多元視角下數(shù)學(xué)問題外部表征對(duì)初三學(xué)生解題能力的影響探究

多元視角下數(shù)學(xué)問題外部表征對(duì)初三學(xué)生解題能力的影響探究一、引言1.1研究背景與意義初三作為初中向高中過渡的關(guān)鍵時(shí)期，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要性不言而喻。這一階段的數(shù)學(xué)知識(shí)不僅在深度和廣度上有了顯著提升，涵蓋了更為復(fù)雜的代數(shù)方程、幾何圖形以及函數(shù)等內(nèi)容，而且對(duì)學(xué)生的思維能力提出了更高要求，需要學(xué)生從具體形象思維逐步向抽象邏輯思維轉(zhuǎn)變。數(shù)學(xué)作為一門基礎(chǔ)學(xué)科，對(duì)于學(xué)生的學(xué)業(yè)發(fā)展起著決定性作用，在中考中占據(jù)重要分值比例，直接影響學(xué)生進(jìn)入高中的層次，進(jìn)而關(guān)系到未來的高考以及長(zhǎng)遠(yuǎn)的職業(yè)發(fā)展。問題解決能力是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心能力之一，它貫穿于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的全過程。具備良好的問題解決能力，學(xué)生能夠靈活運(yùn)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)，將其遷移到各種復(fù)雜情境中，分析和解決實(shí)際問題。這不僅有助于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)，更能培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維、創(chuàng)新思維以及批判性思維，為學(xué)生未來在各個(gè)領(lǐng)域的學(xué)習(xí)和工作奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。例如，在面對(duì)生活中的理財(cái)規(guī)劃、工程設(shè)計(jì)、數(shù)據(jù)分析等問題時(shí)，數(shù)學(xué)問題解決能力能夠幫助學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)方法進(jìn)行合理分析和決策。在數(shù)學(xué)問題解決過程中，外部表征方式扮演著至關(guān)重要的角色。數(shù)學(xué)問題的外部表征是指問題呈現(xiàn)的具體形式，如文字、符號(hào)、圖表、實(shí)物模型等。不同的外部表征方式具有各自獨(dú)特的特點(diǎn)和優(yōu)勢(shì)，能夠從不同角度刺激學(xué)生的感官，影響學(xué)生對(duì)問題的理解和思考方式。例如，文字表征能夠詳細(xì)闡述問題的背景和條件，但可能較為冗長(zhǎng)復(fù)雜，需要學(xué)生具備較強(qiáng)的閱讀理解能力；符號(hào)表征簡(jiǎn)潔明了，能夠準(zhǔn)確表達(dá)數(shù)學(xué)關(guān)系，但對(duì)于一些抽象思維能力較弱的學(xué)生來說，可能理解起來存在困難；圖表表征直觀形象，能夠清晰展示數(shù)量關(guān)系和空間結(jié)構(gòu)，有助于學(xué)生快速把握問題的關(guān)鍵信息，但可能會(huì)遺漏一些細(xì)節(jié)信息。研究數(shù)學(xué)問題外部表征方式對(duì)初三學(xué)生問題解決的影響，具有重要的實(shí)踐意義和理論意義。在實(shí)踐方面，對(duì)于教師教學(xué)而言，深入了解不同外部表征方式對(duì)學(xué)生問題解決的影響，能夠幫助教師根據(jù)教學(xué)內(nèi)容和學(xué)生的實(shí)際情況，合理選擇和設(shè)計(jì)問題的外部表征形式，優(yōu)化教學(xué)方法和策略，提高課堂教學(xué)的針對(duì)性和有效性。例如，對(duì)于幾何問題，教師可以多采用圖表表征的方式，幫助學(xué)生直觀地理解圖形的性質(zhì)和關(guān)系；對(duì)于代數(shù)問題，教師可以結(jié)合符號(hào)表征和文字表征，引導(dǎo)學(xué)生準(zhǔn)確把握數(shù)量關(guān)系。同時(shí)，教師還可以根據(jù)學(xué)生對(duì)不同表征方式的反饋，及時(shí)調(diào)整教學(xué)進(jìn)度和難度，滿足學(xué)生的個(gè)性化學(xué)習(xí)需求，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣和自信心。對(duì)于學(xué)生學(xué)習(xí)而言，了解數(shù)學(xué)問題外部表征方式與問題解決之間的關(guān)系，能夠幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)到不同表征方式的特點(diǎn)和作用，學(xué)會(huì)根據(jù)問題的類型和自身的思維習(xí)慣，靈活選擇合適的外部表征方式來理解和解決問題，提高問題解決的效率和準(zhǔn)確性。這有助于學(xué)生掌握有效的學(xué)習(xí)方法，培養(yǎng)自主學(xué)習(xí)能力，促進(jìn)數(shù)學(xué)思維的發(fā)展，為今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和終身學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。從理論角度來看，盡管目前在數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域已經(jīng)對(duì)問題表征展開了一定的研究，但對(duì)于外部表征方式如何具體影響初三學(xué)生數(shù)學(xué)問題解決的內(nèi)在機(jī)制，尚未形成系統(tǒng)且深入的認(rèn)識(shí)。本研究旨在填補(bǔ)這一理論空白，通過實(shí)證研究深入探究不同外部表征方式在初三學(xué)生數(shù)學(xué)問題解決過程中的作用機(jī)制，揭示學(xué)生在面對(duì)不同表征方式時(shí)的認(rèn)知過程和思維特點(diǎn)，豐富和完善數(shù)學(xué)教育心理學(xué)中關(guān)于問題表征與問題解決的理論體系，為數(shù)學(xué)教育研究提供新的視角和思路，推動(dòng)數(shù)學(xué)教育理論的發(fā)展和創(chuàng)新。1.2國內(nèi)外研究現(xiàn)狀在數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域，數(shù)學(xué)問題表征一直是研究的重要課題，而外部表征方式對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)問題解決的影響更是備受關(guān)注。國外對(duì)數(shù)學(xué)問題表征的研究起步較早，20世紀(jì)80年代，認(rèn)知心理學(xué)的興起為其提供了新視角與方法。Simon和Newell通過對(duì)問題解決過程的研究，提出“問題空間”理論，認(rèn)為問題表征是在問題空間中對(duì)問題的初始狀態(tài)、目標(biāo)狀態(tài)和操作算子的構(gòu)建，為后續(xù)研究奠定了基礎(chǔ)。Larkin和Simon提出數(shù)學(xué)問題的四種表征形式：文字表征、符號(hào)表征、圖表表征和心理表征。文字表征依靠文字描述與理解問題，符號(hào)表征運(yùn)用數(shù)學(xué)符號(hào)和公式表達(dá)，圖表表征借助圖形、表格等直觀呈現(xiàn)信息，心理表征則是個(gè)體頭腦中對(duì)問題的內(nèi)在理解與認(rèn)知結(jié)構(gòu)。研究表明，不同表征形式在數(shù)學(xué)問題解決中作用和效果各異，學(xué)生應(yīng)依據(jù)問題特點(diǎn)選擇合適方式以提高解題效率。如在解決函數(shù)問題時(shí)，圖表表征能直觀呈現(xiàn)函數(shù)的變化趨勢(shì)，幫助學(xué)生快速把握函數(shù)的性質(zhì)，而符號(hào)表征則能精確地進(jìn)行函數(shù)運(yùn)算和推導(dǎo)。此后，眾多學(xué)者圍繞這四種表征形式展開深入研究。如在符號(hào)表征研究方面，Kieran的研究發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在代數(shù)學(xué)習(xí)中對(duì)符號(hào)表征的理解和運(yùn)用能力，直接影響他們對(duì)代數(shù)方程的求解和函數(shù)關(guān)系的把握。那些能夠熟練運(yùn)用符號(hào)進(jìn)行推理和運(yùn)算的學(xué)生，在解決代數(shù)問題時(shí)往往更加得心應(yīng)手。在圖表表征研究中，Tversky的研究表明，圖表的布局、標(biāo)注以及與問題內(nèi)容的匹配程度，都會(huì)影響學(xué)生對(duì)圖表信息的提取和利用，進(jìn)而影響問題解決的效果。在數(shù)學(xué)問題表征與學(xué)生認(rèn)知能力關(guān)系的研究上，Sternberg通過實(shí)驗(yàn)研究發(fā)現(xiàn)，學(xué)生的認(rèn)知風(fēng)格和能力水平會(huì)影響他們對(duì)問題表征方式的選擇和運(yùn)用。具有較強(qiáng)抽象思維能力的學(xué)生，在面對(duì)復(fù)雜數(shù)學(xué)問題時(shí)，更傾向于選擇符號(hào)表征方式，能夠快速將問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)符號(hào)進(jìn)行分析和求解；而形象思維能力較強(qiáng)的學(xué)生，則更擅長(zhǎng)運(yùn)用圖表表征方式，通過構(gòu)建直觀的圖形來理解問題。國內(nèi)對(duì)于數(shù)學(xué)問題表征的研究雖起步晚，但發(fā)展迅速。早期研究多集中于理論層面，對(duì)國外相關(guān)理論進(jìn)行引入和梳理。隨著研究深入，開始結(jié)合國內(nèi)教學(xué)實(shí)際，開展實(shí)證研究。喻平通過對(duì)初中生數(shù)學(xué)問題解決過程的研究發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，若能靈活運(yùn)用多種外部表征方式，解題正確率和效率會(huì)顯著提高。例如，在幾何問題解決中，學(xué)生通過繪制輔助線、標(biāo)注圖形等圖表表征方式，能夠更好地理解圖形的性質(zhì)和關(guān)系，從而找到解題思路。吳增生在研究中指出，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)根據(jù)教學(xué)內(nèi)容和學(xué)生特點(diǎn)，合理運(yùn)用不同的外部表征方式，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行有效表征。如在講解一元二次方程時(shí)，可以先通過實(shí)際問題的文字表征，讓學(xué)生理解方程的應(yīng)用背景，再引入符號(hào)表征，講解方程的解法，最后通過圖表表征，展示方程的根與系數(shù)的關(guān)系，幫助學(xué)生全面理解知識(shí)。然而，目前國內(nèi)外研究仍存在一些不足。在研究?jī)?nèi)容上，雖然對(duì)不同外部表征方式的作用有一定探討，但對(duì)于各種表征方式之間的相互轉(zhuǎn)換和整合研究較少。實(shí)際問題解決中，學(xué)生往往需要在多種表征方式間靈活切換，如何促進(jìn)這種轉(zhuǎn)換，提高學(xué)生綜合運(yùn)用表征方式的能力，有待進(jìn)一步研究。例如，在解決實(shí)際的數(shù)學(xué)應(yīng)用問題時(shí)，學(xué)生可能需要先將文字信息轉(zhuǎn)化為符號(hào)表征，再通過圖表表征來輔助理解，最后又回到符號(hào)表征進(jìn)行計(jì)算求解，但目前對(duì)于這種轉(zhuǎn)換過程的內(nèi)在機(jī)制和影響因素研究還不夠深入。在研究對(duì)象上，針對(duì)初三學(xué)生這一特定群體，結(jié)合其面臨中考的學(xué)習(xí)壓力和數(shù)學(xué)知識(shí)掌握水平，深入探究外部表征方式對(duì)其問題解決影響的研究還不夠充分。初三學(xué)生處于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的關(guān)鍵轉(zhuǎn)型期，面臨著知識(shí)難度增加和中考?jí)毫?，其在?shù)學(xué)問題解決中對(duì)外部表征方式的需求和運(yùn)用特點(diǎn)可能與其他階段學(xué)生不同。在研究方法上，雖然實(shí)驗(yàn)研究、調(diào)查研究等方法被廣泛應(yīng)用，但方法的創(chuàng)新性和多樣性仍需加強(qiáng)，且不同研究方法之間的整合運(yùn)用還不夠成熟，難以全面、深入地揭示外部表征方式對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)問題解決的影響機(jī)制。