在平面α內(nèi)作不與a重合的直線m，使m⊥b，因?yàn)棣痢挺?，則m⊥γ，因?yàn)棣隆挺?，m?β，則m∥β，因?yàn)棣痢搔拢絘，則m∥a，于是a⊥γ，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)α⊥β，α∩β＝a，b⊥a時(shí)，若b?α，且b?β，則b可以和平面α，β成任意角度，故D錯(cuò)誤．(變式1答)線面垂直的判定定理與性質(zhì)定理的應(yīng)用例2(2024·開(kāi)封三模節(jié)選)已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD是正方形，給出下列三個(gè)論斷：①PC＝PD；②AC⊥PD；③BD⊥平面PAC.以其中的兩個(gè)論斷作為條件，另一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫(xiě)出一個(gè)正確的命題，并證明．(例2)【解答】①②?③：如圖，連接AC，BD交于點(diǎn)O，連接OP.因?yàn)榈酌鍭BCD是正方形，所以AC⊥BD.又AC⊥PD，PD∩BD＝D，PD，BD?平面PBD，故AC⊥平面PBD.又OP?平面PBD，故AC⊥OP.由于OP＝OP，OD＝OC，PD＝PC，故△POD≌△POC，因此OD⊥OP，又OC∩OD＝O，OC，OD?平面ABCD，故OP⊥平面ABCD(可得四棱錐P-ABCD是正四棱錐).又BD?平面ABCD，故OP⊥BD.又AC⊥BD，AC∩OP＝O，AC，PO?平面PAC，故BD⊥平面PAC.②③?①：如圖，連接AC，BD交于點(diǎn)O，連接OP.因?yàn)榈酌鍭BCD是正方形，所以AC⊥BD.又AC⊥PD，PD∩BD＝D，PD，BD?平面PBD，故AC⊥平面PBD.又OP?平面PBD，故AC⊥OP.又BD⊥平面PAC，OP?平面PAC，故BD⊥OP，又AC∩BD＝O，AC，BD?平面ABCD，故OP⊥平面ABCD，結(jié)合底面ABCD是正方形，O是正方形的中心，所以四棱錐P-ABCD是正四棱錐，故PC＝PD.①③?②：如圖，連接AC，BD交于點(diǎn)O，連接OP.因?yàn)锽D⊥平面PAC，OP?平面PAC，故BD⊥OP.由于OP＝OP，OD＝OB，故△POD≌△POB.又OP＝OP，OD＝OC，PD＝PC，故△POD≌△POC，故∠POD＝∠POC＝∠POB＝eq\f(π,2)，因此PO⊥OB，PO⊥OC，且OC∩OB＝O，OC，OB?平面ABCD，故OP⊥平面ABCD，故四棱錐P-ABCD是正四棱錐．由于AC⊥BD，AC⊥OP，OP∩BD＝O，OP，BD?平面PBD，故AC⊥平面PBD，又PD?平面PBD，故AC⊥PD.(例2答)證明線面垂直的常用方法及關(guān)鍵(1)證明直線和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的傳遞性(a∥b，a⊥α?b⊥α)；③面面平行的性質(zhì)(a⊥α，α∥β?a⊥β)；④面面垂直的性質(zhì)．(2)證明線面垂直的關(guān)鍵是證明線線垂直，而證明線線垂直則需借助線面垂直的性質(zhì)．變式2如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形且∠ABC＝eq\f(π,3)，PB＝PA＝4，PC＝eq\r(6)，求PD的值．(變式2)【解答】取線段AB的中點(diǎn)E，連接CE，PE，AC(圖略).因?yàn)樗倪呅蜛BCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，則BC＝2，BE＝1.因?yàn)椤螦BC＝eq\f(π,3)，所以△ABC是正三角形，所以CE⊥AB.又因?yàn)镻B＝PA且E是AB的中點(diǎn)，所以PE⊥AB.因?yàn)镻E∩CE＝E，PE，CE?平面PCE，所以AB⊥平面PCE.