微專題29　概率 高中數(shù)學(xué)

板塊五概率與統(tǒng)計(jì)微專題29概率高考定位主要考查古典概型、條件概率、相互獨(dú)立事件的概率以及全概率公式的基本應(yīng)用，以選擇題、填空題為主，也可能出現(xiàn)在解答題的一個(gè)小題中，難度中等或偏下.【

真題體驗(yàn)

】1.(2021·新高考Ⅰ卷)有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中有放回的隨機(jī)取兩次，每次取1個(gè)球.甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，則 A.甲與丙相互獨(dú)立

B.甲與丁相互獨(dú)立 C.乙與丙相互獨(dú)立

D.丙與丁相互獨(dú)立√由題意可知，兩點(diǎn)數(shù)之和為8的樣本點(diǎn)為(2，6)，(3，5)，(4，4)，(5，3)，(6，2)，兩點(diǎn)數(shù)和為7的樣本點(diǎn)為(1，6)，(2，5)，(3，4)，(4，3)，(5，2)，∴P(甲丙)＝0≠P(甲)P(丙)，P(丙丁)＝0≠P(丙)P(丁)，因此事件甲與丁相互獨(dú)立.2.(多選)(2023·新高考Ⅱ卷)在信道內(nèi)傳輸0，1信號(hào)，信號(hào)的傳輸相互獨(dú)立.發(fā)送0時(shí)，收到1的概率為α(0<α<1)，收到0的概率為1－α；發(fā)送1時(shí)，收到0的概率為β(0<β<1)，收到1的概率為1－β.考慮兩種傳輸方案：?jiǎn)未蝹鬏敽腿蝹鬏?單次傳輸是指每個(gè)信號(hào)只發(fā)送1次；三次傳輸是指每個(gè)信號(hào)重復(fù)發(fā)送3次.收到的信號(hào)需要譯碼，譯碼規(guī)則如下：?jiǎn)未蝹鬏敃r(shí)，收到的信號(hào)即為譯碼；三次傳輸時(shí)，收到的信號(hào)中出現(xiàn)次數(shù)多的即為譯碼(例如，若依次收到1，0，1，則譯碼為1). A.采用單次傳輸方案，若依次發(fā)送1，0，1，則依次收到1，0，1的概率為 (1－α)(1－β)2 B.采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，則依次收到1，0，1的概率為β(1－β)2 C.采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，則譯碼為1的概率為β(1－β)2＋(1－β)3 D.當(dāng)0<α<0.5時(shí)，若發(fā)送0，則采用三次傳輸方案譯碼為0的概率大于采用單次傳輸方案譯碼為0的概率√√√由題意，發(fā)0收1的概率為α，發(fā)0收0的概率為1－α；發(fā)1收0的概率為β，發(fā)1收1的概率為1－β.對(duì)于A，發(fā)1收1的概率為1－β，發(fā)0收0的概率為1－α，所以所求概率為(1－α)(1－β)2，故A選項(xiàng)正確；對(duì)于B，相當(dāng)于發(fā)了1，1，1，收到1，0，1，則概率為(1－β)β(1－β)＝β(1－β)2，故B選項(xiàng)正確；對(duì)于C，相當(dāng)于發(fā)了1，1，1，收到1，1，0或1，0，1或0，1，1或1，1，1，對(duì)于D，發(fā)送0，采用三次傳輸方案譯碼為0，相當(dāng)于發(fā)0，0，0，收到0，0，1或0，1，0或1，0，0或0，0，0，發(fā)送0，采用單次傳輸方案譯碼為0的概率P2＝1－α.當(dāng)0<α<0.5時(shí)，P1－P2＝3α(1－α)2＋(1－α)3－(1－α)＝α(1－α)(1－2α)>0，故D選項(xiàng)正確.綜上，選ABD.3.(2024·天津卷)A，B，C，D，E五種活動(dòng)，甲、乙都要選擇三個(gè)活動(dòng)參加.甲選到A的概率為_(kāi)_______；已知乙選了A活動(dòng)，他再選擇B活動(dòng)的概率為_(kāi)_______.記“乙選擇A活動(dòng)”為事件M，“乙選了A活動(dòng)再選擇B活動(dòng)”為事件N，4.(2024·新高考Ⅰ卷)甲、乙兩人各有四張卡片，每張卡片上標(biāo)有一個(gè)數(shù)字，甲的卡片上分別標(biāo)有數(shù)字1，3，5，7，乙的卡片上分別標(biāo)有數(shù)字2，4，6，8.