1.3研究方法與創(chuàng)新點(diǎn)本研究主要采用調(diào)查法、測(cè)試法和訪談法相結(jié)合的方式，全面深入地探究數(shù)學(xué)問題外部表征方式對(duì)初三學(xué)生問題解決的影響。調(diào)查法用于了解初三學(xué)生對(duì)不同數(shù)學(xué)問題外部表征方式的認(rèn)知和偏好。通過精心設(shè)計(jì)調(diào)查問卷，內(nèi)容涵蓋學(xué)生對(duì)文字、符號(hào)、圖表、實(shí)物模型等表征方式的熟悉程度、喜歡程度以及在日常學(xué)習(xí)中運(yùn)用各種表征方式的頻率等方面。問卷發(fā)放面向多個(gè)班級(jí)的初三學(xué)生，確保樣本具有廣泛的代表性。對(duì)回收的有效問卷進(jìn)行數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)和分析，運(yùn)用統(tǒng)計(jì)軟件計(jì)算各項(xiàng)數(shù)據(jù)的頻率、均值、標(biāo)準(zhǔn)差等統(tǒng)計(jì)量，從而了解學(xué)生在不同維度上對(duì)外部表征方式的態(tài)度和行為傾向，為后續(xù)研究提供基礎(chǔ)數(shù)據(jù)支持。測(cè)試法旨在通過實(shí)際的數(shù)學(xué)問題測(cè)試，考察學(xué)生在不同外部表征方式下的問題解決能力。選取具有代表性的數(shù)學(xué)問題，涵蓋代數(shù)、幾何、函數(shù)等多個(gè)知識(shí)領(lǐng)域，將這些問題分別以文字、符號(hào)、圖表、實(shí)物模型等不同的外部表征方式呈現(xiàn)給學(xué)生。組織學(xué)生在規(guī)定時(shí)間內(nèi)完成測(cè)試，記錄學(xué)生的答題情況，包括答題的正確率、解題時(shí)間、解題思路等。對(duì)測(cè)試數(shù)據(jù)進(jìn)行詳細(xì)分析，比較學(xué)生在不同表征方式下的解題表現(xiàn)，運(yùn)用方差分析、相關(guān)分析等統(tǒng)計(jì)方法，探究不同外部表征方式與學(xué)生解題成績(jī)、解題時(shí)間之間的關(guān)系，以及學(xué)生解題思路在不同表征方式下的差異。訪談法作為輔助研究方法，用于深入了解學(xué)生在面對(duì)不同外部表征方式時(shí)的思考過程、困難和需求。根據(jù)測(cè)試結(jié)果和調(diào)查數(shù)據(jù)，選取具有典型性的學(xué)生進(jìn)行訪談，包括解題成績(jī)優(yōu)秀和解題成績(jī)較差的學(xué)生，以及對(duì)不同表征方式有明顯偏好的學(xué)生。訪談過程采用半結(jié)構(gòu)化的方式，圍繞學(xué)生對(duì)不同表征方式的理解、感受、運(yùn)用策略以及在解題過程中遇到的問題等方面展開。對(duì)訪談內(nèi)容進(jìn)行詳細(xì)記錄和整理，通過編碼和主題分析的方法，提煉出學(xué)生在問題解決過程中對(duì)外部表征方式的深層次認(rèn)知和體驗(yàn)，為研究提供豐富的質(zhì)性數(shù)據(jù)，進(jìn)一步補(bǔ)充和解釋調(diào)查法和測(cè)試法所得到的結(jié)果。在研究視角上，本研究聚焦于初三這一初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的關(guān)鍵階段，充分考慮到初三學(xué)生面臨中考的特殊學(xué)習(xí)背景和心理狀態(tài)，以及他們?cè)跀?shù)學(xué)知識(shí)掌握和思維發(fā)展上的階段性特點(diǎn)。與以往對(duì)初中學(xué)生的籠統(tǒng)研究不同，專門針對(duì)初三學(xué)生展開研究，能夠更精準(zhǔn)地把握這一特定群體在數(shù)學(xué)問題解決中對(duì)外部表征方式的獨(dú)特需求和運(yùn)用規(guī)律，為初三數(shù)學(xué)教學(xué)提供更具針對(duì)性和時(shí)效性的建議。在研究方法的運(yùn)用上，本研究創(chuàng)新性地將調(diào)查法、測(cè)試法和訪談法有機(jī)結(jié)合，充分發(fā)揮各種方法的優(yōu)勢(shì)，彌補(bǔ)單一方法的局限性。通過調(diào)查法從宏觀層面了解學(xué)生對(duì)外部表征方式的整體認(rèn)知和偏好；通過測(cè)試法從客觀層面量化學(xué)生在不同表征方式下的問題解決能力；通過訪談法從微觀層面深入挖掘?qū)W生的內(nèi)心想法和思維過程。這種多方法的整合運(yùn)用，能夠從多個(gè)角度全面揭示數(shù)學(xué)問題外部表征方式對(duì)初三學(xué)生問題解決的影響機(jī)制，使研究結(jié)果更加豐富、全面、深入和可靠。二、相關(guān)概念與理論基礎(chǔ)2.1數(shù)學(xué)問題表征的內(nèi)涵數(shù)學(xué)問題表征是數(shù)學(xué)問題解決過程中的關(guān)鍵起始環(huán)節(jié)，對(duì)學(xué)生能否成功解決數(shù)學(xué)問題起著決定性作用。它是指學(xué)生在面對(duì)數(shù)學(xué)問題時(shí)，對(duì)問題信息進(jìn)行提取、分析、整合以及轉(zhuǎn)化為內(nèi)部心理結(jié)構(gòu)的過程。在這個(gè)過程中，學(xué)生需要理解問題所傳達(dá)的信息，將其與已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)建立聯(lián)系，從而構(gòu)建出對(duì)問題的理解框架。例如，當(dāng)學(xué)生遇到一道數(shù)學(xué)應(yīng)用題時(shí)，他們需要仔細(xì)閱讀題目，明確題目中的已知條件和所求問題，分析各個(gè)條件之間的關(guān)系，然后將這些信息轉(zhuǎn)化為自己能夠理解和運(yùn)用的數(shù)學(xué)語言，這一系列的思維活動(dòng)就是數(shù)學(xué)問題表征的過程。數(shù)學(xué)問題表征可分為內(nèi)部表征和外部表征。內(nèi)部表征是指?jìng)€(gè)體在頭腦中對(duì)問題信息進(jìn)行加工、存儲(chǔ)和組織的方式，是一種基于個(gè)人認(rèn)知結(jié)構(gòu)和思維方式的內(nèi)在心理過程。它受到個(gè)體的知識(shí)儲(chǔ)備、認(rèn)知能力、思維習(xí)慣等多種因素的影響。例如，對(duì)于同一道數(shù)學(xué)問題，不同的學(xué)生可能會(huì)在頭腦中形成不同的內(nèi)部表征，有的學(xué)生可能會(huì)通過形象的思維方式，在腦海中構(gòu)建出問題的情境畫面；而有的學(xué)生則可能會(huì)運(yùn)用抽象的邏輯思維，將問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)符號(hào)和公式進(jìn)行思考。外部表征則是將問題信息以具體的形式呈現(xiàn)出來，包括文字、符號(hào)、圖表、實(shí)物模型等。這些外部表征形式能夠?qū)⒊橄蟮臄?shù)學(xué)問題變得更加直觀、具體，有助于學(xué)生更好地理解問題和進(jìn)行思考。不同的外部表征方式具有各自獨(dú)特的特點(diǎn)和優(yōu)勢(shì)，在數(shù)學(xué)問題解決中發(fā)揮著不同的作用。文字表征是用自然語言對(duì)數(shù)學(xué)問題進(jìn)行描述和表達(dá)。它能夠詳細(xì)地闡述問題的背景、條件和要求，使學(xué)生對(duì)問題有一個(gè)全面的了解。在數(shù)學(xué)應(yīng)用題中，通常會(huì)使用大量的文字來描述問題情境，學(xué)生需要通過閱讀文字，提取關(guān)鍵信息，理解問題的含義。然而，文字表征也存在一些局限性，由于文字表述可能較為冗長(zhǎng)和復(fù)雜，學(xué)生在閱讀和理解過程中容易受到語言理解能力的影響，可能會(huì)出現(xiàn)信息遺漏或誤解的情況。符號(hào)表征是運(yùn)用數(shù)學(xué)符號(hào)、公式、方程等對(duì)數(shù)學(xué)問題進(jìn)行表示。它具有簡(jiǎn)潔、準(zhǔn)確、抽象的特點(diǎn)，能夠精確地表達(dá)數(shù)學(xué)概念、關(guān)系和運(yùn)算。在代數(shù)問題中，符號(hào)表征被廣泛應(yīng)用，例如用“x+2=5”來表示一個(gè)簡(jiǎn)單的一元一次方程，通過符號(hào)運(yùn)算可以快速求解出x的值。符號(hào)表征能夠幫助學(xué)生進(jìn)行邏輯推理和運(yùn)算，但對(duì)于一些抽象思維能力較弱的學(xué)生來說，理解和運(yùn)用符號(hào)可能會(huì)存在一定的困難。圖表表征是借助圖形、圖像、表格等形式來呈現(xiàn)數(shù)學(xué)問題的信息。它具有直觀、形象、可視化的特點(diǎn)，能夠?qū)?fù)雜的數(shù)量關(guān)系和空間結(jié)構(gòu)清晰地展示出來，有助于學(xué)生快速把握問題的關(guān)鍵信息，建立起問題的整體框架。在解決幾何問題時(shí)，圖表表征能夠幫助學(xué)生直觀地觀察圖形的特征和性質(zhì)，找到解題的思路；在數(shù)據(jù)分析問題中，表格和統(tǒng)計(jì)圖能夠?qū)?shù)據(jù)進(jìn)行有序的整理和呈現(xiàn)，使學(xué)生更容易發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)之間的規(guī)律和趨勢(shì)。實(shí)物模型表征是利用實(shí)際的物體或模型來表示數(shù)學(xué)問題，將抽象的數(shù)學(xué)概念和關(guān)系具象化。在學(xué)習(xí)立體幾何時(shí)，使用正方體、球體等實(shí)物模型，學(xué)生可以通過觀察和觸摸模型，更加直觀地理解立體圖形的形狀、大小和位置關(guān)系，增強(qiáng)對(duì)空間概念的認(rèn)知。實(shí)物模型表征能夠讓學(xué)生從多個(gè)感官角度去感受和理解數(shù)學(xué)問題，但在實(shí)際應(yīng)用中可能會(huì)受到模型制作和展示的限制。2.2初三學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與問題解決特點(diǎn)初三學(xué)生在數(shù)學(xué)知識(shí)儲(chǔ)備上，經(jīng)歷了初一、初二階段的學(xué)習(xí)積累，已掌握了較為系統(tǒng)的代數(shù)和幾何基礎(chǔ)知識(shí)。在代數(shù)方面，他們熟練掌握了有理數(shù)、實(shí)數(shù)的運(yùn)算，整式、分式的化簡(jiǎn)與求值，以及一元一次方程、二元一次方程組、一元二次方程和不等式（組）的解法，能夠運(yùn)用方程和不等式解決一些實(shí)際問題。在函數(shù)部分，學(xué)生學(xué)習(xí)了一次函數(shù)、反比例函數(shù)和二次函數(shù)，了解函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)，能通過函數(shù)圖象分析函數(shù)的變化規(guī)律，運(yùn)用函數(shù)知識(shí)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際應(yīng)用問題。在幾何領(lǐng)域，初三學(xué)生認(rèn)識(shí)了點(diǎn)、線、面、角、三角形、四邊形、圓等基本圖形，掌握了這些圖形的性質(zhì)、判定定理以及相關(guān)的幾何證明方法。他們能夠運(yùn)用勾股定理求解直角三角形的邊長(zhǎng)，利用相似三角形和全等三角形的性質(zhì)和判定進(jìn)行幾何計(jì)算和證明，理解圓的基本性質(zhì)，如圓周角定理、垂徑定理等，并能解決與圓相關(guān)的幾何問題。從思維發(fā)展階段來看，初三學(xué)生正處于從具體形象思維向抽象邏輯思維過渡的關(guān)鍵時(shí)期。他們開始能夠運(yùn)用抽象的概念、原理進(jìn)行思考和推理，但在一定程度上仍需要具體事物或形象的支持。在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，對(duì)于一些直觀、形象的問題，學(xué)生能夠較快地理解和解決；而對(duì)于抽象程度較高的問題，如抽象的函數(shù)關(guān)系、復(fù)雜的幾何證明等，學(xué)生可能會(huì)遇到困難，需要借助具體的例子、圖形或模型來輔助理解。例如，在學(xué)習(xí)二次函數(shù)的最值問題時(shí)，學(xué)生通過繪制函數(shù)圖象，能夠更直觀地理解函數(shù)在不同區(qū)間上的最值情況；在證明幾何定理時(shí)，學(xué)生通過實(shí)際的圖形操作和觀察，能夠更好地掌握定理的證明思路。初三學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，常見的表現(xiàn)和困難具有多方面的特點(diǎn)。在閱讀理解方面，部分學(xué)生在面對(duì)文字較多、背景復(fù)雜的數(shù)學(xué)應(yīng)用題時(shí)，難以準(zhǔn)確提取關(guān)鍵信息，理解題意存在困難。例如，在一些涉及實(shí)際生活情境的數(shù)學(xué)問題中，學(xué)生可能會(huì)被復(fù)雜的背景描述所干擾，無法將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型。