第13講概率必刷好題()

第13講概率配套必刷好題必會(huì)題型一：隨機(jī)現(xiàn)象與隨機(jī)事件1．(2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí))下列現(xiàn)象:①連續(xù)兩次拋擲同一骰子，兩次都出現(xiàn)2點(diǎn)；②走到十字路口，遇到紅燈；③異性電荷相互吸引；④拋一石塊，下落.其中是隨機(jī)現(xiàn)象的個(gè)數(shù)是(

)A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】根據(jù)隨機(jī)現(xiàn)象的概念逐項(xiàng)判斷即可得解.【解析】由隨機(jī)現(xiàn)象的概念可知①②是隨機(jī)現(xiàn)象，③④是確定性現(xiàn)象.故選：B.2．(2021·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí))下列事件中，是必然事件的是(

)A．任意買一張電影票，座位號(hào)是2的倍數(shù) B．13個(gè)人中至少有兩個(gè)人生肖相同C．車輛隨機(jī)到達(dá)一個(gè)路口，遇到紅燈 D．明天一定會(huì)下雨【答案】B【分析】根據(jù)必然事件的定義，逐項(xiàng)判斷，即可得到本題答案.【解析】買一張電影票，座位號(hào)可以是2的倍數(shù)，也可以不是2的倍數(shù)，故A不正確；13個(gè)人中至少有兩個(gè)人生肖相同，這是必然事件，故B正確；車輛隨機(jī)到達(dá)一個(gè)路口，可以遇到紅燈，也可以遇到綠燈或者黃燈，故C不正確；明天可能下雨也可能不下雨，故D不正確.故選：B3．(2021·河北·石家莊市第十二中學(xué)高二期中)先后拋擲2枚質(zhì)地均勻的一角?五角的硬幣，觀察落地后硬幣的正反面情況，則下列事件中包含3個(gè)樣本點(diǎn)的是(

)A．“至少一枚硬幣正面向上” B．“只有一枚硬幣正面向上”C．“兩枚硬幣都是正面向上” D．“兩枚硬幣中一枚正面向上，另一枚反面向上”【答案】A【解析】根據(jù)樣本點(diǎn)的概念，結(jié)合題意逐項(xiàng)判斷即可.【解析】“至少一枚硬幣正面向上”包括“一角硬幣正面向上，五角硬幣正面向上”、“一角硬幣正面向上，五角硬幣正面向下”、“一角硬幣正面向下，五角硬幣正面向上”3個(gè)樣本點(diǎn)，故A正確；“只有一枚硬幣正面向上”包括“一角硬幣正面向上，五角硬幣正面向下”、“一角硬幣正面向下，五角硬幣正面向上”2個(gè)樣本點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；“兩枚硬幣都是正面向上”包括“一角硬幣正面向上，五角硬幣正面向上”1個(gè)樣本點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；“兩枚硬幣中一枚正面向上，另一枚反面向上”包括“一角硬幣正面向上，五角硬幣正面向下”、“一角硬幣正面向下，五角硬幣正面向上”2個(gè)樣本點(diǎn)，故D錯(cuò)誤.故選：A.4．為了豐富高學(xué)生的課外生活，某校要組建數(shù)學(xué)?計(jì)算機(jī)?航空模型3個(gè)興趣小組，小明要選報(bào)其中的2個(gè)，則包含的樣本點(diǎn)共有(

)A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【解析】根據(jù)樣本點(diǎn)的概念，結(jié)合題意即可寫出所有樣本點(diǎn)，即可得解.【解析】由題意可得，包含的樣本點(diǎn)有“數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)”、“數(shù)學(xué)與航空模型”、“計(jì)算機(jī)與航空模型”，共3個(gè).故選：C.5．(2022·全國(guó)·高三專題練習(xí))某小組有1名男生和2名女生，從中任選2名學(xué)生參加圍棋比賽，事件“至多有1名男生”與事件“至多有1名女生”(

