吉林省長(zhǎng)春市2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期開學(xué)考試

/長(zhǎng)春2024-2025學(xué)年高二第一學(xué)期期初考試數(shù)學(xué)試卷本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共4頁?？荚嚱Y(jié)束后，將答題卡交回。注意事項(xiàng)：1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4.作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。第Ⅰ卷(選擇題)一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2.若平面向量與的夾角為60°，，則等于（

）A．10 B．12 C． D．3.一組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為1，2，4，4，5，8，則該組數(shù)據(jù)的分位數(shù)是（

）A．4 B．5 C．6 D．6.54.如圖所示是水平放置三角形的直觀圖，點(diǎn)D是的邊中點(diǎn)，，分別與′軸、′軸平行，則三條線段，，中（

）A．最長(zhǎng)的是，最短的是B．最長(zhǎng)的是，最短的是C．最長(zhǎng)的是，最短的是D．最長(zhǎng)的是，最短的是5.在中，，，滿足條件的（

）A．有一解 B．有兩解 C．無解 D．不能確定6.自改革開放以來，我國(guó)綜合國(guó)力顯著提升，人民生活水平有了極大提高，也在不斷追求美好生活．某研究所統(tǒng)計(jì)了自2013年至2019年來空氣凈化器的銷量情況，繪制了如圖的統(tǒng)計(jì)圖．觀察統(tǒng)計(jì)圖，下列說法中不正確的是（

）A．2013年——2019年空氣凈化器的銷售量逐年在增加B．2017年銷售量的同比增長(zhǎng)率最低C．與2018年相比，2019年空氣凈化器的銷售量幾乎沒有增長(zhǎng)D．有連續(xù)三年的銷售增長(zhǎng)率超過7.沙漏是我國(guó)古代的一種計(jì)時(shí)工具，是用兩個(gè)完全相同的圓錐頂對(duì)頂疊放在一起組成的（如圖）.在一個(gè)圓錐中裝滿沙子，放在上方，沙子就從頂點(diǎn)處漏到另一個(gè)圓錐中，假定沙子漏下來的速度是恒定的（沙堆的底面是水平的）.已知一個(gè)沙漏中沙子全部從一個(gè)圓錐漏到另一個(gè)圓錐中需用時(shí)27分鐘，則經(jīng)過19分鐘后，沙漏上方圓錐中的沙子的高度與下方圓錐中的沙子的高度之比是（

）A．2:3 B．2:1 C．1:1 D．3:28.已知正方體，點(diǎn)，，分別是線段，和上的動(dòng)點(diǎn)，觀察直線與，與給出下列結(jié)論：其中正確的結(jié)論是①對(duì)于任意給定的點(diǎn)，存在點(diǎn)，使得；②對(duì)于任意給定的點(diǎn)，存在點(diǎn)，使得；③對(duì)于任意給定的點(diǎn)，存在點(diǎn)，使得；④對(duì)于任意給定的點(diǎn)，存在點(diǎn)，使得．A．① B．②③ C．①④ D．②④二、多項(xiàng)選擇題：本題共3題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知向量，，滿足，，，則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．向量，的夾角為10.下列說法正確的是（

