提優(yōu)點12　概率與函數(shù)、導數(shù)

板塊五概率與統(tǒng)計提優(yōu)點12概率與函數(shù)、導數(shù)知識拓展概率與函數(shù)、導數(shù)的綜合問題主要涉及概率、均值的最值，解題的關鍵是搞清各數(shù)據(jù)、各事件之間的聯(lián)系，建立相應的數(shù)學模型，利用函數(shù)、導數(shù)或不等式求解.精準強化練類型一利用函數(shù)、導數(shù)求最值類型二利用作商法求概率的最值類型突破類型一利用函數(shù)、導數(shù)求最值(2024·臺州模擬)臺州是全國三大電動車生產(chǎn)基地之一，擁有完整的產(chǎn)業(yè)鏈和突出的設計優(yōu)勢.某電動車公司為了搶占更多的市場份額，計劃加大廣告投入.該公司近5年的年廣告費xi(單位：百萬元)和年銷售量yi(單位：百分輛)關系如圖所示.令vi＝lnxi(i＝1，2，…，5)，數(shù)據(jù)經(jīng)過初步處理得例1設模型①和②的相關系數(shù)分別為r1，r2.所以|r1|<|r2|，由相關系數(shù)的相關性質可得，模型②的擬合程度更好.(2)根據(jù)(1)的分析選取擬合程度更好的回歸分析模型及表中數(shù)據(jù)，求出y關于x的經(jīng)驗回歸方程，并預測年廣告費為6(百萬元)時，產(chǎn)品的年銷售量是多少？因此當年廣告費為6(百萬元)時，產(chǎn)品的銷售量大概是13(百萬輛).(3)該公司生產(chǎn)的電動車毛利潤為每輛200元(不含廣告費、研發(fā)經(jīng)費).該公司在加大廣告投入的同時也加大研發(fā)經(jīng)費的投入，年研發(fā)經(jīng)費為年廣告費的199倍.電動車的年凈利潤受年廣告費和年研發(fā)經(jīng)費影響外還受隨機變量ξ影響，設隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(600，σ2)，且滿足P(ξ>800)＝0.3.在(2)的條件下，求該公司年凈利潤的最大值大于1000(百萬元)的概率.(年凈利潤＝毛利潤×年銷售量－年廣告費－年研發(fā)經(jīng)費－隨機變量).凈利潤為200×(5lnx＋4)－200x－ξ(x>0)，令g(x)＝200×(5lnx＋4)－200x－ξ，可得y＝g(x)在(0，5)上為增函數(shù)，在(5，＋∞)上為減函數(shù).所以g(x)max＝g(5)＝200×(5ln5＋4－5)－ξ≈1400－ξ，由題意得1400－ξ>1000，即ξ<400，P(ξ<400)＝P(ξ>800)＝0.3，即該公司年凈利潤大于1000(百萬元)的概率為0.3.構造函數(shù)求最值時，要注意變量的選取，以及變量自身的隱含條件對變量范圍的限制.易錯提醒(2024·汕頭模擬)2023年11月，我國教育部發(fā)布了《中小學實驗教學基本目錄》，內容包括高中數(shù)學在內共有16個學科900多項實驗與實踐活動.我市某學校的數(shù)學老師組織學生到“牛田洋”進行科學實踐活動，在某種植番石榴的果園中，老師建議學生嘗試去摘全園最大的番石榴，規(guī)定只能摘一次，并且只可以向前走，不能回頭.結果，學生小明兩手空空走出果園，因為他不知道前面是否有更大的，所以沒有摘，走到前面時，又發(fā)覺總不及之前見到的，最后什么也沒摘到.訓練1假設小明在果園中一共會遇到n顆番石榴(不妨設n顆番石榴的大小各不相同)，最大的那顆番石榴出現(xiàn)在各個位置上的概率相等，為了盡可能在這些番石榴中摘到那顆最大的，小明在老師的指導下采用了如下策略：不摘前k(1≤k<n)顆番石榴，自第k＋1顆開始，只要發(fā)現(xiàn)比他前面見過的番石榴大的，就摘這顆番石榴，否則就摘最后一顆.設k＝tn，記該學生摘到那顆最大番石榴的概率為p.(1)若n＝4，k＝2，求p；當n＝4，k＝2時，依題意，4顆番石榴的位置從第1個到第4個排序，有以下兩種情況：當1≤i≤k時，最大的番石榴在前k顆中，不會被摘到，此時P(A|Bi)＝0；當k＋1≤i≤n時，最大的番石榴被摘到，當且僅當前i－1顆番石榴中的最大一個在前k顆之中時，類型二利用作商法求概率的最值(2024·撫順模擬)某市共有教師1000名，為了解老師們的寒假研修情況，評選研修先進個人，現(xiàn)隨機抽取了10名教師利用“學習”APP學習的時長數(shù)據(jù)(單位：小時)：35，43，90，83，50，45，82，75，62，35，學習時長不低于80小時的教師評為“研修先進個人”.(1)現(xiàn)從該樣本中隨機抽取3名教師的學習時長，求這3名教師中恰有2名教師是研修先進個人的概率.例2設“抽取的3名教師中恰有2名教師是研修先進個人”為事件A.(2)若該市所有教師的學習時長X近似地服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，其中σ＝10，μ為抽取的10名教師學習時長的樣本平均數(shù)，利用所得正態(tài)分布模型解決以下問題：①試估計學習時長不低于50小時的教師的人數(shù)(結果四舍五入到整數(shù))；所以0.84135×1000≈841，所以，估計學習時長不低于50小時的教師人數(shù)為841.