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第13講概率配套必刷好題必會(huì)題型一:隨機(jī)現(xiàn)象與隨機(jī)事件1.(2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí))下列現(xiàn)象:①連續(xù)兩次拋擲同一骰子,兩次都出現(xiàn)2點(diǎn);②走到十字路口,遇到紅燈;③異性電荷相互吸引;④拋一石塊,下落.其中是隨機(jī)現(xiàn)象的個(gè)數(shù)是(
)A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】根據(jù)隨機(jī)現(xiàn)象的概念逐項(xiàng)判斷即可得解.【解析】由隨機(jī)現(xiàn)象的概念可知①②是隨機(jī)現(xiàn)象,③④是確定性現(xiàn)象.故選:B.2.(2021·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí))下列事件中,是必然事件的是(
)A.任意買一張電影票,座位號(hào)是2的倍數(shù) B.13個(gè)人中至少有兩個(gè)人生肖相同C.車輛隨機(jī)到達(dá)一個(gè)路口,遇到紅燈 D.明天一定會(huì)下雨【答案】B【分析】根據(jù)必然事件的定義,逐項(xiàng)判斷,即可得到本題答案.【解析】買一張電影票,座位號(hào)可以是2的倍數(shù),也可以不是2的倍數(shù),故A不正確;13個(gè)人中至少有兩個(gè)人生肖相同,這是必然事件,故B正確;車輛隨機(jī)到達(dá)一個(gè)路口,可以遇到紅燈,也可以遇到綠燈或者黃燈,故C不正確;明天可能下雨也可能不下雨,故D不正確.故選:B3.(2021·河北·石家莊市第十二中學(xué)高二期中)先后拋擲2枚質(zhì)地均勻的一角?五角的硬幣,觀察落地后硬幣的正反面情況,則下列事件中包含3個(gè)樣本點(diǎn)的是(
)A.“至少一枚硬幣正面向上” B.“只有一枚硬幣正面向上”C.“兩枚硬幣都是正面向上” D.“兩枚硬幣中一枚正面向上,另一枚反面向上”【答案】A【解析】根據(jù)樣本點(diǎn)的概念,結(jié)合題意逐項(xiàng)判斷即可.【解析】“至少一枚硬幣正面向上”包括“一角硬幣正面向上,五角硬幣正面向上”、“一角硬幣正面向上,五角硬幣正面向下”、“一角硬幣正面向下,五角硬幣正面向上”3個(gè)樣本點(diǎn),故A正確;“只有一枚硬幣正面向上”包括“一角硬幣正面向上,五角硬幣正面向下”、“一角硬幣正面向下,五角硬幣正面向上”2個(gè)樣本點(diǎn),故B錯(cuò)誤;“兩枚硬幣都是正面向上”包括“一角硬幣正面向上,五角硬幣正面向上”1個(gè)樣本點(diǎn),故C錯(cuò)誤;“兩枚硬幣中一枚正面向上,另一枚反面向上”包括“一角硬幣正面向上,五角硬幣正面向下”、“一角硬幣正面向下,五角硬幣正面向上”2個(gè)樣本點(diǎn),故D錯(cuò)誤.故選:A.4.為了豐富高學(xué)生的課外生活,某校要組建數(shù)學(xué)?計(jì)算機(jī)?航空模型3個(gè)興趣小組,小明要選報(bào)其中的2個(gè),則包含的樣本點(diǎn)共有(
)A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)【答案】C【解析】根據(jù)樣本點(diǎn)的概念,結(jié)合題意即可寫出所有樣本點(diǎn),即可得解.【解析】由題意可得,包含的樣本點(diǎn)有“數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)”、“數(shù)學(xué)與航空模型”、“計(jì)算機(jī)與航空模型”,共3個(gè).故選:C.5.(2022·全國(guó)·高三專題練習(xí))某小組有1名男生和2名女生,從中任選2名學(xué)生參加圍棋比賽,事件“至多有1名男生”與事件“至多有1名女生”(
)A.是對(duì)立事件 B.都是必然事件C.不是互斥事件 D.是互斥事件但不是對(duì)立事件【答案】C【分析】根據(jù)兩個(gè)事件的關(guān)系可得正確的選項(xiàng).【解析】事件“至多有1名男生”和“至多有1名女生”均為隨機(jī)事件,故B錯(cuò)誤.事件“至多有1名男生”有兩種情況:2名學(xué)生都是女生或2名學(xué)生一男一女.“至多有1名女生”有一種情況:2名學(xué)生一男一女.故兩個(gè)事件不是對(duì)立事件、互斥事件,故AD錯(cuò)誤,C正確,故選:C.必會(huì)題型二:古典概型1.(2022·江西·高三階段練習(xí)(理))某商店的一位售貨員,發(fā)現(xiàn)顧客購(gòu)買商品后有現(xiàn)金支付、微信支付、支付寶支付、銀聯(lián)支付4種支付方式,其中用現(xiàn)金支付的概率為0.2,支付寶支付的概率為0.3,銀聯(lián)支付的概率為0.1,則選擇用微信支付的概率為(
