有理數(shù)的乘方（六大題型）（原卷版）

（蘇科版）七年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)《第2章有理數(shù)》2.7有理數(shù)的乘方知識(shí)點(diǎn)一知識(shí)點(diǎn)一有理數(shù)的乘方的意義◆有理數(shù)乘方的定義：求n個(gè)相同因數(shù)積的運(yùn)算，叫做乘方．一般地，n個(gè)相同的數(shù)a相乘，簡(jiǎn)記為，即.乘方的結(jié)果叫做冪，在an中，a叫做底數(shù)，n叫做指數(shù)．a(chǎn)n讀作a的n次方，也可以讀作a的n次冪．（將an看作是a的n次方的結(jié)果時(shí)）【注意】（1）一個(gè)數(shù)可以看作這個(gè)數(shù)本身的一次方，例如，5就是51，指數(shù)1通常省略不寫(xiě).（2）指數(shù)是2時(shí)讀作平方（或二次方），指數(shù)是3時(shí)讀作立方（或三次方）.（3）指數(shù)n是正整數(shù)，底數(shù)a可以是任意有理數(shù).知識(shí)點(diǎn)二知識(shí)點(diǎn)二有理數(shù)的乘方的運(yùn)算◆1、乘方運(yùn)算的符號(hào)法則：（1）負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù)；（2）正數(shù)的任何正整數(shù)次冪都是正數(shù)，0的任何正整數(shù)次冪都是0.◆2、有理數(shù)的乘方運(yùn)算計(jì)算一個(gè)有理數(shù)的乘方時(shí)，應(yīng)將乘方運(yùn)算轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算，先確定冪的符號(hào)，再計(jì)算冪的絕對(duì)值.有相反意義的量就可以用負(fù)數(shù)表示．知識(shí)點(diǎn)三知識(shí)點(diǎn)三科學(xué)記數(shù)法◆1、科學(xué)記數(shù)法—表示較大的數(shù)（1）科學(xué)記數(shù)法：把一個(gè)大于10的數(shù)記成a×10n的形式，其中a是整數(shù)數(shù)位只有一位的數(shù)，n是正整數(shù)，這種記數(shù)法叫做科學(xué)記數(shù)法．【科學(xué)記數(shù)法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n為正整數(shù)．】（2）規(guī)律方法總結(jié)：①科學(xué)記數(shù)法中a的要求和10的指數(shù)n的表示規(guī)律為關(guān)鍵，由于10的指數(shù)比原來(lái)的整數(shù)位數(shù)少1；按此規(guī)律，先數(shù)一下原數(shù)的整數(shù)位數(shù)，即可求出10的指數(shù)n．②記數(shù)法要求是大于10的數(shù)可用科學(xué)記數(shù)法表示，實(shí)質(zhì)上絕對(duì)值大于10的負(fù)數(shù)同樣可用此法表示，只是前面多一個(gè)負(fù)號(hào)．◆2、科學(xué)記數(shù)法—原數(shù)（1）科學(xué)記數(shù)法a×10n表示的數(shù)，“還原”成通常表示的數(shù)，就是把a(bǔ)的小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)n位所得到的數(shù)．（2）把一個(gè)數(shù)表示成科學(xué)記數(shù)法的形式及把科學(xué)記數(shù)法還原是兩個(gè)互逆的過(guò)程，這也可以作為檢查用科學(xué)記數(shù)法表示一個(gè)數(shù)是否正確的方法．題型一有理數(shù)乘方的概念題型一有理數(shù)乘方的概念【例題1】（2023?普寧市一模）式子﹣22的意義是（）A．2的平方 B．﹣2的平方 C．2的平方的相反數(shù) D．﹣2的平方的相反數(shù)解題技巧提煉有理數(shù)乘方的定義：求n個(gè)相同因數(shù)積的運(yùn)算，叫做乘方．乘方的結(jié)果叫做冪，在an中，a叫做底數(shù)，n叫做指數(shù)．a(chǎn)n讀作a的n次方．（將an看作是a的n次方的結(jié)果時(shí)，也可以讀作a的n次冪．）【變式11】（2022秋?膠州市校級(jí)月考）比較﹣33與（﹣3）3，下列說(shuō)法正確的是（）A．它們的底數(shù)相同，指數(shù)也相同 B．它們所表示的意義相同，但運(yùn)算結(jié)果不相同 C．它們底數(shù)相同，但指數(shù)不相同 D．雖然他們底數(shù)不同，但是運(yùn)算結(jié)果相同【變式12】把（﹣3）×（﹣3）×（﹣3）寫(xiě)成冪的形式是，底數(shù)是，指數(shù)是．