五年級(jí)上冊(cè)奧數(shù)講義

第一講整數(shù)問(wèn)題

第1課數(shù)的整除

一、學(xué)問(wèn)要點(diǎn)

1.整除一一因數(shù)、倍數(shù)

1必要條件：

(1)a、b、c三個(gè)數(shù)是整數(shù)

(2)bWO

(3)a-rb=c

一結(jié)論：整數(shù)a能被整數(shù)b整除，或b能整除a,則a叫做b的倍數(shù)，b叫

做a的因數(shù)。

記作：bIa

―整數(shù)a除以整數(shù)b(bWO)等于c(c是整數(shù)且沒(méi)有余數(shù))，則說(shuō)a能被b整除，或b能整除a,

a叫做b的倍數(shù)，b叫做a的因數(shù)。

2.相關(guān)基礎(chǔ)學(xué)問(wèn)點(diǎn)回顧

(1)0是任何整數(shù)的倍數(shù)。

(2)1是任何整數(shù)的因數(shù)。

3.數(shù)整除的性質(zhì)

性質(zhì)1：假如a、b都能被m整除，則它們的和與差也能被m整除。

即：假如mIa,mIb,貝!JmI(aib)v

例如：假如2門0,2I6,則2I(10+6),并且2I(10—6)o

性質(zhì)2：假如a能同時(shí)被m、n整除，則a也肯定能被m和n的最小公倍

數(shù)整除c

即：假如mIa,nIa,貝|J[m,n]Ia。

例如：假如6I36,9I36,則[6,9]I36。

性質(zhì)3：假如m、n都能整除a,且m和n互質(zhì)，則m與n的積能整除a。

即：假如mIa,nIa,且（m,n）=1,貝！I（mXn）Iao

例如：假如2I72,9I72,且（2,7）=1,則18I72。

性質(zhì)4：假如a能整除b,b能整除m,則a能整除m。

即:假如aIb,bIm,則aIm。

例：假如7I14,14I28,則7I28o

4.數(shù)的整除特征

（1）能被2整除的數(shù)的特征：假如一個(gè)整數(shù)的個(gè)位數(shù)是偶數(shù)（即個(gè)位數(shù)是2、4、6、

8、0）,則它必能被2整除。

（2）能被5整除的數(shù)的特征：假如一個(gè)整數(shù)的個(gè)位數(shù)字是0或5,則它必能被5整除。

（3）能被3（或9）整除的數(shù)的特征：假如一個(gè)整數(shù)的各位數(shù)字之和能被3（或9）整

除，則它必能被3（或9）整除。

（4）能被4（或25）整除的數(shù)的特征：假如一個(gè)整數(shù)的末兩位數(shù)能被4（或25）整

除，則它必能被4（或25）整除。

例：1864能否被4整除?

解：1864=1800+64,因?yàn)?I64,4是1864的因數(shù)，1864是4的倍數(shù)，所以41

1864o

（5）能被8（或125）整除的數(shù)的特征：假如一個(gè)整數(shù)的末三位數(shù)能被8（或125）

整除，則它必能被8（或125）整除。

例：29375能否被125整除?

解：29375二29000+375,因?yàn)?25I375,125是375的因數(shù)，375是125的倍數(shù)，

所以125I29375o

（6）能被11整除的數(shù)的特征：假如一個(gè)整數(shù)的奇數(shù)位數(shù)字之和與偶數(shù)位數(shù)字之和的

差（大減?。┠鼙?1整除，則它必能被11整除。（奇數(shù)位指：這個(gè)數(shù)的個(gè)位、百位、萬(wàn)

位……；偶數(shù)位指；這個(gè)數(shù)的十位、千位、十萬(wàn)位……）

例：推斷13574是否是H的倍數(shù)？

解：這個(gè)數(shù)的奇數(shù)位上數(shù)字之和與偶數(shù)位上數(shù)字和的差是：（4+5+1）-（7+3）

=0。因?yàn)?是任何整數(shù)的倍數(shù)，所以11I0o因此13574是11的倍數(shù)。

例：推斷123456789這九位數(shù)能否被11整除？

解：這個(gè)數(shù)奇數(shù)位上的數(shù)字之和是9+7+5+3+1=25,偶數(shù)位上的數(shù)字之和是8

+6+4+2=20.因?yàn)?5—20=5,又因?yàn)?15,所以11123456789。

（7）能被7（11或13）整除的數(shù)的特征：一個(gè)整數(shù)的末三位數(shù)與末三位以前的數(shù)字

所組成的數(shù)之差（以大減?。┠鼙?（11或13）整除。

例:推斷1059282是否是7的倍數(shù)?