)A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4【答案】D【分析】直接利用概率和為1計(jì)算即可.【解析】選擇用微信支付的概率1-0.1-0.2-0.3=0.4.故選:D2.(2022·全國(guó)·高三專題練習(xí))如圖,甲、乙兩個(gè)元件串聯(lián)構(gòu)成一段電路,設(shè)M=“甲元件故障”,N=“乙元件故障”,則表示該段電路沒有故障的事件為(
)A.M∪N B.M∪N C.M∩N D【答案】C【分析】根據(jù)條件,得出甲、乙兩個(gè)元件的故障情況,即可得出結(jié)果.【解析】因甲、乙兩個(gè)元件串聯(lián),線路沒有故障,即甲、乙都沒有故障.即事件M和N同時(shí)發(fā)生,即事件M∩N故選:C.3.(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí))甲、乙兩人下棋,兩人下成和棋的概率是12,乙獲勝的概率是13,則下列說法正確的是(A.乙不輸?shù)母怕适?3 B.甲獲勝的概率是C.甲不輸?shù)母怕适?2 D.乙輸?shù)母怕适恰敬鸢浮緿【分析】根據(jù)互斥事件的概率求得正確答案.【解析】甲乙兩人下棋比賽,記“兩人下成和棋”為事件A,“乙獲勝”為事件B,則A,B互斥,則P(A)=12,P(B)則乙不輸即為事件A+B,由互斥事件的概率公式可得,P(A+B)=P(A)+P(B)=1則甲勝的概率是1﹣P(A+B)=1-5則甲不輸即為甲獲勝或和棋的概率為16乙輸?shù)母怕适蔷褪羌撰@勝的概率16所以ABC選項(xiàng)錯(cuò)誤,D選項(xiàng)正確.故選:D4.(2022·湖南師大附中高二開學(xué)考試)在投擲一枚骰子的試驗(yàn)中,出現(xiàn)各點(diǎn)的概率都是16.事件A表示“小于5的偶數(shù)點(diǎn)出現(xiàn)”,事件B表示“小于5的點(diǎn)數(shù)出現(xiàn)”,則一次試驗(yàn)中,事件A∪B發(fā)生的概率是(A.13 B.12 C.23【答案】C【分析】根據(jù)對(duì)立事件與互斥事件的概率公式求解即可.【解析】易知事件A與事件B互斥,且PA=1故選:C5.(2022·湖北·荊門市東寶中學(xué)高二期中)同時(shí)拋擲質(zhì)地均勻的兩枚骰子,朝上的點(diǎn)數(shù)之和為5的概率為(
)A.118 B.19 C.536【答案】B【分析】用列舉法結(jié)合古典概型的概率公式求解即可【解析】同時(shí)拋擲質(zhì)地均勻的兩枚骰子,基本事件有:1,2,3,4,5,6,共36種,向上的點(diǎn)數(shù)之和為6包含的基本事件有:1,4,2,3,3,∴向上的點(diǎn)數(shù)之和為5的概率是P=4故選:B.必會(huì)題型三:頻率與概率1.下列說法正確的是(
)A.隨機(jī)事件的頻率等于概率B.隨機(jī)事件A的概率PC.一個(gè)隨機(jī)事件的頻率是固定的D.當(dāng)重復(fù)試驗(yàn)次數(shù)足夠大時(shí),可用頻率估計(jì)概率【答案】D【分析】根據(jù)隨機(jī)事件的頻率與概率的關(guān)系分析判斷即可.【解析】對(duì)于A、D,當(dāng)重復(fù)試驗(yàn)次數(shù)足夠大時(shí),可用頻率來估計(jì)概率,所以A錯(cuò)誤,D正確,對(duì)于B,隨機(jī)事件A的概率P(A)∈(0,1),所以對(duì)于C,一個(gè)隨機(jī)事件的頻率與試驗(yàn)次數(shù)有關(guān),不是固定的,所以C錯(cuò)誤,故選:D2.(2022·上?!じ叨卧獪y(cè)試)考慮擲硬幣試驗(yàn),設(shè)事件A=“正面朝上”,則下列論述正確的是(
