數(shù)學(xué)－《角平分線的性質(zhì)》教案　2024-2025學(xué)年北師大版數(shù)學(xué)七年級(jí)下冊(cè)

5.2.3《角平分線的性質(zhì)》教案教學(xué)目標(biāo)（一）數(shù)學(xué)抽象與幾何直觀能從折紙、尺規(guī)作圖等直觀操作中，抽象出角平分線的軸對(duì)稱(chēng)性質(zhì)，理解“角平分線上的點(diǎn)到兩邊距離相等”的本質(zhì)特征。通過(guò)圖形變換（折疊、對(duì)稱(chēng)）直觀感知角平分線的對(duì)稱(chēng)性，建立幾何圖形與數(shù)量關(guān)系的聯(lián)系。（二）邏輯推理與探究能力經(jīng)歷“猜想→實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證→演繹證明”的完整推理過(guò)程，能用三角形全等（SAS）證明角平分線的性質(zhì)定理，發(fā)展推理意識(shí)。在尺規(guī)作圖中，理解“作角平分線”與“作垂線”的邏輯關(guān)聯(lián)，體會(huì)幾何證明的嚴(yán)謹(jǐn)性。（三）數(shù)學(xué)運(yùn)算與應(yīng)用意識(shí)能運(yùn)用角平分線性質(zhì)進(jìn)行簡(jiǎn)單計(jì)算（如線段長(zhǎng)度、面積比），并解決實(shí)際問(wèn)題（如信號(hào)塔選址），體現(xiàn)數(shù)學(xué)工具性。通過(guò)跨學(xué)科情境（如物理中的光路反射），感受數(shù)學(xué)在現(xiàn)實(shí)中的廣泛應(yīng)用。（四）創(chuàng)新意識(shí)與合作交流在小組探究中，嘗試用多種方法驗(yàn)證性質(zhì)定理（如面積法、坐標(biāo)法），培養(yǎng)發(fā)散思維。通過(guò)“作角的四等分線”等任務(wù)，激發(fā)創(chuàng)新思維與實(shí)踐能力。二、教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn)落實(shí)核心素養(yǎng)難點(diǎn)突破策略1.角平分線性質(zhì)的探究與證明2.尺規(guī)作圖的原理與操作幾何直觀、推理意識(shí)1.性質(zhì)定理的逆向應(yīng)用（判定鋪墊）2.復(fù)雜情境中性質(zhì)的靈活運(yùn)用 通過(guò)“問(wèn)題鏈”引導(dǎo)推理：①折紙實(shí)驗(yàn)→直觀猜想②全等證明→邏輯驗(yàn)證③變式練習(xí)→應(yīng)用遷移三、教學(xué)過(guò)程（一）情境導(dǎo)入：跨學(xué)科關(guān)聯(lián)（5分鐘）物理情境引入：展示激光燈照射角鏡面的實(shí)驗(yàn)圖，提問(wèn)：“為什么反射光線會(huì)使角兩邊的光斑到角平分線距離相等？”數(shù)學(xué)抽象：將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“角平分線上的點(diǎn)到兩邊距離相等”，激活前導(dǎo)知識(shí)（點(diǎn)到直線距離、軸對(duì)稱(chēng)）。動(dòng)手操作：學(xué)生用半透明紙畫(huà)∠AOB，折疊使OA與OB重合，觀察折痕與角的關(guān)系，歸納：角是軸對(duì)稱(chēng)圖形，角平分線是對(duì)稱(chēng)軸。（二）探究活動(dòng)：素養(yǎng)導(dǎo)向的學(xué)習(xí)任務(wù)（20分鐘）任務(wù)1：性質(zhì)猜想與驗(yàn)證（幾何直觀+推理意識(shí)）實(shí)驗(yàn)探究：在折痕（角平分線OP）上任取一點(diǎn)C，作CD⊥OA于D，CD'⊥OB于D'，測(cè)量CD與CD'長(zhǎng)度，猜想關(guān)系。改變點(diǎn)C位置，重復(fù)實(shí)驗(yàn)，記錄結(jié)果：CD=CD'始終成立。邏輯證明：引導(dǎo)學(xué)生將折紙對(duì)稱(chēng)性轉(zhuǎn)化為幾何語(yǔ)言：∵OP平分∠AOB，∴∠AOP=∠BOP。證明△OCD≌△OCD'（SAS），得出CD=CD'，強(qiáng)化“全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等”的推理依據(jù)。