）A．拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，至少有一枚骰子的點(diǎn)數(shù)是3的概率為B．甲乙兩人獨(dú)立地解題，已知各人能解出的概率分別是，，則題被解出的概率是C．某小組由5名學(xué)生組成，其中3名男生，2名女生，現(xiàn)從中任選兩名學(xué)生參加演講比賽，至少有一名男生與至少有一名女生是互斥事件D．兩位男生和兩位女生隨機(jī)排成一列，則兩位女生不相鄰的概率是11.的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則的面積為B．若，則角C．若，則為等腰或直角三角形D．不存在，使成立第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知，，，…，的中位數(shù)與方差分別為2，1，則，，，…，的中位數(shù)與方差的和為．13.若圓臺(tái)的上下底面半徑分別為1，2，母線長(zhǎng)為，則該圓臺(tái)的體積．14.2006年5月20日，蹴鞠作為非物質(zhì)文化遺產(chǎn)經(jīng)國(guó)務(wù)院批準(zhǔn)列入第一批國(guó)家級(jí)非物質(zhì)文化遺產(chǎn)名錄.“蹴”有用腳蹴、踢的含義，“鞠”最早是外包皮革、內(nèi)飾米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以腳蹴、踢皮球的活動(dòng).如圖所示，若將“鞠”的表面視為光滑的球面，已知某“鞠”的表面上有四個(gè)點(diǎn)P，A，B，C，滿足，平面ABC，，若的面積為2，則制作該“鞠”的外包皮革面積的最小值為.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.（本小題13分）已知復(fù)數(shù)，，其中a是正實(shí)數(shù)．(1)若，求實(shí)數(shù)a的值；(2)若是純虛數(shù)，求a的值．16.（本小題15分）已知向量，(1)若，求實(shí)數(shù)的值；(2)若與的夾角是鈍角，求實(shí)數(shù)的取值范圍.17.（本小題15分）2022年2月4日，第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)開幕式在北京國(guó)家體育場(chǎng)（鳥巢）舉行，某調(diào)研機(jī)構(gòu)為了了解人們對(duì)“奧運(yùn)會(huì)”相關(guān)知識(shí)的認(rèn)知程度，針對(duì)本市不同年齡和不同職業(yè)的人舉辦了一次“奧運(yùn)會(huì)”知識(shí)競(jìng)賽，滿分100分分及以上為認(rèn)知程度高），結(jié)果認(rèn)知程度高的有人，按年齡分成5組，其中第一組，第二組，第三組，第四組，第五組，得到如圖所示的頻率分布直方圖，已知第一組有10人．(1)根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)這人的平均年齡；現(xiàn)從以上各組中用分層隨機(jī)抽樣的方法選取20人，擔(dān)任本市的“奧運(yùn)會(huì)”宣傳使者．(2)若有甲（年齡，乙（年齡兩人已確定入選，現(xiàn)計(jì)劃從第四組和第五組被抽到的使者中，再隨機(jī)抽取2名作為組長(zhǎng)，求甲、乙兩人至少有一人被選上的概率；(3)若第四組宣傳使者的年齡的平均數(shù)與方差分別為36和，第五組宣傳使者的年齡的平均數(shù)與方差分別為42和1，據(jù)此估計(jì)這人中歲所有人的年齡的方差．18.（本小題17分）的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知．（1）求；（2）若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍．19.（本小題17分）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，在底面ABCD中，，，，．(1)求證：；(2)若平面與平面夾角等于，求異面直線與所成角的余弦值．2024-2025學(xué)年第一學(xué)期期初考試高二年級(jí)數(shù)學(xué)試卷答案D2.D3.B4.B5.A6.C7.B8.A9.AB10.AD11.BCD12.713.14.15.(1)2(2)2【分析】（1）根據(jù)復(fù)數(shù)的定義及復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則構(gòu)建關(guān)于的方程組，求解的值；（2）根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求解，利用復(fù)數(shù)的定義，構(gòu)建關(guān)于的方程組，求解的值；【詳解】（1）解：∵，，，∴，從而，解得，所以實(shí)數(shù)a的值為2．（2）依題意得：，因?yàn)槭羌兲摂?shù)，所以：，解得：或；又因?yàn)閍是正實(shí)數(shù)，所以a＝2．16.(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)?，，所以，因?yàn)椋?，解得；?）因?yàn)榕c的夾角是鈍角，，，所以，解得，又當(dāng)，即時(shí)，，此時(shí)與的夾角為，故，綜上可得.17.【答案】(1)(2)(3)10【詳解】（1）解：設(shè)這人的平均年齡為，則（歲；（2）由頻率分布直方圖可知各組的頻率之比為，第四組應(yīng)抽取人，記為，，，甲，第五組抽取人，記為，乙，對(duì)應(yīng)的樣本空間為，，，甲），，乙），，，，甲），，乙），，，甲），乙），，（甲，乙），（甲，，（乙，，共15個(gè)樣本點(diǎn)．分設(shè)事件“甲、乙兩人至少一人被選上”，則，甲），，乙），，甲），，乙），，甲），，乙），（甲，乙），（甲，，（乙，，共有9個(gè)樣本點(diǎn)，所以；（3）設(shè)第四組、第五組的宣傳使者的年齡的平均數(shù)分別為，，方差分別為，，則，，，，設(shè)第四組和第五組所有宣傳使者的年齡平均數(shù)為，方差為；則，因此第四組和第五組所有宣傳使者的年齡方差為10，據(jù)此可估計(jì)這人中年齡在歲的所有人的年齡方差約為1018.(1);(2).【詳解】(1)由三角形的內(nèi)角和定理得，此時(shí)就變?yōu)椋烧T導(dǎo)公式得，所以．在中，由正弦定理知，此時(shí)就有，即，再由二倍角的正弦公式得，解得．(2)因?yàn)槭卿J角三角形，又，所以，