因?yàn)镻C?平面PCE，所以PC⊥AB.因?yàn)镃D∥AB，所以PC⊥CD.因?yàn)镻C＝eq\r(6)，所以PD＝eq\r(PC2＋CD2)＝eq\r(10).線面角與點(diǎn)面距的計(jì)算例3-1(2025·紹興期中)在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，AB＝2eq\r(3)，PB＝2eq\r(6)，PC＝6，∠BAD＝60°.(例3-1)(1)求證：PA＝PD；【解答】如圖，取AD的中點(diǎn)E，連接PE，BE，BD.因?yàn)锳B＝AD＝2eq\r(3)，∠BAD＝60°，所以△ABD是正三角形．因?yàn)镋為AD的中點(diǎn)，所以BE⊥AD.又因?yàn)锽C2＋PB2＝(2eq\r(3))2＋(2eq\r(6))2＝36＝PC2，所以PB⊥BC.因?yàn)锽C∥AD，所以AD⊥PB.又BE∩PB＝B，BE，PB?平面PBE，所以AD⊥平面PBE，所以AD⊥PE.又因?yàn)镋為AD的中點(diǎn)，所以PA＝PD.(例3-1答)(2)若二面角P-AD-B的余弦值為－eq\f(1,3)，求直線BC與平面PAB所成角的正弦值．【解答】因?yàn)锳D⊥BE，AD⊥PE，所以∠PEB是二面角P-AD-B的平面角，即cos∠PEB＝－eq\f(1,3).在△PEB中，cos∠PEB＝eq\f(BE2＋PE2－PB2,2BE·PE)＝eq\f(9＋PE2－24,6·PE)＝－eq\f(1,3)，解得PE＝3.所以AP＝2eq\r(3)，所以PA＝AB，且PA2＋AB2＝PB2.如圖，取PB中點(diǎn)F，連接AF，DF，在等腰直角三角形PAB中，AF＝eq\r(6)，同理DF＝eq\r(6)，所以AF2＋DF2＝AD2，所以DF⊥AF.又DF⊥PB，AF∩PB＝F，AF，PB?平面PAB，所以DF⊥平面PAB，所以∠DAF即為直線AD與平面PAB所成的角．又sin∠DAF＝eq\f(\r(2),2)，AD∥BC，所以直線BC與平面PAB所成角的正弦值為eq\f(\r(2),2).例3-2如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是菱形，AB⊥DE，AB∥EF，AB＝BD＝6，EF＝4，∠EAD＝∠EAB，cos∠EAB＝eq\f(3,4).(例3-2)(1)求證：BD⊥平面ACE；【解答】因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形，所以BD⊥AC.因?yàn)椤螮AB＝∠EAD，AB＝AD，所以△EAB≌△EAD，所以EB＝ED.如圖，設(shè)AC∩BD＝G，連接EG，則G為BD的中點(diǎn)，BD⊥EG.又EG∩AC＝G，EG，AC?平面ACE，所以BD⊥平面ACE.(2)求點(diǎn)E到平面ABCD的距離．【解答】如圖，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥AC，垂足為H.因?yàn)锽D⊥平面ACE，EH?平面ACE，所以BD⊥EH.又BD∩AC＝G，所以EH⊥平面ABCD，所以點(diǎn)E到平面ABCD的距離即為線段EH的長(zhǎng)度．因?yàn)镈E⊥AB，EH⊥AB，所以AB⊥平面EDH，所以AB⊥DH.因?yàn)椤鰽BD為正三角形，所以點(diǎn)H為△ABD的中心，延長(zhǎng)DH交AB于點(diǎn)I，則I為AB的中點(diǎn)．因?yàn)樵赗t△AEI中，EI⊥AI，AI＝3，cos∠EAB＝eq\f(3,4)，所以AE＝4.因?yàn)锳H＝eq\f(\r(3),3)×6＝2eq\r(3)，所以EH＝eq\r(AE2－AH2)＝eq\r(16－12)＝2，所以點(diǎn)E到平面ABCD的距離為2.(例3-2答)三垂線定理①三垂線定理：若PO⊥α，PC在平面α內(nèi)的射影為CO，l?