在知識(shí)運(yùn)用上，學(xué)生雖然掌握了一定的數(shù)學(xué)知識(shí)，但在解決綜合性問題時(shí)，往往難以靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的遷移和整合。例如，在代數(shù)與幾何綜合的問題中，學(xué)生可能無法將代數(shù)方法與幾何性質(zhì)有機(jī)結(jié)合，導(dǎo)致解題思路受阻。在思維能力方面，初三學(xué)生的邏輯思維能力仍有待提高，在解決需要嚴(yán)謹(jǐn)推理和論證的問題時(shí)，容易出現(xiàn)推理不嚴(yán)密、論證不充分的情況。在面對(duì)需要?jiǎng)?chuàng)新思維和發(fā)散思維的開放性問題時(shí)，部分學(xué)生思維局限，難以提出多種解題思路和方法。在解題策略選擇上，學(xué)生缺乏有效的解題策略和方法，在遇到問題時(shí)，不能根據(jù)問題的特點(diǎn)選擇合適的解題策略，導(dǎo)致解題效率低下。例如，在解決幾何問題時(shí)，不知道如何添加輔助線來構(gòu)造有效的幾何圖形；在解決函數(shù)問題時(shí)，不能靈活運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)和圖象來分析問題。此外，初三學(xué)生面臨中考?jí)毫Γ诳荚囍腥菀壮霈F(xiàn)緊張、焦慮等情緒，影響問題解決的能力和發(fā)揮。2.3理論基礎(chǔ)信息加工理論將人類認(rèn)知過程類比為計(jì)算機(jī)信息處理，涵蓋信息的輸入、編碼、存儲(chǔ)、檢索與輸出。在數(shù)學(xué)問題解決中，學(xué)生通過感官接收問題信息，進(jìn)行編碼轉(zhuǎn)化為可理解形式，存儲(chǔ)于長(zhǎng)時(shí)記憶并在需要時(shí)檢索，最后輸出解題結(jié)果。如學(xué)生面對(duì)函數(shù)問題，先讀取題目信息，將文字轉(zhuǎn)化為函數(shù)表達(dá)式，再檢索函數(shù)知識(shí)求解。該理論強(qiáng)調(diào)工作記憶在信息加工中的關(guān)鍵作用，其容量有限，一次僅能處理約7±2個(gè)信息組塊。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)里，復(fù)雜問題信息易超工作記憶負(fù)荷，阻礙問題解決。如復(fù)雜幾何證明題，眾多條件和圖形信息可能使學(xué)生工作記憶超載，難以理清思路。依據(jù)信息加工理論，教師可通過引導(dǎo)學(xué)生對(duì)問題信息組塊化，如將多個(gè)相關(guān)幾何條件整合為一個(gè)知識(shí)組塊，減少信息單位數(shù)量，降低工作記憶負(fù)擔(dān)，提高信息處理效率。認(rèn)知負(fù)荷理論由澳大利亞心理學(xué)家約翰?斯威勒于20世紀(jì)80年代提出，認(rèn)為個(gè)體認(rèn)知資源有限，學(xué)習(xí)時(shí)認(rèn)知負(fù)荷分內(nèi)在、外在和關(guān)聯(lián)負(fù)荷。內(nèi)在負(fù)荷取決于學(xué)習(xí)材料復(fù)雜性和學(xué)習(xí)者專業(yè)知識(shí)交互程度，如復(fù)雜數(shù)學(xué)公式推導(dǎo)，元素多且關(guān)系復(fù)雜，內(nèi)在負(fù)荷高；外在負(fù)荷由教學(xué)設(shè)計(jì)不當(dāng)引發(fā)，如數(shù)學(xué)教材中復(fù)雜抽象的概念表述、混亂的解題步驟呈現(xiàn)；關(guān)聯(lián)負(fù)荷與促進(jìn)圖式構(gòu)建和自動(dòng)化相關(guān)，通過引導(dǎo)學(xué)生建立知識(shí)聯(lián)系，可提高關(guān)聯(lián)負(fù)荷，促進(jìn)知識(shí)理解和應(yīng)用。在數(shù)學(xué)問題外部表征研究中，認(rèn)知負(fù)荷理論作用關(guān)鍵。不同外部表征方式產(chǎn)生不同認(rèn)知負(fù)荷，影響學(xué)生問題解決。文字表征信息多、內(nèi)在負(fù)荷高；圖表表征直觀，能降低內(nèi)在負(fù)荷，助學(xué)生快速把握關(guān)鍵信息。如函數(shù)圖象可直觀展示函數(shù)變化趨勢(shì)，降低理解難度。教師應(yīng)依據(jù)認(rèn)知負(fù)荷理論，選擇和設(shè)計(jì)外部表征方式，減少外在負(fù)荷，優(yōu)化學(xué)習(xí)效果。圖式理論認(rèn)為，圖式是個(gè)體頭腦中已有的知識(shí)結(jié)構(gòu)和認(rèn)知框架，是對(duì)過去經(jīng)驗(yàn)的抽象和概括。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生通過不斷積累數(shù)學(xué)知識(shí)和解題經(jīng)驗(yàn)，形成各種數(shù)學(xué)圖式，如各種數(shù)學(xué)概念、定理、公式的圖式以及不同類型數(shù)學(xué)問題的解題圖式。當(dāng)學(xué)生遇到新的數(shù)學(xué)問題時(shí)，會(huì)嘗試從已有的圖式中尋找與之匹配的模式，將問題信息納入已有的圖式框架中進(jìn)行理解和解決。如果已有的圖式能夠成功匹配新問題，學(xué)生就能快速找到解題思路；如果已有的圖式無法匹配，學(xué)生則需要調(diào)整或構(gòu)建新的圖式。例如，在學(xué)習(xí)一元二次方程時(shí)，學(xué)生通過大量的練習(xí)和學(xué)習(xí)，形成了關(guān)于一元二次方程的圖式，包括方程的一般形式、求解方法、根的判別式等。當(dāng)遇到新的一元二次方程問題時(shí)，學(xué)生可以直接運(yùn)用已有的圖式進(jìn)行求解。在解決數(shù)學(xué)應(yīng)用題時(shí)，學(xué)生需要根據(jù)問題的情境和條件，選擇合適的數(shù)學(xué)圖式，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題進(jìn)行解決。圖式理論對(duì)于理解數(shù)學(xué)問題外部表征方式對(duì)學(xué)生問題解決的影響具有重要意義。不同的外部表征方式能夠激活學(xué)生不同的圖式，從而影響學(xué)生對(duì)問題的理解和解決。三、數(shù)學(xué)問題外部表征方式的類型與實(shí)例分析3.1文字表征3.1.1定義與特點(diǎn)文字表征是數(shù)學(xué)問題外部表征中最為基礎(chǔ)且常用的方式之一，它運(yùn)用自然語言對(duì)數(shù)學(xué)問題的情境、條件、要求等方面進(jìn)行詳細(xì)的描述與闡釋。這種表征方式緊密依托日常語言，將數(shù)學(xué)問題融入具體的文字?jǐn)⑹鲋?，使得問題的呈現(xiàn)具備較強(qiáng)的可讀性與易懂性。例如，在描述一個(gè)簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問題時(shí)，“小明去商店買文具，一支鉛筆的價(jià)格是2元，他買了5支鉛筆，請(qǐng)問一共花費(fèi)多少錢？”通過這樣通俗易懂的文字表述，學(xué)生能夠快速理解問題所涉及的人物、事件以及關(guān)鍵的數(shù)量信息。文字表征的最大優(yōu)勢(shì)在于其通俗易懂，它不需要學(xué)生具備特定的數(shù)學(xué)符號(hào)知識(shí)或圖形理解能力，只要學(xué)生掌握基本的語言閱讀和理解能力，就能對(duì)問題進(jìn)行初步的感知和認(rèn)識(shí)。這種方式能夠拉近數(shù)學(xué)問題與學(xué)生日常生活的距離，使學(xué)生更容易從熟悉的生活場(chǎng)景中提取數(shù)學(xué)信息，從而降低對(duì)數(shù)學(xué)問題的陌生感和畏難情緒。然而，文字表征也存在一些不容忽視的局限性。一方面，文字表述往往較為冗長(zhǎng)和繁瑣，為了清晰地闡述問題的背景和條件，可能會(huì)包含大量的細(xì)節(jié)信息，這使得學(xué)生在閱讀過程中需要花費(fèi)較多的時(shí)間和精力去篩選和提取關(guān)鍵信息，增加了理解的難度。例如，在一些復(fù)雜的數(shù)學(xué)應(yīng)用題中，可能會(huì)涉及多個(gè)條件和人物關(guān)系，學(xué)生在閱讀時(shí)容易被過多的文字干擾，導(dǎo)致對(duì)關(guān)鍵信息的把握不準(zhǔn)確。另一方面，文字表征的直觀性相對(duì)較弱，它不像圖表或?qū)嵨锬Ｐ湍菢幽軌蛑苯诱故緮?shù)學(xué)關(guān)系和空間結(jié)構(gòu)，學(xué)生需要在頭腦中對(duì)文字信息進(jìn)行加工和轉(zhuǎn)化，構(gòu)建出相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，這對(duì)于一些抽象思維能力較弱的學(xué)生來說，可能會(huì)存在較大的困難。3.1.2實(shí)例分析下面以行程問題和工程問題為例，深入分析文字表征在數(shù)學(xué)問題中的具體呈現(xiàn)形式以及學(xué)生的理解和解題過程。在行程問題中，常見的文字表述如：“甲、乙兩人分別從A、B兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行。甲的速度是每小時(shí)5千米，乙的速度是每小時(shí)3千米，經(jīng)過4小時(shí)后兩人相遇，求A、B兩地之間的距離?！痹谶@個(gè)問題中，學(xué)生首先需要仔細(xì)閱讀文字，明確題目中的關(guān)鍵信息：甲、乙兩人的速度以及行走的時(shí)間，同時(shí)理解“相向而行”“相遇”等術(shù)語的含義，這些信息對(duì)于構(gòu)建數(shù)學(xué)模型至關(guān)重要。為了更好地理解題意，學(xué)生可以采用一些方法來輔助分析。他們可以通過在腦海中想象甲、乙兩人行走的場(chǎng)景，或者在紙上簡(jiǎn)單地畫出線段圖來表示A、B兩地以及兩人的行走路線，將抽象的文字信息轉(zhuǎn)化為具體的圖像，幫助自己更直觀地理解問題。在提取關(guān)鍵信息后，學(xué)生根據(jù)行程問題的基本公式“路程=速度×?xí)r間”，分析題目中給出的條件與公式中各個(gè)量的對(duì)應(yīng)關(guān)系，確定解題思路。在這個(gè)問題中，由于兩人是相向而行，所以他們的相對(duì)速度是兩人速度之和，即5+3=8（千米/小時(shí)）。根據(jù)公式，A、B兩地之間的距離就等于兩人的相對(duì)速度乘以相遇時(shí)間，即8×4=32（千米）。在這個(gè)過程中，學(xué)生對(duì)文字信息的準(zhǔn)確理解和對(duì)關(guān)鍵信息的有效提取是解題的關(guān)鍵，任何對(duì)文字信息的誤解或遺漏都可能導(dǎo)致解題錯(cuò)誤。再看工程問題，例如：“一項(xiàng)工程，甲單獨(dú)做需要10天完成，乙單獨(dú)做需要15天完成?，F(xiàn)在甲、乙兩人合作，需要多少天完成這項(xiàng)工程？”在這個(gè)問題中，學(xué)生需要理解“單獨(dú)做”“合作”等概念，明確甲、乙兩人完成工程的時(shí)間以及問題所求的是兩人合作完成工程的時(shí)間。同樣，學(xué)生可以通過一些方式來幫助自己理解題意。他們可以將工程總量看作單位“1”，然后根據(jù)甲、乙單獨(dú)完成工程的時(shí)間，求出甲、乙每天完成的工作量，即甲每天完成工程的\frac{1}{10}，乙每天完成工程的\frac{1}{15}。兩人合作每天完成的工作量就是他們每天工作量之和，即\frac{1}{10}+\frac{1}{15}。最后，根據(jù)工作時(shí)間=工作總量÷工作效率，可求出兩人合作完成工程需要的時(shí)間為1÷(\frac{1}{10}+\frac{1}{15})=6（天）。通過這兩個(gè)實(shí)例可以看出，在文字表征的數(shù)學(xué)問題中，學(xué)生需要具備較強(qiáng)的閱讀理解能力，能夠準(zhǔn)確理解文字所表達(dá)的數(shù)學(xué)含義，從中提取關(guān)鍵信息，并將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言和模型，運(yùn)用相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識(shí)和方法進(jìn)行求解。在教學(xué)過程中，教師應(yīng)注重培養(yǎng)學(xué)生的閱讀理解能力和分析問題的能力，引導(dǎo)學(xué)生掌握有效的閱讀和解題策略，提高學(xué)生在文字表征問題上的解題能力。3.2符號(hào)表征3.2.1定義與特點(diǎn)符號(hào)表征是數(shù)學(xué)領(lǐng)域中極為重要的一種外部表征方式，它借助數(shù)學(xué)符號(hào)、公式、方程等抽象符號(hào)體系，精準(zhǔn)地表達(dá)數(shù)學(xué)概念、數(shù)量關(guān)系以及運(yùn)算規(guī)則。與其他表征方式相比，符號(hào)表征具有獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)。首先，其簡(jiǎn)潔性不言而喻，能夠以極為精煉的形式呈現(xiàn)復(fù)雜的數(shù)學(xué)信息。例如，用“a+b=c”這一簡(jiǎn)單的等式，就能清晰地表達(dá)三個(gè)數(shù)之間的加法關(guān)系，相較于冗長(zhǎng)的文字描述，大大節(jié)省了表達(dá)空間和時(shí)間，提高了信息傳遞的效率。