浙江省杭州市第二中學(xué)2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題（原卷版）

杭州二中2024學(xué)年第二學(xué)期高一年級(jí)期中考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知，，，若，則的值為（）A. B. C. D.2.已知復(fù)數(shù)滿足，則虛部是（）A B. C. D.3.已知向量在向量上的投影向量為，且，則的值為（）A. B. C. D.4.已知正四面體的表面積為，則它的體積為（）A. B. C. D.5.在中，，，其面積為，則等于（）A. B. C. D.6.已知正三棱錐，，，則該三棱錐外接球的體積為（）A. B. C. D.7.如圖，圓內(nèi)接四邊形中，，，現(xiàn)將該四邊形沿旋轉(zhuǎn)一周，則旋轉(zhuǎn)形成的幾何體的表面積為（）A. B.C. D.8.已知的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，的面積為，，，則（）A.120° B.135° C.150° D.165°二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.以下復(fù)數(shù)運(yùn)算一定成立的是（）A. B.（、均不為）C. D.10.在直角坐標(biāo)系中，，則以下判斷正確的是（）A.為直角三角形 B.，，，依次連起來(lái)是一個(gè)四邊形C. D.11.如圖，在棱長(zhǎng)為的正方體中，為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.平面B.存在點(diǎn)，使得直線與共面C.最小值為D.若為線段上的動(dòng)點(diǎn)，且平面，則的最小值為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知圓錐底面半徑為，側(cè)面展開圖是圓心角為的扇形，則此圓錐的母線長(zhǎng)為______.13.已知O為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且點(diǎn)P滿足，，則_______．14.復(fù)數(shù)，滿足，，則的最小值為______.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知向量，.（1）求向量與的夾角的大??；（2）若向量滿足，求的值.16.已知的三個(gè)內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，滿足，，是的中點(diǎn).（1）求；（2）若，，，求的值.17.在某湖畔擬建造一個(gè)四邊形的露營(yíng)基地，如圖所示.為考慮娛樂休閑的需求，在四邊形區(qū)域中，將三角形區(qū)域設(shè)立成花卉觀賞區(qū)，三角形區(qū)域設(shè)立成燒烤區(qū)，邊、、、修建觀賞步道，邊修建隔離防護(hù)欄，其中，米，.（1）要使得花卉觀賞區(qū)的觀賞步道的總長(zhǎng)度最大，、的長(zhǎng)度分別是多少？（2）求燒烤區(qū)占地面積的最大值.18.如圖，三棱錐各棱長(zhǎng)均為，側(cè)棱上的、、滿足，，線段上的點(diǎn)滿足平面.（1）在上，，求證：平面平面；（2）若，且，求值；（3）求三棱錐體積的最大值.19.設(shè)兩個(gè)非零向量、，，，方向逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到方向所成的角為.定義偽叉積：.規(guī)定零向量與任意向量的偽叉積為零.已知對(duì)任意的、、、，滿足，.（1）設(shè)，，計(jì)算和；（2）設(shè)，