幾種簡單幾何體的體積高一下學(xué)期數(shù)學(xué)湘教版（2019）必修第二冊(cè)

4.5.2幾種簡單幾何體的體積湘教版數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)第4章立體幾何初步4.5幾種簡單幾何體的表面積和體積祖暅原理與柱體、錐體的體積V棱柱＝

?V棱錐＝

?V圓柱＝

（r是底面半徑，h是高）V圓錐＝

（r是底面半徑，h是高）Sh

πr2h

（1）等底、等高的兩個(gè)棱(圓)柱的體積相同.（2）等底、等高的棱(圓)錐和棱(圓)柱的體積之間的關(guān)系可以通過實(shí)驗(yàn)得出，等底、等高的棱(圓)柱的體積是棱(圓)錐的體積的3倍.典例精析

典例精析例

如圖，埃及胡夫金字塔大約建于公元前2580年，其形狀為正四棱錐.已知該金字塔高約146.5m、底面邊長約232m、求這座金字塔的側(cè)面積和體積(結(jié)果分別精確到0.1m2和0.1m3)。臺(tái)體的體積V棱臺(tái)＝

（S'，S分別為上、下底面面積，h為棱臺(tái)的高）V圓臺(tái)＝

（r'，r分別是上、下底面半徑，h是高）

柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式之間的關(guān)系

球的體積V球＝

（R為球的半徑）

從公式看，球的表面積和體積的大小，只與球的半徑有關(guān)，給定

R

都有唯一

確定的

S

和

V

與之對(duì)應(yīng)，故表面積和體積是關(guān)于

R

的函數(shù).（2）球的表面積（體積）計(jì)算中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想①函數(shù)方程思想：根據(jù)球的表面積與體積公式可知，球的半徑

R

，球的表面

積

S

，球的體積

V

三個(gè)量“知一求二”.②轉(zhuǎn)化思想：空間問題平面化.練習(xí)鞏固1.已知正方體的表面積為96，則正方體的體積為（

B

）B.64C.16D.96解析：設(shè)正方體的棱長為

a

，則6

a

2＝96，∴

a

＝4.∴其體積

V

＝

a

3＝43＝64.故選B.2.已知圓錐

SO

的高為4，體積為4π，則底面半徑

r

＝

?.

3.已知棱臺(tái)的上、下底面積分別為4，16，高為3，則棱臺(tái)的體積為

?.

B解析：設(shè)正方體的棱長為

a

，則6

a

2＝96，∴

a

＝4.∴其體積

V

＝

a

3＝43＝64.故選B.

28

練習(xí)鞏固4.某組合體的直觀圖如圖所示，它的中間為圓柱形，左右兩端均為半球形，若圖中

r

＝1，

l

＝3，試求該組合體的表面積和體積.解：該組合體的表面積

S

＝4π

r

2＋2π

rl

＝4π×12＋2π×1×3＝10π，

高考鏈接

【2023年新高考二卷】底面邊長為4的正四棱錐被平行于其底面的平面所截，截取一個(gè)底面邊長為2，高為3的正四棱錐，所得臺(tái)體的體積為

.等體積法研習(xí)1棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積[典例1]

（1）如圖所示，正方體

ABCD

－

A

1

B

1

C

1

D

1的棱長為1，

E

為線段

B

1

C

上

的一點(diǎn)，則三棱錐

A

－

DED

1的體積為

?.第（1）題圖

研習(xí)1棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積（2）如圖，某幾何體下面部分為正方體

ABCD

－

A

'

B

'

C

'

D

'，上面部分為正四棱錐

S

－

ABCD

，若幾何體的高為5，棱

AB

＝2，則該幾何體的體積為

?.第（2）題圖

12

練習(xí)鞏固[練習(xí)1]如圖，四棱錐

P

－

ABCD

的底面是矩形，

PD

⊥底面

ABCD

，

M

為

BC

的中點(diǎn)，且

PB

⊥

AM

.

①證明：平面

PAM

⊥平面

PBD

.

解：（1）①證明：因?yàn)?/p>

PD

⊥底面

ABCD

，

AM

?平面

ABCD

，所以

PD

⊥

AM

，又

PB

⊥

AM

，

PB

∩

PD

＝

P

，

PB

，

PD

?平面

PBD

，所以

AM

⊥平面

PBD

，而

AM

?平面

PAM

，所以平面

PAM

⊥平面

PBD

.

練習(xí)鞏固[練習(xí)1]如圖，四棱錐

P

－

ABCD

的底面是矩形，

PD

⊥底面

ABCD

，

M

為

BC

的中點(diǎn)，且

PB

⊥

AM

.

②若PD＝DC＝1，求四棱錐P－ABCD的體積.解：②由（1）可知，

AM

⊥平面

PBD

，

BD

?平面

PBD

，所以

AM

⊥

BD

，從而△

DAB

∽△

ABM

，設(shè)

BM

＝

x

，則

AD

＝2

x

，

因?yàn)?/p>

PD

⊥底面

ABCD

，

①證明：平面

PAM

⊥平面

PBD

.

研習(xí)2圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球的體積

C.64πA

[解析]（1）設(shè)圓錐的底面半徑為

r

，母線長為

l

，

研習(xí)2圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球的體積[解析]（2）用一個(gè)完全相同的幾何體把題中幾何體補(bǔ)成一個(gè)圓柱，如圖，則圓柱的體積為π×22×5＝20π，故所求幾何體的體積為10π.（2）如圖，一個(gè)底面半徑為2的圓柱被一平面所截，截得的幾何體的最短和最長母線

長分別為2和3，則該幾何體的體積為（

D

）A.5πB.6πC.20πD.10πD研習(xí)3與球有關(guān)的切、接問題[典例3]

（1）一個(gè)球與棱長為2的正方體的各個(gè)面相切，則該球的體積為

?.

V

正方體＝

a

3.（2）在半球內(nèi)有一個(gè)內(nèi)接正方體，試求這個(gè)半球的體積與正方體的體積之比.

在Rt△

C

'

CO

中，由勾股定理，得

CC

'2＋

OC

2＝

OC

'2，課堂小結(jié)本節(jié)課學(xué)習(xí)了什么？幾何體體積棱柱V棱柱＝

?棱錐V棱錐＝

?棱臺(tái)V棱臺(tái)＝

（S'，S分別為上、下底面面積，h為棱臺(tái)的高）圓柱V圓柱＝

（r是底面半徑，h是高）圓錐V圓錐＝