專題09雙角平分線型-初中數(shù)學模型與解題方法專題訓練

09雙角平分線型一、單選題1．在△ABC中，∠A＝100°，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點D，則∠BDC的度數(shù)是（）A．150° B．135° C．140° D．120°【答案】C【詳解】解：如圖，∵∠ABC，∠ACB的平分線相交于點D，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∵∠1+∠3+∠BDC=180°，∠1+∠2+∠3+∠4+∠A=180°，∴2∠1+2∠3+∠A=180°，∴2（180°∠BDC）+∠A=180°，∴∠BDC=90°+∠A，∵∠A=100°，∴∠BDC=90°+×100°=90°+50°=140°．故選C．2．如圖，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的外角平分線交于點O，設(shè)∠A=m，則∠BOC=（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：如圖：，由三角形內(nèi)角和定理，得∠ABC+∠ACB=180°∠A=180°m，由角的和差，得∠DBC+∠BCE=360°（∠ABC+∠ACB）=180°+m，由∠ABC和∠ACB的外角平分線交于點O，得∠OBC+∠OCB=（∠DBC+∠BCE）=90°+m，由三角形的內(nèi)角和，得∠O=180°（∠OBC+∠OCB）=90°m．故選：B．3．如圖，，的角平分線交于點，若，，則的度數(shù)（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：法一：延長PC交BD于E，設(shè)AC、PB交于F，∵∠A＋∠ABF＋∠AFB＝∠P＋∠PCF＋∠PFC＝180°，∵∠AFB＝∠PFC，∴∠P＋∠PCF＝∠A＋∠ABF，∵∠P＋∠PBE＝∠PED，∠PED＝∠PCD?∠D，∴∠P＋∠PBE＝∠PCD?∠D，∴2∠P＋∠PCF＋∠PBE＝∠A?∠D＋∠ABF＋∠PCD，∵PB、PC是角平分線∴∠PCF＝∠PCD，∠ABF＝∠PBE，∴2∠P＝∠A?∠D∵∠A＝48°，∠D＝10°，∴∠P＝19°．法二：延長DC，與AB交于點E．∵∠ACD是△ACE的外角，∠A＝48°，∴∠ACD＝∠A＋∠AEC＝48°＋∠AEC．∵∠AEC是△BDE的外角，∴∠AEC＝∠ABD＋∠D＝∠ABD＋10°，∴∠ACD＝48°＋∠AEC＝48°＋∠ABD＋10°，整理得∠ACD?∠ABD＝58°．設(shè)AC與BP相交于O，則∠AOB＝∠POC，∴∠P＋∠ACD＝∠A＋∠ABD，即∠P＝48°?（∠ACD?∠ABD）＝19°．故選A.4．如圖：、是、的角平分線，，（

）A．∠BPC=70oB．∠BPC=140oC．∠BPC=110o D．∠BPC=40o【答案】C【詳解】解：，，又平分，平分，，，，．故選：C．5．如圖，△ABC中，∠E=18°，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，則∠A等于（）A．36° B．30° C．20° D．18°【答案】A【詳解】解：∵∠ACD=∠A+∠ABC，∴∠ECD=（∠A+∠ABC）．又∵∠ECD=∠E+∠EBC，∴∠E+∠EBC=（∠A+∠ABC）．∵BE平分∠ABC，∴∠EBC=∠ABC，∴∠ABC+∠E=（∠A+∠ABC），∴∠E=∠A=18°，∴∠A=36°．故選A．6．在中，，若的平分線交于點，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】∵，∴+=110°，∵為與的平分線，∴，，∴+=110÷2=55°，∴=180°－55°=125°．故選：B．7．如圖，中，與的平分線交于點，過點作交于點，交于點，那么下列結(jié)論：①都是等腰三角形；②；③；④若，則．其中正確的有（

）個A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【詳解】解：①∵BF是∠ABC的角平分線，CF是∠ACB的角平分線，∴∠ABF=∠CBF，∠ACF=∠BCF，∵DE∥BC，∴∠CBF=∠BFD，∠BCF=∠EFC（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），∴∠ABF=∠BFD，∠ACF=∠EFC，∴DB=DF，EF=EC，∴△BDF和△CEF都是等腰三角形，∴①選項正確，符合題意；②∵DE=DF+FE，∴DB=DF，EF=EC，∴DE=DB+CE，∴②選項正確，符合題意；③根據(jù)題意不能得出BF＞CF，∴④選項不正確，不符合題意；④∵若∠A=80°，∴∠ABC+∠ACB=180°∠A=180°80°=100°，∵∠ABF=∠CBF，∠ACF=∠BCF，∴∠CBF+∠BCF=×100°=50°，∴∠BFC=180°∠CBF∠BCF=180°50°=130°，∴④選項正確，符合題意；故①②④正確．故選C8．如圖，平分，平分，與交于點，若，，則（