②若從該市隨機抽取的n名教師中恰有ξ名教師的學習時長在[50，70]內，則n為何值時，P(ξ＝10)的值最大？附：若隨機變量X服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，則P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.每名教師的學習時長在[50，70]內的概率為P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，由題意可知ξ～B(n，0.6827)，所以當n≤13時，f(n＋1)>f(n)，所以當n≥14時，f(n＋1)<f(n)，所以當n＝14時，f(n)最大，即使P(ξ＝10)最大的n的值為14.求概率的最值，利用函數(shù)或導數(shù)不易求其最值時，可利用作商法判斷概率表達式的單調性，從而求出其最值.規(guī)律方法某家畜研究機構發(fā)現(xiàn)每頭成年牛感染H型疾病的概率是p(0<p<1)，且每頭成年牛是否感染H型疾病相互獨立.(1)記10頭成年牛中恰有3頭感染H型疾病的概率是f(p)，求當概率p取何值時，f(p)有最大值？訓練2依題意，10頭成年牛中恰有3頭感染H型疾病的概率是令f′(p)＝0，結合0<p<1，解得p＝0.3.則當p∈(0，0.3)時，f′(p)>0；當p∈(0.3，1)時，f′(p)<0.即函數(shù)f(p)在(0，0.3)上單調遞增，在(0.3，1)上單調遞減，故當概率p＝0.3時，f(p)有最大值.(2)若以(1)中確定的p值作為感染H型疾病的概率，設10頭成年牛中恰有k頭感染H型疾病的概率是g(k)，求當k為何值時，g(k)有最大值？10頭成年牛中恰有k頭感染H型疾病的概率是當3.3－k<0，即k>3.3(k≤10，且k∈N)時，g(k)<g(k－1)，于是g(0)<g(1)<g(2)<g(3)，g(3)>g(4)>…>g(10)，所以當k＝3時，g(k)有最大值.【精準強化練】1.(2024·邵陽模擬)為了選拔創(chuàng)新型人才，某大學對高三年級學生的數(shù)學學科和物理學科進行了檢測(檢測分為初試和復試)，共有4萬名學生參加初試.組織者隨機抽取了200名學生的初試成績，繪制了頻率分布直方圖，如圖所示.∵10×(0.012＋0.026＋0.032＋a＋0.010)＝1，∴a＝0.02.(1)根據(jù)頻率分布直方圖，求a的值及樣本平均數(shù)的估計值；樣本平均數(shù)的估計值為50×0.12＋60×0.26＋70×0.32＋80×0.2＋90×0.1＝69.∵μ＝69，σ＝10.5，(2)若所有學生的初試成績X近似服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，其中μ為樣本平均數(shù)的估計值，σ＝10.5.規(guī)定初試成績不低于90分的學生才能參加復試，試估計能參加復試的人數(shù)；∴能參加復試的人數(shù)約為40000×0.02275＝910(人).2.(2024·新高考Ⅱ卷)某投籃比賽分為兩個階段，每個參賽隊由兩名隊員組成.比賽具體規(guī)則如下：第一階段由參賽隊中一名隊員投籃3次，若3次都未投中，則該隊被淘汰，比賽成績?yōu)?分；若至少投中1次，則該隊進入第二階段.第二階段由該隊的另一名隊員投籃3次，每次投籃投中得5分，未投中得0分，該隊的比賽成績?yōu)榈诙A段的得分總和.

某參賽隊由甲、乙兩名隊員組成，設甲每次投中的概率為p，乙每次投中的概率為q，各次投中與否相互獨立. (1)若p＝0.4，q＝0.5，甲參加第一階段比賽，求甲、乙所在隊的比賽成績不少于5分的概率；設A1＝“甲、乙所在隊進入第二階段”，則P(A1)＝1－(1－0.4)3＝0.784.設A2＝“乙在第二階段至少得5分”，則P(A2)＝1－(1－0.5)3＝0.875.設A3＝“甲、乙所在隊的比賽成績不少于5分”，則P(A3)＝P(A1)·P(A2)＝0.686.設甲參加第一階段比賽時甲、乙所在隊得15分的概率為P甲，(2)假設0<p<q.①為使得甲、乙所在隊的比賽成績?yōu)?5分的概率最大，應該由誰參加第一階段比賽？則P甲＝[1－(1－p)3]·q3＝pq3·(3－3p＋p2).設乙參加第一階段比賽時甲、乙所在隊得15分的概率為P乙，則P乙＝[1－(1－q)3]·p3＝qp3·(3－3q＋q2).則P甲－P乙＝pq(3q2－3pq2＋p2q2－3p2＋3p2q－p2q2)＝3pq(q－p)·(p＋q－pq)，由0<p<q≤1，得q－p>0，p＋q－pq＝p＋q(1－p)>0，所以P甲－P乙>0，即P甲>P乙.故應該由甲參加第一階段比賽.②為使得甲、乙所在隊的比賽成績的數(shù)學期望最大，應該由誰參加第一階段比賽？若甲參加第一階段比賽，則甲、乙所在隊的比賽成績X的所有可能取值為0，5，10，15.P(X＝0)＝(1－p)3＋[1－(1－p)3]·(1－q)3，所以E(X)＝[1－(1－p)3]·[15q(1－q)2＋30q2·(1－q)＋15q3]＝[1－(1－p)3]·15q＝15pq(p2－3p＋3).若乙參加第一階段比賽，則甲、乙所在隊的比賽成績Y的所有可能取值為0，5，