)A.?dāng)S2次硬幣,事件“一個(gè)正面,一個(gè)反面”發(fā)生的概率為1B.?dāng)S8次硬幣,事件A發(fā)生的次數(shù)一定是4C.重復(fù)擲硬幣,事件A發(fā)生的頻率等于事件A發(fā)生的概率D.當(dāng)投擲次數(shù)足夠多時(shí),事件A發(fā)生的頻率接近0.5【答案】D【分析】根據(jù)隨機(jī)事件的性質(zhì)可判斷A,B;根據(jù)頻率與概率的關(guān)系可判斷C,D.【解析】擲2次硬幣,事件“一個(gè)正面,一個(gè)反面”發(fā)生的概率P=12×擲8次硬幣,事件A發(fā)生的次數(shù)是隨機(jī)的,B錯(cuò)誤;重復(fù)擲硬幣,事件A發(fā)生的頻率無限接近于事件A發(fā)生的概率,C錯(cuò)誤;當(dāng)投擲次數(shù)足夠多時(shí),事件A發(fā)生的頻率接近0.5,D正確.故選:D3.(2022·全國(guó)·高三專題練習(xí))一個(gè)容量為20的數(shù)據(jù)樣本,分組和頻數(shù)為10,20,2個(gè)、20,30,3個(gè)、30,40,4個(gè)、40,50,5個(gè)、50,60,4A.5% B.25% C.50% D.70%【答案】D【分析】根據(jù)題意,得到在區(qū)間-∞,【解析】由題意,在區(qū)間-∞,50中樣本個(gè)數(shù)為所以樣本數(shù)據(jù)在區(qū)間-∞,50故選:D.4.(2022·全國(guó)·高三專題練習(xí))在一個(gè)實(shí)驗(yàn)中,某種豚鼠被感染A病毒的概率均為40%,現(xiàn)采用隨機(jī)模擬方法估計(jì)三只豚鼠中被感染的概率:先由計(jì)算機(jī)產(chǎn)生出0,9之間整數(shù)值的隨機(jī)數(shù),指定1,2,3,4表示被感染,5,6,7,8,9,0表示沒有被感染.經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了如下192
907
966
925
271
932
812
458
569
683257
393
127
556
488
730
113
537
989
431據(jù)此估計(jì)三只豚鼠中恰有兩只被感染的概率為(
)A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.5【答案】B【分析】從20組數(shù)據(jù)中找到表示兩支豚鼠被感染的組數(shù),利用古典概型求概率公式進(jìn)行求解.【解析】20組隨機(jī)數(shù)中,表示有兩支被感染的有192,271,932,812,393,127,共有6組,故估計(jì)三只豚鼠中恰有兩只被感染的概率為620故選:B5.[多選](2022·湖北·高二階段練習(xí))小明將一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子連續(xù)拋擲了10次,每次朝上的點(diǎn)數(shù)都是6,則下列說法正確的是(
)A.朝上的點(diǎn)數(shù)是6的概率和頻率均為1B.若拋擲10000次,則朝上的點(diǎn)數(shù)是6的頻率約為1C.拋擲第11次,朝上的點(diǎn)數(shù)一定不是6D.拋擲6000次,朝上的點(diǎn)數(shù)為6的次數(shù)大約為1000次【答案】BD【分析】根據(jù)頻率和概率的定義,一次判斷選項(xiàng)即可.【解析】對(duì)選項(xiàng)A,拋擲一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子,朝上的點(diǎn)數(shù)是6的概率為16,故A對(duì)選項(xiàng)B,因?yàn)轭l率隨著實(shí)驗(yàn)的次數(shù)的不同而不同,隨著試驗(yàn)次數(shù)的增大,頻率逐漸趨向于概率的值,而拋擲一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子,朝上的點(diǎn)數(shù)是6的概率為16故B正確;對(duì)選項(xiàng)C,拋擲一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子,朝上的點(diǎn)數(shù)是6的概率為16所以拋擲第11次,朝上點(diǎn)數(shù)可能是6,也可能不是6,故C錯(cuò)誤;對(duì)選項(xiàng)D,拋擲一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子,朝上的點(diǎn)數(shù)是6的概率為16拋擲6000次,頻率接近16,頻數(shù)大約為1000次,故D正確故選:BD必會(huì)題型四:事件的獨(dú)立性1.(2022·重慶市萬(wàn)州第二高級(jí)中學(xué)高三階段練習(xí))已知事件A與事件B相互獨(dú)立,且PA=0.2,PB=0.5,則A.0.7 B.0.6 C.0.5 D.0.4【答案】B【分析】已知事件A與事件B相互獨(dú)立,則PA∪B=1-P【解析】事件A與事件B相互獨(dú)立,∴PA∪B故選:B.2.