α，l⊥CO，則l⊥PC.②三垂線定理的逆定理：若PO⊥α，PC在平面α內(nèi)的射影為CO，l?α，l⊥PC，則l⊥CO.例4如圖，在Rt△BMC中，斜邊BM＝5，它在平面ABC上的射影AB長(zhǎng)為4，∠MBC＝60°，則MC與平面ABC所成角的正弦值為_(kāi)eq\f(2\r(3),5)_.(例4)【解析】由題意知A是M在平面ABC上的射影，所以MA⊥平面ABC，所以MC在平面ABC上的射影為AC，所以∠MCA即為直線MC與平面ABC所成的角．又因?yàn)樵赗t△MBC中，BM＝5，∠MBC＝60°，所以MC＝BMsin∠MBC＝5sin60°＝5×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(5\r(3),2).在Rt△MAB中，MA＝eq\r(BM2－AB2)＝eq\r(52－42)＝3.在Rt△MAC中，sin∠MCA＝eq\f(MA,MC)＝eq\f(3,\f(5\r(3),2))＝eq\f(2\r(3),5)，即MC與平面ABC所成角的正弦值為eq\f(2\r(3),5).變式4在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，∠BAC＝60°，PC⊥平面ABC，PC＝4，M是AB邊上的一動(dòng)點(diǎn)，則PM的最小值為_(kāi)2eq\r(7)_．(變式4答)【解析】由題意，M是AB邊上的一動(dòng)點(diǎn)，則PM的最小值，就是P到AB的距離，即PM⊥AB.如圖所示，因?yàn)镻C⊥平面ABC，PM⊥AB，由三垂線定理的逆定理，得CM⊥AB，則△PCM是直角三角形，故PM2＝PC2＋CM2，所以當(dāng)CM⊥AB時(shí)，CM最小，此時(shí)PM也最?。蓷l件知AC＝4，BC＝4eq\r(3)，故CM的最小值為2eq\r(3).又PC＝4，則PM的最小值為eq\r(42＋(2\r(3))2)＝2eq\r(7).隨堂內(nèi)化1.(2024·杭州二模)已知m，n表示兩條不同的直線，α表示平面，下列說(shuō)法正確的是(B)A.若m∥α，n∥α，則m∥nB.若m⊥α，n?α，則m⊥nC.若m⊥α，m⊥n，則n∥αD.若m∥α，m⊥n，則n⊥α【解析】線面垂直，則有該直線和平面內(nèi)所有的直線都垂直，故B正確．2.(多選)在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，AC與BD交于點(diǎn)O，則(ABD)A.AD1∥平面BOC1B.BD⊥平面COC1C.C1O與平面ABCD所成的角為45°D.三棱錐C-BOC1的體積為eq\f(2,3)【解析】如圖，因?yàn)锳D1∥BC1，AD1?平面BOC1，BC1?平面BOC1，所以AD1∥平面BOC1，故A正確．因?yàn)镃C1⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，所以BD⊥CC1.又BD⊥CO，CO∩CC1＝C，CO，CC1?平面COC1，所以BD⊥平面COC1，故B正確．因?yàn)镃C1⊥平面ABCD，所以C1O與平面ABCD所成的角為∠C1OC，因?yàn)閠an∠C1OC＝eq\f(2,\r(2))≠1，所以∠C1OC≠45°，故C錯(cuò)誤．VC-BOC1＝VC1-BOC＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×1×2＝eq\f(2,3)，故D正確．(第2題答)3.已知等腰直角三角形ABC的斜邊AB在平面α內(nèi)，若AC與α所成的角為30°，則斜邊上的中線CM與α所成的角的大小為_(kāi)45°_．【解析】如圖，設(shè)C在平面α內(nèi)的射影為點(diǎn)O，連接AO，MO，則∠CAO＝30°，∠CMO就是CM與α所成的角．