微專題36　定點(diǎn)、定線問題

板塊六平面解析幾何微專題36定點(diǎn)、定線問題高考定位解析幾何中的定點(diǎn)、定線問題是高考考查的熱點(diǎn)，難度較大，是高考的壓軸題，定點(diǎn)問題的類型一般為直線過定點(diǎn)與圓過定點(diǎn)等；定線問題的類型一般是證明或探究動(dòng)點(diǎn)在直線上.精準(zhǔn)強(qiáng)化練類型一定點(diǎn)問題類型二定線問題難點(diǎn)突破類型一定點(diǎn)問題高考真題1由題意知，直線PQ的斜率存在且不為0，設(shè)直線PQ：y－3＝k(x＋2)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，得(4k2＋9)x2＋(16k2＋24k)x＋16k2＋48k＝0，則Δ＝(16k2＋24k)2－4(4k2＋9)(16k2＋48k)＝－36×48k＞0，(2024·聊城模擬改編)不經(jīng)過點(diǎn)P(2，2)的動(dòng)直線l：y＝kx＋b與拋物線C：x2＝2y相交于A，B兩點(diǎn)，且直線PA和PB的斜率之積等于3，證明：直線l過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo).樣題1設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，即有x1x2＋2(x1＋x2)＝8，聯(lián)立直線方程l：y＝kx＋b與拋物線方程，即x2－2kx－2b＝0，Δ＝4k2＋8b>0，則x1＋x2＝2k，x1x2＝－2b，即有－2b＋2×2k＝8，化簡得b＝2k－4，此時(shí)Δ＝4k2＋8b＝4k2＋16k－32，則Δ>0有解，則l：y＝k(x＋2)－4，即直線l過定點(diǎn)(－2，－4).樣題2所以在①中，令x＝0，得y2＝6，動(dòng)線過定點(diǎn)問題的兩大類型及解法(1)動(dòng)直線l過定點(diǎn)問題，解法：設(shè)動(dòng)直線方程(斜率存在)為y＝kx＋t，由題設(shè)條件將t用k表示為t＝mk，得y＝k(x＋m)，故動(dòng)直線過定點(diǎn)(－m，0).(2)動(dòng)曲線C過定點(diǎn)問題，解法：引入?yún)⒆兞拷⑶€C的方程，再根據(jù)其對參變量恒成立，令其系數(shù)等于零，得出定點(diǎn).規(guī)律方法已知拋物線C：y2＝2px(p>0)上的點(diǎn)G(4，t)(t>0)到其準(zhǔn)線的距離為5.不過原點(diǎn)的動(dòng)直線交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，M是線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)M在準(zhǔn)線l上的射影為N.(1)求拋物線C的方程；訓(xùn)練1所以拋物線C的方程為y2＝4x.當(dāng)直線AB的斜率為0時(shí)，顯然不符合題意；當(dāng)直線AB的斜率不為0時(shí)，Δ＝16(m2＋n)>0，y1＋y2＝4m，y1y2＝－4n，類型二定線問題由雙曲線的方程可得A1(－2，0)，A2(2，0)，設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，高考真題2顯然直線的斜率不為0，所以設(shè)直線MN的方程為x＝my－4，且Δ＝64(4m2＋3)>0，據(jù)此可得點(diǎn)P在定直線x＝－1上運(yùn)動(dòng).(2024·成都診斷)若拋物線Γ的方程為y2＝4x，焦點(diǎn)為F，設(shè)P，Q是拋物線Γ上兩個(gè)不同的動(dòng)點(diǎn).(1)若|PF|＝3，求直線PF的斜率；樣題3F(1，0)，|PF|＝xP＋1＝3，(2024·長春質(zhì)檢)過拋物線E：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)F，且斜率為－1的直線l與拋物線E交于A，B兩點(diǎn)，|AB|＝8.(1)求拋物線E的方程.樣題4由拋物線的定義得，|AB|＝x1＋x2＋p＝4p＝8，解得p＝2，所以拋物線E的方程為y2＝4x.(2)過焦點(diǎn)F的直線l′，交拋物線E于C，D兩點(diǎn)，直線AC與BD的交點(diǎn)是否恒在一條直線上？若是，求出該直線的方程；否則，說明理由.由(1)知y1＋y2＝－4，y1y2＝－4，不妨設(shè)直線l′的方程為x＝my＋1，C(x3，y3)，D(x4，y4)，消去x并整理得y2－4my－4＝0，由根與系數(shù)的關(guān)系得y3＋y4＝4m，y3·y4＝－4.即4(y1－y2＋y3－y4)x＝y(tǒng)1y2(y3－y4)＋y3y4(y1－y2)＝－4(y1－y2＋y3－y4)，解得x＝－1，所以直線AC與直線BD的交點(diǎn)恒在直線x＝－1上.解決定線問題的核心在于確定動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，主要方法有：(1)待定系數(shù)法，設(shè)出含參數(shù)的直線方程，利用條件消去參數(shù)，得到系數(shù)確定動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)，確定直線.(2)設(shè)點(diǎn)法，設(shè)出動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)，通過動(dòng)點(diǎn)滿足的條件消去參數(shù)，得到動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，從而確定直線.規(guī)律方法訓(xùn)練2(2)一動(dòng)點(diǎn)T與A，B的連線分別與雙曲線的右支交于P，Q兩點(diǎn)，且PQ恒過雙曲線的右焦點(diǎn)，求證：點(diǎn)T在定直線上.設(shè)直線PQ的方程為x＝my＋2，整理得(3m2－1)y2＋12my＋9＝0(*)，設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則y1，y2是方程(*)的兩根，【精準(zhǔn)強(qiáng)化練】由題意可設(shè)雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(2)記C的右頂點(diǎn)為M，與x軸平行的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，求證：以AB為直徑的圓過點(diǎn)M.設(shè)直線l的方程為y＝m，m≠0，設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x，y)，則λ>0且λ≠1，又因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓外，且P，A，M，B四點(diǎn)共線，所以(1－x1，2－y1)＝λ(1－x2，2－y2)，(x－x1，y－y1)＝λ(x2－x，y2－y)，(2)過點(diǎn)F(1，0)與曲線E相交的兩條線段AB和CD相互垂直(斜率存在，且A，B，C，D在曲線E上)，M，N分別是AB和CD的中點(diǎn).求證：直線MN過定點(diǎn).由題意可設(shè)直線AB的方程為y＝k(x－1)(k≠0)，M(x1，y1)，A(x2，y2)，B(x3，y3)，因?yàn)镸是AB的中點(diǎn)，由于A3，A4關(guān)于x軸對稱，所以A3，A4要么都在雙曲線C上，要么都不在雙曲線C上.點(diǎn)A1，A2不可能都在雙曲線C上.因?yàn)殡p曲線C經(jīng)過其中3個(gè)點(diǎn)，所以A3，A4都在雙曲線C上.由題可知直線MN的斜率存在，(2)已知點(diǎn)M，N是雙曲線C上與其頂點(diǎn)不重合的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M，N的直線l1，l2都經(jīng)過雙曲線C的右頂點(diǎn)，若直線l1，l2的斜率分別為k1，k2，且k1＋k2＝1，判斷直線MN是否過定點(diǎn)，若過定點(diǎn)，求出該點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請說明理由.故可設(shè)直線MN的方程為y＝kx＋b，M(x1，y1)，N(x2，y2