兩人進(jìn)行四輪比賽，在每輪比賽中，兩人各自從自己持有的卡片中隨機(jī)選一張，并比較所選卡片上數(shù)字的大小，數(shù)字大的人得1分，數(shù)字小的人得0分，然后各自棄置此輪所選的卡片(棄置的卡片在此后的輪次中不能使用).則四輪比賽后，甲的總得分不小于2的概率為_(kāi)_______.因?yàn)榧壮隹ㄆ?一定輸，出其他卡片有可能贏，所以四輪比賽后，甲的總得分最多為3.若甲的總得分為3，則甲出卡片3，5，7時(shí)都贏，所以只有1種組合：3－2，5－4，7－6，1－8.若甲的總得分為2，有以下三類情況：第一類，當(dāng)甲出卡片3和5時(shí)贏，只有1種組合，為3－2，5－4，1－6，7－8；第二類，當(dāng)甲出卡片3和7時(shí)贏，有3－2，7－4，1－6，5－8或3－2，7－4，1－8，5－6或3－2，7－6，1－4，5－8，共3種組合；第三類，當(dāng)甲出卡片5和7時(shí)贏，有5－2，7－4，1－6，3－8或5－2，7－4，1－8，3－6或5－4，7－2，1－6，3－8或5－4，7－2，1－8，3－6或5－2，7－6，1－4，3－8或5－2，7－6，1－8，3－4或5－4，7－6，1－2，3－8，共7種組合.綜上，甲的總得分不小于2共有12種組合，而所有不同的組合共有4×3×2×1＝24(種)，精準(zhǔn)強(qiáng)化練熱點(diǎn)一古典概型熱點(diǎn)二條件概率與全概率公式熱點(diǎn)三事件的獨(dú)立性與n重伯努利試驗(yàn)熱點(diǎn)突破熱點(diǎn)一古典概型利用公式法求解古典概型問(wèn)題的步驟(1)(2024·梅州模擬)某學(xué)校為參加辯論比賽，選出8名學(xué)生，其中3名男生和5名女生，為了更好備賽和作進(jìn)一步選拔，現(xiàn)將這8名學(xué)生隨機(jī)地平均分成兩隊(duì)進(jìn)行試賽，那么兩隊(duì)中均有男生的概率是例1√法一由已知，8名學(xué)生要平均分成兩隊(duì)，即8名學(xué)生任選4名為第一隊(duì)，又因?yàn)槟猩?名，要想兩隊(duì)均有男生，則還余下6名學(xué)生(1男5女)，再任選3人進(jìn)第一隊(duì)，法二由已知，8名學(xué)生要平均分成兩隊(duì)，兩隊(duì)中均有男生，則一隊(duì)必然是1男3女，另一隊(duì)必然是2男2女，(2)(2024·西安模擬)甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員各自等可能地從紅、黃、白、藍(lán)4種顏色的運(yùn)動(dòng)服中選擇1種，則他們選擇不同顏色運(yùn)動(dòng)服的概率為√甲，乙兩名運(yùn)動(dòng)員各自等可能地從紅、黃、白、藍(lán)4種顏色的運(yùn)動(dòng)服中選擇1種的樣本空間的樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)為4×4＝16.他們選擇相同顏色運(yùn)動(dòng)服有4個(gè)樣本點(diǎn)，即(紅，紅)，(黃，黃)，(白，白)，(藍(lán)，藍(lán))，1.古典概型的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)的探究方法：(1)枚舉法；(2)樹(shù)狀圖法；

(3)排列組合法.2.當(dāng)所求概率的事件較復(fù)雜時(shí)，可把其分解為若干個(gè)互斥事件的和求解.規(guī)律方法訓(xùn)練1√從1，2，3，4，5中隨機(jī)選取三個(gè)不同的數(shù)，取法有(1，2，3)，(1，2，4)，(1，2，5)，(1，3，4)，(1，3，5)，(1，4，5)，(2，3，4)，(2，3，5)，(2，4，5)，(3，4，5)，共有10個(gè)樣本點(diǎn)，其中三個(gè)數(shù)之積為偶數(shù)的樣本點(diǎn)有(1，2，3)，(1，2，4)，(1，2，5)，(1，3，4)，(1，4，5)，(2，3，4)，(2，3，5)，(2，4，5)，(3，4，5)，共9個(gè)，所以從1，2，3，4，5中隨機(jī)選取三個(gè)不同的數(shù)，√將甲、乙、丙等7名志愿者分到A，B，C三個(gè)地區(qū)，熱點(diǎn)二條件概率與全概率公式(多選)(2024·廣州模擬