設(shè)AC＝BC＝1，則AB＝eq\r(2)，所以CM＝eq\f(\r(2),2)，CO＝eq\f(1,2)，所以sin∠CMO＝eq\f(CO,CM)＝eq\f(\r(2),2)，所以∠CMO＝45°.(第3題答)4.(2024·廣東省一模改)如圖，已知圓柱OO1的軸截面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，點(diǎn)P是圓O1上異于點(diǎn)C，D的任意一點(diǎn)．若點(diǎn)D到平面ACP的距離為eq\f(2\r(3),3)，則DP的長(zhǎng)為_(kāi)eq\r(2)__．(第4題)【解析】如圖，連接DP，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AP，垂足為H.由CD是圓O1的直徑，得CP⊥DP.由AD是圓柱側(cè)面的母線，得AD⊥平面CDP，而CP?平面CDP，則AD⊥CP.又AD，DP?平面ADP，AD∩DP＝D，因此CP⊥平面ADP，而DH?平面ADP，則DH⊥CP.又DH⊥AP，AP，CP?平面ACP，AP∩CP＝P，于是DH⊥平面ACP，則點(diǎn)D到平面ADP的距離為DH，即DH＝eq\f(2\r(3),3).設(shè)DP＝a(a＞0)，有AP＝eq\r(a2＋4)，由AD·DP＝AP·DH，得2·a＝eq\r(a2＋4)·eq\f(2\r(3),3)，解得a＝eq\r(2).(第4題答)配套精練A組夯基精練一、單項(xiàng)選擇題1.(2025·常州期中)已知α，β是兩個(gè)不重合的平面，a，b是兩條不同的直線，下列條件中，一定能得到l⊥α的是(C)A.α⊥β，l∥βB.l⊥a，a∥αC.l∥a，a⊥αD.l⊥a，l⊥b，a?α，b?α【解析】對(duì)于A，α⊥β，l∥β，則l與α相交、平行或l?α，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，l⊥a，a∥α，則l與α相交、平行或l?α，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，l∥a，a⊥α，由線面垂直的性質(zhì)知l⊥α，故C正確；對(duì)于D，l⊥a，l⊥b，a?α，b?α，則l與α相交、平行或l?α，故D錯(cuò)誤．2.已知PA垂直于以AB為直徑的圓所在的平面，C為圓上異于A，B兩點(diǎn)的任一點(diǎn)，則下列關(guān)系不正確的是(C)A.PA⊥BC B.BC⊥平面PACC.AC⊥PB D.PC⊥BC【解析】由PA⊥平面ABC?PA⊥BC，故A正確；由BC⊥PA，BC⊥AC，PA∩AC＝A，可得BC⊥平面PAC，則BC⊥PC，故B，D正確．3.(2024·湖北八市3月聯(lián)考)如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，P，M，N分別為AB，BB1，DD1的中點(diǎn)，則與平面MNP垂直的直線可以是(D)(第3題)A.A1B B.A1DC.AC1 D.A1C【解析】如圖，連接AB1，B1D1，AD1，A1C1，A1C，因?yàn)镻，M，N分別為AB，BB1，DD1的中點(diǎn)，故MP∥AB1，B1D1∥MN.又MP?平面AB1D1，AB1?平面AB1D1，故MP∥平面AB1D1.又MN?平面AB1D1，B1D1?平面AB1D1，故MN∥平面AB1D1.又MP∩MN＝M，MP，MN?平面MNP，故平面MNP∥平面AB1D1，則垂直于平面MNP的直線一定垂直于平面AB1D1.顯然CC1⊥平面A1B1C1D1，B1D1?平面A1B1C1D1，故B1D1⊥CC1，又B1D1⊥A1C1，A1C1∩CC1＝C1，A1C1，CC1?平面A1C1C，故B1D1⊥平面A1C1C.又A1C?平面A1C1C，故A1C⊥B1D1.同理可得A1C⊥AB1，又AB1∩B1D1＝B1，AB1，B1D1?