四年級(jí)上第05講-加法原理與乘法原理-1

第五講加法原理與乘法原理“加法原理與乘法原理”研究的可不是加法和乘法怎么算！我們以前學(xué)習(xí)過(guò)枚舉計(jì)數(shù)的方法，但枚舉法對(duì)于很多計(jì)數(shù)問(wèn)題來(lái)說(shuō)太麻煩了，今天我們要學(xué)習(xí)的加法原理、乘法原理是計(jì)數(shù)問(wèn)題中的兩種新的計(jì)算方法．先舉一個(gè)例子：餐廳里有4種炒菜和2種燉菜，4種炒菜分別是：紅燒魚塊、滑溜里脊、清炒蝦仁和三鮮豆腐，2種燉菜分別是：土豆燉牛肉和蘿卜燉排骨．點(diǎn)菜時(shí)如果只點(diǎn)一個(gè)菜，有點(diǎn)炒菜和點(diǎn)燉菜這兩類方式．也就是說(shuō)，可以點(diǎn)：紅燒魚塊、滑溜里脊、清炒蝦仁、三鮮豆腐、土豆燉牛肉和蘿卜燉排骨之一，有種點(diǎn)菜方法，其中4代表4種炒菜，2代表2種燉菜．這就是加法原理．加法原理：如果完成一件事有幾類方式，在每一類方式中又有不同的方法，那么把每類的方法數(shù)相加就得到所有的方法數(shù)．如果要求炒菜和燉菜各點(diǎn)一個(gè)，這時(shí)我們可以把一個(gè)炒菜和一個(gè)燉菜看成一個(gè)點(diǎn)菜組合，點(diǎn)炒菜是一第一步，點(diǎn)燉菜是第二步，這兩步缺一不可．炒菜選紅燒魚塊的點(diǎn)菜方法有2種：（紅燒魚塊，土豆燉牛肉）、（紅燒魚塊，蘿卜燉排骨）；類似地，選滑溜里脊的也有2種：（滑溜里脊，土豆燉牛肉）、（滑溜里脊，蘿卜燉排骨）；選清炒蝦仁的也有2種：（清炒蝦仁，土豆燉牛肉）、（清炒蝦仁，蘿卜燉排骨）；選三鮮豆腐的也有2種：（三鮮豆腐，土豆燉牛肉）、（三鮮豆腐，蘿卜燉排骨）．合在一起就有種點(diǎn)菜方法，其中4代表4種炒菜，2代表2種燉菜．這就是乘法原理．乘法原理：如果完成一件事分為幾個(gè)步驟，在每一個(gè)步驟中又有不同的方法，那么把每步的方法數(shù)相乘就得到所有的方法數(shù)．例題1小高一家人外出旅游，可以乘火車，也可以乘汽車，還可以坐飛機(jī)．經(jīng)過(guò)網(wǎng)上查詢，出發(fā)的那一天中火車有4班，汽車有3班，飛機(jī)有2班．任意選擇其中一個(gè)班次，有多少種出行方法？「分析」選擇不同的交通工具是分類還是分步？是用加法原理還是乘法原理呢？