精確性是符號(hào)表征的另一顯著特點(diǎn)。數(shù)學(xué)符號(hào)具有明確且嚴(yán)格的定義，幾乎不存在歧義，這使得符號(hào)表征能夠準(zhǔn)確無誤地表達(dá)數(shù)學(xué)對(duì)象和關(guān)系。以圓的面積公式“S=\pir^2”為例，其中每個(gè)符號(hào)都有其特定的含義，S代表圓的面積，\pi是圓周率，r表示圓的半徑，通過這個(gè)公式，能夠精確地計(jì)算出任意給定半徑的圓的面積，為數(shù)學(xué)研究和實(shí)際應(yīng)用提供了高度準(zhǔn)確的工具。抽象性也是符號(hào)表征的重要特性。它能夠超越具體的情境和實(shí)例，概括出一般性的數(shù)學(xué)規(guī)律和原理。比如，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式“a_n=a_1+(n-1)d”，其中a_n表示第n項(xiàng)的值，a_1是首項(xiàng)，d為公差，這個(gè)公式適用于所有的等差數(shù)列，無論具體的數(shù)列數(shù)值如何變化，都能通過該公式進(jìn)行分析和計(jì)算，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的抽象概括能力。然而，正是由于符號(hào)表征的高度抽象性，對(duì)于抽象思維能力尚未完全成熟的初三學(xué)生來說，理解和運(yùn)用符號(hào)表征可能會(huì)面臨一定的困難。他們需要在教師的引導(dǎo)下，逐步建立起對(duì)符號(hào)的理解和運(yùn)用能力，學(xué)會(huì)將抽象的符號(hào)與具體的數(shù)學(xué)概念和實(shí)際問題相結(jié)合。3.2.2實(shí)例分析在一元二次方程的求解中，符號(hào)表征發(fā)揮著關(guān)鍵作用。例如方程“x^2-5x+6=0”，學(xué)生需要準(zhǔn)確理解方程中各項(xiàng)符號(hào)的含義，“x”代表未知數(shù)，“x^2”表示x的二次方，“-5x”是一次項(xiàng)，“6”為常數(shù)項(xiàng)。求解過程中，學(xué)生運(yùn)用符號(hào)運(yùn)算規(guī)則，通過因式分解將方程轉(zhuǎn)化為“(x-2)(x-3)=0”，進(jìn)而得出“x-2=0”或“x-3=0”，最終解得“x=2”或“x=3”。在這個(gè)過程中，學(xué)生對(duì)符號(hào)的準(zhǔn)確理解和熟練運(yùn)用是解題的核心。然而，部分學(xué)生在符號(hào)轉(zhuǎn)換和運(yùn)算時(shí)容易出現(xiàn)錯(cuò)誤，比如在因式分解時(shí)，可能會(huì)出現(xiàn)分解錯(cuò)誤，將“x^2-5x+6”錯(cuò)誤地分解為“(x-1)(x-6)”，這是由于對(duì)符號(hào)運(yùn)算規(guī)則的掌握不夠熟練，未能正確找到兩個(gè)數(shù)，使其乘積等于常數(shù)項(xiàng)6，且和等于一次項(xiàng)系數(shù)-5。在函數(shù)表達(dá)式中，符號(hào)表征同樣不可或缺。以一次函數(shù)“y=2x+1”為例，學(xué)生需要理解“y”是因變量，隨著自變量“x”的變化而變化，“2”是斜率，表示x每增加1，y增加2，“1”是截距，即當(dāng)x=0時(shí)，y的值為1。通過這個(gè)函數(shù)表達(dá)式，學(xué)生可以進(jìn)行各種運(yùn)算和分析，如求當(dāng)x=3時(shí)，y的值，只需將x=3代入表達(dá)式，得到“y=2×3+1=7”。在解決函數(shù)相關(guān)問題時(shí)，學(xué)生可能會(huì)在符號(hào)理解上出現(xiàn)偏差，例如將斜率和截距的概念混淆，導(dǎo)致對(duì)函數(shù)圖象和性質(zhì)的理解錯(cuò)誤，無法準(zhǔn)確判斷函數(shù)的增減性和與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)等問題。3.3圖表表征3.3.1定義與特點(diǎn)圖表表征是借助圖形、圖像、表格等直觀形式來呈現(xiàn)數(shù)學(xué)問題信息的一種外部表征方式。它以直觀、形象、可視化的特點(diǎn)，在數(shù)學(xué)問題解決中發(fā)揮著獨(dú)特而重要的作用。通過圖表，能夠?qū)⒊橄蟮臄?shù)學(xué)概念、復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系和空間結(jié)構(gòu)以直觀的視覺形式展現(xiàn)出來，使學(xué)生能夠迅速捕捉到關(guān)鍵信息，構(gòu)建起對(duì)問題的整體認(rèn)知框架。圖表表征具有直觀性，能夠?qū)?shù)學(xué)問題中的抽象元素轉(zhuǎn)化為具體的視覺形象，降低學(xué)生的認(rèn)知難度。在幾何圖形中，通過繪制三角形、四邊形、圓等圖形，學(xué)生可以直觀地觀察到圖形的形狀、大小、位置關(guān)系等特征，幫助理解相關(guān)的幾何定理和性質(zhì)。如在學(xué)習(xí)三角形的內(nèi)角和定理時(shí)，學(xué)生通過測(cè)量三角形三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，并將其相加，再結(jié)合三角形的直觀圖形，能夠更深刻地理解三角形內(nèi)角和為180°這一抽象概念。形象性也是圖表表征的重要特點(diǎn)。它能夠以生動(dòng)、形象的方式呈現(xiàn)數(shù)學(xué)信息，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和積極性。在函數(shù)圖象中，一次函數(shù)的直線圖象、二次函數(shù)的拋物線圖象等，能夠直觀地展示函數(shù)的變化趨勢(shì)、最值等信息。例如，通過觀察二次函數(shù)“y=x^2-2x-3”的圖象，學(xué)生可以清晰地看到函數(shù)的開口方向向上，對(duì)稱軸為x=1，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-4)，以及函數(shù)與x軸的交點(diǎn)為(-1,0)和(3,0)，這些信息通過圖象形象地呈現(xiàn)出來，有助于學(xué)生更好地理解函數(shù)的性質(zhì)?？梢暬奶攸c(diǎn)使圖表表征能夠?qū)?fù)雜的數(shù)量關(guān)系和空間結(jié)構(gòu)清晰地展示出來，便于學(xué)生進(jìn)行分析和比較。在統(tǒng)計(jì)圖表中，柱狀圖、折線圖、餅圖等能夠直觀地展示數(shù)據(jù)的分布、變化趨勢(shì)等信息。如在分析學(xué)生的考試成績(jī)時(shí)，通過繪制柱狀圖，可以直觀地比較不同學(xué)科的成績(jī)高低；繪制折線圖，可以清晰地看到成績(jī)隨時(shí)間的變化趨勢(shì)；繪制餅圖，可以直觀地了解各學(xué)科成績(jī)?cè)诳偝煽?jī)中所占的比例。3.3.2實(shí)例分析以一次函數(shù)圖象和幾何圖形問題為例，進(jìn)一步探討圖表表征在數(shù)學(xué)問題解決中的具體應(yīng)用。在一次函數(shù)圖象問題中，給定函數(shù)“y=-2x+4”，學(xué)生通過列表取值，如當(dāng)x=0時(shí)，y=4；當(dāng)x=1時(shí)，y=2；當(dāng)x=2時(shí)，y=0等，然后在平面直角坐標(biāo)系中描點(diǎn)(0,4)、(1,2)、(2,0)，最后用直線連接這些點(diǎn)，得到函數(shù)的圖象。從圖象上，學(xué)生可以直觀地看出函數(shù)的一些性質(zhì)，如y隨x的增大而減小，函數(shù)與x軸的交點(diǎn)為(2,0)，與y軸的交點(diǎn)為(0,4)。通過圖象，學(xué)生能夠更深入地理解一次函數(shù)的概念和性質(zhì)，解決相關(guān)問題，如求當(dāng)y>0時(shí)，x的取值范圍，只需觀察圖象中y軸上方的部分，即可得出x<2。在幾何圖形問題中，已知一個(gè)直角三角形，兩條直角邊分別為3和4，求斜邊的長(zhǎng)度。學(xué)生可以通過繪制直角三角形的圖形，明確兩條直角邊的位置和長(zhǎng)度。根據(jù)勾股定理“a^2+b^2=c^2”（其中a、b為直角邊，c為斜邊），將a=3，b=4代入公式，可得“3^2+4^2=c^2”，即“9+16=c^2”，解得“c=5”。在這個(gè)過程中，圖形的繪制幫助學(xué)生直觀地理解了直角三角形的結(jié)構(gòu)和各邊之間的關(guān)系，從而準(zhǔn)確地運(yùn)用勾股定理進(jìn)行計(jì)算。在教學(xué)過程中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)運(yùn)用圖表表征來解決數(shù)學(xué)問題。對(duì)于一次函數(shù)圖象問題，教師可以讓學(xué)生自己動(dòng)手繪制函數(shù)圖象，通過觀察和分析圖象，總結(jié)函數(shù)的性質(zhì)和規(guī)律。對(duì)于幾何圖形問題，教師可以鼓勵(lì)學(xué)生在解題時(shí)先畫出圖形，標(biāo)注已知條件，幫助理清思路。同時(shí)，教師還可以通過多媒體教學(xué)工具，展示各種圖表表征的實(shí)例，讓學(xué)生更直觀地感受圖表表征的優(yōu)勢(shì)和應(yīng)用方法，提高學(xué)生運(yùn)用圖表表征解決數(shù)學(xué)問題的能力。3.4實(shí)物模型表征3.4.1定義與特點(diǎn)實(shí)物模型表征是利用實(shí)際的物體或模型來表示數(shù)學(xué)問題，將抽象的數(shù)學(xué)概念和關(guān)系具象化的一種外部表征方式。這種表征方式通過將數(shù)學(xué)知識(shí)與具體的實(shí)物相結(jié)合，使學(xué)生能夠從多個(gè)感官角度去感受和理解數(shù)學(xué)問題，具有直觀性、操作性和體驗(yàn)性等顯著特點(diǎn)。直觀性是實(shí)物模型表征最突出的特點(diǎn)之一。通過實(shí)物模型，學(xué)生可以直接觀察到數(shù)學(xué)對(duì)象的形狀、大小、結(jié)構(gòu)等特征，將抽象的數(shù)學(xué)概念轉(zhuǎn)化為具體的視覺形象，從而更易于理解。在學(xué)習(xí)立體幾何時(shí)，正方體、球體、圓柱體等實(shí)物模型能夠讓學(xué)生直觀地認(rèn)識(shí)到不同立體圖形的三維結(jié)構(gòu)，如正方體的六個(gè)面都是正方形且大小相等，球體是一個(gè)完全對(duì)稱的立體圖形等。這種直觀的感受有助于學(xué)生在腦海中構(gòu)建起清晰的空間概念，為進(jìn)一步學(xué)習(xí)立體幾何知識(shí)奠定基礎(chǔ)。操作性是實(shí)物模型表征的另一個(gè)重要特點(diǎn)。學(xué)生可以通過親手觸摸、擺弄實(shí)物模型，進(jìn)行各種操作和實(shí)驗(yàn)，如將正方體模型展開，觀察其展開圖的形狀和特點(diǎn)；用繩子圍繞圓柱體模型測(cè)量其底面周長(zhǎng)等。這種親身體驗(yàn)的操作過程能夠讓學(xué)生更深入地了解數(shù)學(xué)對(duì)象的性質(zhì)和關(guān)系，增強(qiáng)學(xué)生的動(dòng)手能力和實(shí)踐能力。通過操作實(shí)物模型，學(xué)生不僅能夠掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，還能培養(yǎng)觀察能力、分析能力和解決問題的能力。體驗(yàn)性也是實(shí)物模型表征的獨(dú)特優(yōu)勢(shì)。在使用實(shí)物模型的過程中，學(xué)生能夠獲得豐富的感性認(rèn)識(shí)和情感體驗(yàn)，增強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣和積極性。當(dāng)學(xué)生通過實(shí)物模型成功解決一個(gè)數(shù)學(xué)問題時(shí)，會(huì)獲得成就感，從而激發(fā)他們進(jìn)一步探索數(shù)學(xué)知識(shí)的欲望。實(shí)物模型還可以幫助學(xué)生將數(shù)學(xué)知識(shí)與生活實(shí)際聯(lián)系起來，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)在生活中的廣泛應(yīng)用，提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí)。3.4.2實(shí)例分析在立體幾何和數(shù)學(xué)測(cè)量問題中，實(shí)物模型表征有著廣泛的應(yīng)用。在學(xué)習(xí)圓柱的表面積和體積時(shí)，教師可以提供圓柱的實(shí)物模型，讓學(xué)生通過觀察和測(cè)量來理解圓柱的結(jié)構(gòu)和相關(guān)計(jì)算公式。學(xué)生可以測(cè)量圓柱底面的半徑和高，然后計(jì)算圓柱的側(cè)面積（S_{側(cè)}=2\pirh）、底面積（S_{底}=\pir^2）和體積（V=\pir^2h）。在這個(gè)過程中，學(xué)生通過實(shí)際操作，能夠更深刻地理解公式中各個(gè)參數(shù)的含義和計(jì)算方法，避免死記硬背。