）A．80° B．75° C．60° D．45°【答案】C【詳解】解：連接平分，平分，故選：二、填空題9．如圖，在△中，，如果與的平分線交于點，那么＝度．【答案】125【詳解】，．∵BD平分，CD平分，，．故答案為：125．10．如圖，已知的兩條高、交于點，的平分線與外角的平分線交于點，若，則．【答案】36【詳解】由圖知：，∵是的角平分線，∴，∴，∵是的角平分線，∴，∴，即，∴，∴，∴，∵的兩條高、交于點，∴，，∴，∴在四邊形中有：，∵，∴，∵，∴，∴．故答案為：36．11．如圖，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分線交于點O，延長BO與∠ACB的外角平分線交于點D，若∠BOC＝130°，則∠D＝【答案】40°【詳解】解：∵∠ABC和∠ACB的角平分線交于點O，∴∠ACO=∠ACB，∵CD平分∠ACE，∴∠ACD=∠ACE，∵∠ACB+∠ACE=180°，∴∠OCD=∠ACO+∠ACD=（∠ACB+∠ACE）=×180°=90°，∵∠BOC＝130°，∴∠D=∠BOC∠OCD=130°90°=40°，故答案為：40°．12．如圖在△ABC中，BO，CO分別平分∠ABC，∠ACB，交于O，CE為外角∠ACD的平分線，交BO的延長線于點E，記，，則以下結(jié)論①，②，③，④，正確的是．（把所有正確的結(jié)論的序號寫在橫線上）

【答案】①④【詳解】∵CE為外角∠ACD的平分線，BE平分∠ABC，∴∠DCE＝∠ACD，∠DBE＝∠ABC，又∵∠DCE是△BCE的外角，∴∠2＝∠DCE?∠DBE＝（∠ACD?∠ABC）＝∠1，故①正確；∵BO，CO分別平分∠ABC，∠ACB，∴∠OBC＝ABC，∠OCB＝∠ACB，∴∠BOC＝180°?（∠OBC＋∠OCB）＝180°?（∠ABC＋∠ACB）＝180°?（180°?∠1）＝90°＋∠1，故②、③錯誤；∵OC平分∠ACB，CE平分∠ACD，∴∠ACO＝∠ACB，∠ACE＝∠ACD，∴∠OCE＝（∠ACB＋∠ACD）＝×180°＝90°，∵∠BOC是△COE的外角，∴∠BOC＝∠OCE＋∠2＝90°＋∠2，故④正確；故答案為：①④．13．如圖，的角平分線、相交于點，，則．【答案】．【詳解】解：∵OB、OC分別是∠ABC和∠ACB的角平分線，∴∠OBC+∠OCB=∵∠A=40°，∴∠OBC+∠OCB==70°，∴∠BOC=180°（∠OBC+∠OCB）=180°70°=110°．故答案是110．14．如圖，五邊形在處的外角分別是分別平分和且相交于點P．若，則．【答案】105°【詳解】解：∵∠A＝160°，∠B＝80°，∠E＝90°，∴∠BCD＋∠CDE＝（5?2）×180°?160°?80°?90°＝210°，∴∠PCD＋∠PDC＝（180°×2?210°）＝75°，在△CPD中，∠CPD＝180°?（∠PCD＋∠PDC）＝180°?75°＝105°，故答案為：105°．15．如圖，在△ABC中，∠A=60°，BD、CD分別平分∠ABC、∠ACB，M、N、Q分別在DB、DC、BC的延長線上，BE、CE分別平分∠MBC、∠BCN，BF、CF分別平分∠EBC、∠ECQ，則∠F=．【答案】15°【詳解】解：如圖：∵BD、CD分別平分∠ABC、∠ACB，∠A=60°，∴∠DBC=∠ABC，∠DCB=∠ACB，∴∠DBC+∠DCB=（∠ABC+∠ACB）=（180°∠A）=×（180°60°）=60°，∴∠MBC+∠NCB=360°60°=300°，∵BE、CE分別平分∠MBC、∠BCN，∴∠5+∠6=∠MBC，∠1=∠NCB，∴∠5+∠6+∠1=（∠NCB+∠NCB）=150°，∴∠E=180°（∠5+∠6+∠1）=180°150°=30°，∵BF、CF分別平分∠EBC、∠ECQ，∴∠5=∠6，∠2=∠3+∠4，∵∠3+∠4=∠5+∠F，∠2+∠3+∠4=∠5+∠6+∠E，即∠2=∠5+∠F，2∠2=2∠5+∠E，∴2∠F=∠E，∴∠F=∠E=×30°=15°．故答案為：15°．16．如圖，在中，，與的平分線交于點，得；與的平分線相交于點，得；；與的平分線相交于點，得，則．【答案】【詳解】根據(jù)題意，，與的平分線交于點∴∵∴∵∴同理，得；；；…∴故答案為：．三、解答題17．如圖，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點P．（1）若∠ABC+∠ACB＝130°，求∠BPC的度數(shù)．（2）當∠A為多少度時，∠BPC＝3∠A？【答案】（1）；（2）【詳解】（1）平分，平分，，∠ABC+∠ACB＝130°，，，（2）平分，平分，，，，，∠BPC＝3∠A，．18．(1)如圖1，在△ABC中，點是和的角平分線的交點，請你判斷與之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(2)如圖2，在四邊形中，點是和的角平分線的交點，請你用和表示，并說明理由；(3)如圖3，在四邊形中，，是的平分線所在直線與外角的平分線所在直線構(gòu)成的銳角，直接寫出用和表示的結(jié)果．