)甲箱中有3個(gè)紅球和2個(gè)白球，乙箱中有2個(gè)紅球和2個(gè)白球(兩箱中的球除顏色外沒(méi)有其他區(qū)別)，先從甲箱中隨機(jī)取出一球放入乙箱，分別用事件A1和A2表示從甲箱中取出的球是紅球和白球；再?gòu)囊蚁渲须S機(jī)取出兩球，用事件B表示從乙箱中取出的兩球都是紅球，則例2√√√利用全概率公式的思路：首先按照確定的標(biāo)準(zhǔn)，將一個(gè)復(fù)合事件分解為若干個(gè)互斥事件Ai(i＝1，2，…，n)，然后求P(Ai)和所求事件B在各個(gè)互斥事件Ai發(fā)生的條件下的概率P(B|Ai)，代入全概率公式計(jì)算.規(guī)律方法(1)(2024·洛陽(yáng)調(diào)研)某校有演講社團(tuán)、籃球社團(tuán)、乒乓球社團(tuán)、羽毛球社團(tuán)、獨(dú)唱社團(tuán)共五個(gè)社團(tuán)，甲、乙、丙、丁、戊五名同學(xué)分別從五個(gè)社團(tuán)中選擇一個(gè)報(bào)名，記事件A為“五名同學(xué)所選項(xiàng)目各不相同”，事件B為“只有甲同學(xué)選籃球”，則P(A|B)＝訓(xùn)練2√√(2)(2024·湖北四市聯(lián)考)長(zhǎng)時(shí)間玩手機(jī)可能影響視力.據(jù)調(diào)查，某校學(xué)生大約30%的人近視，而該校大約有20%的學(xué)生每天玩手機(jī)超過(guò)1小時(shí)，這些人的近視率約為60%，現(xiàn)從每天玩手機(jī)不超過(guò)1小時(shí)的學(xué)生中任意調(diào)查一名學(xué)生，則他近視的概率為設(shè)事件A1＝“玩手機(jī)時(shí)間超過(guò)1h的學(xué)生”，A2＝“玩手機(jī)時(shí)間不超過(guò)1h的學(xué)生”，B＝“任意調(diào)查一人，此人近視”，則Ω＝A1∪A2，且A1，A2互斥，P(A1)＝0.2，P(A2)＝0.8，P(B|A1)＝0.6，P(B)＝0.3，依題意，知P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝0.2×0.6＋0.8×P(B|A2)＝0.3，熱點(diǎn)三事件的獨(dú)立性與n重伯努利試驗(yàn)例3√設(shè)該運(yùn)動(dòng)員射擊一次，擊中目標(biāo)的概率為p，(2)(多選)先后拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，記向上的點(diǎn)數(shù)分別為x，y，設(shè)事件A1＝“x＋y＝5”，事件A2＝“y＝x2”，事件A3＝“x＋2y為奇數(shù)”，則√先后兩次拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，得到向上的點(diǎn)數(shù)分別為x，y，√√則樣本點(diǎn)為(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，共36個(gè)，滿足事件A1的樣本點(diǎn)有(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)共4個(gè)，滿足事件A2的樣本點(diǎn)有(1，1)，(2，4)，共2個(gè)，滿足事件A3的樣本點(diǎn)有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，共18個(gè).則P(A1A3)＝P(A1)P(A3)，所以A1與A3相互獨(dú)立，C正確；因?yàn)镻(A2A3)＝P(A2)P(A3)，所以A2與A3相互獨(dú)立，D正確.1.相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率等于它們各自發(fā)生的概率之積.2.當(dāng)正面計(jì)算較復(fù)雜或難以入手時(shí)，可以從其對(duì)立事件入手計(jì)算.