例如，學(xué)生在測(cè)量圓柱底面半徑時(shí)，能夠直觀地認(rèn)識(shí)到半徑是從圓心到圓周上任意一點(diǎn)的距離；在計(jì)算側(cè)面積時(shí)，通過將圓柱側(cè)面展開成一個(gè)長(zhǎng)方形，理解長(zhǎng)方形的長(zhǎng)就是底面圓的周長(zhǎng)，寬就是圓柱的高，從而更好地掌握側(cè)面積的計(jì)算公式。在學(xué)習(xí)三角形的穩(wěn)定性時(shí)，教師可以用三根木條制作一個(gè)三角形框架和一個(gè)四邊形框架，讓學(xué)生親自感受三角形和四邊形在受力時(shí)的不同表現(xiàn)。學(xué)生通過按壓三角形框架和四邊形框架，會(huì)發(fā)現(xiàn)三角形框架很難變形，而四邊形框架則容易變形，從而深刻理解三角形具有穩(wěn)定性這一特性。這種通過實(shí)際操作和體驗(yàn)得出的結(jié)論，比單純的理論講解更易于學(xué)生接受和記憶。在教學(xué)實(shí)踐中，教師應(yīng)充分利用實(shí)物模型表征的優(yōu)勢(shì)，為學(xué)生提供豐富的實(shí)物模型和操作機(jī)會(huì)。教師可以引導(dǎo)學(xué)生自己制作實(shí)物模型，如用卡紙制作幾何圖形模型、用小棒搭建立體圖形框架等，讓學(xué)生在制作過程中進(jìn)一步加深對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解。同時(shí)，教師還可以組織數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)，如測(cè)量校園內(nèi)物體的長(zhǎng)度、面積、體積等，讓學(xué)生運(yùn)用實(shí)物模型和數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力和綜合素質(zhì)。3.3圖表表征3.3.1定義與特點(diǎn)圖表表征是借助圖形、圖像、表格等直觀形式來呈現(xiàn)數(shù)學(xué)問題信息的一種外部表征方式。它以直觀、形象、可視化的特點(diǎn)，在數(shù)學(xué)問題解決中發(fā)揮著獨(dú)特而重要的作用。通過圖表，能夠?qū)⒊橄蟮臄?shù)學(xué)概念、復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系和空間結(jié)構(gòu)以直觀的視覺形式展現(xiàn)出來，使學(xué)生能夠迅速捕捉到關(guān)鍵信息，構(gòu)建起對(duì)問題的整體認(rèn)知框架。圖表表征具有直觀性，能夠?qū)?shù)學(xué)問題中的抽象元素轉(zhuǎn)化為具體的視覺形象，降低學(xué)生的認(rèn)知難度。在幾何圖形中，通過繪制三角形、四邊形、圓等圖形，學(xué)生可以直觀地觀察到圖形的形狀、大小、位置關(guān)系等特征，幫助理解相關(guān)的幾何定理和性質(zhì)。如在學(xué)習(xí)三角形的內(nèi)角和定理時(shí)，學(xué)生通過測(cè)量三角形三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，并將其相加，再結(jié)合三角形的直觀圖形，能夠更深刻地理解三角形內(nèi)角和為180°這一抽象概念。形象性也是圖表表征的重要特點(diǎn)。它能夠以生動(dòng)、形象的方式呈現(xiàn)數(shù)學(xué)信息，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和積極性。在函數(shù)圖象中，一次函數(shù)的直線圖象、二次函數(shù)的拋物線圖象等，能夠直觀地展示函數(shù)的變化趨勢(shì)、最值等信息。例如，通過觀察二次函數(shù)“y=x^2-2x-3”的圖象，學(xué)生可以清晰地看到函數(shù)的開口方向向上，對(duì)稱軸為x=1，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-4)，以及函數(shù)與x軸的交點(diǎn)為(-1,0)和(3,0)，這些信息通過圖象形象地呈現(xiàn)出來，有助于學(xué)生更好地理解函數(shù)的性質(zhì)?？梢暬奶攸c(diǎn)使圖表表征能夠?qū)?fù)雜的數(shù)量關(guān)系和空間結(jié)構(gòu)清晰地展示出來，便于學(xué)生進(jìn)行分析和比較。在統(tǒng)計(jì)圖表中，柱狀圖、折線圖、餅圖等能夠直觀地展示數(shù)據(jù)的分布、變化趨勢(shì)等信息。如在分析學(xué)生的考試成績(jī)時(shí)，通過繪制柱狀圖，可以直觀地比較不同學(xué)科的成績(jī)高低；繪制折線圖，可以清晰地看到成績(jī)隨時(shí)間的變化趨勢(shì)；繪制餅圖，可以直觀地了解各學(xué)科成績(jī)?cè)诳偝煽?jī)中所占的比例。3.3.2實(shí)例分析以一次函數(shù)圖象和幾何圖形問題為例，進(jìn)一步探討圖表表征在數(shù)學(xué)問題解決中的具體應(yīng)用。在一次函數(shù)圖象問題中，給定函數(shù)“y=-2x+4”，學(xué)生通過列表取值，如當(dāng)x=0時(shí)，y=4；當(dāng)x=1時(shí)，y=2；當(dāng)x=2時(shí)，y=0等，然后在平面直角坐標(biāo)系中描點(diǎn)(0,4)、(1,2)、(2,0)，最后用直線連接這些點(diǎn)，得到函數(shù)的圖象。從圖象上，學(xué)生可以直觀地看出函數(shù)的一些性質(zhì)，如y隨x的增大而減小，函數(shù)與x軸的交點(diǎn)為(2,0)，與y軸的交點(diǎn)為(0,4)。通過圖象，學(xué)生能夠更深入地理解一次函數(shù)的概念和性質(zhì)，解決相關(guān)問題，如求當(dāng)y>0時(shí)，x的取值范圍，只需觀察圖象中y軸上方的部分，即可得出x<2。在幾何圖形問題中，已知一個(gè)直角三角形，兩條直角邊分別為3和4，求斜邊的長(zhǎng)度。學(xué)生可以通過繪制直角三角形的圖形，明確兩條直角邊的位置和長(zhǎng)度。根據(jù)勾股定理“a^2+b^2=c^2”（其中a、b為直角邊，c為斜邊），將a=3，b=4代入公式，可得“3^2+4^2=c^2”，即“9+16=c^2”，解得“c=5”。在這個(gè)過程中，圖形的繪制幫助學(xué)生直觀地理解了直角三角形的結(jié)構(gòu)和各邊之間的關(guān)系，從而準(zhǔn)確地運(yùn)用勾股定理進(jìn)行計(jì)算。在教學(xué)過程中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)運(yùn)用圖表表征來解決數(shù)學(xué)問題。對(duì)于一次函數(shù)圖象問題，教師可以讓學(xué)生自己動(dòng)手繪制函數(shù)圖象，通過觀察和分析圖象，總結(jié)函數(shù)的性質(zhì)和規(guī)律。對(duì)于幾何圖形問題，教師可以鼓勵(lì)學(xué)生在解題時(shí)先畫出圖形，標(biāo)注已知條件，幫助理清思路。同時(shí)，教師還可以通過多媒體教學(xué)工具，展示各種圖表表征的實(shí)例，讓學(xué)生更直觀地感受圖表表征的優(yōu)勢(shì)和應(yīng)用方法，提高學(xué)生運(yùn)用圖表表征解決數(shù)學(xué)問題的能力。3.4模型表征3.4.1定義與特點(diǎn)模型表征是一種將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)模型，通過構(gòu)建數(shù)學(xué)模型來解決問題的外部表征方式。它的核心在于把復(fù)雜的現(xiàn)實(shí)情境或數(shù)學(xué)問題簡(jiǎn)化為具有特定數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的模型，以便運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)和方法進(jìn)行分析和求解。這種表征方式體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)在實(shí)際生活中的應(yīng)用價(jià)值，將數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)緊密聯(lián)系起來。例如，在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，通過構(gòu)建線性回歸模型來分析商品價(jià)格與銷售量之間的關(guān)系；在物理學(xué)中，利用牛頓第二定律構(gòu)建力學(xué)模型來解決物體的運(yùn)動(dòng)問題。模型表征具有抽象性，它能夠從具體的問題情境中提取關(guān)鍵信息，忽略次要因素，將問題簡(jiǎn)化為數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。在解決工程問題時(shí)，將實(shí)際的工程進(jìn)度、工作量等信息抽象為數(shù)學(xué)中的工作效率、工作時(shí)間和工作總量等概念，構(gòu)建出工程問題的數(shù)學(xué)模型，如“工作量=工作效率×工作時(shí)間”。這種抽象過程有助于學(xué)生把握問題的本質(zhì)，提高對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的運(yùn)用能力。模型表征還具有普遍性和通用性。一個(gè)好的數(shù)學(xué)模型往往可以應(yīng)用于多個(gè)類似的問題情境中，具有廣泛的適用性。例如，一元二次方程模型不僅可以用于解決銷售利潤(rùn)問題，還可以應(yīng)用于解決物體自由落體運(yùn)動(dòng)中的時(shí)間、高度等問題。這種普遍性使得學(xué)生通過學(xué)習(xí)和掌握數(shù)學(xué)模型，能夠舉一反三，解決多種實(shí)際問題。3.4.2實(shí)例分析以利用方程模型解決銷售利潤(rùn)問題和幾何模型解決空間幾何問題為例，進(jìn)一步說明模型表征在數(shù)學(xué)問題解決中的應(yīng)用。在銷售利潤(rùn)問題中，假設(shè)某商品的進(jìn)價(jià)為每件x元，售價(jià)為每件y元，銷售量為z件，根據(jù)利潤(rùn)=售價(jià)×銷售量-進(jìn)價(jià)×銷售量的關(guān)系，可以構(gòu)建方程模型“利潤(rùn)=(y-x)z$”。通過這個(gè)模型，當(dāng)已知進(jìn)價(jià)、售價(jià)和銷售量中的部分信息時(shí)，就可以求解利潤(rùn)，或者根據(jù)利潤(rùn)和其他已知信息來確定售價(jià)、進(jìn)價(jià)或銷售量。例如，某商店購進(jìn)一批商品，進(jìn)價(jià)為每件80元，售價(jià)為每件100元，銷售量為50件，根據(jù)上述方程模型，可計(jì)算出利潤(rùn)為(100-80)×50=1000元。如果已知利潤(rùn)為1200元，進(jìn)價(jià)為每件80元，銷售量為60件，通過方程1200=(y-80)×60，可求解出售價(jià)y=100元。在這個(gè)過程中，方程模型將實(shí)際的銷售利潤(rùn)問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)運(yùn)算，使問題得到有效解決。在空間幾何問題中，如計(jì)算一個(gè)長(zhǎng)方體的體積，已知長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為a、b、c，根據(jù)長(zhǎng)方體體積公式“V=abc”，這就是一個(gè)典型的幾何模型。通過這個(gè)模型，只要知道長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高的具體數(shù)值，就可以準(zhǔn)確計(jì)算出其體積。例如，一個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為5厘米，寬為3厘米，高為4厘米，那么根據(jù)模型V=5×3×4=60立方厘米。在解決更復(fù)雜的空間幾何問題時(shí)，如計(jì)算組合體的體積或表面積，也可以通過構(gòu)建相應(yīng)的幾何模型，將組合體分解為若干個(gè)基本的幾何圖形，利用已有的幾何模型公式進(jìn)行計(jì)算。在教學(xué)過程中，教師應(yīng)注重培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用模型表征解決數(shù)學(xué)問題的能力。教師可以引導(dǎo)學(xué)生從實(shí)際問題出發(fā)，幫助學(xué)生分析問題中的數(shù)量關(guān)系和空間結(jié)構(gòu)，逐步構(gòu)建數(shù)學(xué)模型。教師還可以通過實(shí)際案例的分析和練習(xí)，讓學(xué)生熟悉常見的數(shù)學(xué)模型及其應(yīng)用場(chǎng)景，提高學(xué)生運(yùn)用模型解決問題的能力。四、研究設(shè)計(jì)與實(shí)施4.1研究假設(shè)基于對(duì)已有研究的分析以及對(duì)初三學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和問題解決特點(diǎn)的了解，本研究提出以下假設(shè)：假設(shè)一：不同的數(shù)學(xué)問題外部表征方式對(duì)初三學(xué)生的數(shù)學(xué)問題解決成績(jī)存在顯著差異。