【答案】（1），理由見解析；（2），理由見解析；（3）【詳解】解：（1）理由如下：平分，平分，，．在中，，在中，，．．

（3）．理由如下：由四邊形內(nèi)角和定理得．、分別平分和，．．即．

（3）．理由如下，

∵又∵是的平分線所在直線與外角的平分線所在直線構(gòu)成的銳角，∴．即．19．（1）如圖所示，在中，分別是和的平分線，證明：．（2）如圖所示，的外角平分線和相交于點D，證明：．（3）如圖所示，的內(nèi)角平分線和外角平分線相交于點D，證明：．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析【詳解】（1）設(shè)．由的內(nèi)角和為，得．①由的內(nèi)角和為，得．②由②得．③把③代入①，得，即，即（2）∵BD、CD為△ABC兩外角∠ABC、∠ACB的平分線，∴由三角形內(nèi)角和定理得，，=180°[∠A+（∠A+∠ABC+∠ACB）]，=180°（∠A+180°），=90°∠A；（3）如圖：∵BD為△ABC的角平分線，交AC與點E，CD為△ABC外角∠ACE的平分線，兩角平分線交于點D∴∠1=∠2，∠5=（∠A+2∠1），∠3=∠4，在△ABE中，∠A=180°∠1∠3∴∠1+∠3=180°∠A①在△CDE中，∠D=180°∠4∠5=180°∠3（∠A+2∠1），即2∠D=360°2∠3∠A2∠1=360°2（∠1+∠3）∠A②，把①代入②得∠D=∠A．20．如圖1，點A、B分別在射線OM、ON上運動（不與點O重合），AC、BC分別是∠BAO和∠ABO的角平分線，BC延長線交OM于點G．（1）若∠MON=60°，則∠ACG=；（直接寫出答案）（2）若∠MON=n°，求出∠ACG的度數(shù)；（用含n的代數(shù)式表示）（3）如圖2，若∠MON=80°，過點C作CF∥OA交AB于點F，求∠BGO與∠ACF的數(shù)量關(guān)系．【答案】（1）60°；（2）90°n°；（3）∠BGO∠ACF=50°【詳解】解：（1）∵∠MON=60°，∴∠BAO+∠ABO=120°，∵AC、BC分別是∠BAO和∠ABO的角平分線，∴∠CBA=∠ABO，∠CAB=∠BAO，∴∠CBA+∠CAB=（∠ABO+∠BAO）=60°，∴∠ACG=∠CBA+∠CAB=60°，故答案為：60°；（2）∵∠MON=n°，∴∠BAO+∠ABO=180°n°，∵AC、BC分別是∠BAO和∠ABO的角平分線，∴∠CBA=∠ABO，∠CAB=∠BAO，∴∠CBA+∠CAB=（∠ABO+∠BAO）=90°n°，∴∠ACG=∠CBA+∠CAB=90°n°；（3）∵CF∥OA，∴∠ACF=∠CAG，∴∠BGO∠ACF=∠BGO∠CAG=∠ACG，由（2）得：∠ACG=90°×80°=50°．∴∠BGO∠ACF=50°．21．如圖①，在△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線相交于點P．(1)如果∠A＝70°，求∠BPC的度數(shù)；(2)如圖②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分線交于點Q，試探索∠Q，∠A之間的數(shù)量關(guān)系．(3)如圖③，延長線段BP，QC交于點E，在△BQE中，存在一個內(nèi)角等于另一個內(nèi)角的3倍，求∠A的度數(shù)．