符號(hào)表征：?CD=CD′∠AOC=∠BOC?CD=CD′CD⊥OA,CD′⊥OB任務(wù)2：尺規(guī)作圖與原理分析（數(shù)學(xué)抽象+實(shí)踐能力）作圖挑戰(zhàn)：教師示范作∠AOB的平分線，學(xué)生跟隨操作并標(biāo)注步驟：步驟1：畫(huà)弧定交點(diǎn)M、N（半徑相等隱含“對(duì)稱(chēng)”）；步驟2：畫(huà)弧定交點(diǎn)C（到M、N距離相等的點(diǎn)在MN垂直平分線上）；步驟3：作射線OC（兩點(diǎn)確定一條直線）。原理追問(wèn)：“為什么OC是角平分線？”引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)△OMC≌△ONC（SSS）證明∠AOC=∠BOC。思維拓展：“如何用尺規(guī)將角四等分？”（提示：先作平分線，再分別平分兩個(gè)子角，滲透“化歸思想”）。（三）分層練習(xí)：結(jié)構(gòu)化問(wèn)題鏈（15分鐘）基礎(chǔ)層（知識(shí)鞏固）練習(xí)1：如圖，BD平分∠ABC，DE⊥AB，DC⊥BC，若DE=5，則DC=______。（直接應(yīng)用性質(zhì)，答案：5）練習(xí)2：尺規(guī)作平角的平分線，思考：“作平角平分線與過(guò)直線上一點(diǎn)作垂線有何聯(lián)系？”（銜接垂線作法，答案：平角平分線即垂線）。提升層（能力遷移）例題：在△ABC中，AD平分∠BAC，AB=8，AC=6，△ABD面積為10，求△ACD面積。思路：利用角平分線性質(zhì)（高相等），面積比=底邊長(zhǎng)比=8:6=4:3，得△ACD面積=7.5。實(shí)際應(yīng)用：教材習(xí)題“信號(hào)塔選址”（需滿足到兩公路距離相等且到兩城鎮(zhèn)距離相等），引導(dǎo)學(xué)生畫(huà)出角平分線與線段垂直平分線的交點(diǎn)，培養(yǎng)應(yīng)用意識(shí)。創(chuàng)新層（素養(yǎng)拓展）開(kāi)放問(wèn)題：“除了用全等三角形，還能用什么方法證明角平分線性質(zhì)？”（提示：坐標(biāo)法——設(shè)角頂點(diǎn)在原點(diǎn)，用解析幾何計(jì)算距離）。（四）課堂小結(jié)：素養(yǎng)維度回顧（3分鐘）知識(shí)網(wǎng)絡(luò)：核心素養(yǎng)總結(jié)：幾何直觀：通過(guò)折疊、作圖直觀理解性質(zhì)；推理意識(shí)：從實(shí)驗(yàn)猜想走向邏輯證明；應(yīng)用意識(shí)：解決信號(hào)塔選址等實(shí)際問(wèn)題。（五）課后任務(wù)：分層與跨學(xué)科（2分鐘）四、板書(shū)設(shè)計(jì)角平分線的性質(zhì)一、核心性質(zhì)軸對(duì)稱(chēng)性：折痕即角平分線幾何語(yǔ)言：CD=CD'（角平分線上的點(diǎn)到兩邊距離相等）二、尺規(guī)作圖步驟1.畫(huà)弧截兩邊（等半徑）2.畫(huà)弧定交點(diǎn)（等距離）3.作射線（兩點(diǎn)一線）原理：△OMC≌△ONC（SSS）三、素養(yǎng)鏈接幾何直觀：折疊實(shí)驗(yàn)→圖形對(duì)稱(chēng)推理意識(shí)：實(shí)驗(yàn)猜想→邏輯證明應(yīng)用意識(shí)：信號(hào)塔選址→距離相等五、教學(xué)反思情境有效性：通過(guò)激光反射情境，成功激活學(xué)生對(duì)“距離相等”的直觀感知，但若能引入數(shù)字化工具（如幾何畫(huà)板動(dòng)態(tài)演示），可進(jìn)一步提升直觀體驗(yàn)。推理訓(xùn)練：在證明環(huán)節(jié)，部分學(xué)生對(duì)“角平分線定義”與“全等條件”的邏輯銜接仍不熟練，需通過(guò)追問(wèn)“為什么∠AOP=∠BOP？”強(qiáng)化推理鏈條。分層任務(wù)：創(chuàng)新層任務(wù)（角五等分）對(duì)基礎(chǔ)較弱學(xué)生難度較大，可提供“黃金分割”等提示，體現(xiàn)“不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同發(fā)展”的課標(biāo)理念。修改說(shuō)明：素養(yǎng)融入：每個(gè)環(huán)節(jié)明確標(biāo)注核心素養(yǎng)指向，如實(shí)驗(yàn)探究培養(yǎng)幾何直觀，證明過(guò)程強(qiáng)化推理意識(shí)，實(shí)際應(yīng)用體現(xiàn)應(yīng)用意識(shí)?？鐚W(xué)科整合：引入物理光學(xué)情境，體現(xiàn)數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的關(guān)聯(lián)，落實(shí)