7.4 直線 平面垂直的判定與性質(zhì) 課件-2025屆高三數(shù)學三輪專項復習

7.4直線、平面垂直的判定與性質(zhì)考點1直線與平面垂直的判定與性質(zhì)1.線面垂直的判定與性質(zhì)(1)線面垂直的判定圖形

條件l⊥a,l⊥b,a∩b=O,a?α,b?αa∥b,a⊥α結(jié)論l⊥αb⊥α(2)線面垂直的性質(zhì)圖形

條件a⊥α,b?αa⊥α,b⊥α結(jié)論a⊥ba∥b2.直線與平面所成的角(1)定義:平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角,叫做這條直線和這個平面所成

的角.(2)直線l與平面α所成角θ的取值范圍直線l和平面α的位置關(guān)系l?α或l∥αl⊥αl和α斜交θ的取值范圍θ=0°θ=90°0°<θ<90°(3)最小角定理:平面的斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的角是這條斜線和這個平面內(nèi)任

一條直線所成角中最小的角.考點2平面與平面垂直的判定與性質(zhì)1.二面角(1)定義:從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角.(2)二面角的平面角在二面角的棱上任取一點,以此點為垂足,在兩個半平面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線,

這兩條射線所組成的角叫做二面角的平面角.若記此角為θ,當θ=90°時,二面角叫做直二

面角.(3)二面角的取值范圍:[0,π].2.面面垂直的判定與性質(zhì)(1)面面垂直的判定圖形

條件OA?α,OB?β,α∩β=l,OA⊥l,OB

⊥l,且∠AOB=90°l?β,l⊥α結(jié)論α⊥βα⊥β(2)面面垂直的性質(zhì)圖形

條件α⊥β,α∩β=a,l?β,l⊥aα∩β=l,α⊥γ,β⊥γ結(jié)論l⊥αl⊥γ知識拓展

1.三垂線定理及其逆定理(1)三垂線定理:在平面內(nèi)的一條直線,如果與這個平面的一條斜線在這個平面內(nèi)的射影

垂直,那么它也與這條斜線垂直.(2)三垂線定理的逆定理:如果平面內(nèi)一條直線與該平面的一條斜線垂直,那么這條直線

也垂直于這條斜線在平面內(nèi)的射影.2.空間平行、垂直關(guān)系之間的轉(zhuǎn)化即練即清1.判斷正誤.(對的打“√”,錯的打“?”)(1)如果一條直線與一個平面內(nèi)無數(shù)條直線都垂直,那么這條直線與這個平面垂直.

(

)(2)已知兩個平面互相垂直,那么一個平面內(nèi)的直線必垂直于另一個平面內(nèi)的無數(shù)條直

線.

(

)(3)二面角的平面角所確定的平面與二面角的棱垂直.

(

)(4)若α⊥γ,β⊥γ,則α∥β.

(

)×√√×2.(人教A版必修第二冊P152練習T4改編)在三棱錐P-ABC中,點P在平面ABC內(nèi)的射影

為點O.(1)若PA=PB=PC,則點O是△ABC的

心;(2)若PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,則點O是△ABC的

心.

外垂題型一判定或證明直線與平面垂直典例1如圖,在三棱錐P-ABC中,AB=BC=2

,PA=PB=PC=AC=4,O為AC的中點.(1)證明:PO⊥平面ABC;(2)若點M在棱BC上,且MC=2MB,求點C到平面POM的距離.

解析

(1)證明:因為AP=CP=AC=4,所以△APC為等邊三角形,又O為AC的中點,所以OP⊥AC,且OP=2

.連接OB,因為AB=BC=

AC,所以△ABC為等腰直角三角形,且OB⊥AC,OB=

AC=2.由OP2+OB2=PB2知OP⊥OB.由OP⊥OB,OP⊥AC,OB∩AC=O知PO⊥平面ABC.

(2)作CH⊥OM,垂足為H.由(1)可得OP⊥CH,(線面垂直的性質(zhì)定理)又OP∩OM=O,所以CH⊥平面POM.故CH的長為點C到平面POM的距離.由題設可知OC=

AC=2,CM=

BC=

,∠ACB=45°.所以由余弦定理可得OM2=OC2+CM2-2OC·CM·cos∠ACB,得OM=

,由等面積法可得CH=

=

.

所以點C到平面POM的距離為

.歸納總結(jié)

判定或證明直線與平面垂直的方法1.利用線面垂直的判定定理:l⊥a,l⊥b,a∩b=O,a?α,b?α?l⊥α(主要方法).2.利用平行的傳遞性:a∥b,a⊥α?b⊥α.3.利用面面垂直的性質(zhì)定理:α⊥β,α∩β=a,l?β,l⊥a?l⊥α(主要方法).4.利用面面平行的性質(zhì):α∥β,a⊥β?a⊥α.5.利用面面垂直的性質(zhì):α⊥γ,β⊥γ,β∩α=l?l⊥γ.變式訓練1-1

(情境模型變式)(2025屆浙南名校聯(lián)盟聯(lián)考,15)如圖,三棱臺ABC-A1B1C1

中,△ABC是正三角形,A1A⊥平面ABC,AB=2A1A=2A1C1=4,M,N分別為棱AB,B1B的中點.(1)證明:B1B⊥平面MCN;(2)求直線C1C與平面MCN所成的角的正弦值.