【變式13】﹣53表示的意義為（）A．（﹣5）×（﹣5）×（﹣5） B．﹣5×5×5 C．（﹣5）+（﹣5）+（﹣5） D．（﹣5）×3【變式14】（2023春?肇東市期末）已知4個(gè)數(shù)中：（﹣1）2005，﹣（﹣1.5），﹣32，0，其中正數(shù)的個(gè)數(shù)有（）A．1 B．2 C．3 D．4【變式15】設(shè)n是一個(gè)正整數(shù)，則10n是（）A．10個(gè)n相乘所得的積 B．一個(gè)（n﹣1）位整數(shù) C．一個(gè)n位整數(shù) D．一個(gè)1后面有n個(gè)0的數(shù)【變式16】（2023?許昌一模）計(jì)算2×2×?×2︷A．2m3n B．2m3n C．【變式17】（2022秋?懷仁市校級(jí)期末）設(shè)a是任意有理數(shù)，下列說(shuō)法正確的是（）A．（a+1）2的值總是正的 B．a(chǎn)2+1的值總是正的 C．﹣（a+1）2的值總是負(fù)的 D．a(chǎn)2+1的值中，最大值是1題型二有理數(shù)的乘方運(yùn)算題型二有理數(shù)的乘方運(yùn)算【例題2】下列各組數(shù)中，結(jié)果一定相等的是（）A．﹣22與（﹣2）2 B．22與（﹣2）2 C．22與﹣（﹣2）2 D．（﹣2）2與﹣（﹣2）解題技巧提煉1、有理數(shù)的乘方運(yùn)算與有理數(shù)的加減乘除運(yùn)算一樣，首先要確定冪的符號(hào)，然后再計(jì)算冪的絕對(duì)值；2、乘方的符號(hào)法則：正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)；負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù)；0的任何正整數(shù)次冪都是0．【變式21】下列各組數(shù)中，運(yùn)算結(jié)果相等的是（）A．﹣42和34 B．﹣53和（﹣5）3 C．﹣42和（﹣4）2 D．(23【變式22】計(jì)算：(?25)3=【變式23】（2023春?香坊區(qū)校級(jí)期中）下列各對(duì)數(shù)中，不相等的一對(duì)數(shù)是（）A．（﹣3）3與﹣33 B．|﹣33|與|33| C．（﹣3）4與﹣34 D．（﹣3）2與32【變式24】若a＝﹣2×（13）2，b＝（﹣2×13）2，c＝﹣（2×A．a(chǎn)＞b＞c B．b＞c＞a C．b＞a＞c D．c＞a＞b【變式25】（2022?新都區(qū)模擬）計(jì)算（﹣2）×（﹣5）2的結(jié)果等于（）A．10 B．﹣50 C．50 D．20【變式26】計(jì)算：；（2）；；（4）；（5）（﹣1）9；（6）（﹣1）12；【變式27】計(jì)算：(1)－(－3)3;(2)(－eq\f(3,4))2；(3)(－eq\f(2,3))3;(4)(－1)2015.題型三非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：偶次方題型三非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：偶次方【例題3】（2022秋?陳倉(cāng)區(qū)期末）已知|3a+1|+（b﹣3）2＝0，則（ab）2022的值是（）A．1 B．﹣1 C．0 D．3解題技巧提煉偶次方具有非負(fù)性．任意一個(gè)數(shù)的偶次方都是非負(fù)數(shù)，當(dāng)幾個(gè)數(shù)或式的偶次方相加和為0時(shí)，則其中的每一項(xiàng)都必須等于0．【變式31】（2022秋?澄海區(qū)期末）若（m﹣2）2與|n+3|互為相反數(shù)，則nm的值是（）A．﹣8 B．8 C．﹣9 D．9【變式32】（2022秋?嘉祥縣期末）已知a，b滿足|a﹣3|+（b+2）2＝0，則式子（a+b）2022的值是（）A．1 B．﹣1 C．2022 D．﹣2022【變式33】（2022秋?越城區(qū)期中）根據(jù)右邊的數(shù)值轉(zhuǎn)換器，當(dāng)輸入的x與y滿足|x+1|+(y?1【變式34】（2023?沙坪壩區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）|x+y﹣3|+（m﹣n+1）2＝0，則n﹣m﹣2x﹣2y的值為（）A．﹣7 B．7 C．﹣5 D．5【變式35】（2022秋?龍馬潭區(qū)期中）如果|a﹣1|+（b+2）2+|c﹣3|＝0，求（a+b）2018﹣3abc的值．【變式36】已知有理數(shù)x，y，z，且|x﹣3|+2|y+1|+7（2z+1）2＝0，求x+y+z的相反數(shù)的倒數(shù)．