(2022·湖北·宜城市第一中學(xué)高二期中)對(duì)于一個(gè)古典概型的樣本空間Ω和事件A,B,C,D,其中nΩ=80,nA=40,nB=20,nC=20,nD=40A.A與B不互斥 B.A與D互斥且不對(duì)立C.C與D互斥 D.A與C相互獨(dú)立【答案】D【分析】由已知條件結(jié)合事件的運(yùn)算判斷事件間的互斥、對(duì)立關(guān)系,根據(jù)P(A∩C)與P(A)P(C)的關(guān)系判斷事件是否獨(dú)立.【解析】由nA=40,nB=20,nA∪B=60,即n(A∪B)=n(A)+n(B),故由n(A∪D)=n(A)+n(D)=n(Ω)=80,A、D互斥且對(duì)立,又n(C)=20,n(A∩C)=10,則n(D∩C)=10,C與D不互斥,C錯(cuò)誤;由P(A)=n(A)n(Ω)=所以P(A∩C)=P(A)P(C),即A與C相互獨(dú)立,D正確.故選:D3.[多選](2022·全國(guó)·高二期中)已知PA=13,PA.事件A與事件C相互獨(dú)立B.事件A與事件B相互獨(dú)立C.事件B與事件C相互獨(dú)立D.事件B與事件D相互獨(dú)立【答案】AD【分析】由相互獨(dú)立事件的概率特征判斷即可【解析】對(duì)于B:因?yàn)镻A=所以PAC=PA?PC,所以事件A對(duì)于B:因?yàn)镻A=所以PAB≠PA?PB,所以事件A對(duì)于C:因?yàn)镻B=所以PBC≠PB?PC,所以事件B對(duì)于D:因?yàn)镻B=所以PBD=PB?PD,所以事件B故選:AD4.[多選](2022·全國(guó)·高三專題練習(xí))設(shè)A,B為兩個(gè)隨機(jī)事件,若PA=13,PA.若A,B為互斥事件,PB.PC.若PAB=112,則D.若A,B為相互獨(dú)立事件,則P【答案】AC【分析】根據(jù)互斥事件的概率公式,結(jié)合相互獨(dú)立事件的概率公式進(jìn)行判斷即可.【解析】若A,B為互斥事件,PA+B=P(A)+P(B)=7若A∩B≠?時(shí),PA+B=P(A)+P(B)-P(A∩B)=7因?yàn)镻(A)?P(B)=PAB,所以選項(xiàng)C若A,B為相互獨(dú)立事件,PA?B=P(故選:AC必會(huì)題型五:統(tǒng)計(jì)與概率綜合1.[多選](2022·湖北·高二期中)下列描述正確的是(
)A.若事件A,B滿足PA+PB=1,則B.若PAB=19,PA=23C.?dāng)S兩枚質(zhì)地均勻的骰子,“第一枚出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)”與“第二枚出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”是對(duì)立事件D.一個(gè)袋子中有2個(gè)紅球,3個(gè)綠球,采用不放回方式從中依次隨機(jī)地取出兩球第二次取到紅球的概率是2【答案】BD【分析】根據(jù)對(duì)立事件、相互獨(dú)立事件的定義,結(jié)合古典概型運(yùn)算公式逐一判斷即可.【解析】A:事件A:擲一枚硬幣,正面朝上;事件B:擲一個(gè)質(zhì)地均勻的骰子,出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn),顯然PA=1顯然A與B不是對(duì)立事件,所以本選項(xiàng)不正確;B:因?yàn)镻A=23,所以所以事件A與B相互獨(dú)立,所以本選項(xiàng)正確;C:拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子,“第一枚出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)”與“第二枚出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)可以同時(shí)出現(xiàn),故不是對(duì)立事件;D:因?yàn)椴捎貌环呕胤绞綇闹幸来坞S機(jī)地取出兩球,所以第二次取到紅球的概率是25故選:BD2.[多選](2022·全國(guó)·高三專題練習(xí))從裝有2個(gè)紅球和2個(gè)白球的口袋內(nèi)任取兩個(gè)球,則下列選項(xiàng)中的兩個(gè)事件為不是互斥事件的是(