解：把1059282分為1059和282兩個(gè)數(shù)。因?yàn)?059-282=777,又因?yàn)?I777,

所以7I1059282。因此1059282是7的倍數(shù)。

例：推斷3546725能否被13整除？

解:把3546725分為3546和725兩個(gè)數(shù).因?yàn)?546-725=2821.再把2821分為2

和821兩個(gè)數(shù)，因?yàn)?21—2=819,又13I819,所以13I2821,進(jìn)而13I3546725o

【例3】：173是一個(gè)四位數(shù)，在其中的方框中先后填入三個(gè)數(shù)字，所得到的三個(gè)四

位數(shù)，依次可以被9、11、6整除。先后填入的三個(gè)數(shù)字的和是多少？

［方法一］試商法［方法二］倍數(shù)特征

解：解：

三、課后作業(yè)

1.在中填入適當(dāng)?shù)臄?shù)字，使所組成的數(shù)能2.71450至少加上多少后就能被4整

夠被除？

4整除。

7847653863

4.假如兩個(gè)數(shù)的和是64,這兩個(gè)數(shù)的

積可以整除4875,則這兩個(gè)數(shù)的差是多

少？

3.一個(gè)六位數(shù)2356是22的倍數(shù)，則這

樣

的六位數(shù)中，最大的一個(gè)是多少？

5.一位選購(gòu)員買了同樣的72只熱水

杯，可口票d牛濕，單價(jià)尢法分辨,

總價(jià)數(shù)字也不全，只能看出：173.

元。你能算出熱水杯的單價(jià)嗎？

第一講整數(shù)問(wèn)題

第2課倍數(shù)與因數(shù)（一）

一、學(xué)問(wèn)要點(diǎn)

1.質(zhì)數(shù)與合數(shù)

質(zhì)數(shù)：一個(gè)數(shù)除了1和它本身，不再有別的因數(shù)，這個(gè)數(shù)叫做質(zhì)數(shù)。（素

數(shù)）

合數(shù)：一個(gè)數(shù)除了1和它本身，還有別的因數(shù)，這個(gè)數(shù)叫做合數(shù)C

［不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)。

2.質(zhì)因數(shù)與分解質(zhì)因數(shù)

質(zhì)因數(shù)：假如一個(gè)質(zhì)數(shù)是某個(gè)數(shù)的因數(shù)，則就說(shuō)這個(gè)質(zhì)數(shù)是這個(gè)數(shù)的質(zhì)因數(shù)。

分解偵因數(shù)：把一個(gè)合數(shù)用質(zhì)因數(shù)相乘的形式表示出來(lái)，叫做分解偵因數(shù)。

例：30分解質(zhì)因數(shù)。

解：30=2X3X5答：2、3、5是30的質(zhì)因數(shù)。

分解質(zhì)因數(shù)的方法：可以用輪除式來(lái)求質(zhì)因教

2LIL2I30

3|V

35

18—*330=2x3x5

100以內(nèi)的質(zhì)數(shù)（要會(huì)背的）：

2、3、5^7、

11、13、17、19、

23、29、

31、37、

41、43、47、

53、59、

61、67、

71、73、79、

83、89、

97.

3.公因數(shù)與公倍數(shù)

公因數(shù)：幾個(gè)自然數(shù)公有的因數(shù)，叫做這幾個(gè)自然數(shù)的公因數(shù)。

公倍數(shù)：幾個(gè)自然數(shù)公有的倍數(shù)，叫做這幾個(gè)自然數(shù)的公倍數(shù)。

一個(gè)數(shù)的因數(shù)的個(gè)數(shù)是（）的，倍數(shù)的個(gè)數(shù)是（）的。

幾個(gè)數(shù)的公因數(shù)的個(gè)數(shù)是（）的，公倍數(shù)的個(gè)數(shù)是（）

的。

4.最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)

最大公因數(shù)：在幾個(gè)自然數(shù)的公因數(shù)中，最大的一個(gè)稱為這幾個(gè)數(shù)的最大公

因數(shù)。

a、b的最大公因數(shù)二（a,b）

最小公倍數(shù)：

在幾個(gè)自然數(shù)的公倍數(shù)中，除零外最小的一個(gè)稱為這幾個(gè)數(shù)的最小公倍

數(shù)。

a、b的最小公倍數(shù)4a、b]

21830_____用公有的質(zhì)因數(shù)2除

915_____用公有的質(zhì)因數(shù)3除

3

35_____除到兩個(gè)商是互質(zhì)數(shù)為止

(18,30)=2X3=6[18,301=2X3X3X5=90

二、典型例題詳解

【例1】五年級(jí)三個(gè)班分別有30、24、42人參與課外科技活動(dòng)，現(xiàn)在要把參與的人分成

人數(shù)相等的小級(jí)，并且各班同學(xué)不能打亂，則

用短除法計(jì)算:

組？

解：30=2X3X5

24=2X3X2X2

42=2X3X7

（30,24,42）=2X3=6（人）

304-6=5（個(gè)）

244-6=4（個(gè)）

42:6=7（個(gè)）

5+4+7=16（個(gè)）

答：每組最多可以分6人，一共可以分16個(gè)組。

［例2］有一種長(zhǎng)16厘米，寬12厘米的塑料扣板，假如用這種扣板拼成一個(gè)正方形，

最少須要多少塊？

解：

16=2X2X2X2用短除法計(jì)算:

12=2X2X3

［16,121=2X2X2X2X3

=48（厘米）

48+16=3（塊）

484-12=4（塊）

3X4=12（塊）

答：最少須要12塊扣板。

【例3】甲對(duì)乙說(shuō)：“我現(xiàn)在的年齡是你的7倍，過(guò)幾年是你的6倍，再過(guò)若干年就分別

是你的5倍、4倍、3倍、2倍。”求出甲、乙現(xiàn)在的年齡。

解：??,甲現(xiàn)在的年齡是乙的7倍，則甲的年齡比乙大6倍:

當(dāng)甲的年齡是乙的6倍時(shí),則甲的年齡比乙大5倍

當(dāng)甲的年齡是乙的5倍時(shí),則甲的年齡比乙大4倍

當(dāng)甲的年齡是乙的4倍時(shí),則甲的年齡比乙大3倍

當(dāng)甲的年齡是乙的3倍時(shí),則甲的年齡比乙大2倍

當(dāng)甲的年齡是乙的2倍時(shí),則甲的年齡比乙大1倍

?,?甲、乙的年齡差是6、5、4、3、2的公倍數(shù)。

[6,5,4,3,21=6X5X4X3X2=60（歲）

604-（7-1）=10（歲）

10+60=70（歲）

答：甲的年齡是70歲，乙的年齡是10歲。

【例4】寫(xiě)出三個(gè)小于20的自然數(shù)，它們的最大公因數(shù)為1,但兩兩均不互質(zhì)，共有幾

解：假設(shè)這三個(gè)數(shù)分別是a、b、c

??“、b、c兩兩不互質(zhì)，且a<20,b<20,c<20,

則兩兩間的質(zhì)因數(shù)互不相同且乘積小于20

（a,b）=2或（a,b）=3或（a,b）=5；

（a,c）=2或（a,c）=3或（a,c）=5；

（b,c）二2或（b,c）=3或（b,c）=5；

Aa,b,c三數(shù)有可能是2X3=6,2X5=10,3X5=15,2X6=12,3X6=18O

又,:（a,b,c）=1；

（6,10,15）=1；（10,15,12）=11；（10,15,18）二

答;共有三組，分別是（6、10、15）,（10、12、15）,（10、15、18）o

三、課后習(xí)題

1.求56,36,284的最小公倍數(shù)。2.有336個(gè)蘋(píng)果、252個(gè)梨子、210個(gè)桔子,

用這三種水果最多可以分成多少份相同的

禮物？每份禮物中，三種水果各占多少？

3.三個(gè)人繞環(huán)行跑道練習(xí)騎自行車，他們

騎一圈的時(shí)間分別為半分鐘、45秒鐘、1分

15秒。三人同時(shí)從起點(diǎn)動(dòng)身，最少須要多

長(zhǎng)時(shí)間才能再次在起點(diǎn)會(huì)面?

4.有一個(gè)表，每走9分鐘亮一次燈，每到

整點(diǎn)時(shí)響一次鈴。中午12點(diǎn)時(shí)既亮燈又響

鈴。下次既亮燈又響鈴在幾點(diǎn)？

5.把一張長(zhǎng)120cm,寬80cm的長(zhǎng)方形紙裁

成同樣大小的正方形（紙不能有剩余），至少

能裁成多少?gòu)堖@樣的正方形紙，每張裁成的

6.用一個(gè)數(shù)去除31,61,76都余1,這個(gè)

紙是多大?

數(shù)最大是多少?

第3課倍數(shù)與因數(shù)(二)

一、學(xué)問(wèn)要點(diǎn)

1.最小公倍數(shù)與最大公因數(shù)之間的關(guān)系

定理一：兩個(gè)自然數(shù)分別除以它們的最大公因數(shù)，所得的商互質(zhì)。

即：假如(a,b)=d,則(a-rd,b-rd)=1

定理二：兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)與最大公因數(shù)之積等于這兩個(gè)數(shù)的乘積。

即；[a,b]X(a,b)~aXb

定理三：兩個(gè)數(shù)的公因數(shù)肯定是這兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)的因數(shù)