【變式37】如果有理數(shù)a、b滿足|ab﹣2|+（1﹣b）2＝0，試求1ab題型四乘方與相反數(shù)、倒數(shù)、絕對(duì)值等的綜合題型四乘方與相反數(shù)、倒數(shù)、絕對(duì)值等的綜合【例題4】已知：|a|＝3，|b|＝2，且a＜b，求（a+b）3的值．解題技巧提煉1、互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)的偶次冪相等、奇次冪仍互為相反數(shù)；2、相反數(shù)是它本身的數(shù)是0；3、倒數(shù)等于它本身的數(shù)是1和﹣1；4、絕對(duì)值和偶次方都具有非負(fù)性.【變式41】下列各數(shù)中，互為相反數(shù)的是（）A．|﹣1|和1 B．﹣3和﹣（﹣2） C．（﹣2）2和﹣22 D．﹣3和1【變式42】已知a、b互為相反數(shù)，e的絕對(duì)值為3，m與n互為倒數(shù)，則a+b3A．1 B．3 C．0 D．無(wú)法確定【變式43】（2022春?梁山縣期中）已知|x|＝2，y2＝9，且x＞y，求x+y的值.【變式44】（2022秋?東西湖區(qū)期中）已知|a﹣2|＝3，（b﹣2）2＝1，且ab＜0，求a+b的值．【變式45】已知a是絕對(duì)值最小的有理數(shù)，b是倒數(shù)等于本身的數(shù)，c的平方等于4，求a+b+c的值．【變式46】已知（x+3）2與|y﹣2|互為相反數(shù)，z是絕對(duì)值最小的有理數(shù)，求（x+y）y+xyz的值．【變式47】（2022秋?雙遼市期中）已知|a|＝5，b2＝4，c3＝﹣8．若a＜b＜0，求a+b+c的值．【變式48】（2022秋?磁縣期中）已知a與﹣b互為相反數(shù)，﹣c與d互為倒數(shù)，|x|＝1，求2x2+（a﹣b+cd）x+（a﹣b）2022+（﹣cd）2023的值．題型五利用有理數(shù)的乘方解決實(shí)際問(wèn)題題型五利用有理數(shù)的乘方解決實(shí)際問(wèn)題【例題5】（2022秋?福田區(qū)校級(jí)期末）面食不僅是中華民族飲食文化的重要組成部分，也是世界的面食之根其中，“拉面”遠(yuǎn)播世界各地，制作方法是：用一根很粗的面條，把兩頭捏合在一起拉伸，再捏合，反復(fù)幾次，這根很粗的面條就被拉成許多細(xì)的面條，第一次捏合變2根細(xì)面條，第二次捏合變4根細(xì)面條，第三次捏合變8根細(xì)面條，這樣捏合到第n次后可拉出細(xì)面條（）A．2n﹣1根 B．2n根 C．2n+1根 D．（12）n+1解題技巧提煉用有理數(shù)的乘方運(yùn)算解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，關(guān)鍵是審清題意，把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問(wèn)題，常見(jiàn)的問(wèn)題有拉面的條數(shù)、折紙的張數(shù)、繩子的長(zhǎng)度、細(xì)胞分裂的個(gè)數(shù)等都利用2n或.【變式51】（2023?館陶縣校級(jí)模擬）《孫子算經(jīng)》卷上說(shuō)：“十圭為抄，十抄為撮，十撮為勺，十勺為合．”說(shuō)明“抄、撮、勺、合”均為十進(jìn)制．則十合等于（）A．102圭 B．103圭 C．104圭 D．105圭【變式52】手工拉面是我國(guó)的傳統(tǒng)面食．制作時(shí)，拉面師傅，將一根很粗的面條，把兩頭捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反復(fù)幾次，就把這根很粗的面條截成了許多細(xì)細(xì)的面條，如下圖所示．請(qǐng)問(wèn)這樣第次捏合后可拉出128根面條．【變式53】（2022春?東臺(tái)市月考）某種細(xì)胞開(kāi)始分裂時(shí)有兩個(gè)，1小時(shí)后分裂成4個(gè)并死去一個(gè)，2小時(shí)后分裂成6個(gè)并死去一個(gè)，3小時(shí)后分裂成10個(gè)并死去一個(gè)，按此規(guī)律，8小時(shí)后細(xì)胞存活的個(gè)數(shù)是（）A．253 B．255 C．257 D．259【變式54】《莊子》中記載：“一尺之捶，日取其半，萬(wàn)世不竭．”這句話的意思是一尺長(zhǎng)的木棍，每天截取它的一半，永遠(yuǎn)也截不完．若按此方式截一根長(zhǎng)為1的木棍，第5天截取后木棍剩余的長(zhǎng)度是（）A．1?125 B．1?124【變式55】拉面是把一根較粗的面條先對(duì)折成2根再拉開(kāi)，然后將兩端捏緊，再對(duì)折成4根再拉開(kāi)，…，一直重復(fù)這個(gè)流程，面條的數(shù)量會(huì)不斷增多，也會(huì)不斷變細(xì)．（1）將這個(gè)流程重復(fù)7次后，面條的數(shù)量會(huì)變成多少根？