解析

(1)證明:因為△ABC是正三角形,M為AB中點,所以CM⊥AB,

(1分)因為A1A⊥平面ABC,CM?平面ABC,所以CM⊥A1A,又A1A∩AB=A,所以CM⊥平面A1ABB1,

(2分)又因為B1B?平面A1ABB1,所以CM⊥B1B,

(3分)連接AB1,易得AB1=B1B=2

,(結(jié)合三棱臺的結(jié)構(gòu)特征)所以AB2=A

+B1B2,所以AB1⊥B1B,又因為AB1∥MN,所以MN⊥BB1,

(5分)因為MN∩CM=M,CM,MN?平面MCN,所以B1B⊥平面MCN.

(6分)

(2)取AC的中點O,連接BO,C1O,易知OB,OC,OC1三條直線兩兩垂直.以O為坐標原點,OB,OC,OC1所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系,則B1(

,-1,2),B(2

,0,0),C(0,2,0),C1(0,0,2),

(8分)由(1)知平面MCN的一個法向量為

=(

,1,-2),

(9分)又

=(0,2,-2),

(10分)所以|cos<

,

>|=

=

=

,

(12分)所以直線CC1與平面MCN所成的角的正弦值為

.

(13分)點睛

證明線面垂直的關(guān)鍵是證明線線垂直,而證明線線垂直需借助線面垂直的

性質(zhì).因此,線面判定定理與性質(zhì)定理的合理轉(zhuǎn)化是證明線面垂直的關(guān)鍵.題型二判定或證明平面與平面垂直典例2

(2021全國乙文,18,12分)如圖,四棱錐P-ABCD的底面是矩形,PD⊥底面ABCD,M

為BC的中點,且PB⊥AM.(1)證明:平面PAM⊥平面PBD;(2)若PD=DC=1,求四棱錐P-ABCD的體積.

解析

(1)證明:由PD⊥平面ABCD,AM?平面ABCD,得PD⊥AM,又PB⊥AM,PB∩PD=P,PB,PD

?平面PBD,所以AM⊥平面PBD,因為AM?平面PAM,所以平面PAM⊥平面PBD.(2)由(1)知AM⊥平面PBD,因為BD?平面PBD,所以AM⊥BD,所以∠MAB+∠ABD=90°,

因為四邊形ABCD為矩形,所以∠DAB=∠ABM,所以∠MAB+∠AMB=90°,所以∠ABD=

∠AMB,則△DAB∽△ABM,則

=

,又AB=DC=1,M為BC的中點,∴AD=

,∴S矩形ABCD=AB·AD=

,∴V四棱錐P-ABCD=

S矩形ABCD·PD=

×

×1=

.歸納總結(jié)

判定或證明平面與平面垂直的方法1.利用面面垂直的判定定理:l⊥α,l?β?α⊥β(主要方法).2.利用面面垂直的定義(作出兩平面構(gòu)成的二面角的平面角,并計算該平面角的大小為

90°).3.利用平行的傳遞關(guān)系:α∥β,α⊥γ?β⊥γ.變式訓練2-1

(情境模型變式)(2023全國甲文,18,12分)如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,A1C⊥平面ABC,∠ACB=90°.(1)證明:平面ACC1A1⊥平面BB1C1C;(2)設AB=A1B,AA1=2,求四棱錐A1-BB1C1C的高.解析

(1)證明:∵A1C⊥平面ABC,BC?平面ABC,∴A1C⊥BC.∵∠ACB=90°,∴AC⊥BC,又∵A1C,AC?平面ACC1A1,且A1C∩AC=C,∴BC⊥平面ACC1A1,又∵BC?平面BB1C1C,∴平面ACC1A1⊥平面BB1C1C(面面垂直的判定定理).(2)過A1作A1O⊥CC1,垂足為O,∵平面ACC1A1⊥平面BB1C1C,且平面ACC1A1∩平面BB1C1C=CC1,A1O?平面ACC1A1,∴A1O⊥平面BB1C1C,即A1O是四棱錐A1-BB1C1C的高.由(1)知∠A1CB=∠BCA=90°.在Rt△A1CB與Rt△ACB中,A1B=AB,BC=BC,∴Rt△A1CB≌Rt△ACB,∴A1C=AC,∴A1C=A1C1,又知A1C⊥A1C1,∴△CA1C1為等腰直角三角形,∴A1O=

CC1=

AA1=1,即四棱錐A1-BB1C1C的高為1.題型三翻折問題典例3

(2019課標Ⅲ理,19,12分)圖1是由矩形ADEB,Rt△ABC和菱形BFGC組成的一個

平面圖形,其中AB=1,BE=BF=2,∠FBC=60°.將其沿AB,BC折起使得BE與BF重合,連接

DG,如圖2.(1)證明:圖2中的A,C,G,D四點共面,且平面ABC⊥平面BCGE;(2)求圖2中的四邊形ACGD的面積.解析

(1)證明:由已知得AD∥BE,CG∥BE,所以AD∥CG,故AD,CG確定一個平面,從而A,C,G,

D四點共面.

(2分)由已知得AB⊥BE,AB⊥BC,故AB⊥平面BCGE.又因為AB?平面ABC,所以平面ABC⊥平面BCGE.

(5分)(注意:翻折問題一定要注意翻折前后位置的變化,特別是平行、垂直的變化)(2)取CG的中點M,連接EM,DM.

因為AB∥DE,AB⊥平面BCGE,所以DE⊥平面BCGE,故DE⊥CG.

(8分)