【答案】(1)；(2)；(3)∠A的度數(shù)是或或或【詳解】（1）∵∠A＝70°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝110°，∵點P是∠ABC和∠ACB的角平分線的交點，∴∠PBC＝ABC，∠PCB＝ACB，∴∠PBC+∠PCB＝55°，∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝125°；（2）∵∠MBC＝∠ACB+∠A，∠NCB＝∠ABC+∠A，∴∠MBC+∠NCB＝∠ACB+∠A+∠ABC+∠A＝180°+∠A，∵點Q是∠MBC和∠NCB的角平分線的交點，∴∠QBC＝MBC，∠QCB＝NCB，∴∠QBC+∠QCB＝（∠MBC+∠NCB）＝（180°+∠A）＝90°+A，∴∠Q＝180°﹣（∠QBC+∠QCB）＝180°﹣（90°+A）＝90°﹣A；（3）∵CQ為△ABC的外角∠NCB的角平分線，∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分線，∴∠ACF＝2∠BCF，∵BE平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠EBC，∵∠ECF＝∠EBC+∠E，∴2∠ECF＝2∠EBC+2∠E，即∠ACF＝∠BC+2∠E，∵∠ACF＝∠ABC+∠A，∴∠A＝2∠E，即∠E＝A，∵∠EBQ＝∠EBC+∠CBQ＝∠ABC+MBC＝（∠ABC+∠A+∠ACB）＝90°，如果△BQE中，存在一個內(nèi)角等于另一個內(nèi)角的3倍，那么分為四種情況：①∠EBQ＝3∠E＝90°，則∠E＝30°，∠A＝2∠E＝60°；②∠EBQ＝3∠Q，則∠Q＝30°，∠E＝60°，∠A＝2∠E＝120°；③∠Q＝3∠E，則∠E＝22.5°，∠A＝2∠E＝45°；④∠E＝3∠Q，則∠E＝67.5°，∠A＝2∠E＝135°，綜合上述，∠A的度數(shù)是45°或60°或120°或135°．22．課本拓展舊知新意：我們?nèi)菀鬃C明，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和．那么，三角形的一個內(nèi)角與它不相鄰的兩個外角的和之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系呢？嘗試探究（1）如圖1，∠DBC與∠ECB分別為△ABC的兩個外角，試探究∠A與∠DBC+∠ECB之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？為什么？初步應(yīng)用：（2）如圖2，在△ABC紙片中剪去△CED，得到四邊形ABDE，∠1=130°，則∠2∠C=______；（3）小明聯(lián)想到了曾經(jīng)解決的一個問題：如圖3，在△ABC中，BP、CP分別平分外角∠DBC、∠ECB，∠P與∠A有何數(shù)量關(guān)系？請利用上面的結(jié)論直接寫出答案______．3拓展提升：（4）如圖4，在四邊形ABCD中，BP、CP分別平分外角∠EBC、∠FCB，∠P與∠A、∠D有何數(shù)量關(guān)系？為什么？（若需要利用上面的結(jié)論說明，可直接使用，不需要說明理由）【答案】（1）∠DBC+∠ECB=180°+∠A，理由見解析；（2）50°；（3）∠P=90°∠A；（4）∠BAD+∠CDA=360°2∠P，理由見解析【詳解】（1）∠DBC+∠ECB=180°∠ABC+180°∠ACB=360°（∠ABC+∠ACB）=360°（180°∠A）=180°+∠A；（2）∵∠1+∠2=∠180°+∠C，∴130°+∠2=180°+∠C，∴∠2∠C=50°；（3）∠DBC+∠ECB=180°+∠A，∵BP、CP分別平分外角∠DBC、∠ECB，∴∠PBC+∠PCB=（∠DBC+∠ECB）=（180°+∠A），在△PBC中，∠P=180°（180°+∠A）=90°∠A；即∠P=90°∠A；故答案為50°，∠P=90°∠A；（4）延長BA、CD于Q，則∠P=90°∠Q，∴∠Q=180°2∠P，∴∠BAD+∠CDA=180°+∠Q，=180°+180°2∠P，=360°2∠P．23．中，．（1）如圖①，若點是與平分線的交點，求的度數(shù)；（2）如圖②，若點是與平分線的交點，求的度數(shù)；（3）如圖③，若點是與平分線的交點，求的度數(shù)；（4）若.請直接寫出圖①，②，③中的度數(shù)，(用含的代數(shù)式表示)