二、典型例題詳解

【例1】甲數(shù)是36,甲、乙兩數(shù)的最大公因【練一練】甲數(shù)和乙數(shù)的最大公因數(shù)是6,

數(shù)是4,最小公倍數(shù)是288,求乙數(shù)。最小公倍數(shù)是90,且小數(shù)不能整除大數(shù),

解：設(shè)乙數(shù)是a求這兩個(gè)數(shù)。

36Xa=4X288

a=4X288?36

a二32

答：乙數(shù)是32。

【例2】已知兩數(shù)的最大公因數(shù)是21,最小【練一練】?jī)蓚€(gè)自然數(shù)的和是56,它們

公倍數(shù)是126,求這兩個(gè)數(shù)的和是多少？的最大公因數(shù)是7,求這兩個(gè)數(shù)。

解：設(shè)這兩個(gè)數(shù)分別為a、b

1264-21=6

6=3X2或6=1X6

a=3X21=63a=IX21=21

b=2X21=42b=6X21=126

63+21=8421+126=147

答：這兩個(gè)數(shù)的和是84或147。

【例3】?jī)蓚€(gè)自然數(shù)的和是50,它們的最大【練一練】已知兩個(gè)自然數(shù)的積是5766,

公國(guó)數(shù)是5.求這兩個(gè)數(shù)的差0它們的最大公因數(shù)是31,求這兩個(gè)數(shù)0

解：設(shè)這兩個(gè)自然數(shù)分別是5a、5b

V5a+5b=50Aa+b=10

V(a,b)=l且a+b=10

b=9以1b=7

當(dāng)｛￡時(shí),5a=5,5b=455b-5a=40

b=y

當(dāng)｛片科，5a=15,5b=355b-5a=20

答：這兩個(gè)數(shù)的差是40或20.

【例4】?jī)蓚€(gè)自然數(shù)的和是54,它們的最小（接【例4】）

公倍數(shù)與最大公因數(shù)的差是114,求這兩個(gè)假如m=3,則3X(aib)=54,a?b=18

自然數(shù)。3X(ab-1)=114,

解：設(shè)這兩個(gè)數(shù)是A、Bo且A=am；B=bmab=39

A+B=54,則am+bm=54V(a>b)=l,

m(a+b)=54則是39=1X39或58=3X13

:(A、B)=m；:1+39W18且3+13W16

a、b為A、B兩數(shù)的非有公因數(shù)，(a、???mW3

b)=l答：這兩個(gè)自然數(shù)是24和30。

???[A、B]=mXaXb

【練一練】?jī)蓚€(gè)數(shù)的差是4,最大公因數(shù)

V[A>B]—(A、B)=114,則mXaXb

與最小公倍數(shù)的積是252,求這兩個(gè)數(shù)。

—m=l14

.*.m(ab—1)=114

Vm(a+b)=54且m(ab—1)=114

則m是54和114的公因數(shù)

又?..(54,114)=6,6=1X6=2X3

/.m=l或m=6或m=2或m=3

假如m=l,則1X(a+b)=54,a+b=54；

1X(ab-1)=114,

ab=115

V115=1X115Sc115=5X23

7115+1^54且5+23W54

.「mWl

假如m=6,則6X(a+b)=54,a+b=9；

6X(ab-1)=114，

ab=20

V(a>b)=l,則20=IX20或20=4

X5

??T+20W9,4+5=9

則m=6,a=4,b=5；

.?.A=4義6=24,B=5X6=30

假如m=2,則2X(a+b)=54,a+b=27

2X(ab-1)=114，

ab=58

V(a>b)=l,則58=1X58或58=2

X29

???1+58W27且2+29W27

???mW2

三、課后作業(yè)

（1）某數(shù)與24的最大公因數(shù)是4,最小公（2）已知兩個(gè)自然數(shù)的最大公因數(shù)為4,

倍數(shù)是168,這個(gè)數(shù)是多少?最小公倍數(shù)為120,求這兩個(gè)數(shù)。

（3）兩個(gè)數(shù)的和是70,它們的最大公因數(shù)（4）已知兩個(gè)自然數(shù)的差為48,它們的

是7,求這兩個(gè)數(shù)的差是多少?最小公倍數(shù)為60,求這兩個(gè)數(shù)。

（5）兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)是18,最小公倍

（6）已知兩個(gè)自然數(shù)的差為30,它們的

數(shù)是180,兩個(gè)數(shù)的差是54,求兩個(gè)數(shù)的和。

最小公倍數(shù)與最大公約數(shù)的差為450,求

這兩個(gè)自然數(shù)。

（7）兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)是12,最小公倍

數(shù)是72,這兩個(gè)數(shù)的和是多少？

復(fù)習(xí)練習(xí)第2課

（8）兩個(gè)自然數(shù)的差是3,它們的最大公（1）有一種地磚，長(zhǎng)20厘米，寬15厘米,

因數(shù)與最小公倍數(shù)的積是180,求這兩個(gè)數(shù)。至少須要多少塊這樣的地移才能拼成一個(gè)

實(shí)心的正方形?