)A．是對(duì)立事件 B．都是必然事件C．不是互斥事件 D．是互斥事件但不是對(duì)立事件【答案】C【分析】根據(jù)兩個(gè)事件的關(guān)系可得正確的選項(xiàng).【解析】事件“至多有1名男生”和“至多有1名女生”均為隨機(jī)事件，故B錯(cuò)誤.事件“至多有1名男生”有兩種情況：2名學(xué)生都是女生或2名學(xué)生一男一女.“至多有1名女生”有一種情況：2名學(xué)生一男一女.故兩個(gè)事件不是對(duì)立事件、互斥事件，故AD錯(cuò)誤，C正確，故選：C.必會(huì)題型二：古典概型1．(2022·江西·高三階段練習(xí)(理))某商店的一位售貨員，發(fā)現(xiàn)顧客購(gòu)買商品后有現(xiàn)金支付、微信支付、支付寶支付、銀聯(lián)支付4種支付方式，其中用現(xiàn)金支付的概率為0.2，支付寶支付的概率為0.3，銀聯(lián)支付的概率為0.1，則選擇用微信支付的概率為(

)A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4【答案】D【分析】直接利用概率和為1計(jì)算即可.【解析】選擇用微信支付的概率1-0.1-0.2-0.3=0.4.故選：D2．(2022·全國(guó)·高三專題練習(xí))如圖，甲、乙兩個(gè)元件串聯(lián)構(gòu)成一段電路，設(shè)M=“甲元件故障”，N=“乙元件故障”，則表示該段電路沒有故障的事件為(

)A．M∪N B．M∪N C．M∩N D【答案】C【分析】根據(jù)條件，得出甲、乙兩個(gè)元件的故障情況，即可得出結(jié)果.【解析】因甲、乙兩個(gè)元件串聯(lián)，線路沒有故障，即甲、乙都沒有故障.即事件M和N同時(shí)發(fā)生，即事件M∩N故選：C.3．(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí))甲、乙兩人下棋，兩人下成和棋的概率是12，乙獲勝的概率是13，則下列說法正確的是(A．乙不輸?shù)母怕适?3 B．甲獲勝的概率是C．甲不輸?shù)母怕适?2 D．乙輸?shù)母怕适恰敬鸢浮緿【分析】根據(jù)互斥事件的概率求得正確答案.【解析】甲乙兩人下棋比賽，記“兩人下成和棋”為事件A，“乙獲勝”為事件B，則A，B互斥，則P(A)=12，P(B)則乙不輸即為事件A+B，由互斥事件的概率公式可得，P(A+B)＝P(A)+P(B)=1則甲勝的概率是1﹣P(A+B)＝1-5則甲不輸即為甲獲勝或和棋的概率為16乙輸?shù)母怕适蔷褪羌撰@勝的概率16所以ABC選項(xiàng)錯(cuò)誤，D選項(xiàng)正確.故選：D4．(2022·湖南師大附中高二開學(xué)考試)在投擲一枚骰子的試驗(yàn)中，出現(xiàn)各點(diǎn)的概率都是16.事件A表示“小于5的偶數(shù)點(diǎn)出現(xiàn)”，事件B表示“小于5的點(diǎn)數(shù)出現(xiàn)”，則一次試驗(yàn)中，事件A∪B發(fā)生的概率是(A．13 B．12 C．23【答案】C【分析】根據(jù)對(duì)立事件與互斥事件的概率公式求解即可.【解析】易知事件A與事件B互斥，且PA=1故選：C5．(2022·湖北·荊門市東寶中學(xué)高二期中)同時(shí)拋擲質(zhì)地均勻的兩枚骰子，朝上的點(diǎn)數(shù)之和為5的概率為(

)A．118 B．19 C．536【答案】B【分析】用列舉法結(jié)合古典概型的概率公式求解即可【解析】同時(shí)拋擲質(zhì)地均勻的兩枚骰子，基本事件有：1，2，3，4，5，6，共36種，向上的點(diǎn)數(shù)之和為6包含的基本事件有：1，4，2，3，3，∴向上的點(diǎn)數(shù)之和為5的概率是P=4故選：B．必會(huì)題型三：頻率與概率1．下列說法正確的是(

)A．隨機(jī)事件的頻率等于概率B．隨機(jī)事件A的概率PC．一個(gè)隨機(jī)事件的頻率是固定的D．當(dāng)重復(fù)試驗(yàn)次數(shù)足夠大時(shí)，可用頻率估計(jì)概率【答案】D【分析】根據(jù)隨機(jī)事件的頻率與概率的關(guān)系分析判斷即可.【解析】對(duì)于A、D，當(dāng)重復(fù)試驗(yàn)次數(shù)足夠大時(shí)，可用頻率來估計(jì)概率，所以A錯(cuò)誤，D正確，對(duì)于B，隨機(jī)事件A的概率P(A)∈(0，1)，所以對(duì)于C，一個(gè)隨機(jī)事件的頻率與試驗(yàn)次數(shù)有關(guān)，不是固定的，所以C錯(cuò)誤，故選：D2．(2022·上?！じ叨卧獪y(cè)試)考慮擲硬幣試驗(yàn)，設(shè)事件A=“正面朝上”，則下列論述正確的是(