【答案】（1）115°；（2）65°；（3）25°；（4）分別為：①；②；③【詳解】解:（1），，點是與平分線的交點，，，，；（2），，點是與平分線的交點，，；（3）點是與平分線的交點，，，，，，；（4）若，在（1）中，；在（2）中，同理得：；在（3）中，同理得：．24．【問題背景】（1）如圖1的圖形我們把它稱為“8字形”，請說明∠A+∠B=∠C+∠D；【簡單應(yīng)用】（2）如圖2，AP、CP分別平分∠BAD．∠BCD，若∠ABC=46°，∠ADC=26°，求∠P的度數(shù)；【問題探究】（3）如圖3，直線AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，若∠ABC=36°，∠ADC=16°，請猜想∠P的度數(shù)，并說明理由．【拓展延伸】（4）①在圖4中，若設(shè)∠C=α，∠B=β，∠CAP=∠CAB，∠CDP=∠CDB，試問∠P與∠C、∠B之間的數(shù)量關(guān)系為：（用α、β表示∠P）；②在圖5中，AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P與∠B、∠D的關(guān)系，直接寫出結(jié)論．

【答案】（1）見解析；（2）36°；（3）26°，理由見解析；（4）①∠P=②∠P=【詳解】（1）在△AEB中，∠A+∠B+∠AEB=180°．在△CED中，∠C+∠D+∠CED=180°．∵∠AEB=∠CED，∴∠A+∠B=∠C+∠D；（2）由（1）得：∠1+∠B=∠3+∠P，∠4+∠D=∠2+∠P，∴∠1+∠B+∠4+∠D=∠3+∠P+∠2+∠P．∵∠1=∠2，∠3=∠4，∴2∠P=∠B+∠D=46°+26°=72°，∴∠P=36°．（3）∠P=26°，理由是：如圖3：∵AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠PAD=180°﹣∠2，∠PCD=180°﹣∠3．∵∠PAB=∠1，∠P+∠PAB=∠B+∠4，∴∠P+∠1=∠B+∠4．∵∠P+（180°﹣∠2）=∠D+（180°﹣∠3），∴2∠P=∠B+∠D，∴∠P=（∠B+∠D）=×（36°+16°）=26°．（4）①設(shè)∠CAP=m，∠CDP=n，則∠CAB=3m，，∠CDB=3n，∴∠PAB=2m，∠PDB=2n．∵∠C+∠CAP=∠P+∠PDC，∠P+∠PAB=∠B+∠PDB，∵∠C=α，∠B=β，∴α+m=∠P+n，∠P+2m=β+2n，∴α－∠P=n－m，∠P－β=2n－2m=2（n－m），∴2α+β=3∠P∴∠P=．故答案為：∠P=．②設(shè)∠BAP=x，∠PCE=y，則∠PAO=x，∠PCB=y．∵∠PAO+∠P=∠PCD+∠D，∠B+∠BAO=∠OCD+∠D，∴x+∠P=180°－y+∠D，∠B+2x=180°－2y+∠D，∴∠P=．故答案為：∠P=．25．在△ABC中，若存在一個內(nèi)角角度是另外一個內(nèi)角角度的n倍（n為大于1的正整數(shù)），則稱△ABC為n倍角三角形．例如，在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝75°，∠C＝25°，可知∠B＝3∠C，所以△ABC為3倍角三角形．（1）在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝60°，則△ABC為倍角三角形；（2）若銳角三角形MNP是3倍角三角形，且最小內(nèi)角為α，請直接寫出α的取值范圍為．（3）如圖，直線MN與直線PQ垂直相交于點O，點A在射線OP上運動（點A不與點O重合），點B在射線OM上運動（點B不與點O重合）．延長BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分線與∠BOQ的角平分線所在的直線分別相交于E、F，若△AEF為4倍角三角形，求∠ABO的度數(shù)．【答案】（1）2；（2）22.5°＜α＜30°；（3）45°或36°【詳解】解：（1）∵∠A＝80°，∠B＝60°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝40°，∴∠A＝2∠C，∴△ABC為2倍角三角形，故答案為：2；（2）∵最小內(nèi)角為α，∴3倍角為3α，由題意可得：3α＜90°，且180°﹣4α＜90°，∴最小內(nèi)角的取值范圍是22.5°＜α＜30°．故答案為22.5°＜α＜30°．（3）∵AE平分∠BAO，AF平分∠AOG，∴∠EAB＝∠EAO，∠OAF＝∠FAG，∴∠EAF＝∠EAO+∠OAF＝（∠BAO+∠OAG）＝90°，∵△EAF是4倍角三角形，∴∠E＝×90°或×90°，∵AE平分∠BAO，OE平分∠BOQ，∴∠E＝∠ABO，∴∠ABO＝2∠E，∴∠ABO＝45°或36°．26．（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，在中，，和的平分線交于，則的度數(shù)是______（2）類比探究：如圖2，在中，的平分線和的外角的角平分線交于，則與的關(guān)系是______，并說明理由．（3）類比延伸：如圖3，在中，外角的角平分線和的外角的角平分線交于，請直接寫出與的關(guān)系是______．【答案】（1）110°；（2）；（3）【詳解】解：（1）∵，∴，∵和的平分線交于，∴，，∴故答案為110°（2），證明：∵是的外角，是的外角，∴，∵平分，平分，∴，∴，∴，∴，故答案為：；（3）由（1）得，，故答案為：．27．如圖，已知、的平分線相交于點，過點且．