（2）一箱雞蛋，四個(gè)四個(gè)數(shù)多3個(gè)，五個(gè)

五個(gè)數(shù)多4個(gè)，七個(gè)七個(gè)數(shù)多6個(gè)，這箱

雞蛋至少有多少個(gè)？

（10）已知a與b、a與c的最大公因數(shù)分

別是12和15,a、b、c的最小公倍數(shù)是120,

求a、b、Co

（3）有一個(gè)班的同學(xué)包車旅游，假如增加

一輛車，正好每輛車坐10人，假如削減一

輛車，正好每輛車坐15人，這個(gè)班共有多

少人？

（4）一條路長(zhǎng)96米，從一端起，每隔4米栽一棵樹(shù)（路兩旁都栽）?，F(xiàn)要再每隔6米

栽一棵，已栽上的地方不用重栽，這條路上共需新栽多少棵樹(shù)？

其次講圖形的面積

第1課巧求圖形面積

一、學(xué)問(wèn)要點(diǎn)

1.基本平面圖形特征與面積公式

特征面積公式

①四條邊都相等。

正方形②四個(gè)角都是直角。S=a2

③有四條對(duì)稱軸。

①對(duì)邊相等。

長(zhǎng)方形②四個(gè)角都是直角。S=ab

③有二條對(duì)稱軸C

①兩組對(duì)邊平行且相等。

S=ah

平行四邊②對(duì)角相等，相鄰的兩個(gè)角之和為

形180°

③平行四邊形簡(jiǎn)潔變形。

①兩邊之和大于第三條邊。

②兩邊之差小于第三條邊。

三角形S=ah+2

③三個(gè)角的內(nèi)角和是180°。

④有三條邊和三個(gè)角，具有穩(wěn)定性。

①只有一組對(duì)邊平行。

形S=(a+b)h4-2

②中位線等于上下底和的一半。

2.基本解題方法:

由兩個(gè)或多個(gè)簡(jiǎn)潔的基本幾何圖形組合成的組合圖形，要計(jì)算這樣的組合圖

形面積，先依據(jù)圖形的基本關(guān)系，再運(yùn)用分解、組合、平移、害IJ補(bǔ)、添林助線等

幾種方法將圖形變成基本圖形分別計(jì)算。

二、典型例題詳解

【例1】已知平行四邊表的面積是28平方厘【練一練】假如用鐵絲圍成如下圖一樣的

米，求陰影部分的面積。平行四邊形，須要用多少厘米鐵絲？（單

位：厘米）

【例2】下圖中甲和乙都是正方形，求陰影【練一練】求圖中陰影部分的面積。（單

部分的面積。（單位：厘米）位：厘米）

［不DTI；力斗4ADrn66-i-hJZ-DC-1n

［例3］如圖所示，甲三角形的面積比乙三【練一練嚴(yán)

直角三角形BCE的

角形的面積大6平方厘米，求CE的長(zhǎng)度。

直角邊EC長(zhǎng)8厘

米，已知陰影部分

【例4】?jī)蓷l對(duì)角線把梯形ABCD分割成四個(gè)【練一練】下面的梯形ABCD中，下底是

三角形。已知兩個(gè)三角形的面積（如圖所上底的2倍，E是AB的中點(diǎn)，求梯形ABCD

示），求另兩個(gè)三角形的面積各是多少？（單的面積是三角形EDB面積的多少倍？

位：厘米）

A-________0P

0

12D

DC

【練一練】32

一個(gè)長(zhǎng)方形的

草坪，中間有兩

h仃;否宜旦

三、課后作業(yè)

3.

1.下面的梯形

求圖中陰影部分的面積。

中，陰影部分

單位：厘米

25厘米

的面積。

5?I1E方形ABCD的面積

是100平方厘米，AE二8

6.求圖形中梯形ABCD的面枳。（單位：厘

米）

.52

3\E4

8

第2課等積變形求面積

?、學(xué)問(wèn)要點(diǎn)