練習(xí)1書架上有8本不同的小說(shuō)和10本不同的漫畫，大頭要從書架上任意取一本書，有多少種不同的取法？例題2用紅、黃兩種顏色給圖中房子的屋頂、煙囪、門、窗四個(gè)部分染色，每個(gè)部分只能染一種顏色，一共有多少種不同的染色方法？「分析」要給四個(gè)部分染色，我們很容易想到要依次染每個(gè)部分，這是分類還是分步呢？只染一個(gè)部分能完成這件事情嗎？練習(xí)2用紅、黃兩種顏色給圖中鴨子的眼睛、嘴巴、身子三個(gè)部分染色，每個(gè)部分只能染一種顏色，一共有多少種不同的染色方法？分類是指完成一件事情有幾類不同方法，從中任意選取一類即可，它們之間可以相互替代，任意選取一類都可以完成這件事．這種情況下一般要用到加法原理．分步是指完成一件事情有幾步不同步驟，每一步都必須執(zhí)行，它們之間不可以相互替代，少一步都不能完成這件事．這種情況下一般要用到乘法原理．例題3甲丁乙丙從甲地到乙地有3條路，從乙地到丙地有3條路，從甲地到丁地有2甲丁乙丙「分析」要從甲地到丙地，就必須途徑乙、丁兩地之一．“甲→乙→丙”與“甲→丁→丙”這兩類路線各有多少條呢？甲乙丙甲乙丙任意兩地之間的路線都已在下圖中標(biāo)示出來(lái)，如果要求所走路線不能重復(fù)，那么從甲地到丙地共有多少條不同的路線？通過(guò)上面這幾個(gè)例題，我們總結(jié)一下加法原理與乘法原理之間的區(qū)別．加法原理類與類之間會(huì)滿足下列要求：只能選擇其中的某一類，而不能幾類同時(shí)選；類與類之間可以相互替代，只需要選擇某一類就可以滿足要求．比如例題1中，飛機(jī)、火車或汽車是可以隨意選擇的，小高一家人只選擇其中一種交通工具，就能到達(dá)目的地了．乘法原理步與步之間滿足下列要求：每步都只是整件事情的一個(gè)部分，必須全部完成才能滿足結(jié)論；步驟之前有先后的順序，先確定好一步，再做下一步，……，直到最后．比如例題2中，衣服和帽子都要選擇，只是可以有先后的步驟關(guān)系．在這里，衣服和帽子先選哪種都可以．但有的時(shí)候卻不能隨意安排順序，這種問(wèn)題稍微難一些，我們?cè)谌蘸髸?huì)接觸到．加法原理與乘法原理的混合有些問(wèn)題中，既有分類的關(guān)系，又有分步的關(guān)系．這時(shí)應(yīng)該分清主次關(guān)系，弄清楚到底是“分類中含有分步”，還是“分步中含有分類”．如果是某一大類里面又可以再分為幾小步，那么應(yīng)該這一類里用乘法原理進(jìn)行計(jì)算，最后再用加法原理把各類中的情況加在一起，比如例題3．當(dāng)然我們以后也會(huì)碰到某一大步里面又可以再分為幾小類的情況，這就要先用加法原理算出每一大步中有多少種情況，再用乘法原理把總數(shù)算出來(lái)．在本講的最后，我們來(lái)介紹標(biāo)數(shù)法．標(biāo)數(shù)法是解決路徑條數(shù)問(wèn)題的重要方法．如下圖所示，我們要計(jì)算螞蟻從A點(diǎn)沿箭頭的方向爬到B點(diǎn)的不同路線有多少條．DDFHCGBEA由于螞蟻只能向上走或者向右走，因此對(duì)于最下面一行中的每個(gè)點(diǎn)，螞蟻只有一種方法可以到達(dá)，對(duì)于最左邊一列中的點(diǎn)也是同樣的結(jié)論（特別地，我們把A點(diǎn)處標(biāo)上1，表示螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)到達(dá)A點(diǎn)，只有原地不動(dòng)這一種方式）．我們用標(biāo)數(shù)法標(biāo)出螞蟻到達(dá)每個(gè)點(diǎn)的路線數(shù)，已經(jīng)得到的結(jié)果如下圖所示．DD1F1H1C1GBEA1容易看出，螞蟻可以從C點(diǎn)或者D點(diǎn)到達(dá)E點(diǎn)，而且只有這兩類不同的方式，那么我們可以在E點(diǎn)處標(biāo)上數(shù)字（把C點(diǎn)與D點(diǎn)的數(shù)字相加），表示螞蟻到達(dá)E點(diǎn)有兩條路線．同樣道理，螞蟻可以從E點(diǎn)或者F點(diǎn)到達(dá)G點(diǎn)，那么螞蟻到達(dá)G點(diǎn)就有條路線（把E點(diǎn)與F點(diǎn)的數(shù)字相加）．最后可以得到螞蟻到達(dá)B點(diǎn)有4條路線，如下圖所示．DD1F1H1C1G3B4E2A1AB例題AB在下圖中，從A點(diǎn)沿線段走到B點(diǎn)，每次只能向上或向右走一步，共有多少種不同走法？AB「分析」標(biāo)數(shù)法其實(shí)就是要找到前一步可能在的所有點(diǎn)，把它們的方法數(shù)加起來(lái)．