（1）若，，求的度數(shù)；（2）若，，求、的度數(shù)．【答案】（1）125°；（2）60°；40°【詳解】解：（1）∵和的平分線與相交于點，∴，，又，，∴，，∴；（2）∵，∴，∵，∴，，∵，∴，，∵和的平分線與相交于點，∴，．28．如圖，∠CBF，∠ACG是△ABC的外角，∠ACG的平分線所在的直線分別與∠ABC，∠CBF的平分線BD，BE交于點D，E．（1）若∠A=70°，求∠D的度數(shù)；（2）若∠A=a，求∠E；（3）連接AD，若∠ACB=，則∠ADB=．【答案】（1）35°；（2）90°α；（3）β【詳解】解：（1）∵CD平分∠ACG，BD平分∠ABC，∴∠DCG=∠ACG，∠DBC=∠ABC，∵∠ACG=∠A+∠ABC，∴2∠DCG=∠ACG=∠A+∠ABC=∠A+2∠DBC，∵∠DCG=∠D+∠DBC，∴2∠DCG=2∠D+2∠DBC，∴∠A+2∠DBC=2∠D+2∠DBC，∴∠D=∠A=35°；（2）∵BD平分∠ABC，BE平分∠CBF，∴∠DBC=∠ABC，∠CBE=∠CBF，∴∠DBC+∠CBE=（∠ABC+∠CBF）=90°，∴∠DBE=90°，∵∠D=∠A，∠A=α，∴∠D=α，∵∠DBE=90°，∴∠E=90°α；（3）如圖，∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACG，∴AD平分∠MAC，∠ABD=∠ABC，∴∠DAM=∠MAC，∵∠DAM=∠ABD+∠ADB，∠MAC=∠ABC+∠ACB，∠ACB=β，∴∠ADB=∠ACB=β．故答案為：β．29．（1）已知：如圖①的圖形我們把它稱為“8字形”，試說明：．（2）如圖②，分別平分，若，求的度數(shù)．（3）如圖③，直線平分的外角平分的外角，若，則________用的代數(shù)式表示）【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）．【詳解】解：（1）∵∠A+∠B+∠AOB=180°，∠C+∠D+∠COD=180゜，∴∠A+∠B+∠AOB=∠C+∠D+∠COD．∵∠AOB=∠COD，∴∠A+∠B=∠C+∠D；（2）∵分別平分，設(shè)∠BAP=∠PAD=x，∠BCP=∠PCD=y，則有，∴∠ABC∠P=∠P∠ADC，∴；（3）如圖，∵AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠PAD=180°∠2=180°∠1，∠PCD=180°∠3，∵∠P+（180°∠1）=∠ADC+（180°∠3），∠P+∠1=∠ABC+∠4，∴2∠P=∠ABC+∠ADC，∵，∴．30．（1）如圖1所示，在中，和的平分線將于點O，則有，請說明理由．（2）如圖2所示，在中，內(nèi)角的平分線和外角的平分線交于點O，請直接寫出與之間的關(guān)系，不必說明理由．（3）如圖3所示，AP，BP分別平分，，則有，請說明理由．（4）如圖4所示，AP，BP分別平分，，請直接寫出與，之間的關(guān)系，不必說明理由．【答案】(1)理由見解析；(2)∠BAC=2∠BOC；(3)理由見解析；(4)【詳解】解：(1)∵OB是∠ABC的角平分線，OC是∠ACB的角平分線∴∠ABO=OBC，∠ACO=∠OCB∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°∴∠OCB+∠OBC=∴∠BOC=(2)∵OB是∠ABC的角平分線，OC是∠ACD的角平分線∴∠ABO=∠OBC，∠ACO=∠OCD∵∠BAC+∠ABC=∠ACD，∠OBC+∠BOC=∠OCD∴2∠OBC+2∠BOC=2∠OCD∴∠ABC+2∠BOC=∠ACD∴∠BAC=2∠BOC(3)∵AP是∠DAC的角平分線，BP是∠DBC的角平分線∴∠DAP=∠PAC，∠DBP=∠PBC∵∠D+∠DAP=∠P+∠DBP，∠P+∠PAC=∠PBC+∠C∴∠D∠P=∠P∠C∴(4)∵AP是∠MAC的角平分線，BP是∠DBC的角平分線∴∠MAP=∠PAC，∠DBP=∠PBC設(shè)∠DBP=∠PBC=x，∠MAP=∠PAC=y∴∠AGB=∠C+2x∴∠BEP=∠AEG=180°（∠C+2x）y∴∠P=180°∠BEP∠DBP=∠C+x+y∵∠D+∠AEG=∠MAP∴∠D+180°（∠C+2x）y=y∴x+y=∴∴31．（1）如圖1所示，BD，CD分別是△ABC的內(nèi)角∠ABC，∠ACB的平分線，試說明：∠D=90°+∠A．（2）探究，請直接寫出下列兩種情況的結(jié)果，并任選一種情況說明理由：①如圖2所示，BD，CD分別是△ABC兩個外角∠EBC和∠FCB的平分線，試探究∠A與∠D之間的等量關(guān)系；②如圖3所示，BD，CD分別是△ABC一個內(nèi)角∠ABC和一個外角∠ACE的平分線，試探究∠A與∠D之間的等量關(guān)系．【答案】（1）證明見解析；（2）①∠A=180°?2∠D，理由見解析；②∠A=2∠D，理由見解析【詳解】（1）∵BD，CD分別是∠ABC，∠ACB的平分線，∴∠DBC=∠ABC，∠DCB=∠ACB，∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠ABC+∠ACB=180°?