三角形

等底等高的平行四邊形面積相等

假如兩個(gè)三角形底相等，大三角形面積是小三角形面積的2倍，大三角形高是小三角

形高的o

假如兩個(gè)三角形底相等，大三角形面積是小三角形面積的3倍，大三角形高是小三角

形高的o

假如兩個(gè)三角形底相等，大三角形面積是小三角形面積的4倍，大三角形高是小三角

形高的O

假如兩個(gè)三角形底相等，大三角形面積是小三角形面積的n倍，大三角形高是小三角

形高的o

假如兩個(gè)平行四邊形形底相等，大平行四邊形面積是小平行四邊形形面積的2倍，大

平行四邊形高是小平行四邊形高的o

假如兩個(gè)平行四邊形形底相等，大平行四邊形面積是小平行四邊形形面積的3倍，大

平行四邊形高是小平行四邊形高的o

假如兩個(gè)平行四邊形形底相等，大平行四邊形面積是小平行四邊形形面積的4倍，大

平行四邊形高是小平行四邊形高的o

假如兩個(gè)平行四邊形形底相等，大平行四邊形面積是小平行四邊形形面積的n倍，大

平行四邊形高是小平行四邊形高的

二、典型例題分析

【例1】四邊形ABCD中【練一練】如圖,

AB的中點(diǎn),N為CD的邊形ABCDEF的面界WW

D

假如四邊形ABCD的是16平方厘米，M、

80平方厘米，求陰影部分N、P、Q分別是AB、

BNDM的面積是多少？CD、DE、AF的中點(diǎn)。

求圖中陰影部分的面積。

【例2】如圖，平行因邊【練一練】如圖，在一個(gè)等蛇角

形ABCD中，AE二形中隨意取一點(diǎn)P,

FB,AG=2CG,三PC,過(guò)P點(diǎn)作三角形白哪線/

角形GEF的面積E、F、G分別為垂足

是6平方厘米，平行四邊形的面積是多少平ABC被分成6個(gè)三角形。已

方厘米?知三角形ABC的面積為40

平方厘米，求圖中陰影

部分的面積。

［例3］下圖中正方形【練一練】?jī)山橄嗤闹苯侨切沃梅?/p>

ABCD的邊長(zhǎng)是4厘米，

長(zhǎng)方形DEFG的長(zhǎng)DG=5

厘關(guān)，問(wèn)長(zhǎng)方形的寬DE

為多少厘米？

【例4】?jī)蓚€(gè)正方形拼

成一個(gè)圖形其中小正

方形的邊長(zhǎng)是4厘米，求陰影部分的面積。

厘米，求陰影部

分的面積。

三、課后作業(yè)

1.平行四邊形的面積為50/2.長(zhǎng)方形ABCD,三

平方厘米，P是其中隨意/角形ABG的面積為20

一點(diǎn)，求陰影部分的面積。平方厘米，三角形CDQ的面積為35平方

厘米，求陰影部分的面積。

3.ABCD是直角梯形,4.如圖，AD=2AB,CF=3A￡,BE=4BC,D

其口AD=12厘米AB=8已知ABC的面積為5平為建米,

厘天，BC=15厘米，且三角形ADE、四邊形求DEF的面積。

B

DEBF與三角形CDF的面積相等，三角形EBF

（陰影部分）的面積是多少?

5.如圖，AB=4厘米,BC如6.圖中BD=2DC,AE=BE,

AC=2CD,BE=BD,求已知三角形ABC的面積

B\D]C

三角形ADE的面積。D是18平方厘米，求四邊

形AEDC的面積是多少？

第三講分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)

第1課分?jǐn)?shù)的相識(shí)

一、學(xué)問(wèn)要點(diǎn)

1.分?jǐn)?shù)的意義和性質(zhì)

分?jǐn)?shù)的意義：

把單位“1”平均分成若干份，表示這樣的一份或幾份的數(shù)，叫做分?jǐn)?shù)。

（分母表示把一個(gè)物體平均分成幾份,分子是表示這樣幾份的數(shù)。把1

平均分成分母份，表示這樣的分子份。）

分?jǐn)?shù)單位：

把單位“1，，平均分成若干份，表示其中一份的數(shù)，叫做分?jǐn)?shù)單位。

☆分?jǐn)?shù)的性質(zhì)：

分子與分母同時(shí)乘或除以一個(gè)相同的數(shù)（0除外），分?jǐn)?shù)的大小不

變。

2.分?jǐn)?shù)的分類

「真分?jǐn)?shù)：分子比分母小的分?jǐn)?shù)，叫做真分?jǐn)?shù)。真分?jǐn)?shù)大于1。

“假分?jǐn)?shù)：分子大于或者等于分母的分?jǐn)?shù)叫假分?jǐn)?shù)，假分?jǐn)?shù)大于1或等于lo

帶分?jǐn)?shù)：帶分?jǐn)?shù)就是將一個(gè)分?jǐn)?shù)寫(xiě)成整數(shù)部分+一個(gè)真分?jǐn)?shù)。

★帶分?jǐn)?shù)與假分?jǐn)?shù)的互換：

帶分?jǐn)?shù)一》假分?jǐn)?shù)：分母不變，分子為整數(shù)部分乘以分母的積再加上原分子的

和。

假分帶分?jǐn)?shù)：分母不變,整數(shù)部分為原分子除以分母的商，分子則為原

分子除以分母的余數(shù)。

例：*=9二/

333

帶分?jǐn)?shù)4真分?jǐn)?shù)

3.計(jì)算方法：

★分?jǐn)?shù)加減法★

（1）同分母分?jǐn)?shù)相加減，分母不變，即分?jǐn)?shù)單位不變，分子相加減，最終要化成

最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)。

例.5J3=5+1-3二3

*77777

（2）異分母分?jǐn)?shù)相加減，先通分，即運(yùn)用分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)將異分母分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化為同

分母分?jǐn)?shù)，變更其分?jǐn)?shù)單位而大小不變，再按同分母分?jǐn)?shù)相加減法去計(jì)算，最終

要化成最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)。

例：5+4_1=25+24_15=25124-15=34

6523030303030

★分?jǐn)?shù)乘除法★

（1）分?jǐn)?shù)乘整數(shù)，分母不變，分子乘整數(shù)，最終要化成最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)。

ir-.\5,5x610

ivy：-x6=----=—

993

（2）分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)，用分子乘分子，用分母乘分母，最終要化成最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)。

