2.3.1 函數(shù)性質(zhì)的綜合運用 課件-2025屆高三數(shù)學三輪專項復習

2.3.1函數(shù)性質(zhì)的綜合運用高考解讀

函數(shù)幾個性質(zhì)的綜合運用是近幾年高考的一個熱點,通常有單調(diào)性與奇偶

性、兩種奇偶性(同一函數(shù)的兩種不同形式、兩個函數(shù)等)、兩種對稱性等綜合考查.高考溯源函數(shù)性質(zhì)的綜合應用(2022全國乙理,12,5分)已知函數(shù)f(x),g(x)的定義域均為R,且f(x)+g(2-x)=5,g(x)-f(x-4)=7.

若y=g(x)的圖象關于直線x=2對稱,g(2)=4,則

f(k)=

(

)A.-21

B.-22

C.-23

D.-24D解析

由y=g(x)的圖象關于直線x=2對稱,得g(2+x)=g(2-x),故g(x)=g(4-x),由g(x)-f(x-4)=7,得g(2+

x)-f(x-2)=7①,又f(x)+g(2-x)=5②,所以由②-①,得f(x)+f(x-2)=-2③,則f(x+2)+f(x)=-2④,所

以由④-③,得f(x+2)=f(x-2),即f(x+4)=f(x),所以函數(shù)f(x)是以4為周期的周期函數(shù).對于④,分別令x=1,2,得f(1)+f(3)=-2,f(2)+f(4)=-2,則f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=-4.對于①,令x=-1,得g(1)-f(-3)=7,則g(1)-f(1)=7⑤,對于②,令x=1,得f(1)+g(1)=5⑥,由⑤⑥,得f(1)=-1.對于②,令x=0,得f(0)+g(2)=5,又g(2)=4,所以f(0)=1.對于③,令x=2,得f(2)+f(0)=-2,所以f(2)=-3.則

=5×(-4)+f(1)+f(2)=-20+(-1)+(-3)=-24.故選D.歸納總結

函數(shù)性質(zhì)的綜合運用,常有下列幾種題型:函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的結合,可利

用單調(diào)性得到原點一側的函數(shù)圖象與性質(zhì),再用奇偶性推出原點另一側的圖象與性質(zhì);

兩種對稱性可以轉化為周期性,用周期性將函數(shù)轉化到原點附近,再用對稱性解決問題;

若函數(shù)f(x)是奇(偶)函數(shù),則其導函數(shù)g(x)=f'(x)是偶(奇)函數(shù);已知一個函數(shù)的性質(zhì)以及

這個函數(shù)與另一函數(shù)間的關系,探究這兩函數(shù)的其他性質(zhì),即應用.高考仿真

(2024福建龍巖一中月考,6)定義在R上的奇函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,且

f(1)=0,則不等式x[f(x)-f(-x)]<0的解集為(

)A.{x|-1<x<0或x>1}B.{x|-1<x<0或0<x<1}C.{x|x<-1或x>1}D.{x|x<-1或0<x<1}B解析

∵函數(shù)f(x)是R上的奇函數(shù),且在(0,+∞)上是增函數(shù),∴函數(shù)f(x)在(-∞,0)上也是增函數(shù).∵f(-x)=-f(x),∴f(-1)=-f(1)=0.不等式x[f(x)-f(-x)]<0可化為2xf(x)<0,即xf(x)<0,∴當x<0時,可得f(x)>0=f(-1),∴x>-1,∴-1<x<0;當x>0時,可得f(x)<0=f(1),∴x<1,∴0<x<1.綜上,不等式x[f(x)-f(-x)]<0的解集為{x|-1<x<0或0<x<1}.故選B.高考變式1.奇偶性和周期性綜合應用典例1

(2025屆廣東廣州摸底考,6)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x-1)=f(3-x),且在

[0,1)上單調(diào)遞減,若方程f(x)=-1在[0,1)上有實數(shù)根,則方程f(x)=1在[-1,11]上的所有實根

之和為

(

)A.30

B.28

C.26

D.24A解析

由f(x-1)=f(3-x)可知,函數(shù)f(x)的圖象關于直線x=1對稱,由函數(shù)f(x)是奇函數(shù),可知f(3-x)=f(x-1)=-f(1-x),即f(2+x)=-f(x),則f(4+x)=-f(2+x)=f(x),所以函數(shù)f(x)的周期為4,根據(jù)函數(shù)的性質(zhì),畫出函數(shù)的示意圖,如圖,由對稱性可知,方程f(x)=1在[-1,0)上有一個實數(shù)根,根據(jù)函數(shù)圖象關于直線x=1對稱,可