)A.至多有1個(gè)白球;都是紅球 B.至少有1個(gè)白球;至少有1個(gè)紅球C.恰好有1個(gè)白球;都是紅球 D.至多有1個(gè)白球;全是白球【答案】AB【分析】根據(jù)互斥事件的概念判斷即可.【解析】對(duì)于A:“至多有1個(gè)白球”包含都是紅球和一紅一白,“都是紅球”包含都是紅球,所以“至多有1個(gè)白球”與“都是紅球”不是互斥事件.故A正確;對(duì)于B:“至少有1個(gè)白球”包含都是白球和一紅一白,“至少有1個(gè)紅球”包含都是紅球和一紅一白,所以“至少有1個(gè)白球”與“至少有1個(gè)紅球”不是互斥事件.故B正確;對(duì)于C:“恰好有1個(gè)白球”包含一紅一白,“都是紅球”包含都是紅球,所以“恰好有1個(gè)白球”與“都是紅球”是互斥事件.故C錯(cuò)誤;對(duì)于D:“至多有1個(gè)白球”包含都是紅球和一紅一白,“全是白球”包含都是白球,所以“至多有1個(gè)白球”與“全是白球”是互斥事件.故D錯(cuò)誤.故選:AB.3.(2022·上?!げ軛疃懈咭黄谀?已知甲袋中有2個(gè)白球、3個(gè)紅球、5個(gè)黑球;乙袋中有4個(gè)白球、3個(gè)紅球、3個(gè)黑球,各個(gè)球的大小與質(zhì)地相同.若從兩袋中各取一球,則2個(gè)球顏色不同的概率為_____.【答案】17【分析】找出基本事件總數(shù)和滿足條件的基本事件數(shù),根據(jù)古典概型公式求解即可.【解析】由題,甲袋中共有10個(gè)球,乙袋中共有10個(gè)球,則從兩袋中各取一球,基本事件總數(shù)為10×10=100,取出的2個(gè)球顏色不同,可能為:(甲白,乙紅),(甲白,乙黑),(甲紅,乙白),(甲紅,乙黑),(甲黑,乙白),(甲黑,乙紅),則2個(gè)球顏色不同的基本事件數(shù)為2×3+2×3+3×4+3×3+故答案為:174.(2022·上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校高三階段練習(xí))集合S=1,2,3,4,5,從S的所有非空子集中,等可能地取出一個(gè),設(shè)A?S,若x∈A,則6-x∈A,就稱子集【答案】7【分析】根據(jù)題意列出S的非空子集,找到滿足性質(zhì)P的的集合,利用古典概率模型求解.【解析】由題可知,S的所有非空子集有:1,1111,2,滿足性質(zhì)P的有:3,1,5,2,4,所以所取出的非空子集滿足性質(zhì)P的概率為731故答案為:7315.(2022·北京二中高二階段練習(xí))我校為了解高二學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科的學(xué)習(xí)效果,現(xiàn)從高二學(xué)生第二學(xué)期期末考試的成績(jī)中隨機(jī)抽50名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)(單位:分),按[90,100),[100(1)求m的值及這50名學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的中位數(shù);(2)該學(xué)校為制訂下階段的復(fù)習(xí)計(jì)劃,現(xiàn)需從成績(jī)?cè)?30,140內(nèi)的學(xué)生中任選2名作為代表進(jìn)行座談,若已知成績(jī)?cè)?30,140內(nèi)的學(xué)生中男女比例為2:1【答案】(1)m=0.008;122.5(2)3【分析】(1)根據(jù)頻率之和為1,設(shè)中位數(shù)為x計(jì)算即可;(2)列舉法解決即可.【解析】(1)由題知,(0.004+0.012+0.024+0.04+0.012+m)×10=1,解得m=0.008,設(shè)這50名學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的中位數(shù)為x,所以0.004×10+0.012×10+0.024×10+0.04(x-120)=0.5,解得x=122.5.所以這50名學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的中位數(shù)為122.5(2)由頻率分布直方圖知,成績(jī)?cè)?30,140內(nèi)的學(xué)生有因?yàn)槌煽?jī)?cè)?30,140內(nèi)的學(xué)生中男女比例為所以6名學(xué)生中男生有4名,女生有2名,記男生分別為A,B,所以從6名學(xué)生中任選2名情況有AB,AC,其中至少有1名女生的有Aa,Ab,所以至少有1名女生參加座談的概率為
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