例：；中■技

（3）分?jǐn)?shù)除以整數(shù)，分母不變，假如分子是整數(shù)的倍數(shù)，則用分子除以整數(shù)，最

終要化成最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)。

/1-.|8.8+42

例：-4-4=----=-

999

（4）分?jǐn)?shù)除以整數(shù)，分母不變，假如分子不是整數(shù)的倍數(shù)，則用這個(gè)分?jǐn)?shù)乘這個(gè)

整數(shù)的倒數(shù)，最終要化成最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)。

的I2^211

例：-4-6=-X-=——

99627

（5）分?jǐn)?shù)除以分?jǐn)?shù)，等于被除數(shù)乘除數(shù)的倒數(shù)，最終不是最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)要化成最簡(jiǎn)分

數(shù)。

例：

二、典型例題分析

【例1】分母是91的真分?jǐn)?shù)有多少個(gè)？最【練一練1】分子、分母的乘積是420的最

簡(jiǎn)真分?jǐn)?shù)有多少個(gè)?簡(jiǎn)真分?jǐn)?shù)共有多少個(gè)?

【例2］把一個(gè)最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)的分子加上1,這【練一練2】一個(gè)分?jǐn)?shù)約分成最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)是T，

個(gè)分?jǐn)?shù)就等于1。原分子、分母的和是90,原分?jǐn)?shù)是多少？

（1）假如把這個(gè)分?jǐn)?shù)的分母加上1,這個(gè)

分?jǐn)?shù)就等于總，原分?jǐn)?shù)是多少？

9

（2）假如把這個(gè)分?jǐn)?shù)的分母加上2,這個(gè)

分?jǐn)?shù)就等于白，原分?jǐn)?shù)是多少？

9

［例3］分?jǐn)?shù)二的分子和分母都減去同一【練一練3】一個(gè)真分?jǐn)?shù)的分子、分母是兩

136

個(gè)整數(shù)，所得的分?jǐn)?shù)約分后是2,求那個(gè)整個(gè)連續(xù)的自然數(shù)，假如分母加上4,這個(gè)分

9

數(shù)是多少？數(shù)約分后是:，原來(lái)這個(gè)分?jǐn)?shù)是多少？

【例4】分?jǐn)?shù)曰的分子減去某數(shù)，而分母同【練一練4】一個(gè)分?jǐn)?shù)，分子加上1可約分

64

時(shí)加上這個(gè)數(shù)后，所得的新分?jǐn)?shù)化簡(jiǎn)后為為:，分子減去1可約分為:，求這個(gè)分?jǐn)?shù)。

JJ

》求某數(shù)。

【練一臂5】分?jǐn)?shù)卷的分子、分母同時(shí)加一【練一練6】"2是最簡(jiǎn)真分?jǐn)?shù)，。可取的

48

個(gè)自然新分?jǐn)?shù)化簡(jiǎn)得一個(gè)分?jǐn)?shù)不求這整數(shù)共有多少個(gè)?

個(gè)自然數(shù)。

三、課后作業(yè)

【1】分母是51的真分?jǐn)?shù)有多少個(gè)？最簡(jiǎn)真【2】一個(gè)最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)的分子縮小5倍，分母

分?jǐn)?shù)有多少個(gè)?擴(kuò)大9倍后是全原分?jǐn)?shù)是多少?

[3]得的分子、分母同時(shí)加上多少后可以[4]一個(gè)分?jǐn)?shù)，假如分子加上16,分母減

約分為」？去166,則約分后是3；假如分子加上124,

34

分母加上340,則約分后是工，求原分?jǐn)?shù)是

2

多少？

[5]填空題：（列式、計(jì)算、填空）

⑶一個(gè)最簡(jiǎn)真分?jǐn)?shù)，把它的分母擴(kuò)大5倍,

⑴一個(gè)最簡(jiǎn)真分?jǐn)?shù)的分子、分母之積是30,

而分子縮小4倍，化簡(jiǎn)后是_L,求這個(gè)最

52

這人最簡(jiǎn)真分?jǐn)?shù)是o

簡(jiǎn)真分?jǐn)?shù)是。

（2）分母是85的真分?jǐn)?shù)共有個(gè)，

（4）一個(gè)最簡(jiǎn)真分?jǐn)?shù)，分子、分母之和是

分母是85的最簡(jiǎn)真分?jǐn)?shù)共有個(gè)。

15,這個(gè)最簡(jiǎn)真分?jǐn)?shù)是。

[6]一個(gè)真分?jǐn)?shù)的分子、分母是兩個(gè)相鄰【7】分?jǐn)?shù)卷的分子、分母同時(shí)加同一個(gè)自

的奇數(shù)，假如分母加上3后，這個(gè)分?jǐn)?shù)約分然數(shù)，新分?jǐn)?shù)化簡(jiǎn)后得;，求這個(gè)自然數(shù)。