)A．?dāng)S2次硬幣，事件“一個(gè)正面，一個(gè)反面”發(fā)生的概率為1B．?dāng)S8次硬幣，事件A發(fā)生的次數(shù)一定是4C．重復(fù)擲硬幣，事件A發(fā)生的頻率等于事件A發(fā)生的概率D．當(dāng)投擲次數(shù)足夠多時(shí)，事件A發(fā)生的頻率接近0.5【答案】D【分析】根據(jù)隨機(jī)事件的性質(zhì)可判斷A，B；根據(jù)頻率與概率的關(guān)系可判斷C，D.【解析】擲2次硬幣，事件“一個(gè)正面，一個(gè)反面”發(fā)生的概率P=12×擲8次硬幣，事件A發(fā)生的次數(shù)是隨機(jī)的，B錯(cuò)誤；重復(fù)擲硬幣，事件A發(fā)生的頻率無限接近于事件A發(fā)生的概率，C錯(cuò)誤；當(dāng)投擲次數(shù)足夠多時(shí)，事件A發(fā)生的頻率接近0.5，D正確.故選：D3．(2022·全國(guó)·高三專題練習(xí))一個(gè)容量為20的數(shù)據(jù)樣本，分組和頻數(shù)為10，20，2個(gè)、20，30，3個(gè)、30，40，4個(gè)、40，50，5個(gè)、50，60，4A．5% B．25% C．50% D．70%【答案】D【分析】根據(jù)題意，得到在區(qū)間-∞，【解析】由題意，在區(qū)間-∞，50中樣本個(gè)數(shù)為所以樣本數(shù)據(jù)在區(qū)間-∞，50故選：D.4．(2022·全國(guó)·高三專題練習(xí))在一個(gè)實(shí)驗(yàn)中，某種豚鼠被感染A病毒的概率均為40%，現(xiàn)采用隨機(jī)模擬方法估計(jì)三只豚鼠中被感染的概率：先由計(jì)算機(jī)產(chǎn)生出0，9之間整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，指定1，2，3，4表示被感染，5，6，7，8，9，0表示沒有被感染.經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了如下192

907

966

925

271

932

812

458

569

683257

393

127

556

488

730

113

537

989

431據(jù)此估計(jì)三只豚鼠中恰有兩只被感染的概率為(

)A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5【答案】B【分析】從20組數(shù)據(jù)中找到表示兩支豚鼠被感染的組數(shù)，利用古典概型求概率公式進(jìn)行求解.【解析】20組隨機(jī)數(shù)中，表示有兩支被感染的有192，271，932，812，393，127，共有6組，故估計(jì)三只豚鼠中恰有兩只被感染的概率為620故選：B5．[多選](2022·湖北·高二階段練習(xí))小明將一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子連續(xù)拋擲了10次，每次朝上的點(diǎn)數(shù)都是6，則下列說法正確的是(