知f(x)=1在[2,3)上也有一個實數(shù)根,再根據(jù)函數(shù)的周期性,得到直線y=1與y=f(x)的圖象在

區(qū)間[-1,11]上有6個交點,利用對稱性可知,x1+x2=2,x3+x4=10,x5+x6=18,所以方程f(x)=1在[-1,11]上的所有實根之和為2+10+18=30.故選A.典例2

(2025屆河南省實驗中學開學考,8)函數(shù)f(x)及其導數(shù)f'(x)的定義域均為R,記g(x)

=f'(x),若f(1-x)和g(x+2)都是偶函數(shù),則

(

)A.f(x)是奇函數(shù)

B.f(x)是偶函數(shù)C.g(x)是奇函數(shù)

D.g(x)是偶函數(shù)D解析

∵f(1-x)是偶函數(shù),∴f(1-x)=f(1+x),因此函數(shù)f(x)的圖象關于直線x=1對稱.又g(x+2)為偶函數(shù),∴g(x+2)=g(-x+2),①∴函數(shù)g(x)的圖象關于直線x=2對稱.由f(1-x)=f(1+x),得-f'(1-x)=f'(1+x),即-g(1-x)=g(1+x)?g(1+x)+g(1-x)=0,∴函數(shù)g(x)的圖象關于點(1,0)對稱,由g(1+x)=-g(1-x)?g(2+x)=-g(-x)?g(2-x)=-g(-x)?g(2+x)=-g(x),即g(4+x)=-g(2+x)=g(x),②由①②得:g(x)=g(x+4)=g(-x),∴g(x)是偶函數(shù).故選D.2.將顯性性質(zhì)變?yōu)殡[性性質(zhì)典例3

(2025屆北京人大附中開學檢測,14)若函數(shù)f(x)=sinx-x+1,則不等式f(x+1)+f(2-

2x)>2的解集為

.(3,+∞)解析

設g(x)=f(x)-1=sinx-x,x∈R,則g'(x)=cosx-1≤0,所以函數(shù)g(x)在R上為減函數(shù),又g(-x)=sin(-x)-(-x)=-sinx+x=-g(x),所以函數(shù)g(x)為奇函數(shù),由f(x+1)+f(2-2x)>2,可得f(x+1)-1+f(2-2x)-1>0,即g(x+1)+g(2-2x)>0,因此g(x+1)>-g(2-2x)=g(2x-2),所以x+1<2x-2,解得x>3,即不等式的解集為(3,+∞).解題關鍵

構造函數(shù)g(x)=f(x)-1=sinx-x是解決本題的關鍵.典例4

(2024湖南衡陽八中適應性考試,8)已知函數(shù)f(x)=sin(πx)+

在x∈[-a,a](a>0)上的最大值與最小值分別為M和m,則函數(shù)g(x)=(M+m)x+

的圖象的對稱中心是

(

)A.(-1,-1)

B.

C.

D.

C解析

∵f(-x)=sin(-πx)+

=-sin(πx)+

,∴f(x)+f(-x)=2,∵最大值與最小值分別為M和m,∴M+m=f(x)+f(-x)=2,則g(x)=2x+

=2x+1+

-1,由2x+1≠0,得x≠-

,∴函數(shù)h(x)=2x+1+

的圖象的對稱中心為

,而函數(shù)g(x)的圖象由函數(shù)h(x)=2x+1+

的圖象向下平移1個單位長度得到,∴函數(shù)g(x)圖象的對稱中心為

.故選C.3.兩個函數(shù)性質(zhì)的綜合運用典例5

(2025屆福建廈門一中入學考,8)已知函數(shù)f(x)、g(x)的定義域均為R,函數(shù)f(x)的

圖象關于點(-1,-1)對稱,函數(shù)g(x+1)的圖象關于y軸對稱,f(x+2)+g(x+1)=-1,f(-4)=0,則f(2030)-g(2017)=

(

)A.-4

B.-3

C.3

D.4B解析

因為函數(shù)f(x)的圖象關于點(-1,-1)對稱,所以f(x)+f(-2-x)=-2,令x=-4,可得f(-4)+f(2)=-2,又因為f(-4)=0,所以f(2)=-2.由g(x+1)的圖象關于y軸對稱,知函數(shù)g(x+1)為偶函數(shù),所以g(-x+1)=g(x+1),在f(x+2)+g(x+1)=-1中,令x=0,可得f(2)+g(1)=-1,則g(1)=-1-f(2)=1,由f(x+2)+g(x+1)=-1,可得f(x)+g(x-1)=-1,f(-x-2)+g(-x-3)=-1,兩式相加可得-2+g(x-1)+g(-x-3)=-2,即g(x-1)+g(-x-3)=0,可得g(x-5)+g(-x+1)=0,由g(-x+1)=g(x+1),可得g(x-5)+g(x+1)