為白，求原分?jǐn)?shù)是多少？

4

第2課比較分?jǐn)?shù)大小

一、學(xué)問(wèn)要點(diǎn)

1.分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)

☆分?jǐn)?shù)的性質(zhì)：

分子與分母同時(shí)乘或除以一個(gè)相同的數(shù)（0除外），分?jǐn)?shù)的大小不

變。

2,比較分?jǐn)?shù)大小的基本方法

①分母相同：分母相同的分?jǐn)?shù)，比較分子，分子大的分?jǐn)?shù)大。

②分子相同：分子相同的分?jǐn)?shù)，比較分母，分母小的分?jǐn)?shù)大。

③假分?jǐn)?shù)與真分?jǐn)?shù)：假分?jǐn)?shù)大于真分?jǐn)?shù)。

3.分子、分母都不同的兩個(gè)分?jǐn)?shù)：

先通分，使它們的分母相同，化為第一種狀況，再比較大小。

4.比較分?jǐn)?shù)大小的巧算：

①“通分子”

當(dāng)兩個(gè)已知分?jǐn)?shù)的分母的最小公倍數(shù)比較大，而分子的最小公倍數(shù)

比較小時(shí)，可以把它們化成同分子的分?jǐn)?shù)，再比較大小，這種方法比通

分的方法簡(jiǎn)便。

例如，］與趣，分母的最小公倍數(shù)是三位數(shù)，分子的最小公倍數(shù)是60,把

12^^601560中小60、60g“12、15

行化為和殛化為麗，因?yàn)槌唷递乃苑健挡?/p>

②化為小數(shù)。

這種方法對(duì)隨意的分?jǐn)?shù)都適用，因此也叫萬(wàn)能方法。但在比較大小

時(shí)是否簡(jiǎn)便，就要看詳細(xì)狀況了。

例如:與圣一看就知道9。66???,黑65.所以:>1?

③先約分，后比較。

有時(shí)已知分?jǐn)?shù)不是最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)，可以先約分。

例如，黑與鬻約分后兩個(gè)分?jǐn)?shù)都等于白，所以它們是相等的。

o3o5o3o3o3o3

④倒數(shù)比較大小。

分?jǐn)?shù)m和n,假如"!"<!，則m>n。

tnn

加g19-20中將211/120的”20、19

例如’藥與斤因?yàn)楂E1示<1歷二區(qū)’所以五〉疝。

⑤大分?jǐn)?shù)比較大小

若兩個(gè)真分?jǐn)?shù)的分母與分子的差相等、則分母與分子相加得到的和

較大的分?jǐn)?shù)比較大；

若兩個(gè)假分?jǐn)?shù)的分子與分母的差相等，則分母與分子相加得到的和

較小的分?jǐn)?shù)比較大。

⑥借助第三個(gè)數(shù)比較大小

對(duì)于分?jǐn)?shù)m和n,若m-k>n-k,則m>n。

例Mm=|^,n=嘉,兩個(gè)分?jǐn)?shù)都比g略大,于是可以借助

于3。

184184

小一?”654321'n-3"456789

對(duì)于分?jǐn)?shù)m和n,若m>k,k>n,貝！Jm>n。

例如，《'與五，因?yàn)椋?lt;1，所以，這里借助于1。

11kJ11CuCaI11I乙

m23-22m*23、2323、2223.11

又如，因?yàn)槎地?i>3i-所ficp以l而〉藥。

對(duì)于分?jǐn)?shù)m和n,若k-mVk-n,則m>n。

例如竺與竺因?yàn)?.竺.?1.竺?22>2所以竺〉竺。

切如19、7'囚K11919'11717,19^17,歷以19*170

這里借助于1。

5.典型8例題

【例1］把下面每組中的分?jǐn)?shù)按從大到小的【練一練11把下面的分?jǐn)?shù)按從小到大的依

51565

次

fku列--

1-137一l

、

依次排列。8-r3-3-、

20601713

18,12,20,601=120

5=5x15=757;二7x10=70

88x151201212x10120

11_11x6—.66一37_37x2_74

2020x61206060x2120

75、74、7()、66

120120120120

5、37

8601220分嗚、MM3到，哪一個(gè)最

(2)包、”?、-20、-1-2

27131711大？

[30,15,20,⑵二60

30_30x2_6015.15x4—_6,0

2727x2541313x452

20_20x3_6()12_12x5._60

1717x3511111x555

60、60、60、60

51525455

20、15、30、12

---/----

17132711

77771

【例2】比較和暨邑的大小【練一練2】比較擺和If羽的大小

7777588887

1_77771_:41_88883_4

1---------I-----------

77775777758888788887

??，—>4:a<88883

77775888877777588887

1_n+1z

【例3】已知a=—,b=-------(m,n都是非【練一練3】下列分?jǐn)?shù)中最大的是(

mm+1

A..B.史C.繆D.

零自然數(shù)，且m>n),a,b的大小關(guān)系是999999999