)A．朝上的點(diǎn)數(shù)是6的概率和頻率均為1B．若拋擲10000次，則朝上的點(diǎn)數(shù)是6的頻率約為1C．拋擲第11次，朝上的點(diǎn)數(shù)一定不是6D．拋擲6000次，朝上的點(diǎn)數(shù)為6的次數(shù)大約為1000次【答案】BD【分析】根據(jù)頻率和概率的定義，一次判斷選項(xiàng)即可．【解析】對(duì)選項(xiàng)A，拋擲一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子，朝上的點(diǎn)數(shù)是6的概率為16，故A對(duì)選項(xiàng)B，因?yàn)轭l率隨著實(shí)驗(yàn)的次數(shù)的不同而不同，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增大，頻率逐漸趨向于概率的值，而拋擲一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子，朝上的點(diǎn)數(shù)是6的概率為16故B正確；對(duì)選項(xiàng)C，拋擲一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子，朝上的點(diǎn)數(shù)是6的概率為16所以拋擲第11次，朝上點(diǎn)數(shù)可能是6，也可能不是6，故C錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)D，拋擲一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子，朝上的點(diǎn)數(shù)是6的概率為16拋擲6000次，頻率接近16，頻數(shù)大約為1000次，故D正確故選：BD必會(huì)題型四：事件的獨(dú)立性1．(2022·重慶市萬(wàn)州第二高級(jí)中學(xué)高三階段練習(xí))已知事件A與事件B相互獨(dú)立，且PA=0.2，PB=0.5，則A．0.7 B．0.6 C．0.5 D．0.4【答案】B【分析】已知事件A與事件B相互獨(dú)立，則PA∪B=1-P【解析】事件A與事件B相互獨(dú)立，∴PA∪B故選：B.2．(2022·湖北·宜城市第一中學(xué)高二期中)對(duì)于一個(gè)古典概型的樣本空間Ω和事件A，B，C，D，其中nΩ=80，nA=40，nB=20，nC=20，nD=40A．A與B不互斥 B．A與D互斥且不對(duì)立C．C與D互斥 D．A與C相互獨(dú)立【答案】D【分析】由已知條件結(jié)合事件的運(yùn)算判斷事件間的互斥、對(duì)立關(guān)系，根據(jù)P(A∩C)與P(A)P(C)的關(guān)系判斷事件是否獨(dú)立.【解析】由nA=40，nB=20，nA∪B=60，即n(A∪B)=n(A)+n(B)，故由n(A∪D)=n(A)+n(D)=n(Ω)=80，A、D互斥且對(duì)立，又n(C)=20，n(A∩C)=10，則n(D∩C)=10，C與D不互斥，C錯(cuò)誤；由P(A)=n(A)n(Ω)=所以P(A∩C)=P(A)P(C)，即A與C相互獨(dú)立，D正確.故選：D3．[多選](2022·全國(guó)·高二期中)已知PA=13，PA．事件A與事件C相互獨(dú)立B．事件A與事件B相互獨(dú)立C．事件B與事件C相互獨(dú)立D．事件B與事件D相互獨(dú)立【答案】AD【分析】由相互獨(dú)立事件的概率特征判斷即可【解析】對(duì)于B：因?yàn)镻A=所以PAC=PA?PC，所以事件A對(duì)于B：因?yàn)镻A=所以PAB≠PA?PB，所以事件A對(duì)于C：因?yàn)镻B=所以PBC≠PB?PC，所以事件B對(duì)于D：因?yàn)镻B=所以PBD=PB?PD，所以事件B故選：AD4．[多選](2022·全國(guó)·高三專題練習(xí))設(shè)A，B為兩個(gè)隨機(jī)事件，若PA=13，PA．若A，B為互斥事件，PB．PC．若PAB=112，則D．若A，B為相互獨(dú)立事件，則P【答案】AC【分析】根據(jù)互斥事件的概率公式，結(jié)合相互獨(dú)立事件的概率公式進(jìn)行判斷即可.【解析】若A，B為互斥事件，PA+B=P(A)+P(B)=7若A∩B≠?時(shí)，PA+B=P(A)+P(B)-P(A∩B)=7因?yàn)镻(A)?P(B)=PAB，所以選項(xiàng)C若A，B為相互獨(dú)立事件，PA?B=P(故選：AC必會(huì)題型五：統(tǒng)計(jì)與概率綜合1．[多選](2022·湖北·高二期中)下列描述正確的是(

)A．若事件A，B滿足PA+PB=1，則B．若PAB=19，PA=23C．?dāng)S兩枚質(zhì)地均勻的骰子，“第一枚出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)”與“第二枚出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”是對(duì)立事件D．一個(gè)袋子中有2個(gè)紅球，3個(gè)綠球，采用不放回方式從中依次隨機(jī)地取出兩球第二次取到紅球的概率是2【答案】BD【分析】根據(jù)對(duì)立事件、相互獨(dú)立事件的定義，結(jié)合古典概型運(yùn)算公式逐一判斷即可.【解析】A：事件A：擲一枚硬幣，正面朝上；事件B：擲一個(gè)質(zhì)地均勻的骰子，出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)，顯然PA=1顯然A與B不是對(duì)立事件，所以本選項(xiàng)不正確；B：因?yàn)镻A=23，所以所以事件A與B相互獨(dú)立，所以本選項(xiàng)正確；C：拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，“第一枚出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)”與“第二枚出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)可以同時(shí)出現(xiàn)，故不是對(duì)立事件；D：因?yàn)椴捎貌环呕胤绞綇闹幸来坞S機(jī)地取出兩球，所以第二次取到紅球的概率是25故選：BD2．[多選](2022·全國(guó)·高三專題練習(xí))從裝有2個(gè)紅球和2個(gè)白球的口袋內(nèi)任取兩個(gè)球，則下列選項(xiàng)中的兩個(gè)事件為不是互斥事件的是(