規(guī)律方法訓(xùn)練3√設(shè)事件A＝“甲猜對(duì)”，B＝“乙猜對(duì)”，C＝“幾何隊(duì)至少猜對(duì)一個(gè)成語(yǔ)”，√(2)(多選)(2024·青島模擬)袋子中有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中隨機(jī)取出兩個(gè)球，設(shè)事件A＝“取出的球的數(shù)字之積為奇數(shù)”，事件B＝“取出的球的數(shù)字之積為偶數(shù)”，事件C＝“取出的球的數(shù)字之和為偶數(shù)”，則 A.事件A與B是互斥事件 B.事件A與B是對(duì)立事件 C.事件B與C是互斥事件 D.事件B與C相互獨(dú)立對(duì)于A，B，取出的球的數(shù)字之積為奇數(shù)和取出的球的數(shù)字之積為偶數(shù)不可能同時(shí)發(fā)生，且必有一個(gè)發(fā)生，故事件A與B是互斥事件，也是對(duì)立事件，A，B正確；√對(duì)于C，如果取出的數(shù)為2，4，則事件B與事件C均發(fā)生，不互斥，C錯(cuò)誤；則P(B)P(C)≠P(BC)，即事件B與C不相互獨(dú)立，D錯(cuò)誤.【精準(zhǔn)強(qiáng)化練】√√根據(jù)題意，甲運(yùn)動(dòng)員前5場(chǎng)內(nèi)需要贏3場(chǎng)，第6場(chǎng)甲勝，√3.(2024·南陽(yáng)模擬)黨的二十大報(bào)告提出：“深化全民閱讀活動(dòng).”今天，我們思索讀書(shū)的意義、發(fā)掘知識(shí)的價(jià)值、強(qiáng)調(diào)閱讀的作用，正是為了更好地滿足人民群眾精神文化生活新期待.某市把圖書(shū)館、博物館、美術(shù)館、文化館四個(gè)公共文化場(chǎng)館面向社會(huì)免費(fèi)開(kāi)放，開(kāi)放期間需要志愿者參與協(xié)助管理.現(xiàn)有A、B、C、D、E共5名志愿者，每名志愿者均參與本次志愿者服務(wù)工作，每個(gè)場(chǎng)館至少需要一名志愿者，每名志愿者到各個(gè)場(chǎng)館的可能性相同，則A、B兩名志愿者不在同一個(gè)場(chǎng)館的概率為√由甲開(kāi)始傳球，則前3次傳球中，乙恰好有1次接到球的情況可分為：只在第一次接到球和只在第二次接到球以及只在第三次接到球，√設(shè)事件A為“任意調(diào)查一名學(xué)生，每天玩手機(jī)超過(guò)1h”，6.(2024·鄭州模擬)在某次測(cè)試中，若甲、乙、丙三人獲得優(yōu)秀等級(jí)的概率分別是0.5，0.6和0.7，且三人的測(cè)試結(jié)果相互獨(dú)立，測(cè)試結(jié)束后，在甲、乙、丙三人中恰有兩人沒(méi)有達(dá)到優(yōu)秀等級(jí)的條件下，乙達(dá)到優(yōu)秀等級(jí)的概率為分別記甲、乙、丙三人獲得優(yōu)秀等級(jí)為事件A，B，C，√記甲、乙、丙三人中恰有兩人沒(méi)有達(dá)到優(yōu)秀等級(jí)為事件D，由題知，P(A)＝0.5，P(B)＝0.6，P(C)＝0.7，＝0.5×0.4×0.3＋0.5×0.6×0.3＋0.5×0.4×0.7＝0.29，7.有四個(gè)禮盒，前三個(gè)里面分別僅裝有中國(guó)結(jié)、記事本、筆袋，第四個(gè)禮盒里面上述三種禮品都有裝，現(xiàn)從中任選一個(gè)禮盒.設(shè)事件A為“所選禮盒中有中國(guó)結(jié)”，事件B為“所選禮盒中有記事本”，事件C為“所選禮盒中有筆袋”，則下列說(shuō)法中正確的是 A.事件A與事件B互斥

B.事件A與事件B相互獨(dú)立 C.事件A與事件B∪C互斥

D.事件A與事件B∩C相互獨(dú)立由于第四個(gè)禮盒中既有中國(guó)結(jié)，又有記事本，若抽到第四個(gè)禮盒，√則事件A和事件B就同時(shí)發(fā)生了，因此事件A與事件B不是互斥事件，故A錯(cuò)誤；因此事件A與事件B相互獨(dú)立，故B正確；由于第四個(gè)禮盒中既有中國(guó)結(jié)，又有記事本，還有筆袋，若抽到第四個(gè)禮盒，則事件A和事件B∪C就同時(shí)發(fā)生了，因此事件A與事件B∪C不是互斥事件，故C錯(cuò)誤；因此事件A與事件B∩C不是相互獨(dú)立的，故D錯(cuò)誤.8.寫(xiě)算是一種格子乘法.例如計(jì)算89×61，將乘數(shù)89計(jì)入上行，乘數(shù)61計(jì)入右行，然后以乘數(shù)61的每位數(shù)字乘以乘數(shù)89的每一位數(shù)字，將結(jié)果計(jì)入相應(yīng)的格子中，最后從右下方開(kāi)始按斜行加起來(lái)，滿十向上斜行進(jìn)一，如圖，即得5429.