∠A，又∵∠DBC+∠DCB+∠D=180°，∴∠D=180°?(∠DBC+∠DCB)=180°?(∠ABC+∠ACB)=180°?(180°?∠A)=180°?90°+∠A=90°+∠A，即：∠D=90°+∠A；（2）①∠A=180°?2∠D，理由如下：∵BD，CD分別是∠EBC和∠FCB的平分線，∴∠EBC=2∠DBC，∠FCB=2∠DCB，∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠ABC=180°?(∠A+∠ACB)=180°?2∠DBC，∠ACB=180°?(∠A+∠ABC)=180°?2∠DCB，∴∠A+180°?2∠DBC+180°?2∠DCB=180°，∴∠A?2(∠DBC+∠DCB)=?180°，又∵∠DBC+∠DCB+∠D=180°，∴∠DBC+∠DCB=180°?∠D，∴∠A?2(∠DBC+∠DCB)=∠A?2(180°?∠D)=?180°，即：∠A?360°+2∠D=?180°，∴2∠D=180°?∠A，即：∠A=180°?2∠D；②∠A=2∠D，理由如下：∵∠DCE是△ABC的一個外角，∴∠DCE=∠DBC+∠D，∵BD，CD分別是∠ABC和∠ACE的平分線，∴2∠DBC=∠ABC，2∠DCE=∠ACE，∵∠A+∠ABC=∠ACE，∴∠A+2∠DBC=2∠DCE，∴∠A+2∠DBC=2∠DBC+2∠D，∴∠A=2∠D.32．圖1，線段AB、CD相交于點O，連接AD、CB，我們把形如圖1的圖形稱之為“8字形”．如圖2，在圖1的條件下，∠DAB和∠BCD的平分線AP和CP相交于點P，并且與CD、AB分別相交于M、N．試解答下列問題：（1）在圖1中，請直接寫出∠A、∠B、∠C、∠D之間的數(shù)量關(guān)系：；（2）仔細觀察，在圖2中“8字形”的個數(shù)：個；（3）圖2中，當∠D＝50度，∠B＝40度時，求∠P的度數(shù)．（4）圖2中∠D和∠B為任意角時，其他條件不變，試問∠P與∠D、∠B之間存在著怎樣的數(shù)量關(guān)系．（直接寫出結(jié)果，不必證明）．【答案】（1）∠A+∠D＝∠C+∠B；（2）6；（3）∠P＝45°；（4）2∠P＝∠D+∠B．【詳解】解：（1）∵∠A+∠D+∠AOD＝∠C+∠B+∠BOC＝180°，∠AOD＝∠BOC，∴∠A+∠D＝∠C+∠B，故答案為：∠A+∠D＝∠C+∠B；（2）①線段AB、CD相交于點O，形成“8字形”；②線段AN、CM相交于點O，形成“8字形”；③線段AB、CP相交于點N，形成“8字形”；④線段AB、CM相交于點O，形成“8字形”；⑤線段AP、CD相交于點M，形成“8字形”；⑥線段AN、CD相交于點O，形成“8字形”；故“8字形”共有6個，故答案為：6；（3）∠DAP+∠D＝∠P+∠DCP，①∠PCB+∠B＝∠PAB+∠P，②∵∠DAB和∠BCD的平分線AP和CP相交于點P，∴∠DAP＝∠PAB，∠DCP＝∠PCB，①+②得：∠DAP+∠D+∠PCB+∠B＝∠P+∠DCP+∠PAB+∠P，即2∠P＝∠D+∠B，又∵∠D＝50度，∠B＝40度，∴2∠P＝50°+40°，∴∠P＝45°；（4）關(guān)系：2∠P＝∠D+∠B．∠D+∠1＝∠P+∠3①∠B+∠4＝∠P+∠2②①+②得：∠D+∠1+∠4+∠B＝∠P+∠3+∠2+∠P，∵∠DAB和∠DCB的平分線AP和CP相交于點P，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4∴2∠P＝∠D+∠B．33．（1）在銳角中，邊上的高所在直線和邊上的高所在直線的交點為，，求的度數(shù)．（2）如圖，和分別平分和，當點在直線上時，且B、P、D三點共線，，則_________．（3）在（2）的基礎(chǔ)上，當點在直線外時，如下圖：，，求的度數(shù)．【答案】（1）；（2）；（3）．【詳解】（1）如圖邊上的高所在直線和邊上的高所在直線的交點為∴又∵∴∵在四邊形中，內(nèi)角和為∴．（2）法一：∵和分別平分和∴又∵∴∴∴．法二：連接BD，∵B、P、D三點共線∴BD、AF、CE交于P點∵∠APD=∠BAP+∠ABP，∠CPD=∠BCP+∠CBP，∴∠APC=∠B+∠PAB＋∠PCB∵和分別平分和，∴∠PAC=∠PAB，∠PCA=∠PCB，∵∠APC＝100°，∴∠PAC＋∠PCA＝180°?100°＝80°，∴∠PAB＋∠PCB＝80°，∴∠B＝∠APC?（∠PAB＋∠PCB）＝100°?80°＝20°．（3）法一：如圖：連接AC∵，∴∴又∵和分別平分和∴∴∴．法二：如圖，連接BD并延長到G，∵∠ADG＝∠2＋∠APD，∠CDG＝∠4＋∠CPD，∴∠ADC＝∠2＋∠4＋∠APC，∴∠2＋∠4=30°同理可得∠APC＝∠1＋∠3＋∠B，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠B＝∠APC∠2∠4=100°30°=70°∴∠B＝70°．34．如圖1，AB∥CD，P為AB、CD之間一點