練習(xí)AB在下圖中，從A點(diǎn)沿線段走到B點(diǎn)，每次只能向上或向右走一步，共有多少種不同走法？例題5老師要求墨莫在黑板上寫出一個(gè)減法算式，要求被減數(shù)必須是三位數(shù)，減數(shù)必須是兩位數(shù)．請(qǐng)問(wèn)墨莫共有多少種不同的寫法？「分析」被減數(shù)與減數(shù)都有很多種寫法，只寫其中一個(gè)能完成這個(gè)減法算式嗎？寫被減數(shù)和寫減數(shù)是寫出減法算式的兩類還是兩步？

例題6書架上有三層書，第一層放了15本小說(shuō)，第二層放了10本漫畫，第三層放了5本科普書，并且這些書都各不相同．請(qǐng)問(wèn)：

（1）如果從所有的書中任取1本，共有多少種不同的取法？

（2）如果從每一層中各任取1本，共有多少種不同的取法？

（3）如果從中取出2本不同類別的書，共有多少種不同的取法？「分析」從第一層取1本書、從第二層取1本書、從第三層取1本書，這三件事對(duì)于前兩問(wèn)來(lái)說(shuō)是分類還是分步？課堂內(nèi)外加減乘除的由來(lái)加減乘除（＋、－、×、÷）等數(shù)學(xué)符號(hào)是我們每一個(gè)人最熟悉的符號(hào)，因?yàn)椴还庠跀?shù)學(xué)學(xué)習(xí)中離不開它們，幾乎每天的日常的生活也離不開它們．別看它們這么簡(jiǎn)單，直到17世紀(jì)中葉才全部形成．法國(guó)數(shù)學(xué)家許凱在1484年寫成的《算術(shù)三篇》中，使用了一些編寫符號(hào)，如用D表示加法，用M表示減法．這兩個(gè)符號(hào)最早出現(xiàn)在德國(guó)數(shù)學(xué)家維德曼寫的《商業(yè)速算法》中，他用“＋”表示超過(guò)，用“─”表示不足．到1514年，荷蘭的赫克首次用“＋”表示加法，用“─”表示減法．1544年，德國(guó)數(shù)學(xué)家施蒂費(fèi)爾在《整數(shù)算術(shù)》中正式用“＋”和“─”表示加減，這兩個(gè)符號(hào)逐漸被公認(rèn)為真正的算術(shù)符號(hào)，廣泛采用．以符號(hào)“×”代表乘是英國(guó)數(shù)學(xué)家奧特雷德首創(chuàng)的．他于1631年出版的《數(shù)學(xué)之鑰》中引入這種記法．據(jù)說(shuō)是由加法符號(hào)“＋”變動(dòng)而來(lái)，因?yàn)槌朔ㄟ\(yùn)算是從相同數(shù)的連加運(yùn)算發(fā)展而來(lái)的．后來(lái)，萊布尼茲認(rèn)為“×”容易與“X”相混淆，建議用“?”表示乘號(hào)，這樣，“?”也得到了承認(rèn)．除法符號(hào)“÷”，最初這個(gè)符號(hào)是作為減號(hào)在歐洲大陸流行，奧屈特用“：”表示除或比，也有人用分?jǐn)?shù)線表示比，后來(lái)有人把二者結(jié)合起來(lái)就變成了“÷”．瑞士的數(shù)學(xué)家拉哈的著作中正式把“÷”作為除號(hào)．符號(hào)“÷”是英國(guó)的瓦里斯最初使用的，后來(lái)在英國(guó)得到了推廣．除的本意是分，符號(hào)“÷”的中間的橫線把上、下兩部分分開，形象地表示了“分”．至此，四則運(yùn)算符號(hào)齊備了．作業(yè)題庫(kù)中有三種類型的題目，數(shù)量分別為30道、40道和45道，每次考試要從三種類型的題目中各取一道組成一張?jiān)嚲恚畣?wèn)：由該題庫(kù)共可組成多少種不同的試卷？

小琴、小惠、小梅三人報(bào)名參加運(yùn)動(dòng)會(huì)的跳繩、跳高和短跑這三個(gè)項(xiàng)目的比賽，每人只能參加一項(xiàng)比賽，不一定三項(xiàng)比賽都要有人參加．請(qǐng)問(wèn)報(bào)名的情況有多少種？