類比此法畫(huà)出354×472的格子，若從18個(gè)數(shù)字(含相同的數(shù)字，格子周邊數(shù)字不算在內(nèi))中任取2個(gè)數(shù)字，則它們之和大于10的概率為√畫(huà)出354×472的格子，如圖所示，則18個(gè)數(shù)字中不同的數(shù)字有0，1，2，3，5，6，8，其中6與8各2個(gè)，3與5各1個(gè).它們之和大于10的樣本點(diǎn)為(3，8)2個(gè)，(5，6)2個(gè)，(5，8)2個(gè)，(6，8)4個(gè)，(6，6)1個(gè)，(8，8)1個(gè)，共有12個(gè).9.(2024·石家莊調(diào)研)有3臺(tái)車床加工同一型號(hào)的零件，第1臺(tái)加工的次品率為8%，第2臺(tái)加工的次品率為3%，第3臺(tái)加工的次品率為2%，加工出來(lái)的零件混放在一起.已知第1，2，3臺(tái)車床加工的零件數(shù)分別占總數(shù)的10%，40%，50%，從混放的零件中任取一個(gè)零件，則下列結(jié)論正確的是 A.該零件是第1臺(tái)車床加工出來(lái)的次品的概率為0.08 B.該零件是次品的概率為0.03 C.如果該零件是第3臺(tái)車床加工出來(lái)的，那么它不是次品的概率為0.98√√記事件A為“車床加工的零件為次品”，記事件Bi為“第i臺(tái)車床加工的零件”，i＝1，2，3.則P(A|B1)＝8%，P(A|B2)＝3%，P(A|B3)＝2%，P(B1)＝10%，P(B2)＝40%，P(B3)＝50%.對(duì)于A，任取一個(gè)零件，該零件是第1臺(tái)車床加工出來(lái)的次品的概率為P(AB1)＝P(A|B1)P(B1)＝8%×10%＝0.008，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，任取一個(gè)零件，該零件是次品的概率為P(A)＝P(AB1)＋P(AB2)＋P(AB3)＝8%×10%＋3%×40%＋2%×50%＝0.03，故B正確；對(duì)于C，如果該零件是第3臺(tái)床加工出來(lái)的，對(duì)于D，如果該零件是次品，那么它不是第3臺(tái)車床加工出來(lái)的概率，可以考慮它的對(duì)立事件的概率，即如果該零件是次品，那么它是第3臺(tái)車床加工出來(lái)的概率，即P(B3|A)，10.(2024·婁底模擬)對(duì)于事件A與事件B，若A∪B發(fā)生的概率是0.72，事件B發(fā)生的概率是事件A發(fā)生的概率的2倍，下列說(shuō)法正確的是 A.若事件A與事件B互斥，則事件A發(fā)生的概率為0.36 B.P(B|A)＝2P(A|B) C.事件A發(fā)生的概率的范圍為[0.24，0.36] D.若事件A發(fā)生的概率是0.3，則事件A與事件B相互獨(dú)立√√√對(duì)于A，若事件A與事件B互斥，則P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝3P(A)＝0.72，對(duì)于C，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝3P(A)－P(AB)＝0.72，若事件A與事件B互斥，則P(AB)＝0，此時(shí)P(A)取到最小值為0.24，若P(A)?P(B)，此時(shí)P(AB)＝P(A)，P(A)取到最大值為0.36，故C正確；對(duì)于D，P(A)＝0.3，則P(B)＝0.6，由P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)，得P(AB)＝0.3＋0.6－0.72＝0.18＝P(A)P(B)，則事件A與事件B相互獨(dú)立，故D正確.11.(2024·金華調(diào)研)已知Ω為隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間，事件A，B滿足A?Ω，B?Ω，則下列說(shuō)法正確的是√√對(duì)于C，由P(A)＝P(A|B)得事件A，B相互獨(dú)立，設(shè)事件A＝“確診了流感”，事件B＝“未