（1）若AP平分∠CAB，CP平分∠ACD．求證：AP⊥CP；（2）如圖（2），若∠BAP∠BAC，∠DCP∠ACD，且AE平分∠BAP，CF平分∠DCP，猜想∠E+∠F的結(jié)果并且證明你的結(jié)論；（3）在（1）的條件下，當∠BAQ∠BAP，∠DCQ∠DCP，H為AB上一動點，連HQ并延長至K，使∠QKA＝∠QAK，再過點Q作∠CQH的平分線交直線AK于M，問當點H在射線AB上移動時，∠QMK的大小是否變化？若不變，求其值；若變化，求其取值范圍．【答案】（1）見解析；（2）∠E+∠F＝108°，證明見解析；（3）不變，是定值，值為15°【詳解】解：（1）∵AB∥CD，∴∠BAC＋∠ACD＝180°，又∵AP平分∠CAB，CP平分∠ACD，∴∠CAP∠CAB，∠ACP∠ACD，∴∠CAP＋∠ACP（∠BAC＋∠ACD）180°＝90°，∴△ACP中，∠P＝180°﹣90°＝90°，即AP⊥CP；（2）∠E＋∠F＝108°．證明：如圖2，過E作EG∥AB，過F作FH∥CD，

∵AB∥CD，∴EG∥AB∥FH∥CD，∠BAC＋∠DCA＝180°，∴∠BAE＝∠AEG，∠DCE＝∠CEG，∠BAF＝∠AFH，∠DCF＝∠CFH，∴∠AEC＝∠BAE＋∠DCE，∠AFC＝∠BAF＋∠DCF，∵∠BAP∠BAC，∠DCP∠ACD，AE平分∠BAP，CF平分∠DCP，∴∠BAE∠BAC，∠DCF∠DCA，∴∠AEC∠BAC∠ACD，∠AFC∠BAC∠DCA，∴∠AEC＋∠AFC∠BAC∠ACD∠BAC∠DCA∠ACD∠BAC（∠BAC＋∠DCA）180°＝108°；（3）如圖，過Q作QE∥AB，

∵AB∥CD，QE∥CD，∴∠BAQ＝∠AQE，∠DCQ＝∠CQE，∴∠AQC＝∠AQE＋∠CQE＝∠BAQ＋∠DCQ，由（1）可得∠BAP＋∠DCP＝180°﹣90°＝90°，又∵∠BAQ∠BAP，∠DCQ∠DCP，∴∠AQC＝∠BAQ＋∠DCQ∠BAP∠DCP（∠BAP＋∠DCP）＝30°，∵∠AQH是△AQK的外角，QA＝QK，∴∠K∠AQH，∵QM是∠CQH的平分線，∴∠MQH∠CQH，∵∠MQH是△MQK的外角，∴∠M＝∠MQH﹣∠K∠CQH∠AQH（∠CQH﹣∠AQH）∠AQC30°＝15°，即∠QMK的大小不變，是定值15°．35．在△ABC中，已知∠A＝α．（1）如圖1，∠ABC、∠ACB的平分線相交于點D．求∠BDC的大?。ㄓ煤恋拇鷶?shù)式表示）；（2）如圖2，若∠ABC的平分線與∠ACE的平分線交于點F，求∠BFC的大?。ㄓ煤恋拇鷶?shù)式表示）；（3）在（2）的條件下，將△FBC以直線BC為對稱軸翻折得到△GBC，∠GBC的平分線與∠GCB的平分線交于點M（如圖3），求∠BMC的度數(shù)（用含α的代數(shù)式表示）．【答案】（1）∠BDC＝90°+；（2）∠BFC＝；（3）∠BMC＝90°+．【詳解】解：（1）∵∠A＝α，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣α，∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，∴∠DBC＝∠ABC，∠BCD＝∠ACB，∴∠DBC+∠BCD＝（∠ABC+∠ACB）＝90°﹣，∴∠BDC＝180°﹣（∠DBC+∠BCD）＝90°+；（2）∵∠ABC的平分線與∠ACE的平分線交于點F，∴∠FBC＝∠ABC，∠FCE＝∠ACE，∵∠ACE＝∠A+∠ABC，∠FCE＝∠BFC+∠FBC，∴∠BFC＝∠A＝；（3）∵∠GBC的平分線與∠GCB的平分線交于點M，∴方法同（1）可得∠BMC＝90°+，∵將△FBC以直線BC為對稱軸翻折得到△GBC，∴∠G＝∠BFC＝，∴∠BMC＝90°+.36．已知，在四邊形ABCD中，．

（1）求證：．（2）如圖1，若DE平分，BF平分的外角，寫出DE與BF的位置關(guān)系，并證明．（