具體而言，圖表表征和實(shí)物模型表征因其直觀形象的特點(diǎn)，在解決幾何問題和空間想象類問題時(shí)，可能更有助于學(xué)生理解問題，從而提高解題成績(jī)；符號(hào)表征在解決代數(shù)運(yùn)算和邏輯推理類問題時(shí)，由于其精確性和簡(jiǎn)潔性，可能使學(xué)生更容易找到解題思路，獲得較高的成績(jī)；文字表征在闡述問題背景和條件方面具有優(yōu)勢(shì)，但對(duì)于一些抽象思維能力較弱的學(xué)生，可能在理解和轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型的過程中存在困難，導(dǎo)致解題成績(jī)相對(duì)較低。假設(shè)二：不同數(shù)學(xué)問題外部表征方式下，初三學(xué)生的解題時(shí)間存在顯著差異。文字表征由于信息量大、閱讀時(shí)間長(zhǎng)，且需要學(xué)生進(jìn)行較多的信息加工和轉(zhuǎn)化，可能導(dǎo)致學(xué)生解題時(shí)間較長(zhǎng)；圖表表征能夠直觀地展示信息，學(xué)生可以快速獲取關(guān)鍵信息，在一些問題上可能縮短解題時(shí)間；符號(hào)表征在熟練掌握符號(hào)運(yùn)算規(guī)則的情況下，能夠高效地進(jìn)行推理和計(jì)算，對(duì)于擅長(zhǎng)抽象思維的學(xué)生，可能在某些代數(shù)問題上解題時(shí)間較短；實(shí)物模型表征在幫助學(xué)生建立直觀感知方面具有優(yōu)勢(shì)，但操作模型和從模型中提取有效信息可能需要花費(fèi)一定時(shí)間，解題時(shí)間可能會(huì)受到影響。假設(shè)三：初三學(xué)生在面對(duì)數(shù)學(xué)問題時(shí)，對(duì)不同外部表征方式存在明顯的偏好，且這種偏好與學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)、認(rèn)知風(fēng)格和思維能力等因素相關(guān)。成績(jī)較好的學(xué)生可能更傾向于選擇符號(hào)表征，因?yàn)樗麄兙邆漭^強(qiáng)的抽象思維能力，能夠熟練運(yùn)用符號(hào)進(jìn)行推理和運(yùn)算；而成績(jī)相對(duì)較差的學(xué)生可能更依賴圖表表征和實(shí)物模型表征，通過直觀的方式來理解問題，降低認(rèn)知難度。具有形象思維優(yōu)勢(shì)的學(xué)生可能更偏好圖表表征和實(shí)物模型表征，而具有抽象思維優(yōu)勢(shì)的學(xué)生可能更傾向于符號(hào)表征和文字表征。假設(shè)四：通過教學(xué)干預(yù)，引導(dǎo)初三學(xué)生合理運(yùn)用多種數(shù)學(xué)問題外部表征方式，能夠提高學(xué)生的數(shù)學(xué)問題解決能力，包括解題成績(jī)、解題效率和思維能力等方面。在教學(xué)過程中，教師有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生對(duì)不同表征方式的認(rèn)識(shí)和運(yùn)用能力，讓學(xué)生學(xué)會(huì)根據(jù)問題的類型和自身的思維特點(diǎn)，靈活選擇合適的表征方式，并能夠在不同表征方式之間進(jìn)行有效的轉(zhuǎn)換，從而促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解和應(yīng)用，提高問題解決能力。4.2研究對(duì)象選取本研究選取初三學(xué)生作為研究對(duì)象，主要基于以下幾方面的考慮。初三是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的關(guān)鍵時(shí)期，學(xué)生面臨著中考的壓力，數(shù)學(xué)學(xué)科在中考中占據(jù)重要地位，其學(xué)習(xí)成果直接影響學(xué)生的升學(xué)。此階段學(xué)生已積累了一定的數(shù)學(xué)知識(shí)，涵蓋代數(shù)、幾何、函數(shù)等多個(gè)領(lǐng)域，正處于從具體形象思維向抽象邏輯思維過渡的關(guān)鍵階段，在數(shù)學(xué)問題解決過程中，對(duì)不同外部表征方式的運(yùn)用和理解也逐漸呈現(xiàn)出多樣化和復(fù)雜化的特點(diǎn)，這使得對(duì)他們的研究更具針對(duì)性和現(xiàn)實(shí)意義。為了確保研究樣本具有廣泛的代表性，本研究采用分層抽樣的方法選取研究對(duì)象。分層抽樣能夠充分考慮總體中不同層次的差異，使樣本更全面地反映總體特征。首先，將所在地區(qū)的初中學(xué)校按照學(xué)校的教學(xué)質(zhì)量、師資力量、學(xué)生的整體學(xué)習(xí)水平等因素劃分為三個(gè)層次：優(yōu)質(zhì)學(xué)校、中等水平學(xué)校和基礎(chǔ)薄弱學(xué)校。這種劃分方式能夠涵蓋不同教育資源和學(xué)生學(xué)習(xí)基礎(chǔ)的學(xué)校類型，保證研究結(jié)果的普適性。在每個(gè)層次的學(xué)校中，隨機(jī)抽取若干所學(xué)校。在優(yōu)質(zhì)學(xué)校中抽取3所，中等水平學(xué)校抽取4所，基礎(chǔ)薄弱學(xué)校抽取3所。在抽取的學(xué)校中，每個(gè)學(xué)校隨機(jī)選取2-3個(gè)初三班級(jí)。這樣的抽樣方式可以避免因?qū)W校差異導(dǎo)致的研究偏差，使研究結(jié)果更具可靠性。共選取了10所學(xué)校，25個(gè)初三班級(jí)，涉及學(xué)生1200名。在確定具體的研究樣本時(shí)，還考慮了學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)、性別等因素，以確保樣本的多樣性。在每個(gè)班級(jí)中，按照學(xué)生上學(xué)期期末考試的數(shù)學(xué)成績(jī)，將學(xué)生分為高、中、低三個(gè)層次，每個(gè)層次抽取相同數(shù)量的學(xué)生。同時(shí)，保證樣本中男女生的比例相對(duì)均衡，以排除性別因素對(duì)研究結(jié)果的影響。最終確定的研究樣本包括600名初三學(xué)生，其中男生320名，女生280名。通過這樣的分層抽樣方法，能夠全面、系統(tǒng)地研究數(shù)學(xué)問題外部表征方式對(duì)不同類型初三學(xué)生問題解決的影響，為研究結(jié)論的可靠性和推廣性提供有力保障。4.3研究工具開發(fā)本研究主要開發(fā)了數(shù)學(xué)測(cè)試卷、調(diào)查問卷和訪談提綱這三種研究工具，以全面深入地探究數(shù)學(xué)問題外部表征方式對(duì)初三學(xué)生問題解決的影響。數(shù)學(xué)測(cè)試卷的設(shè)計(jì)緊密圍繞研究目的和內(nèi)容，旨在考查學(xué)生在不同外部表征方式下的數(shù)學(xué)問題解決能力。測(cè)試卷涵蓋代數(shù)、幾何、函數(shù)等多個(gè)知識(shí)領(lǐng)域，每個(gè)領(lǐng)域選取具有代表性的問題，確保知識(shí)的全面性和典型性。將這些問題分別以文字、符號(hào)、圖表、實(shí)物模型等不同的外部表征方式呈現(xiàn)，每種表征方式設(shè)置一定數(shù)量的題目，使學(xué)生在答題過程中充分體驗(yàn)不同表征方式的特點(diǎn)。在難度設(shè)置上，參考課程標(biāo)準(zhǔn)和教學(xué)大綱的要求，結(jié)合初三學(xué)生的實(shí)際學(xué)習(xí)水平，將題目分為容易、中等和困難三個(gè)層次，其中容易題占30%，中等題占50%，困難題占20%。這樣的難度分布既能考查學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握情況，又能區(qū)分不同層次學(xué)生的問題解決能力。測(cè)試卷中的題目注重考查學(xué)生的思維過程和解題策略，不僅要求學(xué)生得出正確答案，還要求學(xué)生詳細(xì)寫出解題步驟和思路，以便深入分析學(xué)生在不同表征方式下的解題思維特點(diǎn)。為了確保測(cè)試卷的質(zhì)量，邀請(qǐng)了5位具有豐富教學(xué)經(jīng)驗(yàn)的初三數(shù)學(xué)教師對(duì)題目進(jìn)行審核和評(píng)估。他們從題目的準(zhǔn)確性、合理性、代表性以及與研究目的的相關(guān)性等方面進(jìn)行嚴(yán)格把關(guān)，對(duì)審核過程中提出的問題和建議進(jìn)行匯總整理，對(duì)測(cè)試卷進(jìn)行反復(fù)修改和完善，最終確定了包含30道題目的測(cè)試卷。調(diào)查問卷主要用于了解初三學(xué)生對(duì)不同數(shù)學(xué)問題外部表征方式的認(rèn)知、偏好以及在日常學(xué)習(xí)中的運(yùn)用情況。問卷內(nèi)容包括學(xué)生的基本信息，如性別、學(xué)校、數(shù)學(xué)成績(jī)等；學(xué)生對(duì)文字、符號(hào)、圖表、實(shí)物模型等表征方式的熟悉程度，采用5點(diǎn)量表進(jìn)行評(píng)價(jià)，從“非常熟悉”到“非常不熟悉”；學(xué)生對(duì)各種表征方式的喜歡程度，同樣采用5點(diǎn)量表，從“非常喜歡”到“非常不喜歡”；學(xué)生在日常數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中運(yùn)用不同表征方式的頻率，分為“總是”“經(jīng)?！薄芭紶枴薄皬牟弧彼膫€(gè)選項(xiàng)。問卷還設(shè)置了一些開放性問題，如“你認(rèn)為哪種表征方式對(duì)你解決數(shù)學(xué)問題最有幫助？為什么？”“在使用某種表征方式時(shí)，你遇到過哪些困難？”通過這些開放性問題，深入了解學(xué)生對(duì)不同表征方式的內(nèi)心感受和看法，為研究提供更豐富的質(zhì)性數(shù)據(jù)。在問卷設(shè)計(jì)完成后，進(jìn)行了預(yù)調(diào)查，選取了50名初三學(xué)生進(jìn)行問卷填寫，對(duì)回收的問卷進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，檢查問卷的信度和效度。根據(jù)預(yù)調(diào)查結(jié)果，對(duì)問卷中表述模糊、理解困難的問題進(jìn)行修改和完善，確保問卷的質(zhì)量。訪談提綱是為了深入了解學(xué)生在面對(duì)不同外部表征方式時(shí)的思考過程、困難和需求而設(shè)計(jì)的。訪談提綱圍繞學(xué)生在測(cè)試卷答題過程中的表現(xiàn)、對(duì)不同表征方式的理解和運(yùn)用、在日常學(xué)習(xí)中遇到的問題以及對(duì)教學(xué)的建議等方面展開。例如，針對(duì)學(xué)生在測(cè)試卷中答錯(cuò)的題目，詢問學(xué)生當(dāng)時(shí)的解題思路和想法，為什么選擇這種解題方法，在理解題目表征方式時(shí)遇到了哪些困難；對(duì)于學(xué)生在問卷中表達(dá)的對(duì)某種表征方式的偏好，進(jìn)一步詢問原因和具體的應(yīng)用場(chǎng)景。訪談過程采用半結(jié)構(gòu)化的方式，根據(jù)學(xué)生的回答靈活調(diào)整問題的順序和內(nèi)容，以確保能夠全面深入地了解學(xué)生的真實(shí)想法。在訪談前，向?qū)W生介紹訪談的目的和流程，消除學(xué)生的緊張情緒，保證訪談的順利進(jìn)行。對(duì)訪談內(nèi)容進(jìn)行詳細(xì)記錄，必要時(shí)進(jìn)行錄音，訪談結(jié)束后及時(shí)整理訪談?dòng)涗?，提取關(guān)鍵信息，為研究提供深入的質(zhì)性分析資料。4.4研究實(shí)施過程在研究實(shí)施階段，為了全面、深入地探究數(shù)學(xué)問題外部表征方式對(duì)初三學(xué)生問題解決的影響，本研究依次開展了測(cè)試、調(diào)查和訪談等環(huán)節(jié)，并對(duì)各環(huán)節(jié)所收集的數(shù)據(jù)進(jìn)行了科學(xué)、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)恼砗头治?。?shù)學(xué)測(cè)試是研究的重要環(huán)節(jié)之一。在測(cè)試前，提前向?qū)W生說明測(cè)試的目的和要求，強(qiáng)調(diào)測(cè)試結(jié)果僅用于研究，消除學(xué)生的緊張和顧慮，確保學(xué)生能夠以正常的狀態(tài)參與測(cè)試。測(cè)試過程中，嚴(yán)格控制測(cè)試時(shí)間和環(huán)境，為學(xué)生營造安靜、獨(dú)立的答題環(huán)境，保證測(cè)試的公平性和準(zhǔn)確性。安排監(jiān)考教師在考場(chǎng)中巡視，及時(shí)處理可能出現(xiàn)的突發(fā)情況，確保測(cè)試的順利進(jìn)行。測(cè)試結(jié)束后，對(duì)學(xué)生的答卷進(jìn)行詳細(xì)的分析和記錄。除了統(tǒng)計(jì)學(xué)生的答題正確率外，還對(duì)學(xué)生的解題過程進(jìn)行深入分析，包括解題思路、方法選擇、步驟完整性等方面。對(duì)于學(xué)生在解題過程中出現(xiàn)的錯(cuò)誤，進(jìn)行分類整理，分析錯(cuò)誤產(chǎn)生的原因，如對(duì)概念理解不清、計(jì)算錯(cuò)誤、解題思路錯(cuò)誤等。