平面AB1D1，故A1C⊥平面AB1D1，也即A1C⊥平面MNP.若其他選項(xiàng)的直線垂直于平面MNP，則要與A1C平行，顯然都不平行．(第3題答)4.(2024·湛江二模)在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥底面ABCD，∠ABD＝60°，PB，PC與底面ABCD所成的角分別為α，β，且α＋β＝45°，則eq\f(PA,AB)＝(D)A.eq\f(\r(17)－2,2) B.eq\f(\r(15)－3,2)C.eq\f(\r(15)－2,2) D.eq\f(\r(17)－3,2)【解析】如圖，設(shè)AB＝a，PA＝b，因?yàn)樵诰匦蜛BCD中，∠ABD＝60°，所以AC＝BD＝2a.因?yàn)镻A⊥底面ABCD，所以∠PBA，∠PCA分別是PB，PC與底面ABCD所成的角，即α＝∠PBA，β＝∠PCA，所以tanα＝tan∠PBA＝eq\f(b,a)，tanβ＝tan∠PCA＝eq\f(b,2a).由α＋β＝45°，所以tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)＝eq\f(\f(b,a)＋\f(b,2a),1－\f(b,a)·\f(b,2a))＝1，解得eq\f(b,a)＝eq\f(\r(17)－3,2)(負(fù)根舍去)，所以eq\f(PA,AB)＝eq\f(\r(17)－3,2).(第4題答)二、多項(xiàng)選擇題5.(2024·馬鞍山三模)已知四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，下列說(shuō)法正確的是(AC)A.若PC⊥BD，則AC⊥BDB.若AC⊥BD，則PB＝PDC.若PB＝PD，則AB＝ADD.若AB＝AD，則PC⊥BD【解析】因?yàn)镻A⊥平面ABCD，AB，AD，BD?平面ABCD，則PA⊥AB，PA⊥AD，PA⊥BD.對(duì)于選項(xiàng)A，D，若PC⊥BD，且PA∩PC＝P，PA，PC?平面PAC，可得BD⊥平面PAC，又AC?平面PAC，所以AC⊥BD.同理，若AC⊥BD，可得PC⊥BD，即PC⊥BD等價(jià)于AC⊥BD，由AB＝AD不能推出AC⊥BD，即AB＝AD不能推出PC⊥BD，故A正確，D錯(cuò)誤．對(duì)于選項(xiàng)B，C，若PB＝PD，可知Rt△PAB≌Rt△PAD，所以AB＝AD，反之，AB＝AD，可知Rt△PAB≌Rt△PAD，所以PB＝PD，即PB＝PD等價(jià)于AB＝AD，由AC⊥BD不能推出AB＝AD，即AC⊥BD不能推出PB＝PD，故B錯(cuò)誤，C正確．(第5題答)6.(2022·新高考Ⅰ卷)已知正方體ABCD-A1B1C1D1，則(ABD)A.直線BC1與DA1所成的角為90°B.直線BC1與CA1所成的角為90°C.直線BC1與平面BB1D1D所成的角為45°D.直線BC1與平面ABCD所成的角為45°【解析】如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，因?yàn)锽C1⊥B1C，BC1⊥A1B1，所以BC1⊥平面A1B1CD，所以BC1⊥DA1，BC1⊥CA1，故A，B正確．設(shè)A1C1∩B1D1＝O，易得A1C1⊥平面BB1D1D，所以直線BC1與平面BB1D1D所成的角為∠C1BO.在Rt△C1BO中，sin∠C1BO＝eq\f(C1O,BC1)＝eq\f(1,2)，故∠C1BO＝30°，故C錯(cuò)誤．直線BC1與平面ABCD所成的角為∠C1BC＝45°，故D正確．(第6題答)7.(2021·新高考Ⅱ卷)如圖，在正方體中，O為底面的中心，P為所在棱的中點(diǎn)，M，N為正方體的頂點(diǎn)，則滿足MN⊥OP的是(BC) A B C D【解析】設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，對(duì)于A，如圖(1)，連接AC，則MN∥AC，故∠POC(或其補(bǔ)角)為異面直線OP與MN所成的角．