)A．至多有1個(gè)白球；都是紅球 B．至少有1個(gè)白球；至少有1個(gè)紅球C．恰好有1個(gè)白球；都是紅球 D．至多有1個(gè)白球；全是白球【答案】AB【分析】根據(jù)互斥事件的概念判斷即可.【解析】對(duì)于A：“至多有1個(gè)白球”包含都是紅球和一紅一白，“都是紅球”包含都是紅球，所以“至多有1個(gè)白球”與“都是紅球”不是互斥事件．故A正確；對(duì)于B：“至少有1個(gè)白球”包含都是白球和一紅一白，“至少有1個(gè)紅球”包含都是紅球和一紅一白，所以“至少有1個(gè)白球”與“至少有1個(gè)紅球”不是互斥事件．故B正確；對(duì)于C：“恰好有1個(gè)白球”包含一紅一白，“都是紅球”包含都是紅球，所以“恰好有1個(gè)白球”與“都是紅球”是互斥事件．故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：“至多有1個(gè)白球”包含都是紅球和一紅一白，“全是白球”包含都是白球，所以“至多有1個(gè)白球”與“全是白球”是互斥事件．故D錯(cuò)誤．故選：AB．3．(2022·上?！げ軛疃懈咭黄谀?已知甲袋中有2個(gè)白球、3個(gè)紅球、5個(gè)黑球；乙袋中有4個(gè)白球、3個(gè)紅球、3個(gè)黑球，各個(gè)球的大小與質(zhì)地相同．若從兩袋中各取一球，則2個(gè)球顏色不同的概率為_____．【答案】17【分析】找出基本事件總數(shù)和滿足條件的基本事件數(shù)，根據(jù)古典概型公式求解即可.【解析】由題，甲袋中共有10個(gè)球，乙袋中共有10個(gè)球，則從兩袋中各取一球，基本事件總數(shù)為10×10=100，取出的2個(gè)球顏色不同，可能為：(甲白，乙紅)，(甲白，乙黑)，(甲紅，乙白)，(甲紅，乙黑)，(甲黑，乙白)，(甲黑，乙紅)，則2個(gè)球顏色不同的基本事件數(shù)為2×3+2×3+3×4+3×3+故答案為：174．(2022·上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校高三階段練習(xí))集合S=1，2，3，4，5，從S的所有非空子集中，等可能地取出一個(gè)，設(shè)A?S，若x∈A，則6-x∈A，就稱子集【答案】7【分析】根據(jù)題意列出S的非空子集，找到滿足性質(zhì)P的的集合，利用古典概率模型求解.【解析】由題可知，S的所有非空子集有：1，1111，2，滿足性質(zhì)P的有：3，1，5，2，4，所以所取出的非空子集滿足性質(zhì)P的概率為731故答案為：7315．(2022·北京二中高二階段練習(xí))我校為了解高二學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科的學(xué)習(xí)效果，現(xiàn)從高二學(xué)生第二學(xué)期期末考試的成績(jī)中隨機(jī)抽50名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)(單位：分)，按[90，100)，[100(1)求m的值及這50名學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的中位數(shù)；(2)該學(xué)校為制訂下階段的復(fù)習(xí)計(jì)劃，現(xiàn)需從成績(jī)?cè)?30，140內(nèi)的學(xué)生中任選2名作為代表進(jìn)行座談，若已知成績(jī)?cè)?30，140內(nèi)的學(xué)生中男女比例為2:1【答案】(1)m=0.008；122.5(2)3【分析】(1)根據(jù)頻率之和為1，設(shè)中位數(shù)為x計(jì)算即可；(2)列舉法解決即可.【解析】(1)由題知，(0.004+0.012+0.024+0.04+0.012+m)×10=1，解得m=0.008，設(shè)這50名學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的中位數(shù)為x，所以0.004×10+0.012×10+0.024×10+0.04(x-120)=0.5，解得x=122.5.所以這50名學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的中位數(shù)為122.5(2)由頻率分布直方圖知，成績(jī)?cè)?30，140內(nèi)的學(xué)生有因?yàn)槌煽?jī)?cè)?30，140內(nèi)的學(xué)生中男女比例為所以6名學(xué)生中男生有4名，女生有2名，記男生分別為A，B，所以從6名學(xué)生中任選2名情況有AB，AC，其中至少有1名女生的有Aa，Ab，所以至少有1名女生參加座談的概率為