（2）若剛開(kāi)始時(shí)的面條的橫截面積為8cm2，則將這個(gè)流程重復(fù)8次后，平均每一根面條橫截面積是多少？（每一次拉開(kāi)的長(zhǎng)度都與第一根面條的長(zhǎng)度相同且粗細(xì)均勻）【變式56】如圖，當(dāng)你把一張紙對(duì)折1次時(shí)可以得到2層，對(duì)折2次時(shí)可以得到4層，對(duì)折3次時(shí)可以得到8層，繼續(xù)對(duì)折下去（最多折7次）．（1）你能發(fā)現(xiàn)層數(shù)與折紙次數(shù)之間的關(guān)系嗎？（2）如果每層紙的厚度是0.05毫米，求對(duì)折7次時(shí)紙的總厚度．【變式57】已知某細(xì)菌繁殖時(shí)，一個(gè)細(xì)菌分裂成兩個(gè)，一個(gè)細(xì)菌在分裂t次后，數(shù)量變?yōu)?t個(gè)，細(xì)菌每15分鐘分裂1次，試回答下列問(wèn)題：（1）如果現(xiàn)在瓶子里有這種細(xì)菌100個(gè)，那么30分鐘后，瓶子里有多少個(gè)這種細(xì)菌？（2）3小時(shí)后這種細(xì)菌的數(shù)量是1小時(shí)后的幾倍？題型六科學(xué)記數(shù)法題型六科學(xué)記數(shù)法【例題6】（2023春?瓊海期末）新華社北京5月5日電，記者從國(guó)家郵政局獲悉，“五一”假期全國(guó)郵政快遞業(yè)攬收快遞包裹1340000000件，同比增長(zhǎng)2.3%，其中1340000000用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．13.4×108 B．0.134×1010 C．1.34×109 D．1.34×108解題技巧提煉1、科學(xué)記數(shù)法：把一個(gè)大于10的數(shù)記成a×10n的形式，其中a是整數(shù)數(shù)位只有一位的數(shù)，n是正整數(shù)，這種記數(shù)法叫做科學(xué)記數(shù)法．10的指數(shù)比原來(lái)的整數(shù)位數(shù)少1．2、科學(xué)記數(shù)法a×10n表示的數(shù)，“還原”成通常表示的數(shù)，就是把a(bǔ)的小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)n位所得到的數(shù)．【變式61】（2023?思明區(qū)校級(jí)模擬）2022年5月17日，工業(yè)和信息化部負(fù)責(zé)人在“2022世界電信和信（）A．160×104 B．16×105 C．1.6×106 D．1.6×107【變式62】（2023?長(zhǎng)沙縣二模）湘雅路過(guò)江通道工程是長(zhǎng)沙市區(qū)“十八橫十六縱”三十四條主干路之一，位于三一大道與營(yíng)盤(pán)路之間，總投資53.278億元．其中數(shù)據(jù)53.278億元精確到哪位？（）A．萬(wàn)位 B．十萬(wàn)位 C．百萬(wàn)位 D．億位【變式63】（2023?長(zhǎng)沙一模）2022年10月16日，中國(guó)共產(chǎn)黨第二十次全國(guó)代表大會(huì)在北京人民大會(huì)堂開(kāi)幕．開(kāi)幕式中一組組亮眼的數(shù)據(jù)，展示了新時(shí)代十年發(fā)展的新成就．其中，國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值從540000億元增長(zhǎng)到1140000億元．把“1140000”用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．0.114×107 B．1.14×106 C．11.4×105 D．114×104【變式64】（2023?順德區(qū)校級(jí)三模）2023年五蓮高鐵將開(kāi)工！京滬高鐵輔助通道濰坊至宿遷鐵路工程（新開(kāi)工），日照境內(nèi)約49.8公里，設(shè)五蓮北站、莒縣北站，投資約94.42億元．將數(shù)據(jù)94.42億用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．0.9442×1012 B．9.442×109 C．9.442×1010 D．94.42×108【變式65】（2023春?豐寧縣期末）光年是天文學(xué)上的一種距離單位，一光年是指光在一年內(nèi)走過(guò)的路程，約等于9.46×1012km．據(jù)探測(cè)某星體距離地球約為2光年，則2光年用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．9.46×1013 B．18.92×1012 C．1.892×1013 D．1.892×1014【變式66】（2023?龍