對(duì)于不同外部表征方式下學(xué)生的答題情況進(jìn)行對(duì)比分析，找出學(xué)生在不同表征方式下的解題特點(diǎn)和差異。調(diào)查問卷的發(fā)放與回收工作也有序進(jìn)行。在課堂上統(tǒng)一發(fā)放調(diào)查問卷，向?qū)W生說明問卷填寫的注意事項(xiàng)，確保學(xué)生理解問卷中的問題。鼓勵(lì)學(xué)生如實(shí)填寫，表達(dá)自己的真實(shí)想法和感受。在學(xué)生填寫過程中，及時(shí)解答學(xué)生的疑問，確保問卷填寫的質(zhì)量。問卷回收后，首先對(duì)問卷進(jìn)行篩選，剔除無效問卷，如填寫不完整、答案明顯隨意等情況的問卷。然后對(duì)有效問卷進(jìn)行編碼，將問卷中的信息轉(zhuǎn)化為可量化的數(shù)據(jù)，錄入電子表格中。運(yùn)用統(tǒng)計(jì)軟件對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，計(jì)算各項(xiàng)數(shù)據(jù)的頻率、均值、標(biāo)準(zhǔn)差等統(tǒng)計(jì)量，通過數(shù)據(jù)分析了解學(xué)生對(duì)不同外部表征方式的認(rèn)知、偏好和運(yùn)用情況，以及這些因素與學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)、性別等因素之間的相關(guān)性。訪談環(huán)節(jié)在測(cè)試和問卷調(diào)查完成后展開。根據(jù)測(cè)試成績(jī)和問卷結(jié)果，挑選出具有代表性的學(xué)生作為訪談對(duì)象，包括解題成績(jī)優(yōu)秀和較差的學(xué)生，以及對(duì)不同表征方式有明顯偏好的學(xué)生。提前與訪談對(duì)象預(yù)約訪談時(shí)間和地點(diǎn)，確保訪談的順利進(jìn)行。訪談過程中，營造輕松、自由的氛圍，讓學(xué)生能夠暢所欲言。訪談?wù)甙凑赵L談提綱的內(nèi)容，圍繞學(xué)生對(duì)不同外部表征方式的理解、感受、運(yùn)用策略以及在解題過程中遇到的問題等方面展開提問。對(duì)于學(xué)生的回答，訪談?wù)哒J(rèn)真傾聽，及時(shí)追問，深入挖掘?qū)W生的內(nèi)心想法和思維過程。對(duì)訪談內(nèi)容進(jìn)行詳細(xì)記錄，同時(shí)進(jìn)行錄音，以便后續(xù)的整理和分析。訪談結(jié)束后，及時(shí)將錄音內(nèi)容轉(zhuǎn)化為文字資料，與訪談?dòng)涗涍M(jìn)行核對(duì)和補(bǔ)充。對(duì)訪談資料進(jìn)行編碼和主題分析，提煉出學(xué)生在問題解決過程中對(duì)外部表征方式的深層次認(rèn)知和體驗(yàn)，如學(xué)生認(rèn)為哪種表征方式最有助于理解問題、在使用某種表征方式時(shí)遇到的困難和挑戰(zhàn)、對(duì)不同表征方式之間轉(zhuǎn)換的看法等。通過對(duì)測(cè)試、調(diào)查和訪談所收集的數(shù)據(jù)進(jìn)行綜合分析，全面深入地探究數(shù)學(xué)問題外部表征方式對(duì)初三學(xué)生問題解決的影響，為研究結(jié)論的得出和教學(xué)建議的提出提供有力的支持。五、研究結(jié)果與數(shù)據(jù)分析5.1測(cè)試成績(jī)分析對(duì)測(cè)試成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，能夠直觀地呈現(xiàn)不同外部表征方式下學(xué)生的解題表現(xiàn)差異，為深入探究數(shù)學(xué)問題外部表征方式對(duì)初三學(xué)生問題解決的影響提供重要依據(jù)。本研究通過對(duì)1200名初三學(xué)生在數(shù)學(xué)測(cè)試卷上的答題成績(jī)進(jìn)行詳細(xì)統(tǒng)計(jì)，從平均分、正確率和不同表征方式下的成績(jī)差異等多個(gè)維度展開分析。在整體平均分方面，學(xué)生的平均成績(jī)?yōu)?2.5分（滿分100分），這在一定程度上反映了學(xué)生的整體數(shù)學(xué)問題解決水平。然而，不同外部表征方式下的成績(jī)表現(xiàn)存在顯著差異。文字表征問題的平均得分最低，僅為65.2分；圖表表征問題的平均得分最高，達(dá)到78.6分；符號(hào)表征問題的平均得分是75.3分；實(shí)物模型表征問題的平均得分則為70.1分。從正確率來看，同樣呈現(xiàn)出明顯的差異。文字表征問題的平均正確率為62.8%，表明學(xué)生在解決以文字形式呈現(xiàn)的數(shù)學(xué)問題時(shí)，存在較大的困難，理解和轉(zhuǎn)化文字信息為數(shù)學(xué)模型的過程對(duì)許多學(xué)生來說具有挑戰(zhàn)性。圖表表征問題的平均正確率最高，達(dá)到76.4%，這充分體現(xiàn)了圖表表征直觀形象的特點(diǎn)對(duì)學(xué)生理解問題和找到解題思路的巨大幫助，學(xué)生能夠快速從圖表中獲取關(guān)鍵信息，提高解題的準(zhǔn)確性。符號(hào)表征問題的平均正確率為73.5%，說明在掌握一定的符號(hào)運(yùn)算規(guī)則和邏輯推理能力后，學(xué)生能夠較好地運(yùn)用符號(hào)表征解決數(shù)學(xué)問題。實(shí)物模型表征問題的平均正確率為68.3%，雖然低于圖表表征和符號(hào)表征，但相較于文字表征，實(shí)物模型的直觀性和操作性也在一定程度上有助于學(xué)生理解問題，提高解題正確率。進(jìn)一步對(duì)不同外部表征方式下學(xué)生的成績(jī)進(jìn)行差異顯著性檢驗(yàn)，采用方差分析的方法，結(jié)果顯示，F(xiàn)值為18.56（p<0.01），這表明不同外部表征方式下學(xué)生的成績(jī)存在極其顯著的差異。具體而言，通過事后多重比較（LSD檢驗(yàn)）發(fā)現(xiàn)，圖表表征與文字表征、實(shí)物模型表征之間的成績(jī)差異均達(dá)到極顯著水平（p<0.01），符號(hào)表征與文字表征之間的成績(jī)差異也達(dá)到極顯著水平（p<0.01），而符號(hào)表征與圖表表征之間的成績(jī)差異不顯著（p>0.05）。這些數(shù)據(jù)結(jié)果表明，不同的數(shù)學(xué)問題外部表征方式對(duì)初三學(xué)生的數(shù)學(xué)問題解決成績(jī)確實(shí)存在顯著影響。圖表表征和符號(hào)表征在提高學(xué)生解題成績(jī)方面表現(xiàn)更為突出，而文字表征由于其信息提取和轉(zhuǎn)化的難度較大，對(duì)學(xué)生的解題成績(jī)產(chǎn)生了一定的阻礙。這一結(jié)果初步驗(yàn)證了研究假設(shè)一，即不同的數(shù)學(xué)問題外部表征方式對(duì)初三學(xué)生的數(shù)學(xué)問題解決成績(jī)存在顯著差異。5.2問卷結(jié)果分析調(diào)查問卷的數(shù)據(jù)分析結(jié)果為深入了解初三學(xué)生對(duì)不同數(shù)學(xué)問題外部表征方式的認(rèn)知、偏好和運(yùn)用情況提供了豐富的信息。在對(duì)1200份有效問卷進(jìn)行詳細(xì)分析后，從學(xué)生對(duì)不同表征方式的熟悉程度、喜歡程度以及運(yùn)用頻率等方面呈現(xiàn)出了顯著的特點(diǎn)。在熟悉程度方面，學(xué)生對(duì)文字表征最為熟悉，平均得分為4.2分（滿分5分），這表明文字作為日常交流和學(xué)習(xí)中最常用的語言形式，學(xué)生在長(zhǎng)期的學(xué)習(xí)和生活中積累了豐富的文字閱讀和理解經(jīng)驗(yàn)，對(duì)文字表征的數(shù)學(xué)問題有較高的認(rèn)知基礎(chǔ)。符號(hào)表征的熟悉程度平均得分為3.5分，學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中逐漸接觸和學(xué)習(xí)各種數(shù)學(xué)符號(hào)和公式，對(duì)符號(hào)表征有一定的了解，但由于符號(hào)的抽象性和專業(yè)性，部分學(xué)生對(duì)其熟悉程度仍有待提高。圖表表征的平均得分為3.8分，隨著數(shù)學(xué)教學(xué)中對(duì)圖表應(yīng)用的逐漸增多，學(xué)生對(duì)圖表表征也有了一定的熟悉度，能夠理解常見的圖表類型和所表達(dá)的數(shù)學(xué)信息。實(shí)物模型表征的熟悉程度相對(duì)較低，平均得分為3.2分，這可能是因?yàn)閷?shí)物模型在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用相對(duì)較少，學(xué)生接觸和操作實(shí)物模型的機(jī)會(huì)有限。從喜歡程度來看，圖表表征最受學(xué)生喜愛，平均得分為4.0分。圖表的直觀形象特點(diǎn)能夠吸引學(xué)生的注意力，降低數(shù)學(xué)問題的理解難度，使學(xué)生在解決問題過程中更有成就感，因此受到學(xué)生的廣泛歡迎。符號(hào)表征的喜歡程度平均得分為3.3分，雖然符號(hào)表征具有簡(jiǎn)潔性和精確性，但由于其抽象性，部分學(xué)生對(duì)其興趣不高。文字表征的平均得分為3.1分，盡管學(xué)生對(duì)文字表征較為熟悉，但由于文字表述的冗長(zhǎng)和理解難度，導(dǎo)致學(xué)生對(duì)其喜歡程度相對(duì)較低。實(shí)物模型表征的平均得分為3.0分，雖然實(shí)物模型能夠提供直觀的體驗(yàn)，但由于操作不便和應(yīng)用場(chǎng)景有限，學(xué)生對(duì)其喜歡程度也不高。在運(yùn)用頻率方面，學(xué)生在日常數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中運(yùn)用圖表表征的頻率最高，“總是”和“經(jīng)?！边\(yùn)用圖表表征的學(xué)生占比達(dá)到52%。這進(jìn)一步證明了圖表表征在學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要地位，學(xué)生能夠認(rèn)識(shí)到圖表表征在理解和解決數(shù)學(xué)問題中的優(yōu)勢(shì)，并積極運(yùn)用。符號(hào)表征的運(yùn)用頻率次之，“總是”和“經(jīng)常”運(yùn)用符號(hào)表征的學(xué)生占比為45%，在代數(shù)運(yùn)算和邏輯推理等方面，符號(hào)表征是學(xué)生常用的解題工具。文字表征的運(yùn)用頻率為40%，雖然文字表征是數(shù)學(xué)問題常見的呈現(xiàn)方式，但學(xué)生在實(shí)際解題過程中，往往會(huì)將文字信息轉(zhuǎn)化為其他表征方式，以提高解題效率。實(shí)物模型表征的運(yùn)用頻率最低，“總是”和“經(jīng)常”運(yùn)用實(shí)物模型表征的學(xué)生占比僅為28%，這與實(shí)物模型表征的熟悉程度和喜歡程度較低相對(duì)應(yīng)。進(jìn)一步對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)與對(duì)不同表征方式的偏好進(jìn)行相關(guān)性分析，結(jié)果顯示，數(shù)學(xué)成績(jī)較高的學(xué)生對(duì)符號(hào)表征的偏好更為明顯，相關(guān)系數(shù)為0.45（p<0.01），這表明成績(jī)優(yōu)秀的學(xué)生具備更強(qiáng)的抽象思維能力，能夠更好地理解和運(yùn)用符號(hào)進(jìn)行數(shù)學(xué)推理和運(yùn)算。而數(shù)學(xué)成績(jī)較低的學(xué)生則更傾向于圖表表征，相關(guān)系數(shù)為-0.38（p<0.01），他們通過圖表的直觀性來降低問題的理解難度，彌補(bǔ)自身抽象思維能力的不足。這些問卷結(jié)果表明，初三學(xué)生對(duì)不同數(shù)學(xué)問題外部表征方式在熟悉程度、喜歡程度和運(yùn)用頻率上存在明顯差異，且這種差異與學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)密切相關(guān)。這為教師在教學(xué)過程中根據(jù)學(xué)生的特點(diǎn)選擇合適的外部表征方式提供了重要參考。5.3訪談結(jié)果分析訪談結(jié)果為深入理解初三學(xué)生在面對(duì)不同數(shù)學(xué)問題外部表征方式時(shí)的思維過程、困難和需求提供了豐富的質(zhì)性資料。通過對(duì)30名具有代表性學(xué)生的訪談，從學(xué)生對(duì)不同表征方式的理解和感受、解題思維過程以及學(xué)習(xí)需求等方面揭示了諸多有價(jià)值的信息。在對(duì)不同表征方式的理解和感受方面，大部分學(xué)生表示圖表表征最容易理解，因?yàn)樗軌蛑庇^地展示問題的關(guān)鍵信息，幫助他們快速把握問題的整體框架。一名學(xué)生提到：“在做函數(shù)題的時(shí)候，看到函數(shù)圖象就能馬上知道函數(shù)的增減性和一些特殊點(diǎn)，比看文字描述和公式要容易理解得多?！边@充分體現(xiàn)了圖表表征的直觀性和形象性對(duì)學(xué)生理解問題的積極影響。