在Rt△OPC中，OC＝eq\r(2)，CP＝1，則tan∠POC＝eq\f(1,\r(2))＝eq\f(\r(2),2)，故MN⊥OP不成立，故A錯(cuò)誤．對(duì)于B，如圖(2)，取MT的中點(diǎn)Q，連接PQ，OQ，則OQ⊥MT，PQ⊥MN.在正方體SBCN-MADT中，SM⊥平面MADT，而OQ?平面MADT，故SM⊥OQ，而SM∩MT＝M，故OQ⊥平面SNTM.又MN?平面SNTM，故OQ⊥MN，又OQ∩PQ＝Q，所以MN⊥平面OPQ.因?yàn)镺P?平面OPQ，所以MN⊥OP，故B正確．對(duì)于C，如圖(3)，連接BD，則BD∥MN，同理可得OP⊥BD，則OP⊥MN，故C正確．對(duì)于D，如圖(4)，取AD的中點(diǎn)Q，連接PQ，QO，OD，BD，OA，則MN∥BD∥PQ，所以∠QPO或其補(bǔ)角為異面直線OP與MN所成的角．因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為2，故PQ＝eq\f(1,2)BD＝eq\r(2)，OQ＝eq\r(DO2＋DQ2)＝eq\r(2＋1)＝eq\r(3)，OA＝eq\r(OD2＋AD2)＝eq\r(6)，OP＝eq\r(5)，因?yàn)镺Q2＜PQ2＋OP2，所以∠QPO不是直角，即OP，MN不垂直，故D錯(cuò)誤．圖(1)圖(2)圖(3)圖(4)(第7題答)三、填空題8.(2025·南通海安期中)在三棱錐P-ABC中，PA＝PB＝AB＝AC＝BC＝2，PC與平面ABC所成角的大小為60°，則PC＝_eq\r(3)_．【解析】如圖，取AB的中點(diǎn)D，連接PD，CD，因?yàn)镻A＝PB＝AB＝AC＝BC＝2，則PD⊥AB，CD⊥AB，且PD＝CD＝eq\r(3).又PD∩CD＝D，PD，CD?平面PCD，可得AB⊥平面PCD，又因?yàn)锳B?平面ABC，所以平面ABC⊥平面PCD，且平面ABC∩平面PCD＝CD，由面面垂直的性質(zhì)可知，點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的投影落在直線CD上，且PD＝CD＝eq\r(3)，可知點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的投影落在線段CD內(nèi)．因?yàn)镻C與平面ABC所成角的大小為60°，則∠PCD＝60°，可知△PCD為等邊三角形，所以PC＝eq\r(3).(第8題答)9.(2025·錦州期中)如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是DD1的中點(diǎn)，F(xiàn)是側(cè)面CDD1C1上的動(dòng)點(diǎn)，且B1F∥平面A1BE，則B1F與平面CDD1C1所成角的正切值的最大值是_2eq\r(2)_．(第9題)【解析】如圖，設(shè)G，H，I分別為CD，CC1，C1D1邊上的中點(diǎn)，則A1，B，E，G四點(diǎn)共面，且平面A1BGE∥平面B1HI.又因?yàn)锽1F∥平面A1BE，所以F落在線段HI上，∠B1FC1是B1F與平面CDD1C1所成的角，tan∠B1FC1＝eq\f(B1C1,FC1).設(shè)HI的中點(diǎn)為J，正方體棱長(zhǎng)為a，則當(dāng)F與J重合時(shí)FC1最小，此時(shí)B1F與平面CDD1C1所成角的正切值有最大值為eq\f(a,\f(\r(2),4)a)＝2eq\r(2).(第9題答)10.(2019·全國(guó)Ⅰ卷文)已知∠ACB＝90°，P為平面ABC外一點(diǎn)，PC＝2，點(diǎn)P到∠ACB兩邊AC，BC的距離均為eq\r(3)，那么點(diǎn)P到平面ABC的距離為_(kāi)eq\r(2)_.