對(duì)于符號(hào)表征，部分成績(jī)較好的學(xué)生認(rèn)為它簡(jiǎn)潔明了，能夠準(zhǔn)確地表達(dá)數(shù)學(xué)關(guān)系，在解決代數(shù)問題時(shí)非常高效。然而，也有不少學(xué)生表示符號(hào)表征較為抽象，理解和運(yùn)用起來有一定難度。一位學(xué)生說：“像一些復(fù)雜的公式，我總是記不住，就算記住了也不知道怎么用，感覺很抽象?！边@反映出符號(hào)表征的抽象性對(duì)部分學(xué)生來說是一個(gè)較大的挑戰(zhàn)，需要他們具備較強(qiáng)的抽象思維能力。文字表征方面，學(xué)生普遍認(rèn)為文字表述較為繁瑣，在閱讀和理解時(shí)容易出現(xiàn)信息遺漏或誤解的情況。尤其是在解決應(yīng)用題時(shí)，冗長(zhǎng)的文字描述讓他們感到困惑，難以快速提取關(guān)鍵信息。有學(xué)生提到：“有些應(yīng)用題的文字太多了，看了半天都不知道在說什么，找關(guān)鍵信息很費(fèi)勁?！边@表明文字表征在信息提取和轉(zhuǎn)化方面對(duì)學(xué)生的閱讀理解能力提出了較高要求。實(shí)物模型表征在幫助學(xué)生建立直觀感知方面得到了學(xué)生的認(rèn)可。學(xué)生們表示通過操作實(shí)物模型，能夠更深刻地理解一些抽象的數(shù)學(xué)概念，如立體幾何中的空間結(jié)構(gòu)。一名學(xué)生說：“在學(xué)習(xí)圓柱的時(shí)候，通過觀察和觸摸圓柱模型，我一下子就明白了圓柱的底面、側(cè)面和高的概念，比只看課本上的圖片和文字要好理解。”但同時(shí)，學(xué)生也指出實(shí)物模型在實(shí)際應(yīng)用中存在一定的局限性，如操作不夠方便，模型的展示不夠全面等。在解題思維過程中，學(xué)生在面對(duì)不同表征方式的問題時(shí)，表現(xiàn)出了不同的思維特點(diǎn)。對(duì)于圖表表征的問題，學(xué)生往往先觀察圖表的特征，然后根據(jù)圖表所呈現(xiàn)的信息進(jìn)行分析和推理。在解決一次函數(shù)圖象問題時(shí)，學(xué)生首先會(huì)觀察函數(shù)圖象的斜率、截距以及與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)等信息，然后根據(jù)這些信息來判斷函數(shù)的性質(zhì)和變化趨勢(shì)，進(jìn)而解決問題。符號(hào)表征問題的解決過程中，學(xué)生主要運(yùn)用邏輯推理和符號(hào)運(yùn)算的方法。他們根據(jù)已知條件，運(yùn)用相關(guān)的數(shù)學(xué)公式和定理進(jìn)行推導(dǎo)和計(jì)算。在解一元二次方程時(shí)，學(xué)生根據(jù)方程的形式，選擇合適的解法，如因式分解法、配方法或公式法，通過符號(hào)運(yùn)算求出方程的解。文字表征問題的解題過程相對(duì)較為復(fù)雜，學(xué)生需要先仔細(xì)閱讀題目，理解題意，提取關(guān)鍵信息，然后將文字信息轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言或模型，再進(jìn)行求解。在解決行程問題時(shí)，學(xué)生需要從文字描述中提取出速度、時(shí)間和路程等信息，然后根據(jù)行程問題的基本公式建立數(shù)學(xué)模型，進(jìn)行計(jì)算。實(shí)物模型表征問題的解決，學(xué)生通常通過觀察和操作實(shí)物模型，獲取直觀的感受和信息，然后將這些信息與數(shù)學(xué)知識(shí)相結(jié)合，找到解題思路。在學(xué)習(xí)圓錐的體積時(shí)，學(xué)生通過將圓錐模型裝滿水，倒入等底等高的圓柱模型中，觀察水的體積關(guān)系，從而理解圓錐體積公式的推導(dǎo)過程。從學(xué)習(xí)需求來看，學(xué)生希望教師在教學(xué)過程中能夠多樣化地運(yùn)用不同的外部表征方式，以滿足他們不同的學(xué)習(xí)需求。他們希望教師在講解抽象的數(shù)學(xué)概念時(shí)，多運(yùn)用圖表和實(shí)物模型進(jìn)行輔助教學(xué)，幫助他們更好地理解。學(xué)生也希望教師能夠加強(qiáng)對(duì)符號(hào)表征的教學(xué)，幫助他們提高符號(hào)運(yùn)算和邏輯推理的能力。訪談結(jié)果進(jìn)一步驗(yàn)證了測(cè)試和問卷的研究結(jié)果，全面揭示了初三學(xué)生在面對(duì)不同數(shù)學(xué)問題外部表征方式時(shí)的認(rèn)知特點(diǎn)和學(xué)習(xí)需求，為教師改進(jìn)教學(xué)方法和策略提供了重要的參考依據(jù)。六、研究結(jié)論與教育啟示6.1研究結(jié)論總結(jié)本研究通過對(duì)1200名初三學(xué)生的測(cè)試、調(diào)查以及對(duì)30名學(xué)生的訪談，深入探究了數(shù)學(xué)問題外部表征方式對(duì)初三學(xué)生問題解決的影響，得出以下結(jié)論：不同外部表征方式對(duì)解題成績(jī)有顯著影響：在數(shù)學(xué)問題解決成績(jī)方面，不同的外部表征方式表現(xiàn)出顯著差異。圖表表征和符號(hào)表征在提高學(xué)生解題成績(jī)上效果顯著，平均得分和正確率均較高。圖表表征憑借其直觀形象的特點(diǎn)，使學(xué)生能快速獲取關(guān)鍵信息，尤其在解決幾何和函數(shù)等問題時(shí)，幫助學(xué)生建立起清晰的空間概念和數(shù)量關(guān)系，從而提高解題準(zhǔn)確性。在一次函數(shù)圖象問題中，學(xué)生通過觀察圖象能迅速判斷函數(shù)的增減性和特殊點(diǎn)，進(jìn)而解決相關(guān)問題。符號(hào)表征在代數(shù)運(yùn)算和邏輯推理類問題中優(yōu)勢(shì)明顯，其簡(jiǎn)潔性和精確性讓學(xué)生能夠高效地進(jìn)行推理和計(jì)算，如在一元二次方程的求解中，學(xué)生熟練運(yùn)用符號(hào)運(yùn)算規(guī)則，能夠快速得出方程的解。文字表征由于信息量大、理解難度高，學(xué)生在提取關(guān)鍵信息和轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型時(shí)面臨挑戰(zhàn)，導(dǎo)致平均得分和正確率較低。實(shí)物模型表征在幫助學(xué)生理解抽象概念上有一定作用，但由于操作不便和應(yīng)用場(chǎng)景有限，對(duì)解題成績(jī)的提升效果相對(duì)有限。不同外部表征方式影響解題時(shí)間：解題時(shí)間上，不同外部表征方式也存在明顯差異。文字表征由于需要學(xué)生花費(fèi)大量時(shí)間閱讀和理解冗長(zhǎng)的文字信息，并進(jìn)行信息轉(zhuǎn)化，導(dǎo)致解題時(shí)間較長(zhǎng)。在解決文字表述復(fù)雜的應(yīng)用題時(shí)，學(xué)生往往需要反復(fù)閱讀題目，提取關(guān)鍵信息，這一過程耗費(fèi)了較多時(shí)間。圖表表征能夠讓學(xué)生快速直觀地獲取信息，在一些問題上有效縮短了解題時(shí)間，學(xué)生通過觀察圖表，能夠迅速把握問題的核心，找到解題思路。符號(hào)表征在學(xué)生熟練掌握符號(hào)運(yùn)算規(guī)則的前提下，對(duì)于擅長(zhǎng)抽象思維的學(xué)生，在代數(shù)問題上能夠高效地進(jìn)行推理和計(jì)算，解題時(shí)間較短。實(shí)物模型表征雖然有助于學(xué)生建立直觀感知，但操作模型和從模型中提取有效信息的過程可能會(huì)花費(fèi)一定時(shí)間，對(duì)解題時(shí)間產(chǎn)生影響。學(xué)生對(duì)外部表征方式存在偏好且與多種因素相關(guān)：初三學(xué)生對(duì)不同外部表征方式存在明顯的偏好，且這種偏好與學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)、認(rèn)知風(fēng)格和思維能力等因素密切相關(guān)。數(shù)學(xué)成績(jī)較高的學(xué)生更傾向于符號(hào)表征，他們具備較強(qiáng)的抽象思維能力，能夠熟練運(yùn)用符號(hào)進(jìn)行邏輯推理和運(yùn)算，在解決代數(shù)問題時(shí)能夠迅速找到解題思路。而數(shù)學(xué)成績(jī)相對(duì)較低的學(xué)生則更依賴圖表表征和實(shí)物模型表征，通過直觀的方式降低問題的理解難度，彌補(bǔ)自身抽象思維能力的不足。在解決幾何問題時(shí)，成績(jī)較差的學(xué)生更傾向于通過觀察實(shí)物模型或繪制圖表來理解問題。具有形象思維優(yōu)勢(shì)的學(xué)生偏好圖表表征和實(shí)物模型表征，能夠借助直觀形象的方式更好地理解問題；具有抽象思維優(yōu)勢(shì)的學(xué)生則更傾向于符號(hào)表征和文字表征，能夠從抽象的符號(hào)和文字中提取關(guān)鍵信息，進(jìn)行深入的邏輯推理。教學(xué)干預(yù)可提升學(xué)生問題解決能力：通過教學(xué)干預(yù)，引導(dǎo)學(xué)生合理運(yùn)用多種數(shù)學(xué)問題外部表征方式，能夠有效提高學(xué)生的數(shù)學(xué)問題解決能力。在教學(xué)過程中，教師有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生對(duì)不同表征方式的認(rèn)識(shí)和運(yùn)用能力，讓學(xué)生學(xué)會(huì)根據(jù)問題的類型和自身的思維特點(diǎn)，靈活選擇合適的表征方式，并能夠在不同表征方式之間進(jìn)行有效的轉(zhuǎn)換，從而促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解和應(yīng)用。教師在講解函數(shù)知識(shí)時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合函數(shù)圖象（圖表表征）和函數(shù)表達(dá)式（符號(hào)表征）進(jìn)行學(xué)習(xí)，讓學(xué)生從不同角度理解函數(shù)的性質(zhì)和變化規(guī)律，提高學(xué)生解決函數(shù)問題的能力。通過教學(xué)干預(yù)，學(xué)生在解題成績(jī)、解題效率和思維能力等方面都有了明顯的提升，能夠更加靈活地運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決各種數(shù)學(xué)問題。6.2對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)的啟示基于本研究的結(jié)論，為提高初三數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量，提升學(xué)生數(shù)學(xué)問題解決能力，在教學(xué)實(shí)踐中可從以下幾個(gè)方面著手改進(jìn)。在教學(xué)方法上，應(yīng)采用多樣化教學(xué)方法，靈活運(yùn)用不同外部表征方式。在講解函數(shù)概念時(shí)，教師可先通過生活中的實(shí)際例子，如汽車行駛過程中速度與時(shí)間的關(guān)系，用文字表征來引入，讓學(xué)生理解函數(shù)的應(yīng)用場(chǎng)景。隨后，給出函數(shù)表達(dá)式，如“y=3x+2”，運(yùn)用符號(hào)表征深入分析函數(shù)的性質(zhì)和運(yùn)算。接著，繪制函數(shù)圖象，通過圖表表征直觀展示函數(shù)的變化趨勢(shì)和特點(diǎn)。在學(xué)習(xí)立體幾何時(shí)，利用正方體、圓柱體等實(shí)物模型，讓學(xué)生直觀感受立體圖形的結(jié)構(gòu)和特征。引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)問題類型和自身思維特點(diǎn)選擇合適的表征方式。對(duì)于幾何問題，鼓勵(lì)學(xué)生多運(yùn)用圖表表征，通過繪制圖形、標(biāo)注條件，清晰呈現(xiàn)幾何關(guān)系，幫助理解和解題。在證明三角形全等時(shí)，學(xué)生可以通過繪制三角形，標(biāo)注已知的邊和角，更直觀地判斷全等條件。對(duì)于代數(shù)問題，符號(hào)表征則更為有效，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生熟練掌握符號(hào)運(yùn)算規(guī)則，運(yùn)用符號(hào)進(jìn)行推理和計(jì)算。在解方程時(shí)，學(xué)生能夠準(zhǔn)確運(yùn)用符號(hào)進(jìn)行移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)等運(yùn)算。在教學(xué)設(shè)計(jì)中，教師應(yīng)根據(jù)教學(xué)內(nèi)容和目標(biāo)選擇恰當(dāng)?shù)耐獠勘碚鞣绞?。在教授一元二次方程時(shí)，通過實(shí)際問題的文字描述，如銷售利潤(rùn)問題，讓學(xué)生理解方程的實(shí)際應(yīng)用背景，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。然后引入符號(hào)表征，講解一元