【解析】如圖，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥AC于點(diǎn)D，PE⊥BC于點(diǎn)E，PO⊥平面ABC，連接CO，OD，OE.因?yàn)镃D⊥PD，CD⊥PO，PD∩PO＝P，所以CD⊥平面PDO.又OD?平面PDO，所以CD⊥OD.因?yàn)镻D＝PE＝eq\r(3)，PC＝2，所以△PCE≌△PCD，所以CD＝CE.因?yàn)镻O⊥CO，CO為∠ACB的平分線，所以∠OCD＝45°，所以O(shè)D＝CD＝1，則OC＝eq\r(2).又PC＝2，所以PO＝eq\r(4－2)＝eq\r(2).(第10題答)四、解答題11.(2025·金華十校聯(lián)考)如圖，三棱錐A-BCD中，AD⊥平面BCD，AD＝DB＝DC＝BC，E為AB中點(diǎn)，M為DE中點(diǎn)，N為DC中點(diǎn)．(第11題)(1)求證：MN∥平面ABC；【解答】如圖，連接EC，由M為DE中點(diǎn)，N為DC中點(diǎn)，得MN∥EC.又EC?平面ABC，MN?平面ABC，所以MN∥平面ABC.(第11題答)(2)求直線DE與平面ABC所成角的正弦值．【解答】設(shè)AD＝DB＝DC＝BC＝a，由AD⊥平面BCD，BD，BC?平面BCD，得AD⊥BC，AD⊥DB，則DE＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(\r(2),2)a.如圖，取BC中點(diǎn)F，連接DF，AF，則DF⊥BC.又AD∩DF＝D，AD，DF?平面ADF，則BC⊥平面ADF.又BC?平面ABC，所以平面ADF⊥平面ABC.又平面ADF∩平面ABC＝AF，過(guò)點(diǎn)D在平面ADF內(nèi)作DH⊥AF于點(diǎn)H，于是DH⊥平面ABC，連EH，則∠DEH為直線DE與平面ABC所成的角．在Rt△ADF中，AD＝a，DF＝eq\f(\r(3),2)a，則AF＝eq\r(a2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)a))\s\up12(2))＝eq\f(\r(7),2)a，DH＝eq\f(AD·DF,AF)＝eq\f(\r(21),7)a.在Rt△DEH中，sin∠DEH＝eq\f(DH,DE)＝eq\f(\r(42),7)，所以直線DE與平面ABC所成角的正弦值為eq\f(\r(42),7).12.如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，E是BB1上的一點(diǎn)，且EB1＝1，D，F(xiàn)，G分別是CC1，B1C1，A1C1的中點(diǎn)，EF與B1D相交于點(diǎn)H.(第12題)(1)求證：B1D⊥平面ABD；【解答】由直三棱柱的性質(zhì)得平面ABC⊥平面BB1C1C，又AB⊥BC，平面ABC∩平面BB1C1C＝BC，AB?平面ABC，所以AB⊥平面BB1C1C，又B1D?平面BB1C1C，所以AB⊥B1D.因?yàn)锽C＝CD＝DC1＝B1C1＝2，所以在Rt△DCB和Rt△DC1B1中，∠BDC＝∠B1DC1＝45°，所以∠BDB1＝90°，即B1D⊥BD.又AB∩BD＝B，AB，BD?平面ABD，所以B1D⊥平面ABD.(2)求平面EGF與平面ABD的距離．【解答】由題知EB1＝B1F＝1，所以在Rt△EB1F中，∠FEB1＝45°，又∠DBB1＝45°，所以EF∥BD.因?yàn)锽D?平面ABD，EF?平面ABD，所以EF∥平面ABD.因?yàn)镚，F(xiàn)分別為A1C1，B1C1的中點(diǎn)，所以GF∥A1B1.又A1B1∥AB，所以GF∥AB，因?yàn)锳B?平面ABD，GF?平面ABD，所以GF∥平面ABD.因?yàn)镋F?平面EFG，